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微积分基本定理(理 同步)


同步课程˙微积分基本定理

微积分基本定理
知识回顾
一、 初等函数的导数公式表
y ? f ( x) y ? ? f ?( x) y? ? 0

y ?c
y ? x n (n ? N ? ) y ? x? (? ? 0, ? ? 0, ? ? Q)

y? ? nxn ?1 ,

n 为正整数

y? ? ? x? ?1 , ? 为有理数 y? ? a x ln a

y ? a x (a ? 0, a ? 1)
y ? log a x (a ? 0, a ? 1, x ? 0)
y ? sin x

y? ?

1 x ln a

y ? ? cos x y? ? ? sin x

y ? cos x

ln a ? log e a , 注: 称为 a 的自然对数, 其底为 e , e 是一个和 π 一样重要的无理数 e ? 2.7182818284? .

注意 (e x )? ? e x .

二、

导数的四则运算法则:

⑴函数和(或差)的求导法则: 设 f ( x) , g ( x) 是可导的,则 ( f ( x) ? g ( x))? ? f ?( x) ? g ?( x) , 即,两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数和(或差) . ⑵函数积的求导法则: 设 f ( x) , g ( x) 是可导的,则 [ f ( x) g ( x)]? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) , 即,两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘上第二个函数,加上第一个函数的乘上第二个 函数的导数. 由上述法则即可以得出 [Cf ( x)]? ? Cf ?( x) ,即,常数与函数之积的导数,等于常数乘以函数的导数. ⑶函数的商的求导法则:

? f ( x) ?? g ( x) f ?( x) ? f ( x) g ?( x) 设 f ( x) , g ( x) 是可导的, g ( x) ? 0 ,则 ? . ? ? g 2 ( x) ? g ( x) ?
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? 1 ?? g ?( x) ?? 2 特别是当 f ( x) ? 1 时,有 ? . ? g ( x) ? g ( x) ?

知识讲解
一、函数定积分 设 函 数 y ? f ( x) 定 义 在 区 间 [a ,b ] 上 . 用 分 点
a ? x0 ? x 1? x ? 2 ? ? xn ? ? x 1 n ? b ,把区间 [ a , b ] 分为 n 个小区间,
y

其长度依次为 ?xi ? xi ?1 ? xi , i ? 0, 1, 2, ?, n ?1 . 记 ? 为这些小区间长度的最大值,当 ? 趋近于 0 时,所有的 小区间长度都趋近于 0 .在每个小区间内任取一点 ? i ,作和式
I n ? ? f (?i )?xi .
i ?0 n ?1

y=f (x)

Oa

b

x

当 ? ? 0 时, 如果和式的极限存在, 我们把和式 I n 的极限叫做函数 f ( x) 在区间 [a , b] 上的定 积分,记作 ?a f ( x )dx ,即 ?a f ( x)dx ? lim ? f (?i )?xi .
b
b n ?1 i ?0

? ?0

其中 f ( x) 叫做被积函数, a 叫积分下限, b 叫积分上限. f ( x)dx 叫做被积式.此时称函数
f ( x) 在区间 [ a , b] 上可积.

二、曲边梯形:曲线与平行于 y 轴的直线和 x 轴所围成的图形,通常称为曲边梯形
b ] 上的 根据定积分的定义,曲边梯形的面积 S 等于其曲边所对应的函数 y ? f ( x) 在区间 [ a ,

定积分,即 S ? ?a f ( x)dx . 求曲边梯形面积的四个步骤: 第一步:分割.在区间 ? a , b? 中插入 n ? 1 各分点,将它们等分成 n 个小区间 ? xi ?1 , xi ?
2, ?, n ? ,区间 ? xi ?1 , xi ? 的长度 ?xi ? xi ? xi ?1 , ?i ? 1 ,

b

第二步:近似代替,“以直代曲”,用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,求出每个小曲边 梯形面积的近似值. 第三步:求和. 第四步:取极限.

三、求积分与求导数互为逆运算

?

b

a

F ?( x)dx ? F (b) ? F (a) ,即 F ?( x ) 从 a 到 b 的积分等于 F ( x) 在两端点的取值之差.

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四、微积分基本定理 如果 F ?( x) ? f ( x) , 且 f ( x) 在 [a , b] 上可积, 则 ?a f ( x)dx ? F (b) ? F (a) , 其中 F ( x) 叫做 f ( x) 的 一个原函数. 由于 [ F ( x) ? c]? ? f ( x) , F ( x) ? c 也是 f ( x) 的原函数,其中 c 为常数. 一般地,原函数在 [a , b] 上的改变量 F (b) ? F (a) 简记作 F ( x) b a , 因此,微积分基本定理可以写成形式: ?a f ( x)dx ? F ( x) b a ? F (b) ? F (a ) .
b b

【例1】 根据定义计算积分 ? x dx .
?1

1

【例2】 根据定义计算积分 ?

