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函数的单调性和最值


函数的单调性与最值

1 . 函数的单调性 ( 1 ) 单调函数的定义 增函数 减函数

一般地,设函数 f ( x ) 的定义域为 I ,如果对于定义域 I 内某个 区间 D 上的任意两个自变量 x 定义 当x
1 1

,x
1

2

< x

/>
2

时,都有

当x

< x

2

时,都有

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,那么 就说函数 f ( x ) 在区间 D 上是 增函数

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ , 那 么就说函数 f ( x ) 在区间 D 上是减函数

图象 描述 自左向右看图象是_ _ _ _ _ _ ( 2 ) 单调区间的定义 若函数 f ( x ) 在区间 D 上是_ _ _ _ _ _ _ _ 或_ _ _ _ _ _ _ _ ,则称函数 f ( x ) 在这一 区间具有( 严格的) 单调性,_ _ _ _ _ _ _ _ 叫做 y =f ( x ) 的单调区间. 2 . 函数的最值 前提 设函数 y =f ( x ) 的定义域为 I ,如果存在实数 M 满足 自左向右看图象是 _ _ _ _ _ _

( 1 ) 对于任意 x ∈I ,都有 条件 _ _ _ _ _ _ _ _ ; ( 2 ) 存在 x _ _ _ _ _ _ _ _ .
0

( 3 ) 对于任意 x ∈I ,都有 _ _ _ _ _ _ _ _ ; ( 4 ) 存在 x _ _ _ _ _ _ _ _ .
0

∈I ,使得 ∈I ,使得

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结论 [ 难点正本 疑点清源]

M 为最大值

M 为最小值

1 . 函数的单调性是局部性质 函数的单调性,从定义上看,是指函数在定义域的某个子区间上的单调性,是局部的特征. 在某个 区间上单调,在整个定义域上不一定单调. 2 . 函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以求解函数的单调区间,必须先求出函数的定义域. 对 于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解,如二次函数、对数函数、指数函数等;如 果是复合函数,应根据复合函数的单调性的判断方法,首先判断两个简单函数的单调性,再根据“同 则增,异则减”的法则求解函数的单调区间. 3 . 单调区间的表示 单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用并集符 号“∪”联结,也不能用“或”联结.

1 .

f ( x ) =x
m a x

2

-2 x

( x ∈[ -2 , 4 ] ) 的单调增区间为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;

f ( x )
2 .

=_ _ _ _ _ _ _ _ .

函 数

f ( x )



2 x x +1

在 [ 1 , 2 ]

的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 是

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 3 . 已知函数 y =f ( x ) 在 R 上是减函数,A ( 0 ,-2 ) 、B ( -3 , 2 ) 在其图象上,则不等 式 - 2 < f ( x ) < 2 的 解 集 为

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 4 . 下列函数 f ( x ) 中满足“对任意 x
1

,x

2

∈( 0 ,+∞) ,当 x

1

< x

2

时,都有

f ( x 1 ) > f ( x 2 ) ”的是(
1 A . f ( x ) =

) B . f ( x ) =( x -1 )
2

x

C . f ( x ) =e

2

D . f ( x ) =l n ( x +1 )

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5 . 已知函数 f ( x ) 为 R ( ) A . ( -1 , 1 )

上的减函数,则满足 f

??1 ?? < f ( 1 ) 的实数 x 的取值范围是 ??x ?? ?? ??

B . ( 0 , 1 ) D . ( -∞,-1 ) ∪( 1 ,+∞)

C . ( -1 , 0 ) ∪( 0 , 1 )

题型一 函数单调性的判断及应用 例1 已知函数 f ( x ) = x
2

+1 -a x ,其中 a > 0 .

( 1 ) 若 2 f ( 1 ) =f ( -1 ) ,求 a 的值; ( 2 ) 证明:当 a ≥1 时,函数 f ( x ) 在区间[ 0 ,+∞) 上为单调减函数; ( 3 ) 若函数 f ( x ) 在区间[ 1 ,+∞) 上是增函数,求 a 的取值范围.

