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2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 2.1.4 平面与平面之间的位置关系


2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 2.1.4 平面与平面之间的位置关系

【知识提炼】 1.直线与平面的位置关系 直线在平面外

位置关系

直线在平面内
直线与平面相交 直线与平面平行 0个 a∥α

公共点 符号表示 图形表示

无数个 a?α

1个 a∩α =A

2.两个平面的位置关系

位置关系

平行

相交

图示

表示法 公共点个数

α ∥β

α ∩β =a

0个 __

无数 个 _____

【即时小测】 1.思考下列问题: (1)“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意 义吗? 提示:不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况 ,而 后者仅指直线与平面平行. (2)平面平行有传递性吗? 提示:有.若α ,β ,γ 为三个不重合的平面,则α ∥β ,β ∥γ ?α ∥γ .

(3)分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系? 提示:分别位于两个平行平面内的直线一定无公共点 ,故它们的位置关 系是平行或异面.

2.直线l与平面α 有两个公共点,则 A.l∈α B.l∥α

(

) D.l?α

C.l与α 相交

【解析】选D.根据公理1可知,l?α .

3.若M∈平面α ,M∈平面β ,则不同平面α 与β 的位置关系是 A.平行 B.相交 C.重合 D.不确定

(

)

【解析】选B.由公理可知,平面α 与平面β 相交.

4.如图所示,用符号语言可表示为

(

)

A.α ∩β =l C.l∥β ,l?α

B.α ∥β ,l∈α D.α ∥β ,l?α

【解析】选D.由图知平面α 与平面β 平行,直线l在平面α 内,则 α ∥β ,l?α .

5.已知平面α ∥平面β ,直线a?α ,则直线a与平面β 的位置关系 为 .

【解析】因为α ∥β ,所以α 与β 无公共点, 因为a?α,所以a与β无公共点,所以a∥β. 答案:a∥β

【知识探究】 知识点1 直线与平面之间的位置关系

观察图形,回答下列问题:

问题1:电线杆、电线所在直线与地面各有什么位置关系?如何表示?

问题2:电线在地面的影子所在直线与地面是什么位置关系?

【总结提升】 1.直线与平面的位置关系 直线与平面有三种位置关系:平行、相交和在平面内. 2.直线与平面位置关系的画法 (1)画直线l在平面α 内:如图a所示: 要求:表示直线l的线段只能在表示平面α 的平行四边形内,而不能有 部分在这个平行四边形外.

(2)画直线l与平面α 相交:如图b所示: 要求:表示直线l的线段必须有部分在表示平面α 的平行四边形之外, 这样既能与表示直线在平面内区分开来,又具有较强的立体感. (3)画直线l与平面α 平行:如图c所示: 要求:最直观的画法是用来表示直线l的线段在表示平面α 的平行四边 形之外,且与此平行四边形的一边平行.

知识点2

平面与平面之间的位置关系

观察图形,回答下列问题:

问题1:一楼、二楼的地面所在平面的位置关系是什么?如何表示这种 位置? 问题2:房顶所在平面的位置关系是什么?如何表示这种位置关系?

【总结提升】 1.平面与平面的位置关系 平面与平面有两种位置关系:平行和相交.其中相交包括斜交和垂直相 交两种情况. 2.两个平面位置关系的画法 (1)两平行平面的画法:画两平行的平面时要注意把表示平面的两个平 行四边形画成对应边平行.

(2)两相交平面的画法: ①先画表示两个平面的平行四边形的相交两边,如图(1). ②画表示两平面交线的线段,如图(2). ③过图(2)中线段的端点分别画线段使它平行且等于②中表示交线的 线段,如图(3). ④画图(3)表示平面的平行四边形的边,注意实虚线,如图(4).

【题型探究】 类型一 直线与平面的位置关系 ( )

【典例】1.下列命题中的真命题是

A.若点A∈α ,点B?α ,则直线AB与平面α 相交 B.若a?α ,b?α ,则a与b必异面 C.若点A?α ,点B?α ,则直线AB∥平面α D.若a∥α ,b?α ,则a∥b

2.下列五个命题中正确命题的个数是

(

)

①如果a,b是两条直线,a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平面; ②如果直线a和平面α 满足a∥α ,那么a与平面α 内的任何一条直线平 行; ③如果直线a,b满足a∥α ,b∥α ,那么a∥b; ④如果直线a,b和平面α 满足a∥b,a∥α ,b?α ,那么b∥α ; ⑤如果a与平面α 上的无数条直线平行,那么直线a必平行于平面α . A.0 B.1 C.2 D.3

【解题探究】1.典例1中判断点、线、面的位置关系时可用什么方法? 提示:在判断位置关系时可借助图形加以说明 . 2.典例2中能否借助一个几何图形来解决? 提示:可借助正方体或长方体来解决问题.

