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第二章 平面向量练习二


第二章

平面向量

练习二 一、选择题 1、已知△ABC 的三个顶点 A、B、C 及所在平面内一点 P 满足 PA + PB + PC = AB ,则点 P 与△ABC 的关系为是 A、P 在△ABC 内部 C、P 在 AB 边所在直线上 B、 P 在△ABC 外部 D、 P 在△ABC 的 AC 边的一个三等分点上 ( )

2、已知向量 OP = (1,1), OP1 = (4,?4) ,且 P2 点分有向线段 PP1 所成的比为-2,则 OP2 的 坐标是
5 3 A、( ? , ) 2 2 5 3 B、( ,? ) 2 2

( C、 (7,-9) D、 (9,-7)



r r r r 3 、 设 i , j 分 别 是 x 轴 , y 轴 正 方 向 上 的 单 位 向 量 , OP = 3 cos θi + 3 sin θj ,
r π θ ∈ (0, ), OQ = ?i 。若用?来表示 OP 与 OQ 的夹角,则?等于

2





A、 θ

B、

π
2



C、

π
2



D、 π ? θ

4 、 若 向 量 a=(cos?,sin?) , b=(cos?,sin?) , 则 a 与 b 一 定 满 足 ( ) A、a 与 b 的夹角等于?-? C、a∥b B、(a+b)⊥(a-b) D、a⊥b

5、设平面上有四个互异的点 A、B、C、D,已知( DB + DC ? 2 DA) ? ( AB ? AC ) = 0, 则△ABC 的形状是 A、直角三角形 ( B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形 )

6、设非零向量 a 与 b 的方向相反,那么下面给出的命题中,正确的个数是 ( ) (2)a-b 的方向与 a 的方向一致

(1)a+b=0 0

(3)a+b 的方向与 a 的方向一致 则|a|<|b| A、1个 B、2个 C、3个

(4) a+b 的方向与 b 一致, 若

D、4个

7、已知|p|= 2 2 ,|q|=3,p、q 的夹角为 45°,则以 a=5p+2q,b=p-3q 为邻边的平行 四边形过 a、b 起点的对角线长为 A、14 B、 15 C、15 D、16 ( )

8、下列命题中: ① a ∥ b ? 存在唯一的实数 λ ∈ R ,使得 b = λ a ; ② e 为单位向量,且 a ∥ e ,则 a =±| a |· e ;③ | a ? a ? a |=| a |3 ; ④ a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线;⑤若 a ? b = b ? c且b ≠ 0, 则a = c 其中正确命题的序号是 A、①⑤ B、②③④ C、②③ D、①④⑤ ( )

9、在△ABC 中,已知 | AB |= 4, | AC |= 1, S ?ABC = 3 , 则 AB ? AC 的值为 A、-2 B、2 C、±4 D、±2





10、已知,A(2,3) ,B(-4,5) ,则与 AB 共线的单位向量是 A、 e = (?
3 10 10 , ) 10 10





B、 e = (?

3 10 10 3 10 10 , )或( ,? ) 10 10 10 10

C、 e = (?6,2)

D、 e = (?6,2)或(6,2)

11、设点 P 分有向线段 P1 P2 所成的比为 A、 ?
3 7

B、 ?

7 4

3 ,则点 P1 分 P2 P 所成的比为 4 7 4 C、 ? D、 ? 3 7





12、已知 a = (1,2), b = (?3,2), k a + b与a ? 3b 垂直时 k 值为





A、17

B、18

C、19

D、20

二、填空题 13、已知向量 a, b 的夹角为

π
3

, | a |= 2, | b |= 1, 则 | a + b | ? | a ? b |=

π π 14、把一个函数图像按向量 a = ( ,?2) 平移后,得到的图象的表达式为 y = sin( x + ) ? 2 ,
3
6

则原函数的解析式为 15、在△ABC 中,A,B,C 成等差数列,则 tan
A C A C + tan + 3 tan tan = 2 2 2 2

16、已知点 A(2,0),B(4,0),动点 P 在抛物线 y2=-4x 运动,则使 AP ? BP 取得最小 值的点 P 的坐标是

三、解答题 17、已知△ABC 中,∠C=120°,c=7,a+b=8,求 cos( A ? B ) 的值。

18、设向量 OA = (3,1), OB = (?1,2) ,向量 OC 垂直于向量 OB ,向量 BC 平行于 OA ,试求

OD + OA = OC时, OD 的坐标。

19、已知 M=(1+cos2x,1),N=(1, 3 sin2x+a)(x,a∈R,a 是常数),且 y= OM · ON (O 是坐标原点)⑴求 y 关于 x 的函数关系式 y=f(x); ⑵若 x∈[0, ],(x)的最大值为 4, a 的值, f 求 并说明此时 f(x)的图象可由 y=2sin(x+ ) 2 6 的图象经过怎样的变换而得到。

π

π

20、已知 A(-1,0) ,B(1,0)两点,C 点在直线 2 x ? 3 = 0 上,且 AC ? AB, CA ? CB ,
BA ? BC 成等差数列,记θ为 CA与CB 的夹角,求 tanθ。

21、已知: a 、 b 、 c 是同一平面内的三个向量,其中 a =(1,2) ⑴若| c | = 2 5 ,且 c // a ,求 c 的坐标; ⑵若| b |=

5 , 且 a + 2b 与 a ? 2b 垂直,求 a 与 b 的夹角θ. 2

3 3 π x x 22、已知向量 a = (cos x, sin x), b = (cos ,? sin ), 且x ∈ [0, ], 求 2 2 2 2 2 ⑴ a ? b及 | a + b | ; r r r r 3 ⑵若 f ( x) = a ? b ? 2λ | a + b | 的最小值是 ? , 求λ的值 。 2

答案: 一、 1.D 二、 选择题 2.C 3.D 4.B 5.B 6.A 7.C 8.C 9.D 10.B 11.C 12.C

填空题 14. y = cos x 15. 3 16.(0,0)

13. 21 三、

解答题

17.解:解法 1:由正弦定理: 2 R =

c 7 14 = = , sin C sin 120° 3
14 3 ? 2 sin A+ B A? B cos =8 2 2

代入 a + b = 8 ? 2 R (sin A + sin B ) = 8 ?