探究提高 ( 1 ) 证明函数的单调性用定义法的步骤是:取值—作差—变形—确定符号—下结论. ( 2 ) 利用导数证明的一般步骤为:求导,判断导函数在区间上的符号,下结论. 导数法 较常用的一种方法. 已知 f ( x ) = 是 比

x x -a

( x ≠a ) .

( 1 ) 若 a =-2 ,试证 f ( x ) 在( -∞,-2 ) 内单调递增;
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( 2 ) 若 a > 0 且 f ( x ) 在( 1 ,+∞) 内单调递减,求 a 的取值范围.

题型二 求函数的单调区间 例2 求函数 log 1 ( x 2 ? 3x ? 2) 的单调区间.
2

探究提高 求函数的单调区间与确定单调性的方法一致. ( 1 ) 利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间. ( 2 ) 定义法:先求定义域,再利用单调性定义. ( 3 ) 图象法:如果 f ( x ) 是以图象形式给出的,或者 f ( x ) 的图象易作出,可由图象的直观 性写出它的单调区间. ( 4 ) 导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间. ( 5 ) 本题的易错点是忽视函数的定义域. 1 求函数 y = x
2

+x -6 的单调区间.

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2

已知函数

f(x) ax 3 ? 3x 2 - x ? 1 ?

在 R 上单调递减,求 a 的取值范围。

题型三 抽象函数的单调性及最值 例 3 已知函数 f ( x ) 对于任意 x ,y ∈R ,总有 f ( x ) +f ( y ) =f ( x +y ) ,且当 2 3

x > 0 时,f ( x ) < 0 ,f ( 1 ) =- .
( 1 ) 求证:f ( x ) 在 R 上是减函数; 小值. ( 2 ) 求 f ( x ) 在[ -3 , 3 ] 上的最大值和最

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探究提高 对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义,结合题目所给性质和相应的条 件, 对任意 x
1

,x

2

在所给区间内比较 f ( x 变形:如 x =x

1

) -f ( x

2

) 与 0 的大小,或 等.

f ? x 1? 与 1 的大小. 有时 f ? x 2?

根据需要需作适当的

1

2

·

x 1 或 x 1 =x 2 +x 1 -x x 2

2

函数 f ( x ) 的定义域为( 0 , +∞) , 且对一切 x > 0 , > 0 都有 f ? ?=f ( x ) y y -f ( y ) ,当 x > 1 时,有 f ( x ) > 0 . ( 1 ) 求 f ( 1 ) 的值; ( 2 ) 判断 f ( x ) 的单调性并加以证明. ( 3 ) 若 f ( 4 ) =2 ,求 f ( x ) 在[ 1 , 1 6 ] 上的值域.

?x ? ? ?

2 . 函数的单调性与不等式 试题:( 1 4 分) 函数 f ( x ) 对任意的 m 、n ∈R ,都有 f ( m +n ) =f ( m ) +f ( n ) -1 , 并且 x > 0 时,恒有 f ( x ) > 1 .
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( 1 ) 求证:f ( x ) 在 R 上是增函数; ( 2 ) 若 f ( 3 ) =4 ,解不等式 f ( a
2

+a -5 ) < 2 .
2

审题视角 ( 1 ) 对于抽象函数的单调性的证明,只能用定义. 应该构造出 f ( x

) -f ( x

1

) 并

与 0 比较大小. ( 2 ) 将函数不等式中的抽象函数符号“f ”运用单调性“去掉” ,是本小题的切 入点. 要构造出 f ( M ) < f ( N ) 的形式. 规范解答 ( 1 ) 证明 设 x
1

< x

2

,∴x

2

-x

1

> 0 ,
2

当 x > 0 时,f ( x ) > 1 ,∴f ( x [ 2 分]

-x

1

) > 1 .