【解析】1.选A.对于选项B,如图(1)显然错误;对于选项C,如图(2)显 然错误;对于选项D,如图(3)显然错误.

2.选B.如图所示,①错误,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,AA′∥ BB′,AA′却在过BB′的平面ABB′A′内;②错误,AA′∥平面 BB′C′C,BC?平面BB′C′C,但AA′不平行于BC;③错误,AA′∥平 面BB′C′C,A′D′∥平面BB′C′C,但AA′与A′D′相交;④正 确,A′B′∥C′D′,A′B′∥平面ABCD,C′D′?平面ABCD,则C′D′ ∥平面ABCD;⑤错误,AA′显然与平面ABB′A′中的无数条直线平行, 但AA′?平面ABB′A′.

【方法技巧】直线与平面位置关系的判断 (1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口,这类判断问 题,常用分类讨论的方法解决.另外,借助模型(如正方体、长方体等) 也是解决这类问题的有效方法. (2)要证明直线在平面内,只要证明直线上两点在平面内,要证明直线 与平面相交,只需说明直线与平面只有一个公共点,要证明直线与平面 平行,则必须说明直线与平面没有公共点.

【变式训练】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,指出B1C,BD1与长方体6个面 的位置关系.

【解析】(1)B1C?平面BCC1B1,B1C∥平面ADD1A1,B1C与其余4个面相交. (2)BD1与6个面都相交.

类型二

平面与平面之间的位置关系

【典例】1.如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行, 那么两个平面的位置关系一定是 A.平行 C.平行或相交 ( )

B.相交 D.不能确定

2.完成下列作图. (1)在图中画出一个平面与两个平行平面相交.

(2)在图中画出三个两两相交的平面.

【解题探究】1.典例1中如何判断两个平面的位置关系? 提示:可采用逆向思维分别画两个平行平面和相交平面来判断 . 2.典例2中画平面与平面相交和平行时,要分别注意什么? 提示:画平面与平面相交时要注意被遮挡的线画成虚线 ;画平面与平面 平行时,要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行 .

【解析】1.选C.逆向考虑画两平行平面,看是否能在此两平面内画两 条平行线.同样画两相交平面,看是否能在此两平面内画两条平行线, 再作出选择(如图所示).

2.(1)如图所示,

(2)如图所示,

【延伸探究】 1.(变换条件、改变问法)若典例2改为试画出相交于一条直线的三个 平面. 【解析】如图所示

2.(变换条件、改变问法)若典例2改为试画出相交于一点的三个平面. 【解析】如图所示.

【方法技巧】 1.平面与平面的位置关系的判断方法 (1)平面与平面相交的判断,主要是以公理3为依据找出一个交点. (2)平面与平面平行的判断,主要是说明两个平面没有公共点. 2.常见的平面和平面平行的模型 (1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行. (2)长方体的六个面中,三组相对面平行.

【补偿训练】已知下列命题: ①若两个平面α ∥β ,a?α ,b?β ,则a与b是异面直线; ②若两个平面α ∥β ,a?α ,b?β ,则a与b一定不相交; ③若两个平面α ∥β ,a?α ,b?β ,则a与b平行或异面; ④若两个平面α ∩β =b,a?α ,则a与β 一定相交. 其中正确命题的序号是 上). (将你认为正确的命题的序号都填

【解析】①错,a与b也可能平行;②对,因为α ∥β ,因为α 与β 无公共 点.又因为a?α ,b?β ,所以a与b无公共点;③对,由已知可得:a与b无 公共点,那么a∥b或a与b异面;④错,a与β 也可能平行. 答案:②③

易错案例

柱体、锥体、台体结构特征的判断

【典例】设P是异面直线a,b外的一点,则过P与a,b都平行的平面是

(
A.有且只有一个 B.恰有两个

)

C.没有或只有一个

D.有无数个

【失误案例】

【错解分析】分析解题过程,你知道错在哪里吗? 提示:错误的根本原因是因为对空间概念理解不透彻 ,对P点位置没有 作全面地分析,只考虑了一般情况,而忽略了特殊情形,即点P与直线 a(或b)确定的平面与另一条直线平行时满足条件的平面就不存在了 .

【自我矫正】选C.第一种情况:如图,过P作a1∥a,b1∥b.因为a1∩b1=P, 所以过a1,b1有且只有一个平面.

第二种情况:当直线a(或b)与点P确定的平面恰与直线b(或a)平行时, 与a,b都平行的平面就不存在了. 综上可知选C.

【防范措施】位置关系考虑要全面 在解答直线与平面、平面与平面位置关系的有关问题时,要思考全面, 并结合实例,想象所有可能情况.如本例中易漏掉“点P与直线a(或b) 确定的平面与另一条直线平行”的情况.同时也要重视文字语言、图 形语言和符号语言的相互转化和应用.


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