?

14

1 A? B A? B 4 3 = ? 2 ? ? cos = 8 ? cos 2 2 2 7 3

A? B 47 ?1 = 2 49 c a b = = 解法 2:由 sin C sin A sin B
∴ cos( A ? B) = 2 cos 2

?

c a+b = ? sin C sin A + sin B

7 8 = c c A+ B A? B 2 sin cos 2 sin cos 2 2 2 2
7

∵ cos

8 A? B 4 3 ? cos = = C A? B 2 7 sin cos 2 2 ∴ cos( A ? B) = 2 cos 2 A ? B ? 1 = 47 (也可由余弦定理求解) 2 49

C A+ B = sin > 0 ,∴ 2 2

uuur uuu r uuur uuur uuu r 18.解:设 OC = ( x, y ),Q OC ⊥ OB ,∴ OC ? OB = 0 ,∴ 2 y ? x = 0 ①
又Q BC // OA, BC = ( x + 1, y ? 2)
uuur
?y = 7

3( y ? 2) ? ( x + 1) = 0

即: 3 y ? x = 7 ②

联立①、②得 ? x = 14, ∴ OC = (14, 7), 于是OD = OC ? OA = (11, 6) . ? 19.解:⑴y= OM · ON =1+cos2x+ 3 sin2x+a,得 f(x) =1+cos2x+ 3 sin2x+a; ⑵f(x) =1+cos2x+ 3 sin2x+a 化简得 f(x) =2sin(2x+ 当 x=

uuur

uuur uuu r

π
6

)+a+1,x∈[0,

π
2

]。

π
6

时,f(x)取最大值 a+3=4,解得 a=1,f(x) =2sin(2x+

π
6

)+2。

将 y=2sin(x+

π
6

)的图象的每一点的横坐标缩短到原来的一半,纵坐标保持不变,再向

上平移 2 个单位长度可得 f(x) =2sin(2x+ 20.解:设 c( , y ), 则 AC ? AB = 5
3 2

π
6

)+2 的图象。
5 4 BA ? BC = ?1

∴ CA ? CB = y 2 +

又∵三者 AC ? AB, CA ? CB , BA ? BC 成等差数列.
5 3 3 ∴ + 2 y 2 = 4,∴ y 2 = ,∴ y = ± 2 4 2 3 3 ∴ c ( ,± ) 2 2

当 c ( 3 , 3 )时, CA = ( ? 5 ,? 3 ), CB = ( ? 1 ,? 3 )
2 2 2 2 2 2

cos θ =

2 7

,∴ 0° < θ < 90° ,∴ tan θ =

3 2

同理 c ( 3 ,? 3 )时, tan θ = 3
2 2 2

21.解:⑴设 c = ( x, y ),Q| c | = 2 5 ,∴ x 2 + y 2 = 2 5 ,∴ x 2 + y 2 = 20

Q c // a, a = (1,2),∴ 2 x ? y = 0,∴ y = 2 x
? y = 2x 由? 2 2 ? x + y = 20
?x = 2 ∴? ?y = 4 ? x = ?2 或 ? ? y = ?4

∴ c = (2,4), 或c = (?2,?4)

⑵Q (a + 2b) ⊥ (2a ? b),∴ (a + 2b) ? (2a ? b) = 0
2a + 3a ? b ? 2b = 0,∴ 2 | a | 2 +3a ? b ? 2 | b | 2 = 0 ……(※)
2 2

Q| a | 2 = 5, | b | 2 = (

5 2 5 ) = , 代入(※)中, 2 4
5 5 = 0∴a ?b = ? 4 2

∴ 2 × 5 + 3a ? b ? 2 ×

Q| a |= 5 , | b |=

5 a ?b ,∴ cos θ = = 2 | a |?|b|

?

5 2

5 5? 2

= ?1,

Qθ ∈ [0, π ] ∴θ = π 3 x 3 x 22.解:⑴ a ? b = cos x ? cos ? sin x ? sin = cos 2 x 2 2 2 2

3 3 3 x | a + b |= (cos x + cos ) 2 + (sin x ? sin ) 2 = 2 + 2 cos 2 x = 2 cos 2 x 2 2 2 2
Q x ∈ [0, ],∴ cos x > 0,∴| a + b |= 2 cos x 2

π

⑵ f ( x) = cos 2 x ? 4λ cos x,即f ( x) = 2(cos x ? λ ) 2 ? 1 ? 2λ2
Q x ∈ [0, ],∴ 0 ≤ cos x ≤ 1. 2

π

①当 λ < 0 时,当县仅当 cos x = 0 时, f ( x) 取得最小值-1,这与已知矛盾; ②当 0 ≤ λ ≤ 1时,当且仅当 cos x = λ 时, f ( x) 取得最小值 ? 1 ? 2λ2 ,由已知得
3 1 ? 1 ? 2λ 2 = ? , 解得λ = ; 2 2

③当 λ > 1时,当且仅当cos x = 1时, f ( x) 取得最小值 1 ? 4λ ,由已知得 1 ? 4λ = ? 3
2

解得 λ =

5 1 ,这与 λ > 1 相矛盾,综上所述, λ = 为所求. 8 2


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