f ( x 2 ) =f [ ( x 2 -x 1 ) +x 1 ] =f ( x 2 -x 1 ) +f ( x 1 ) -1 ,
[ 4 分] ∴f ( x
2

) -f ( x

1

) =f ( x

2

-x

1

) -1 > 0 ? f ( x

1

) < f ( x

2

) , [ 6 分]

∴f ( x ) 在 R 上为增函数. ( 2 ) 解 ∵m ,n ∈R ,不妨设 m =n =1 , ∴f ( 1 +1 ) =f ( 1 ) +f ( 1 ) -1 ? f ( 2 ) =2 f ( 1 ) -1 , [ 8 分]

f ( 3 ) =4 ? f ( 2 +1 ) =4 ? f ( 2 ) +f ( 1 ) -1 =4 ? 3 f ( 1 ) -2 =4 ,
∴f ( 1 ) =2 ,f ( 2 ) =2 ×2 -1 =3 , ∴f ( a [ 1 2 分] ∵f ( x ) 在 R 上为增函数,∴a 即 a ∈( -3 , 2 ) .
2 2

+a -5 ) < 2 =f ( 1 ) ,

+a -5 < 1 ? -3 < a < 2 , [ 1 4 分]

解函数不等式的问题一般步骤是: 第一步:确定函数 f ( x ) 在给定区间上的单调性; 第二步:将函数不等式转化为 f ( M ) < f ( N ) 的形式; 第三步:运用函数的单调性“去掉”函数的抽 象符号“f ” ,转化成一般的不等式或 不等式组; 第四步:解不等式或不等式组确定解集; 第五步:反思回顾. 查看关键点,易错点及解题 规范.

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批阅笔记 本题对函数的单调性的判断是一个关键点. 不会运用条件 x > 0 时,f ( x ) > 1 . 构造 不出 f ( x
2

) -f ( x

1

) =f ( x

2

-x

1

) -1 的形式,找不到问题的突破口. 第二个关键应该

是将不等式化为 f ( M ) < f ( N ) 的形式. 解决此类问题的易错点是:忽视 M 、N 的取值范围, 即忽视 f ( x ) 所在的单调区间的约束.

方法与技巧 1 . 根据函数的单调性的定义,证明( 判定) 函数 f ( x ) 在其区间上的单调性,其步骤是 ( 1 ) 设x
1

、x

2

是该区间上的任意两个值,且 x
1

1

<x

2

( 或x

1

> x

2

) ;

( 2 ) 作差 f ( x ( 3 ) 判定 f ( x

) -f ( x ) -f ( x

2

) ,然后变形; ) 的符号;

1

2

( 4 ) 根据定义得出结论. 2 . 求函数的单调区间 首先应注意函数的定义域,函数的单调区间都是其定义域的子集;其次掌握一次函数、二次函数等 基本初等函数的单调区间. 常用方法:根据定义,利用图象和单调函数的性质,利用导数的性质. 3 . 复合函数的单调性 对于复合函数 y =f [ g ( x ) ] , t =g ( x ) 在区间( a , ) 上是单调函数, y =f ( t ) 若 b 且 在区间( g ( a ) ,g ( b ) ) 或者( g ( b ) ,g ( a ) ) 上是单调函数,若 t =g ( x ) 与 y =f ( t ) 的单调性相同( 同时为增或减) ,则 y =f [ g ( x ) ] 为增函数;若 t =g ( x ) 与

y =f ( t ) 的单调性相反,则 y =f [ g ( x ) ] 为减函数.
简称为:同增异减. 失误与防范 1 . 函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减. 单调区间要分开写,即 使在两个区间上的单调性相同,也不能用并集表示. 2 . 两函数 f ( x ) 、g ( x ) 在 x ∈( a ,b ) 上都是增( 减) 函数,则 f ( x ) +g ( x ) 也为 增( 减) 函数,但 f ( x ) ·g ( x ) , 1

f ? x ?

等的单调性与其正负有关,切不可盲目类比.

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