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2015年高考数学基本题型、思路、方法和结论大梳理(一)


编者按俗话说:基础不牢,地动山摇.基础题掌握好了,难题无非是基础题的复杂化、 综合化.为此,本刊特约高中数学名师龙艳文,在2014.9期至2015.4期的栏目中,以连载的 形式,结合多年高三复习教学经验,为同学们提供最“骨架”的问题和其主要的方法、常用的 结论、基本的思路,名为《2015年高考数学基本题型、思路、方法和结论大梳理》,相当于笔记 本一样,为你今后解题提供可以回归的“

固着点”.

2015年高考数学基本题型、思路、 方法和结论大梳理(一)
江苏省南京市教研室 龙艳文

类型三:集合相等

◆例
类型一:集合的表示

已知集合A:{z,zy,19(zy)),B

—I{0,l Xl,Y),若A=B,试求实数z,Y的值. ◎注意集合求解后一定要检验,如集合

◆例

判断下列集合的区别:A:{z

y— y—

中元素的互异性.

z2+1),B一{y y—z2+1),C={(z,y)l z2+1),D一{y=z2+1). ◎注意集合中元素形式. 类型二:集合的关系

★集合的运算
类型一:集合的基本运算

◆例1
饕羲

设集合A:{z I—zz+3z+10≥

◆例
A={xl

已知全集u={zIX2m 3z+2≥o),

0),集合B={z m+1≤z≤2m一1),若B∈ A,求实数m的取值范围. 将集合A改为A一{z l—zz+

x>3或z<1),B2{z x--1}≥o},
u(A

求A nB,C UA,C u(AnB),C

U B).

3z+10<0). 翕法 数轴分析. ◎注意:①BCA,AnB一历时优先考 虑空集乃;②端点的取舍;③不等式间交或 并的关系. 与不等式有关的集合问题,画 C

缌}掩
u(A

C u(AN B)=(C uA)U(C uB),
uB).

U B)一(C uA)N(C

类型二:集合运算的应用

◆例1

设集合A={z zz一3z+2=o),

B={zlX2+2(口+1)z+口2—5=0).

(1)若An B={2),求实数口的值; 设集合A一{z
X2

◆例2



l—o},集合

(2)若AUB=A,求实数以的值;
(3)若U=R,A n C uB—A,求实数n

B={zI.7C2—2ax+1=0),若B£A,求实数n 的取值范围. ◎注意单元素集合要考虑△一0.
Il
New

的取值范围. ◎注意求解后要检验.

University Entrance Examination

万方数据

黉舱
UB=B.

A£B甘A n B—A;A∈Be:CA

◎注意(1)将命题形式先改写成“若p, 则口”的形式; (2)常见语句的否定: 形式l都是I至少一个}至多一个l
P或Q
P且Q

◆例2设集合A一{z1 1<z≤3),B:(z
tz≥口).
(1)若A n B=乃,求实数口的取值 范围; (2)若A n B≠够,求实数n的取值 范围; (3)若A n B—A,求实数n的取值 范围;

否定I不都是}一个没有l至少两个I,P且,Ql,P或,Q

◆例2

判断下列命题的真假.

(1)已知厂(z)在R上为增函数,若厂(口) +厂(6)≥厂(-a)+厂(--b),贝0口+6≥0;
(2)若口6≠0,则口+co且6_圭0.

(4)若C
值范围.

uA

U B—C uA,求实数口的取

方法

原命题与逆否命题等价.如果

原命题的正确性难以判断,可以转化为判断
将集合B改为B={zlx<a}. 其逆否命题的正确性. 类型二:充分、必要条件

囊武

◎注意要树立端点意识,即对端点进行 检验(想到检验比如何检验更难). 类型三:Venn图的应用

■例1
uA

(1)“sin A—sin

B,,是“A—B,,的

条件5

◆例

已知全集u:{zlz≤10,zEN?), n

(2)“m一÷”是“直线(仇+2)z+3my+
1=0与直线(m一2)z+(m+2)y一3=0相 互垂直”的 条件; (3)设甲是乙的充分不必要条件,乙是 丙的充要条件,丁是丙的必要不充分条件, 则甲是丁的 条件;

AnB={4,5),An C uB={1,2,3),C C uB={6,7,8),求C uAnB.

