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《复杂网络理论及其应用》读书笔记


《复杂网络理论及其应用》读书笔记
1 引言 二十世纪,科学研究的特点是分析的方法,还原论的方法:物 理学(牛顿力学、量子力学、电子论、半导体) ,化学(量子分子论) , 生物(双螺旋结构) ;建筑工程(应力应变分析) ,??。 二十一世纪(二十世纪末) ,系统成为主要的研究对象,整合成 为主要方法。普列高津的耗散结构理论,哈肯的协同学,混沌和复杂 系统理论,系统生物学 ? ?。 当分析为主要的研究方法时,人类关注如何将系统“分析” 、 “分 解” ,揭开系统的细部,了解是什么元素或部件组成了系统,却忽视 或破坏了这些元素是如何组合成系统的。 而整合的方法在于了解细部 以后, 研究 “如何组合” 的问题。 这种方法导致复杂网络结构的研究。 美国《Science》周刊: “如果对当前流行的、时髦的关键词进行一番 分析,那么人们会发现, “系统”高居在排行榜上。 ” 2 复杂网络的统计特征 如前所述, 复杂网络具有很多与规则网络和随机网络不同的统计 特征,其中最重要的是小世界效应(small -world effect)和无标度特 性(scale -free property) 。 在网络中, 两点间的距离被定义为连接两点的最短路所包含的边 的数目,把所有节点对的距离求平均,就得到了网络的平均距离 (average distance ) 。另外一个叫做簇系数(clustering coefficient) 的参数,专门用来衡量网络节点聚类的情况。比如在朋友关系网中,

你朋友的朋友很可能也是你的朋友; 你的两个朋友很可能彼此也是朋 友。簇系数就是用来度量网络的这种性质的。用数学化的语言来说, 对于某个节点, 它的簇系数被定义为它所有相邻节点之间连的数目占 可能的最大连边数目的比例,网络的簇系数 C 则是所有节点簇系数 的平均值。研究表明,规则网络具有大的簇系数和大的平均距离,随 机网络具有小的簇系数和小的平均距离。1998 年,Watts 和 Strogatz 通过以某个很小的概率 p 切断规则网络中原始的边,并随机选择新 的端点重新连接, 构造出了一种介于规则网络和随机网络之间的网络 (WS 网络) ,它同时具有大的簇系数和小的平均距离,因此既不能 当作规则网络处理,也不能被看作是随机网络。随后,Newman 和 Watts 给出了一种新的网络的构造方法,在他们的网络(NW 网络) 中,原有的连边并不会被破坏,平均距离的缩短源于以一个很小的概 率在原来的规则网络上添加新的连边。 后来物理学家把大的簇系数和 小的平均距离两个统计特征合在一起称为小世界效应, 具有这种效应 的网络就是小世界网络(small-world networks) 。

图 1 :小世界网络拓扑结构示意图左边的网络是规则的,右边的网 络是随机的, 中间的网络是在规则网络上加上一点随机的因素而形成 的小世界网络,它同时具有大的簇系数和小的平均距离。

大量的实证研究表明,真实网络几乎都具有小世界效应,同时科 学家还发现大量真实网络的节点度服从幂率分布, 这里某节点的度是 指该节点拥有相邻节点的数目,或者说与该节点关联的边的数目。节 点度服从幂律分布就是说具有某个特定度的节点数目与这个特定的 度之间的关系可以用一个幂函数近似地表示。 幂函数曲线是一条下降 相对缓慢的曲线,这使得度很大的节点可以在网络中存在。对于随机 网络和规则网络,度分布区间非常狭窄,几乎找不到偏离节点度均值 较大的点,故其平均度可以被看作其节点度的一个特征标度。在这个 意义上,我们把节点度服从幂律分布的网络叫做无标度网络( scale -free networks ) ,并称这种节点度的幂律分布为网络的无标度特性。 1999 年,Barabási 和 Albert 给出了构造无标度网络的演化模型,他们 所用的方法与 Price 的方法是类似的。Barabási 和 Albert 把真实系 统通过自组织生成无标度的网络归功于两个主要因素: 生长和优先连 接,而他们的网络模型(BA 网络)正是模拟这两个关键机制设计的。 除了小世界效应和无标度特性外, 真实网络还有很多统计上的特 征,例如混合模式,度相关特性,超小世界性质等等。 3 复杂系统与复杂网络 3.1 复杂系统与复杂网络的概念 系统定义:集合(具体元素)+ 结构+功能。例:不同角度分析 系统,人。 系统的结构是: 一切系统的基础结构都是网络; 一切系统的核 心结构都是逻辑网络; 复杂系统的结构就是复杂网络。

