1.7.1
定积分在几何中的应用
一、复习引入
1、定积分的几何意义：
b a
当 f(x)?0 时，积分? f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、
x?a、x?b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y
b
y ? f (x )
c
y
f (x)dx ??? S f (x)dx? ? ? a a c ?a f (x)dx ? ?a f (x)dx? ?c f (x)dx。
b c
b
Oa
b x b
f(
O a
b x 当f(x)?0时，由y?f (x)、x?a、x?b 与 x 轴
y ? f (x )
所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，
2.微积分基本定理： 如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，
且F?(x)=f(x)，那么:
?
b
a
f ( x)d x ? F (b) - F (a)
二、新课讲解
1.几种典型的平面图形面积的计算： 类型1：求由一条曲线y=f(x)和直线 x=a,x=b(a<b)及x轴所围成平面图形的面积S
y
y ? f ( x)
y
y ? f ( x)
c
(3)
o
a
(1)
b
b
c
x
oa
(2)
b
x
(1) S ? ? f ( x)dx
a
a
(3) S ?| ? f ( x)dx | ? ? f ( x)dx ? -? f ( x)dx ? ? f ( x)dx
c a c
b
(2) S ? -? f ( x)dx
c
b
a
b
由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求解
练习. 求抛物线y=x2-1，直线x=2，y=0所围成的 图形的面积。
解：如图：由x2-1=0得到抛物线与x轴 的交点坐标是(-1,0)，(1,0).所求面积 如图阴影所示：
所以：
y
S ? ? ( x - 1)dx -? ( x 2 - 1)dx
2 1 -1
2
1
x x 8 ? ( - x) - ( - x) ? 3 3 3 1 -1
3
2
3
1
类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线 x=a,x=b(a<b)所围成平面图形的面积S
y ? f ( x)
y ? g ( x)
y
y ? f ( x)
o
a
y ? g ( x)
b x
(2)
(1)
b b b
(1) S ? ? f ( x)dx - ? g ( x)dx ? ? [ f ( x) - g ( x)]dx
(2) S ? ? f ( x)dx? | ? g ( x)dx |? ? [ f ( x) - g ( x)]dx
a a a
a b
a b
a b
例题讲解
2 2=x,y=x2的图象如图所示 2 解 : 作出 y : y ? x y ? x 例 1. 计算由两条抛物线 和
围成图形的面积. ? ?x ? 0 ?x ? 1 ?y ? x 2 2 解方程组 ? 或 y ? ? ? 变式：由两条抛物线 y ? x 和 y ? x 围成的图形面积 B 2 y ? 0 y ? 1 ? ? ? ?y ? x y2 ? x
y ? x
C o D
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
y ? x2
y? x
2x
A
O
3 3 1 2 x 2 1 2 S = ( x - x )dx ? ( x - ) |0 ? . 0 3 3 3
?
1
2.求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:
(1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标，确定图形范围(积分的上限,下限)
(3) 写出平面图形的定积分表达式；
(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出面积。
例2.计算由曲线 y ? 2 x 直线y=x-4以及x轴围成图形 的面积. 解: 作出y=x-4, y ? 2x 的图 象如图所示:
? y ? 2x 解方程组： ?
得：直线y=x-4与 y ? 2 x 交点为 (8，4)直线y=x-4与x轴的交点为 (4，0) 因此，所求图形的面积为一 个曲边梯形与一三角形面积 之差： 8 8 40 本题还有其他解法吗？ S ? ? 2 x dx - ? ( x - 4)dx ? 0 4 3
?y ? x - 4
另解：将所求平面图形的面积 分割成左右两个部分。
S = S1 + S2 =蝌 2 xdx + 0
4
y ? 2x
4
8 4
(
2 x - ( x - 4) dx
)
S1
S2
8 8 3 2 2 3 2 2 1 40 2 2 ? x ? x - ( x - 4) ? 3 3 2 3 0 4 4
y ? x-4
A
思考：将曲线沿x轴旋转， 与直线相交于一点，求曲 线与直线围成的面积。
S1 S1
B
S2
解法1：
S ? 2S1 ? S2 ? 2?
2 0 2 8 0 8 2
2 xdx ? ? ( 2 x - x ? 4)dx
? ? 2 2 xdx ? ? ( 2 x - x ? 4)dx
2
3 4 2 3 2 2 1 2 16 64 26 8 2 2 2 ? x |0 ?( x - x ? 4 x) |2 ? ? ? 18 3 3 2 3 3 3
思考：将取y为积分变量， 把函数y=x-4变形为x=y+4， 2 y 函数 x ? 变形为 y ? 2x 2
A
解法2：
y S ? ? [( y ? 4) - ]dy -2 2
4
2
B
y ? 2
2
y ? 4y 6 -2 -2
4
4
3
4
? 18
-2
课堂小结
1.思想方法: 数形结合及转化. 2.求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:
(1)作出示意图;(弄清相对位置关系)
(2)求交点坐标，确定图形范围(积分的上限,下限) (3)写出平面图形的定积分表达式；
(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出面积。
练习2. 求抛物线y=x +2与直线y=3x和x=0 所围成的图形的面积。
2