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必修1-2.2.2 对数函数及其性质2


2015年11月3日星期二
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复习引入
1. 指数与对数的互化关系 ab=N ? logaN=b.

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2. 指数函数的图象和性质

a>1
图 象
y (0,1) y=ax (a>1) y= 1 x

0<a<1
y=ax (0<a<1) y (0,1) O y= 1 x

O

性 质

定义域 R;值域(0,+∞) 过点(0,1),即x=0时,y=1
在R上是增函数 x>0时,ax>1; x<0时,0<ax<1 在R上是减函数

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3. 某种细胞分裂时,得到的细胞的个 数y是分裂次数x的函数,这个函数可 以用指数函数y=2x表示. 这种细胞经过多少次分裂,大约 可以得到1万个,10万个……细胞? 分裂次数x就是要得到的细胞个 数y的函数.这个函数写成对数的形 式是x=log2y.
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x=log2y
如果用x表示自变量,y表示函 数,这个函数就是y=log2x.

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一般地,把函数 y ? log a x?a ? 0, 且a ? 1? 叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义 域是 ?0,??? .
(1)为什么规定 a ? 0且a ? 1 ? (2)为什么对数函数的定义域是 ?0,??? ?

思考:

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例1:求下列函数的定义域:

?1? y ? log a x

2

定义域: x x ? 0 定义域:x x ? 4

?

?

?2? y ? log a ?4 ? x?

?

?

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画函数图像的步骤是: 列表

描点

连线

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y

y=log2x
x … 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 … y … -3 -2 -1 0 1 2 3 …

o

x

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y

y=log1/2x
x … 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 … y … 3 2 1 0 -1 -2 -3 …

o

x

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画出函数
y

y ? log 2 x与 y ? log 1 x的图像.
2

a=2

o

x

a=1/2
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画出函数

y ? log 2 x与 y ? log 1 x的图像.
2

问:(1)这两个函数的图像有什么关系?
(2)可否利用y ? log 2 x 的图象画出 y 的图象?
y

? log 1 x
2

a=2
o x

a=1/2
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(1)在同一坐标系中画出:

y ? log 2 x、y ? log 1 x、y ? log 3 x、y ? log 1 x
的图象. (2)你能否猜测 y ? log 4 哪个图象相似.
y
1
0 1
2 3

x 与 y ? log 1 x分别与
4

y ? log 2 x y ? log 3 x x y ? log 1 x
y ? log 3 1 x
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选取底数a(a ? 0且a ? 1 )的若干个不 同的值,在同一平面直角坐标系内作出相应 的对数函数的图象.

对数函数的图像的变化分布情况

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0<a<1
y x=1

a>1
y x=1
y ? log a x(a ? 1)




0

(1.0)

x

0

(1.0)

x

y ? log a x(0 ? a ? 1)

定义域 值 域 性 质

(0,+ ∞ ) R 必过 点: ( 1, 0 ) ,即 x = 1 时, y = 0 . 在 R 上是 减函数 在 R 上是 增函数
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函数 y ? log a x?a ? 0, 且a ? 1?
图象特征 ①这些图象都位于y 轴右方. 函数性质 ①x取任何正数值时,函数值y ? R

②这些图象都经过(1,0)点. ②无论a为任何正数,总有

log a 1 ? 0

③图象可以分为两类: ?若0 ? x ? 1, 则 log a x ? 0, ? 一类图象在区间(0,1)内 ③当 a ? 1 时, 若x ? 1, 则 log a x ? 0; ? 纵坐标都小于0,在区间(1,+∞) ?若0 ? x ? 1, 则 log a x ? 0, 内的纵坐标都大于0; 当0 ? a ? 1 时,? 另一类图象正好相反. ?若x ? 1, 则 log a x ? 0.

x ?a (1, ) y ? log a x 是增函数 ?? 0, : a, x ? (0,1)或a,④当 ? ?? 1 时, ④自左向右看 ? 当 0 ? a ? 1 时, y ? log a x 是减 a ? 1 当 a x? 时图象逐渐上升; log ? 0, x ? 1 函数. 当 0 ? a? ? 1时图象逐渐下降.
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) ?? 0, a ? (1, ??), x ? (0,1)或a ? (0,1), x ? (1, ?? 16
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对数值符号的判断:

?? 0, a, x ? (0,1)或a, x ? (1, ??) ? log a x ?? 0, x ? 1 ?? 0, a ? (1, ??), x ? (0,1)或a ? (0,1), x ? (1, ??) ?
y

o

x

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知识巩固
巩固2:比较大小:
① log23,log23.5 ② log0.71.6, log0.71.8

③ loga4,loga3.14

④ log67,log76

⑤ log35 , log45

⑥ log56,log47

☆分析:对数函数型数值间的大小关系:
①底数相同时考虑对数函数的单调性; ②底数不同、但真数相同时要借助于数形结合; ③底数不同、真数不相同时要借助于中间值(如0或1)。
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知识巩固
⑤ log 3 5 , log45
∴ log 3 5 > log 4 5
⑥引入中间量 log 5 7(或,log 4 6), 由函数单调性 log 5 6 < log 5 7, 再比较 log 57 与 log 4 7 的大小

⑥ log56,log47

⑤作函数 y = log 3 x 和 y = log 4 x 的图象 y a=3 a=4 a=5 1

∴得到 log 57<log 47,
∴ log 5 6 >log 4 7

0

5

7

x

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通过本节的学习,你对对数函数有什么认识?你能概括一 下吗? 对数函数 概念 数形结合

图象

性质

思考:你能发现对数函数图象和指数函数图象的关系吗?
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点滴积累 丰富人生
作业:
谢谢大家!

再见!
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