.翥濠

利用Venn图的直观性.

★命题及其关系和充分、必要条件
类型一:四个命题的关系

(4)已知命题户:X≠2或y≠3,命题q: z+y≠5,则夕是q的 条件.

◆例1

写出下列命题的逆命题、否命题、

逆否命题,并判断它们的真假. (1)若ab=0,则n=0或b=0; (2)若z2+y2一o,则z,Y全为0; (3)已知口,b,c为实数,若口c<0,则口z2 +6z+C----0有两个不相等的实数根; (4)斜率乘积为一1的两条直线互相
垂直.

方法

如果户≥q,且q j乡,那么称户

是q的充分必要条件,简记为户是q的充要

叁堡;如果p≥q,且q参户,那么称户是q的
充分不必要条件;如果户参q,且q jp,那么 称p是q的必要不充分条件;如果户参q,且 q参户,那么称p是q的既不充分又不必要

釜笪. 穷稔
原命题 互为逆命题 逆命题

◎注意(1)找特殊情况(反例)来否定命 题(结论);(2)利用原命题与逆否命题等价,

羞p,则g

若毋则p

即“若户jg,则,q≥,夕”判断推导关系.

互为否命题I
否命题

互为》圣《命题
互为逆命题

l互为否命题
逆否命题

◆例2

(1)若2x+m<o是z2—2x--3

>O的充分条件,则实数m的取值范围是
若j眵,则非g 若非g,则j印

——;

(2)已知户:(z+2)(z一6)≤0,q:(z+
New

University Entrance Examination

111

万方数据

m)(z一1—2m)≤0,若,P是,q的必要不 充分条件,求实数lift的取值范围.

(2)求原命题的否定的另一形式是求原 命题对应集合的补集.

翥蘧

从集合的观点看,已知夕:z∈

A,q:z∈B,若A∈B,则夕是q的充分条件,
q是户的必要条件;若A=B,则P,q互为充 要条件.

★函数的概念
类型一:同一函数判断

◆例3
方法

求证:关于z的方程z z+(2口一

◆例


以下四组函数中,表示同一函数的


1)z-t-口2—0有两实数根,且两根均小于2的 充要条件是n<一2. 证明命题条件的充要性时,既

①,(z)=Izl,g(z)= ̄/z2;②,(z)=

要证明原命题成立(即条件的充分性),又要 证明它的逆命题成立(即条件的必要性).

仃,g(z)=(石)2;③厂(z)一署,g(z)
一z+1;④,(z)= ̄/z+l? ̄/z一1,g(z) 一、,乞[_.
方法 判断是否为同一函数,看是否

★逻辑联结词与量词
类型一:逻辑联结词

满足定义域、解析式均相同. 类型二:分段函数

◆例

已知命题户:方程X2-4-mx+1:o

有两个不等的负实根,命题q:方程422+ 4(优一2)z+1—0无实根.若P或q为真,P 且q为假,求实数m的取值范围.

◆例,已知函蝴护昆㈣,塞
则,(一2)= 方法

,fEf(一1)]=



对分段函数求值问题,要依据

赏法

“且”在两个均为真的情况下为

自变量范围确定对应的函数解析式.对于复 合函数求值问题,常由内向外求.

真,“或”在其中一个为真的情况下为真. ◎注意求取值范围时区间端点的情况. 类型二:量词

◆例2已知函蝴护{芝:搂≥
若厂(口)=口,求口的值. 方法 已知分段函数的函数值,求自 变量问题,一般采用分类讨论的方法.

◆例
真假:

写出下列命题的否定,并判断

(1)Vz∈R,z2+4z+4≥0;
(2)jz∈R,z2~4=0;

(3)存在质数是偶数;

■例3已知函蝴护出罩4,羞
(1)若厂(z)≥2,求z的取值范围; (2)求厂(z)在区间[一1,3]上的最值. 方法1 (1)先分类讨论各段z的取 值范围,再对各类范围取并集; (2)分段函数求最值问题,先分段求最 值,再比较各段最值确定函数的最值;分段 函数求值域问题,先分段求值域,再对各段 值域取并集. 方法2 结合图形整体分析.