2

0

4 ? x 2 dx .

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同步课程˙微积分基本定理 【例3】 求定积分 ? ( 1 ? ( x ? 1) 2 ? x)dx .
0 1

【例4】 由 y ? cos x 及 x 轴围成的介于 0 与 2 π 之间的平面图形的面积, 利用定积分应表达为________.

【例5】 图中阴影部分的面积总和可用定积分表示为( A. ? f ( x )dx
a d



B.
c d

?

d

a

f ( x)dx
b c d

C. ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx
a b c

b

D. ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx
a b c

y

a O

b

c

d

x

π 5π 【例6】 求曲线 y ? sin x 以及直线 x ? ? , x ? , y ? 0 所围成的图形的面积 S . 2 4

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【例7】 已知函数 f ( x) ? sin x ,

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⑴试用定积分表示 y ? sin x 与 x 轴围成的介于 x ? ?π 与 x ? π 之间的平面图形的面积; ⑵结合 y ? sin x 的图象猜出 ? f ( x)dx 的值;
?π π

⑶试将上述问题推广到一般的情况.

【 例 8】

已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的 速度曲线分别为 v甲 和 v乙 (如图所示) .那么对于图中给定的 t 0 和 t1 ,下列判断中一定正确的是 ( ) A.在 t1 时刻,甲车在乙车前面 C.在 t 0 时刻,两车的位置相同
v (t)

B. t1 时刻后,甲车在乙车后面 D. t 0 时刻后,乙车在甲车前面

v甲 v乙 O t0 t1 t

【例9】

x3 ??? 1 ? cos x dx ? (
?

) B. ?1 C. 0 D. 2

A. 1

【例10】 函数 y ? f ( x) 的图象与直线 x ? a, x ? b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f ( x) 在 [ a , b] 上的面

? 2 积,已知函数 y ? sin nx 在 [0 , ] 上的面积为 (n ? N* ) , n n
则函数 y ? sin 3x 在 [0 ,

2? ] 上的面积为_____________. 3
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同步课程˙微积分基本定理 【例11】 ? (2 x ? 1)dx ? ______.
0 5

【例12】 ? (2 x ? e x )dx ? ___________.
0

2

2? 1 1 1 ? 【例13】 ? ? ? 2 ? 3 ? dx ? ( 1 x ? ?x x

) B. ln 2 ?

A. ln 2 ?

7 8

7 8

C. ln 2 ?

5 4

D. ln 2 ?

1 8

3π ? ? 【例14】 曲线 y ? cos x ? 0 ≤ x ≤ ? 与坐标轴围成的面积是( 2 ? ?

) D. 2

A. 4

B.

5 2

C. 3

【例15】 ? ( x ? | x |) 2 dx ?
?1

1



【例16】 由曲线 y ?

4 、直线 x ? 1 、 x ? 6 和 x 轴围成的封闭图形的面积为 x2



【例17】 设函数 f ( x) ? ax2 ? c(a ? 0) .若 ? f ( x)dx ? f ( x0 ) , 0 ≤ x0 ≤1 ,则 x0 的值为________.
0

1

π 1 ? ? 2 【例18】 已知 a ? ? ? sin x ? cos x ? dx ,则二项式 ? a x ? ? 展开式中含 x 项的系数是 0 x ? ?

6



【例19】 ? 2 ? sin x ? a cos x ? dx ? 2 ,则实数 a ?
0

π



【例20】 ?

e ?1

2

1 dx ? _______. x ?1

【例21】 已知 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,且 f (?1) ? 2 , f ?(0) ? 0 , ? f ( x)dx ? ?2 ,求 a 、 b 、 c 的值.
0

1

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同步课程˙微积分基本定理
? 【例22】 已知函数 f (a) ? ? sin xdx ,则 f ? f 0 ?
a

? π ?? ? ?? ? ( ? 2 ??

) D. cos1 ? 1

A. 1

B. 1 ? cos1

C. 0

【例23】 试用定积分表示由直线 y ? x , y ? ? x ? 1 ,及 y 轴围成的平面图形的面积,并求积分的值.

【例24】 从 如 图 所 示 的 长 方 形 区 域 内 任 取 一 个 点 M ( x ,y ) , 则 点 M 取 自 阴 影 部 分 的 概 率 为
y 3


y=3x2

O

1

x

【例25】 由曲线 y ? x 2 , y ? x3 围成的封闭图形面积为( A.