复杂网络是构成复杂系统的基本结构, 每个复杂系统都可以看作 是单元或个体之间的相互作用网络; 复杂网络在刻画复杂性方面的重 要性是由于结构决定功能的。 复杂网络是研究复杂系统的一种角度和 方法,它关注系统中因子相互关联作用的拓扑结构,是理解复杂系统 性质和功能的基础。 3.2 复杂系统与复杂网络的主要特性: a 开放性。即与环境和其它系统进行相互作用,交换物质、能量、 信息,保持和发展系统内部的有序性与结构稳定性。在这种交换中, 系统经历着从低级向高级、从简单到复杂、从无序向有序的不断优化 的动态发展过程。虽然开放性是所有真实系统的基本属性,但这里的 开放非指一般意义上的相互作用与交流,而开放的度量、性质、强度 对复杂系统的性态、 演化具有决定性的意义。 例子, 人, 城市网络簇。 b 涌现性。即内部元素通过非线性相互作用,在宏观层次上产生 出新的、元素不具有的整体属性,表现为整体斑图、模式等。虽然涌 现同样是所有系统都具有的,但这里涌现意味着新的整体属性的产 生。例子, “整体大于部分之和”, 大脑的神经网络系统。 c 演化性(不可逆性) 。即通过与所在环境中的其它系统的相互 作用和内部的自组织,使系统发展到新的阶段,表现出阶段性、临界 性,完成系统演化的生命周期。例 :社会网络中的人,生物群体的自 组织系统(鸟群) 。 d 复杂性。包括系统的结构、行为、功能等多个方面同时具有的 复杂性。 结构复杂性表现为多元性, 非对称性, 非均匀性, 非线性 (分

岔 (Bifurcation) , 混沌(Chaos), 分形 Fractal) ;行为复杂性表现为学 习,自适应性,混沌同步,混沌边沿,随机性等等;认识复杂性又称 为主观复杂性,它表现为不确定性,描述复杂性与计算复杂性等等。 例:神经网络中的突触有强有弱,可抑制也可兴奋。 e 网络结构。 即系统内部和系统之间的相互作用可以看成由节点、 边(连接)构成的体系,出现网络复杂性、小世界特征与无标度特征 等。 3.3 网络系统的复杂性 a 结构复杂性 网络连接结构错综复杂、极其混乱,同时又蕴含着丰富的结构: 社区、基序、聚集性、生成规律性等等,而且网络连接结构可能是随 时间变化的,例如,WWW 上每天都不停地有页面和链接的产生和删 除。 静态结构的复杂性和结构动态演化的复杂性。 例:神经系统由 神经元互连形成,连接以“突触连接结构”实现,突触有强弱、兴奋与 抑制、不同的神经递质;连接不断改变,形成连接结构变化。 (重边, 加权等) 。 b 节点复杂性 1】节点的独立或固有特性 网络中的节点可能是具有分岔和混沌等复杂非线 性行为的动力 系统。 例如, 基因网络中每个节点都具有复杂的时间演化行为。 而且, 一个网络中可能存在多种不同类型的节点。例如,控制哺乳动物中细 胞分裂的生化网络就包含各种各样的基质和酶。

2】关联引发的节点特性 当关联失去时这类特性会在节点处消失或改变。例如,耦合神经 元重复地被同时激活,那么它们之间的连接就会加强,这被认为是记 忆和学习的基础。 3】复杂网络之间相互影响的复杂性 实际的复杂网络会受到各种各样因素的影响和作用。例如,电力 网络故障会导致 Internet 网速变慢,运输系统失控等一系列不同网络 间的连锁反应。 4】网络分层结构的复杂性 例如,行政管理网络是具有层结构的,多数网络都有节点的分层 结构,只是在许多网络中没有意识到是一种造成复杂性的重要结构。 复杂网络是二十一世纪科学研究的思想和理念, 它启发我们用什 么观点理解这个世界: 整个世界以及组成世界的任何细部都是由网络 及其变化形成的。复杂网络也是研究复杂系统的一种技术和方法,它 关注系统中个体相互作用的拓扑结构, 是理解复杂系统性质和功能的 基本方法。 4 复杂网络上的物理过程 对于物理学家而言, 研究复杂网络的终极目标是理解网络拓扑结 构对物理过程的影响。在以前的研究中,物理学家往往忽略了网络的 拓扑性质,在讨论逾渗、传播、同步等物理过程时,他们自然地选择 了最容易模拟和分析的规则网络或者随机网络, 而没有仔细思考和研 究这种选择是不是应该的, 不同的选择会不会对物理过程产生不可忽

