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淮阴中学高三数学一轮复习学案:解三角形与平面向量2


第 05 课:解三角形与平面向量
一、课前预习 1、在 △ ABC 中,若 tan A ?

1 , C ? 150 , BC ? 1 ,则 AB ? 3




2、设向量 a 与 b 的夹角为 ? ,a=(2,1),a +3b=(5,4),则 sin ? =

3、已知向量 OA ? ? 0,1? , OB ? (k , k ), OC ? (1,3) ,若 AB // AC ,则实数 k =
2 2



4、已知平面上的向量 PA . PB 满足 PA ? PB ? 4 , AB ? 2 ,设向量 PC ? 2 PA ? PB , 则 PC 的最小值是 .

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5、已知平面向量 a , b , c满足a ? b ? c ? 0, 且a与b 的 夹 角 为 1350,c与b 的 夹 角 为
1200 , c ? 2, 则 a ?

?

?



6、在 △ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 a ? 1 ,b= 7 , c ? 3 ,则

B?

. ,则 yO B x?

7. 已 知 复 数 z1 ? ?1 ? 2i, z2 ? 1 ? i, z3 ? 3 ? 2i , 它 们 所 对 应 的 点 分 别 为 A,B,C . 若

O C? x O A ?

y 的值是


AB BC ?

8.已知平面上不共线的四点 O,A,B,C.若 OA ? 3OB ? 2OC ? 0 ,则



,AB ? 2,AC ? 1 , D 是边 BC 上一点, DC ? 2 BD , 9. 在 △ ABC 中, ?BAC ? 120°

· BC ? 则 AD



10.如题(10)图,在四边形 ABCD 中, AB ? BD ? DC ? 4 ,

D

C

AB BD ? BD DC ? 4 , AB BD ? BD DC ? 0 ,
则 ( AB ? DC) AC 的值为 . A B 题 (10) 图

11. 在直角坐标系 xOy 中 , i, j 分别是与 x 轴 , y 轴平行的单位向量 , 若直角三角形 ABC 中, AB ? i ? j , AC ? 2i ? m j ,则实数 m= 12.关于平面向量 a,b,c .有下列三个命题: ①若 a .

b = a c ,则 b ? c .②若 a ? (1,k ),b ? (?2, 6) , a ∥ b ,则 k ? ?3 .

| |b ? | a | ? b,| 则 a 与 a ? b 的 夹 角 为 60 . 其 ③ 非 零 向 量 a 和 b 满 足 |a ?
中真命题的序号为 . (写出所有真命题的序号)

13.在正方形 ABCD 中,已知 AB ? 2 ,

M 为 BC 的中点,若 N 为正方形内(含边界)任意
1

一点,则 AM ? AN 的最大值是

.

14. 在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A,则 为 二、例题 .

AC 的值等于 cos A

. AC 的取值范围

例 1.设函数 f ( x) ? m ? n ,其中向量 m ? (2cos x,1), n ? (cos x, 3sin 2x), x ? R (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2) 在 ?ABC 中 , a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边 , f ( A) ? 2, a ? 3, b ? c ? 3(b ? c) 求 b, c 的值.

[Z.xx.k.Com]

例 2.△ABC 的外接圆半径为 1,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.向量 m = (a,4cos B) , n= (cos A,b) 满足 m//n. (1)求 sin A ? sin B 的取值范围; (2)若实数 x 满足 abx=a+b,试确定 x 的取值范围.

2

例 3.在 ?ABC 中, AB ? AC ? 1 , AB ? BC ? ?3 . (1)求 AB 边的长度; (2)求

sin( A ? B ) 的值. sin C

例 4.在△ABC 中, a, b, c 分别为角 A.B.C 的对边, a ? c ? b ?
2 2 2

8bc , a =3, △ABC 的面积为 5

6,D 为△ABC 内任一点,点 D 到三边距离之和为 d. ⑴求角 A 的正弦值; ⑵求边 b.c; ⑶求 d 的取值范围

3

第 05 课作业:解三角形与平面向量
班级____________ 姓名_____________ 学号__________ 成绩________

4? b = ?11 , ? .若向量 b ? (a + ?b) ,则实数 ? 的值是 1.已知向量 a = ? 2,,



C? 2.在 △ ABC 中, 角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c , 若 a ? 1, c ? 3,


π , 则A? 3


CD ? 3.在 △ ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD ? 2 DB,

1 CA ? ? CB ,则 ? ? 3


4.在 △ ABC 中, AB ? 2 , AC ? 3 , D 是边 BC 的中点,则 AD BC ?

b 的夹角为 60 , 5.若向量 a,
?

a ? b ? 1 ,则 a ? a ? b ? ?

▲ ▲

6.已知平面向量 a ? (2, 4) , b ? (?1, 2) .若 c ? a ? (a ? b )b ,则 | c |? 7. a , b 的夹角为 120? , a ? 1 , b ? 3 则 5a ? b ? 8.若 AB ? 2, AC ? 2BC 则 S?ABC 的最大值 ▲ ▲

9.已知 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 的对边分别为 a, b, c 若 a ? c ? 6 ? 2 且 ?A ? 75 ,则
o

b?


4

10.在△ ABC 中, a, b, c 依次是角 A,B,C 所对的边,且 4sinB·sin ( 则角 B 的度数 ▲

2

π B + )+cos2B=1+ 3 . 4 2

11.已知 O, N,P 在 ?ABC 所在平面内,且 OA ? OB ? OC , NA ? NB ? NC ? 0 ,且

PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则点 O,N,P 依次是 ?ABC 的
(A)重心 外心 垂心 (B)重心 外心 内心 (C)外心 重心 垂心 (D)外心 重心 内心 (注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角型的垂心) 12.给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为



120o , 如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动.
若 OC ? xOA ? yOB, 其中 x, y ? R ,则 x ? y 的最大值是 13.若 m ⊥ p ,边长 c = 2,角 C = ▲ ▲ ▲ __ ; __ ; __ ;

? ,则Δ ABC 的面积 3
2

14.在 ?ABC ,已知 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC ? 3BC ,则角 A 的大小 1. 5. 9. 13. __ ; 2. __ ; 6. __ ; 10. __ ; 14. __ ; 3. __ ; 7. __ ; 11. __ __ ; 4. __ ; 8. __ ;12.

15.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c , a ? 2 3 , tan

A? B C ? tan ? 4, 2 2

2sin B cos C ? sin A ,求 A, B 及 b, c

5

16 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos

A 2 5 , ? 2 5

AB ? AC ? 3 .

(I)求 ?ABC 的面积;

(II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

17.在△ ABC 中,角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c ,且 1 ? (1)求角 A ; (2)若 m ? (0, ?1), n ? (cos B, 2 cos
2

tan A 2c ? tan B b

C ) ,试求 m ? n 的最小值. 2

6

18 设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b .

7


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