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指数函数的概念与图像


第三课时
主备人 课题 考纲要求 张岳超 校对

指数函数的概念与图像
年级主任 孙重社 备课组长 课时 张建民
指数函数的概念与图像

使学生了解指数函数模型的实际背景,认识数学与现实生活及其他学科的联系;理 解指数函数的的概念和意义,能画出具体指数函数的图象,掌握指数函数的性质. 掌握指数函数的的性质. 用

数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质.

学习重点 学习难点

预习填空 一、指数函数的概念 1.一般的, 函数

(a ? 0且a ? 1) 叫做指数函数, 其中 x 是自变量, 函数的定义域是 R

的原因 注:指数函数中规定 a ? 0,且a ? 1
x x ( - 2) (1)若 a ? 0 ,则对 x 的某些数值, a 无意义,如 ,当 x ?

1 1 , 等时,无意义 . 2 4

x x (2)若 a ? 0 ,则当 x ? 0 时, a =0;当 x ? 0 时, a 无意义.

x (3)若 a ? 1 ,则对任何 x ? R , a 是一个常数 1,没有研究的必要性.

2.指数函数的特征 (1) a 的系数是 1(2) a 的底数是正常数,且是不等于 1 的正实数 (3) a 的指数仅含 有自变量 x . 3.判断一个函数是否为指数函数的关键有三点: (1)系数; (2)底数; (3)指数. 二、指数函数的图像 指数函数 y ? a ( a ? 0, 且a ? 1 )的图像和性质如下:
x
x x x

a >1

0< a <1

y
图 像 0 1 0 定义域 值域 y

y
0 1

指数函数:
x
0

x x y=a0
0

(a >0且
y=ax
(a>1)

性 质

a>1



y

定点 单调性 函数值 的变化 奇偶性 在 R 上是

过定点 函数

,即 x = 时, y = 在 R 上是 当 x >0 时, 当 x <0 时, 轴对称 函数

当 x >0 时, 当 x <0 时,

1 (a ? 0且a ? 1) 的图像关于 y ? ax 与 y ? ( )x a

指数函数在同一平面直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系如下图所示,则 y 0 ? c ? d ?1? a ? b . x
y?b

y ? ax

o

y ?dx y ? cx

x

在 y 轴右侧,图像从上到下相应的底数由大变小;在 y 左侧,图像从上到下相应的底数 由小变大. 所以无论是在 y 的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大. 小试牛刀 1.指出下列那些是指数函数.不是的请说明理由.

(1)y ? 4 x ( 2) y ? x 4 (3) y ? ?4 x ( 4 ) ? ( ?4 ) x (5) y ? ? x ( 6) y ? 4 x 2 (7 ) y ? x x (8) y ? (2a ? 1) x (a ? 1 , 且a ? 1) 2

考点精讲 一、指数函数概念的考察 例1 若函数 y ? (a ? 3a ? 3)a 是指数函数,则 a ?
2 x

.

二、指数函数的图像

(1,a) , (0,1), ( ?1, ) . (1)画指数函数的图像时,要注意三个关键点:
(2) a ? 1 时, a 值越大,图像向上越靠近 y 轴,递增速度越快; 0 ? a ? 1时,a 值越小,

1 a

图像向上越靠近 y 轴,递减速度越快.
x x (3)指数函数 y ? a 与 y ? ( ) (a ? 0, 且a ? 1) 的图像关于 y 轴对称.

1 a

例 1:比较下列各题中两个值的大小

a 0.5 , a 0.6 (a ? 0, 且a ? 1)
解: a 与a
0.5 0.6

可看做指数函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 的两个函数值.
x

当 0 ? a ? 1 时,函数 y ? a x 在R 上是减函数. 因为 0.5<0.6,所以 a
0.5

? a 0.6 .当 a ? 1 时,函数 y ? a x 在R 上是增函数. ? a 0.6 .

因为 0.5<0.6,所以 a

0.5

0.5 0.6 0.5 0.6 综上所述,当 0 ? a ? 1 时, a ? a ;当 a ? 1 时, a ? a

1 ? 1 练 1:比较 ( ) 2 , ( ) 3 5 5

1

2

练 2:下图中的曲线 C1 , C2 , C3 , C4 是指数函数 y ? a 的图像,而 a ? ?
x

? ? 2 1 ? , , 5 , ? ? ,则 ? ? 3 3 ?
.

曲线 C1 , C2 , C3 , C4 对应的函数的底数依次是 y C3 C2 C1 o C4 x







拓展拔高
x 设 f ( x ) ? 3 ? 1 , c ? b ? a 且 f (c) ? f (a) ? f (b) ,则下列关系式中一定成立的是().

A. 3 ? 3
a

b

B. 3 ? 3
c

b

C. 3 ? 3 ? 2
c a

D. 3 ? 3 ? 2
c a

第三课时 1.下列函数中,指数函数的个数为( ) ① y ? 4 ② y ? x ③ y ? ?4 ④ y ? 2
x 4 x ?x

练案

⑤y ? ( )

1 2

2x

⑥ y ? 2 2 x ?1

A.2

B.3

C.4

D.5

2.函数 f ( x) ? ?3 x 的图像( ) A.与 f ( x) ? 3 x 的图像关于 y 轴对称 B.与 f ( x) ? 3 x 的图像关于坐标原点对称 C.与 f ( x) ? 3- x 的图像关于 y 轴对称 D.与 f ( x) ? 3 x 的图像关于坐标原点对称 3. 已知函数 f(x)=(x-a)(x-b)(其中 a>b)的图象如下图所示,则函数 g(x)=ax+b 的图象是 ( )

4.函数 y=a|x|(a>1)的图象是

(

)

x 5.若 a ? 1,?1 ? b ? 0, 则函数 y ? a ? b 的图像一定在( )

A.一、二、三象限 B.一、三、四象限 C.二、三、四象限 D.一、二、四象限 二、填空 6.. 春天来了,某池塘中的荷花枝繁叶茂,已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的 2 倍,若荷叶 20 天可以完全长满池塘水面,当荷叶刚好覆盖水面面积一半时,荷叶已 生长了________天. 7. 函数 f(x)=ax 的图象经过点(2,4),则 f(-3)的值为____. 8.函数 y ? a
x ?2

? 3(a ? 0, a ? 1) 恒过定点

.


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