略的影响。以网络上的传播动力学模型为例,由于传统的网络传播模 型大都是基于规则网络的,因此,复杂网络不同统计特征的发现使科 学家面临更改既有结论的危险。当然,如果理论研究和实验结果都说 明复杂网络上的传播动力学行为与规则网络别无二致, 那么我们至少 暂时还可以心安理得地使用以前的结论。但是,不幸的是,复杂网络 上的传播行为与规则网络相比确实存在根本上的不同。 类似的情况还 出现在其他的物理过程中, 下面我们将简略地介绍网络拓扑性质对某 些典型物理过程的影响。 逾渗模型与疾病传播动力学。 之所以在这里把逾渗模型和网络上 的疾病传播动力学问题归在一起讨论, 是因为网络上的疾病传播模型 可以等价于键逾渗模型。以前的基于规则网络的研究表明,疾病在网 络中的平均波及范围与疾病的传染强度正相关, 而疾病的传染强度有 一个阈值, 只有当其值大于这个阈值时, 疾病才能在网络中长期存在, 否则感染人数会指数衰减。根据这个理论,疾病若是持久存在,则必 然波及大量个体。但实证研究表明,计算机病毒,麻疹等一般仅波及 少数个体但能够长期存在。 这一理论与实证的矛盾在很长时间里一直 困扰着科学界。近年来的研究表明在无标度网络中没有正的传播阈 值,也就是说即使疾病的传染强度接近零,只波及非常少的个体,也 能在网络中长期存在。由于大部分真实网络是无标度网络,因此该结 论很好地解决了上面的矛盾。混沌同步。近十余年来,混沌动力系统 在网络上的同步性能吸引了大量科学家的关注。 早期的研究主要是针 对以最近邻环网为代表的规则网络, 研究表明对于给定的非零耦合强

度,当节点数目很大时网络无法实现同步。最近几年的研究却表明, 尽管小世界网络只是在规则网络进行一个非常小的修正的结果, 但其 实现混沌同步的能力却远远好于规则网络。 对于小世界上的广义混沌 同步与超混沌同步的研究同样表明, 小世界网络有明显好于规则网络 的同步能力。物理学家还考察了无标度网络,研究表明其混沌同步的 能力与星形网络几乎是一样的, 这可能是因为它与星形网络都具有很 不均匀的节点度分布。 沙堆模型与自组织临界性。 网络拓扑结构是否会影响沙堆模型中 的自组织临界现象, 一直以来就是该领域争论的焦点。Zhou 和 Wang 对复杂网络上沙堆模型的研究表明, 沙堆模型中的雪崩动力学性质对 网络拓扑结构非常敏感,相比规则网络,无标度网络上大雪崩发生更 为频繁,最大雪崩的规模也大得多。物理性质明显依赖于网络拓扑结 构的物理过程还很多,例如随机游走,玻色-爱因斯坦凝聚[49-51] , XY 临界模型等等。总的来说,物理学家已经开始学会把网络拓扑性 质看作影响系统行为的一个特征量, 这也很大程度上改变了我们对很 多物理过程原有的认识。 5 复杂网络研究简史 a 格尼斯堡七桥问题。 b 随机图理论。20 世纪 60 年代,由两位匈牙利数学家 Erdǒs 和 Rényi 建立的随机图理论 (random graph theory) 被公认为是在数学上 开创了复杂网络理论的系统性研究。Erdǒs 和 Rényi 的最重要的发现 是:ER 随机图的许多重要性质都是突然涌现的。也就是说,对于任