) D.

1 12

B.

1 4

C.

1 3

7 12

? K , f ( x) ≤ K 【例26】 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ? ,若对于给定的正数 K ,定义函数 f K ( x) ? ? , ? f ( x) , f ( x) ? K
2 1 则当函数 f ( x) ? , K ? 1 时,定积分 ?1 fk ( x)dx 的值为( x 4

) D. 2ln2 ?1

A. 2ln2 ? 2

B. 2ln2 ?1

C. 2ln2

【例27】 已知自由落体的速度为 v ? gt ,则落体从 t ? 0 到 t ? t0 所走过的路程为(



1 A. gt0 2 3

B. gt0 2

1 C. gt0 2 2

1 D. gt0 2 4

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同步课程˙微积分基本定理 【例28】 给出以下命题: ⑴若 ? f ( x) dx ? 0 ,则 f ( x) ? 0 ;
a b

⑵?

2? 0

sin x dx ? 4 ;
a a ?T T

⑶ f ( x) 的原函数为 F ( x) ,且 F ( x) 是以 T 为周期的函数,则 ? f ( x)dx ? ?
0

f ( x)dx ;

其中正确命题的个数为( A.1 B.2

) C.3 D.0

【例29】 给出下列四个命题: ①已知 a ? ? sin x dx ,点 ( 3, a) 到直线 3x ? y ? 1 ? 0 的距离为 1;
0 π

②若 f ?( x0 ) ? 0 ,则函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 取得极值; ③ m ≥ ?1 ,则函数 y ? log 1 ( x 2 ? 2 x ? m) 的值域为 R ;
2

④在极坐标系中,点 P(2 , 其中真命题是

?
3

) 到直线 ? sin(? ? ) ? 3 的距离是 2 . 6
(把你认为正确的命题序号都填在横线上)

?

【例30】 如图,求曲线 y ? e x , y ? e? x 及直线 x ? 1 所围成的封闭图形的面积 S .
y

S O x

【例31】 如图,求曲线 xy ? 1 及直线 y ? x , y ? 2 所围成的图形的面积 S .

y xy=1
2 1

B A
1

C

O

2

x

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同步课程˙微积分基本定理 【例32】 求曲线 y 2 ? 2 x 以及直线 y ? x ? 4 所围成的图形的面积 S .

【例33】 已知 f ( x) 为一次函数,且 f ( x) ? 2 x ? 2? f (t )dt ,则 f ( x) =_______.
0

1

【例34】 设 y ? f ( x) 是二次函数,方程 f ( x) ? 0 有两个相等的实根,且 f ?( x) ? 2 x ? 2 . ⑴求 y ? f ( x) 的表达式; ⑵求 y ? f ( x) 的图象与两坐标轴所围成图形的面积. ⑶若直线 x ? ?t (0 ? t ? 1) 把 y ? f ( x) 的图象与两坐标轴所围形的面积二等分,求 t 的值.

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同步课程˙微积分基本定理 【例35】 抛物线 y ? ax2 ? bx 在第一象限内与直线 x ? y ? 4 相切.此抛物线与 x 轴所围成的图形的面积 记为 S .求使 S 达到最大值的 a 、 b 值,并求 S max .

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随堂练习
【练1】 (2012 丰台区高三期末理) 曲线 y=3-3x 与 x 轴所围成的封闭图形的面积为
2



【练2】 (2011 海淀区高三期中练习理) 点 A 是函数 f ( x) = sin x 的图象与 x 轴的一个交点(如

图 所 示 ) , 若 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 等 于 矩 形 OABC 的 面 积 , 那 么 边 AB 的 长 等 于 。
y C B A x

O

课后作业

【题1】 下列等于 1 的积分是(

) B. ? ( x ? 1)dx
0 1

A. ? xdx
0

1

C. ? 1dx
0

1

D. ?

1

0

1 dx 2

【题2】

? (e
0

1

x

? e ? x )dx ?



) B. 2 e C.

A. e ?

1 e

2 e

D. e ?

1 e

【题3】 计算下列定积分的值:⑴

?

3

?1

(4 x ? x 2 )dx

;⑵

?

2

1

( x ? 1)5 dx

;⑶

?

π 2 0

( x ? sin x)dx



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【题4】 试用定积分表示由直线 y ? x , y ? ? x ? 1 ,及 x 轴围成的平面图形的面积,并求积分的值.

【题5】 已知 f ( x) 为一次函数,且

f ( x) ? x ? 2? f (t )dt
0

1

,则 f ( x) =_______.

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