一给定的概率 p,要么几乎每一个图都具有某个性质 Q(比如说,连 通性) ,要么几乎每一个图都不具有该性质。在 20 世纪的后 40 年中, 随机图理论一直是研究复杂网络的基本理论。 c 小世界实验。20 世纪 60 年代美国哈佛大学的社会心理学家 Stanley Milgram 通过一些社会调查后给出的推断是:地球上任意两个 人之间的平均距离是 6。这就是著名的“六度分离”(six degrees of separation) 推断。 为了检验“六度分离”的正确性, 小世界实验—Bacon 数。美国 Virginia 大学计算机系的科学家建立了一个电影演员的数据 库,放在网上供人们随意查询。网站的数据库里目前总共存有近 60 万个世界各地的演员的信息以及近 30 万部电影信息。通过简单地输 入演员名字就可以知道这个演员的 Bacon 数。 有两篇开创性的文章可以看作是复杂网络研究新纪元开始的标 志: 一篇是美国康奈尔( Cornell)大学理论和应用力学系的博士生 Watts 及其导师、非线性动力学专家 Strogatz 教授于 1998 年 6 月在 Nature 杂志上发表的题为《“小世界”网络的集体动力学》 (Collective Dynamics of ‘Small-World’ Networks)的文章;另一篇是美国 Notre Dame 大学物理系的 Barabāsi 教授及其博士生 Albert 于 1999 年 10 月 在 Science 杂志上发表的题为 《随机网络中标度的涌现》 (Emergence of Scaling in Random Networks)的文章。这两篇文章分别揭示了复杂网 络的小世界特征和无标度性质, 并建立了相应的模型以阐述这些特性 的产生机理。

不同领域的复杂网络: 社会网:演员合作网,友谊网,姻亲关系网,科研合作网,Email 网;生物网:食物链网,神经网,新陈代谢网,蛋白质网,基因网络; 信息网络:WWW,专利使用,论文引用,计算机共享;技术网络: 电力网,Internet,电话线路网;交通运输网:航线网,铁路网,公 路网,自然河流网。 6 复杂网络研究内容 6.1 1)复杂网络模型 典型的复杂网络:随机网、小世界网、无标度网等;实际网络及 其分类。 2)网络的统计量及与网络结构的相关性 度分布的定义和意义, 聚集性、 连通性的统计量及其实际 意义等。 3)复杂网络性质与结构的关系 同步性、鲁棒性和稳定性与网络结构的关系。 4)复杂网络的动力学 信息传播动力学、网络演化动力学、网络混沌动力学。 5)复杂网络的复杂结构 社团结构、层次结构、节点分类结构等。 6)网络控制 关键节点控制、主参数控制和控制的稳定性和有效性。 7)复杂网络建模

机理建模、数据建模和实际系统的复杂网络正向与逆向建模。 8)复杂逻辑网络 逻辑与高阶逻辑定义、分类、判定算法,高阶逻辑的实际意义等 等。F1: A→B; F2:(A, B) →C; 6.2 复杂网络研究 a 突破性进展的主要原因 ① 越来越强大的计算设备和迅猛发展的 Internet, 使得人们开始能够 收集和处理规模巨大且种类不同的实际网络数据。 ② 学科之间的相互交叉使得研究人员可以广泛比较各种不同类型的 网络数据,从而揭示复杂网络的共性。 ③ 以还原理论和整体论相结合为重要特色的复杂性科学的兴起,也 促使人们开始从整体上研究网络的结构与性能之间的关系。 b 研究的主要目标 发现:揭示刻画网络系统结构的统计性质,以及度量这些性质的 合适方法。 建模: 建立合适的网络模型以及理解网络的统计性质的意义与产 生机理。 分析: 基于单个节点的特性和整个网络的结构性质分析与预测网 络的行为。 控制:提出改善已有网络性能和设计新的网络的有效方法,特别 是稳定性、同步和数据流通等方面。 c 复杂网络的基本概念 F3:(A, B, C) →D A, B, C, D 取布尔值。

度(degree):节点 i 的度 ki 定义为与该节点连接的其他节点的 数目。直观上看,一个节点的度越大就意味着这个节点在某种意义上 越“重要” ( “能力大” ) 。 网络的平均度:网络中所有节点的度和的平均值,记作<k>。事 实上,<k>=2q/p 。 度分布函数 p(k):随机选定节点的度恰好为 k 的概率。 节点的聚类系数 (簇系数) : 在简单图中, 设节点 v 的邻集为 N(v), |N(v)|=ki,则节点 v 的聚类系数定义为这 ki 个节点之间存在边数 Ei 与总的可能边数 ki(ki-1)/2 之比,即:Ci=2Ei/ki(ki-1) ,节点 v 的邻点间 关系的密切程度。网络的聚类系数 C:所有节点 i 的聚类系数 Ci 的平 均值。 (0?C?1)C=0?网络中所有节点都是孤立点;C=1?网络中任 意节点间都有边相连,网络节点间联系的密切程度, 体现网络的凝聚 力。 许多大规模的实际网络都具有明显的聚类效应。事实上,在很多 类型的网络(如社会关系网络)中,你的朋友同时也是朋友的概率会随 着网络规模的增加而趋向于某个非零常数,即当 N→∞时,C=O(1)。 这意味着这些实际的复杂网络并不是完全随机的, 而是在某种程度上 具有类似于社会关系网络中“物以类聚,人以群分”的特性。 最短路径(Shortest path):两个节点之间边数最少的路径,最短 路径的长度称为两点。所有节点对之间的距离的平均值。研究发现: 尽管许多实际复杂网络的节点数巨大, 网络的平均路径长度却小的惊 人。 (小世界效应)

点介数:网络中通过该节点的最短路径的条数。 边介数:网络中通过该边的最短路径的条数。反映了节点或边的 作用和影响力。如果一对节点间共有 B 条不同的最短路径,其中有 b 条经过节点 i,那么节点 i 对这对节点的介数的贡献为 b/B。把节点 i 对所有节点对的贡献累加起来再除以节点对总数,就可得到节点 i 的 介数。类似的,边的介数定义为所有节点对的最短路径中经过该边的 数量比例(关键点边!连通性影响?) 。 介数越大,说明经过该节点(边)的最短路径越多。在信息传播 过程中, 通过该节点 (边) 的信息量就越大, 于是就越容易发生拥塞。 研究表明, 节点介数与度之间有很强的相关性, 不同类型的网络, 其介数分布也大不一样。 网络点介数,网络边介数: 所有节点(边)的平均介数。核数 一个图的 k-核:反复去掉图中度小于等于 k 的节点后,所剩余的子 图若一个节点存在于 k-核, 而在(k+1)-核中被去掉, 则此节点核数为 k, 例:所有度为 1 的节点的核数必为 0,节点核数中的最大值称为网络 图的核数,节点核数可以表明节点在核中的深度;即便一个节点的度 数很高,它的核数也可能很小。例如:包含 N 个节点的星型网络的中 心节点的度数为 N-1,但它的核数为 0。 7 小世界实验 a 六度分离 米尔格伦的实验过程是: 他计划通过人传人的送信方式来统计人 与人之间的联系。

首先把信交给志愿者 A,告诉他信最终要送给收信人 S。如果他 不认识 S,那么就送信到某个他认识的人 B 手里,理由是 A 认为在他 的交集圈里 B 是最可能认识 S 的。但是如果 B 也不认识 S,那么 B 同 样把信送到他的一个朋友 C 手中,……,就这样一步步最后信终于到 达 S 那里。这样就从 A 到 B 到 C 到……最后到 S 连成了一个链。斯坦 利?米尔格伦就是通过对这个链做了统计后做出了六度分离的结论。 然而在这个实验中,实际上只有三分之一的信送到了收信人那 里,因此实验的完成率很低。 我们或许有过这样的经历:偶尔碰到一个陌生人,同他聊了一会 后发现你认识的某个人居然他也认识, 然后一起发出” 这个世界真小” 的感叹。那么对于世界上任意两个人来说,借助第三者、第四者这样 的间接关系来建立起他们两人的联系平均来说最少要通过多少人 呢? 美国社会心理学家斯坦利?米尔格伦(Stanley Milgram)在 1967 年 通过一些实验后得出结论:中间的联系人平均只需要 5 个。他把这个 结论称为“六度分离” 。 六度分离: 平均只要通过 5 个人,你就能与世界任何一个角落的 任何一个人发生联系。这个结论定量地说明了我们世界的”大小” , 或者说人与人关系的紧密程度。 30 多年来, 六度分离理论一直被作为社会心理学的经典范例之一。 尽管如此,实际上这个理论并没有得到严格的证实。美国心理学教授 朱迪斯?克兰菲尔德(Judith Kleinfeld)对米尔格伦最初的实验提出不同

意见,因为她发现实验的完成率极低。 b Bacon 数 截止到几天前,世界电影史上共产生了大约 23 万部电影,78 多 万名电影演员,Kavin Bacon 在许多部电影中饰演小角色。 几年前,Virginia 大学的计算机专家 Brett Tjaden 设计了一个游戏, 他声称电影演员 Kevin Bacon 是电影界的中心。 在游戏里定义了一个所谓的 Bacon 数:随便想一个演员,如果他 (她) 和 Kavin Bacon 一起演过电影, 那么他 (她) 的 Bacon 数就为 1; 如果他(她)没有和 Bacon 演过电影,但是和 Bacon 数为 1 的演员一 起演过电影,那么他的 Bacon 数就为 2;依此类推。发现:在曾经参 演的美国电影演员中,没有一个人的 Bacon 数超过 4。 在网上有一个网页 http://www.cs.virginia.edu/oracle/。网站的数 据库里总共存有有 783940 个世界各地的演员的信息以及 231,088 部 电影信息。 通过简单地输入演员名字就可以知道这个演员的 bacon 数。 目前 比如输入 Stephen Chow(周星驰)就可以得到这样的结果:周星驰在 1991 年的《豪门夜宴 (Haomen yeyan) 》 中与洪金宝 (Sammo Hung Kam-Bo)合作; 而洪金宝又在李小龙的最后一部电影, 即 1978 年的 《死 亡的游戏 (Game of Death) 》 中与 Colleen Camp 合作; Colleen Camp 在去年的电影 《Trapped》中与 Kevin Bacon 合作。 这样周星驰的 Bacon 数为 3。 对 78 万个演员所做的统计:演员的最大 Bacon 数仅仅为 8,平

均 Bacon 数仅为 2.948。 c Erdos 数 Paul Erdos((1913-1996):是出生于匈牙利的犹太籍数学家,被公 认为 20 世纪最伟大的天才之一。 Erdos 毕生发表的论文超过 1500 篇(在数学史上仅次于欧拉 (Euler ,1707-1783)),超长的合作者名单,合作者超过 450 位。但若加 上别人所做但曾获他关键性提示之论文,则他的论文应有数万篇。 他的研究领域主要是数论和组合数学, 但他的论文中涵盖的学科 有逼近论、初等几何、集合论、概率论、数理逻辑、格与序代数结构、 线性代数、群论、拓扑群、多项式、测度论、单复变函数、差分方程 与函数方程、数列、Fourier 分析、泛函分析、一般拓扑和代数拓扑、 统计、数值分析、计算机科学、信息论等等。 "Mathematical Reviews" 曾把数学划分为大约六十个分支,Erdos 的论文涉及到了其中的 40%. Erdos 从来没有一个固定的职位,从来不定居在一个地方,也没 有结婚,带着一半空的手提箱,穿梭于学术研讨会,浪迹天涯,颇富 传奇色彩。有人称他为流浪学者(wande ring scholar)。 他效忠的是科学的皇后, 而非一特定的地方。各地都有热心的 数学家提供他舒适的食宿,安排他的一切,他则对招待他的主人,给 出一些挑战性的数学难题,或给予研究上的指导做为回馈。 他可以和许多不同领域的数学家合作。 数学家常将本身长久解决 不了的问题和他讨论,于是很快地一篇论文便诞生了。

数学家以下述方式来定义 Erdos 数(Erdos number) : Erdos 本人之 Erdos 数为 0,任何人若曾与 Erdos 合写过论文,则其 Erdos 数为 1。 任何人若曾与一位 Erdos 数为 l(且不曾与有更少的 Erdos 数) 的人合写 过论文, 则他的 Erdos 数为 2… 几乎每一个当代数学家都有一个有限的 Erdos 数,而且这个数往 往非常小, 小得出乎本人的预料。 比如说证明 Fermat 大定理的 Andrew Wiles,他的研究方向与 Erdos 相去甚远,但他的 Erdos 数只有 3,是 通 过 这 个 途 径 实 现 的 : Erdos--Andrew M.Skinner--Andrew Wiles。 Fields 奖得主的 Erdos 数都不超过 5, (只有 Cohen 和 Grothendieck 的 Erdos 数是 5) ,Nevanlinna 奖得主的 Erdos 数不超过 3, (只有 Valiant 的 Erdos 数是 3) , Wolf 数学奖得主的 Erdos 数不超过 6, (只有 V.I.Arnold 是 6,且只有 Kolmogorov 是 5) ,Steele 奖的终身成就奖得主的 Erdos 数不超过 4。 在具有有限 Erdos 数的人名单中往往还能发现一些其他领域的专 家,如: 比尔盖兹(Bill Gates),他的 Erdos 数是 4,通过如下途径实现: Erdos--Pavol Hell--Xiao Tie Deng--Christos H. Papadimitriou--William H.(Bill) Gates.。爱因斯坦的 Erdos 数是 2。 8 复杂网络理论的应用研究 目前国内关于复杂网络的应用研究主要涉及信息网络、社会、经 济管理等领域。在论述已有工作的基础上,构建了一个 Internet 的复 杂网络模型,对病毒的传播行为进行了仿真研究,结果表明,构建的 Odlyzko--Chris

网络模型真实地反映了 Internet 的特性,通过对某些参数的调整,病 毒传播可以得到有效控制。 通信网络可以看成是由成千上万个路由器节点以及节点之间的 数百万条通信线路组成的边所构成的复杂网络。 实际通信网络经常承 受超负荷的流量,导致拥塞的产生。陈振毅等利用 BA 无标度网络模 型来模拟通信网络中的数据传输过程, 用节点的容量指标反映实际路 由器的缓冲区大小, 用节点的处理速度指标来反映路由器处理数据包 的能力;同时为了反映现实通信网络中路由器的重要程度不同,用无 标度网络中的度指标把节点分为两类, 用度较大的中心节点模拟现实 网络中重要的路由器,而用其它普通节点模拟一般的路由器。研究结 果表明,中心节点的容量和处理速度是导致网络发生拥塞的主要因 素,因此可以通过改变这些指标来缓解网络的拥塞。而为了达到给定 的控制效果, 只需要对中心节点中的几个关键节点进行改善就可以得 到满意的效果。 在信息化时代,企业形态和企业之间的相互关系发生巨大变化, 动态企业联盟应运而生。动态企业联盟是基于利益优先的原则,在最 大化利益的前提下与一切可能的合作企业结成联盟, 因此联盟网络结 构既有一定的规律可循,又存在随机性,无法用规则网络或随机网络 来表示,而小世界网络模型能恰当地反映联盟结构特征。江可申等通 过构建基于小世界网络的企业动态联盟模型, 研究如何在提高网络全 局功能的条件下实现企业自身利益最大化。 在一个充满动态而不确定性的环境中, 组织以立体连接的方式来

处理各种交换关系并协同完成各类组织任务, 使组织逐渐呈现出复杂 的网络形态, 并表现出与社会现实中普遍的复杂网络所共同具有的行 为模式及其特征。 马骏等将复杂网络的相关理论应用于组织网络的研 究中来,分别从组织网络的表示方法与分析手段之间有效结合、局部 互动关系与组织网络的有效性、 以及局部与全局演化的动力学特征三 个方面, 给出了应用复杂网络理论解决组织网络中的相关问题的一些 方向。 新产品开发团队是一个组织创新活动的核心。 邓丹通过将团队成 员表示为网络节点, 团队成员之间的交流连线表示将新产品开发团队 抽象成网络, 并用小世界的平均路径长度和聚集系统来表征交流网络 的交流频率和交流集中度这两个特征参数, 对新产品开发团队交流网 络进行了分析。 在实证研究方面,周辉通过对我国广东地区关于 SARS 的流言传 播的研究表明,现实社会中流言传播具有小世界网络的典型特性,利 用复杂网络的相关理论可以更合理地解释流言传播实际过程中各类 流言爆发、迅速传播的潜在原因。陈洁、许田等通过分析搜集到的中 国电力网的有关数据,表明中国电力网具有小世界效应和无标度特 性。 刘杰等对某个时间段内发表于我国物理学科具代表性的两份权威 刊物上的有关混沌科学理论方面的论文作者相互合作研究所形成的 复杂网络进行了研究, 结果发现, 该网络具有比较明显的无标度特性。 何阅等通过对 1536 道中药方剂和 681 种药材的统计,对中药方剂网 络的包括平均路径长度、聚集系统、度分布等在内的统计性质进行了

研究。 由此看来,随着复杂网络理论研究的进一步深入,其应用研究也 在国内蓬勃开展起来。


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