(4)菱形是平行四边形.
方法 称命题. (1)先判断是否为存在性或全

全称量词:“所有的”、“任意一个”等,用
V表示.全称命题P:Vz∈M,P(z);全称命 题夕的否定、P:3x∈M,、p(z). 存在量词:“存在一个”、“至少有一个” 等,用了表示.存在性命题P:3z∈M,户(z); 存在性命题p的否定,p:V z∈M,、户(z).
¨New University
Entrance Examination

万方数据

纂本想法 理;②整体处理.

对于分段函数:①分段处

一z,求,(z),/‘(2).

纛蒗
式的问题.

方程组法,适用于上述三种形

◎注意分段函数中自变量z的分段区 间不重复、不遗漏. 类型三:解析式求法

■例4

动点P从边长为1的正方形

ABCD的顶点A出发,顺次经过B,C,D,再 回到A.设z表示点P走过的路程,Y表示 PA的长,求Y关于z的函数解析式. ◎注意求实际问题中的函数解析式,首 先要考虑实际情境中的自变量范围;分段函 数的书写格式要规范和分段区间的端点不

一例1
厂(z).

若厂(z+1)Xz一5x+4,求

羹羲,’若,(z+÷).Z2+专,求
厂(z).

变式2
方法

若f(x2+1)=z2,求,(z). 换元法、配凑法,适用于已知

能重复.

fig(x)],求,(z)问题.
◎注意换元法、配凑法要考虑元的范 围,即函数的定义域.

★函数的定义域、值域
类型一:定义域求法

◆例2已知f[-,(z)]一9+4z,且厂(z)
是一次函数,求.厂(z). 方法 类型的问题. 补充 等式(方程)恒成立问题,如z2 待定系数法,适用于已知函数

-4)o的定义域是——.
方法 自然型:给出解析式的函数的 定义域是使解析式有意义的自变量的取值 集合. ◎注意(1)函数定义域必须写成集合或 区间的形式. (2)常见的考查定义域的函数有:,(z)

一例1

+如+f=0对任意X∈R恒成立,则n=b—
c=0.(注意与解方程z2+bx+f=0的 区别.)

结论
+b(a≠0)

一次函数一般设为:厂(z)一ax

一石,,(z)=珏,厂(z)=2”拓,,(z)=专.,
,(z)=≯,f(X)=log。X(a>0且a≠1),
,(z)一tanz.

二次函数一般设为:(1)一般式:厂(z)
一口z2+6z+f(口≠O);

(2)顶点式:.厂(z)一a(z—h)2+k(口≠
O);

■例2
定义域. 方法

已知厂(z)的定义域为[1,2],求

函数j,2厂(z2)及y2f(2x)+厂(z+号)的
(3)零点式:f(x)=a(z—z1)(z—z2) 已知f(z)的定义域为D,求

(n≠0).

■例3

(1)已知定义在R上的函数厂(z)

fig(x)]的定义域问题,由g(z)∈D,解得z 的范围,即为fig(x)]的定义域.

满足厂(z)+3f(--x)=3x,求厂(z); (2)已知f(x)为奇函数,g(z)为偶函 数,,(z)+g(z)=z2+2x一1,求厂(z),
g(z);

对比
方法

已知f(x+1)的定义域为[1,

2],求函数y=,(z)的定义域.

(3)已知函数,(z)满足2f(z)+厂(丢)
万方数据

已知厂[g(z)]的定义域为D,

求厂(z)的定义域问题,由z∈D,求出g(z)
New

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IIi

的范围,且p为/。(z)的定义域.

◆例3已知厂(z):19(a--1)zz+(nz
一1)z+n+1]的定义域为R,求口的取值
范围.

㈩y=鞲(z≠一詈); (2)y2器.
方法 部分分式法,适用于分子、分母 次数相同的分式函数,如厂(z)。云axj+刁b

方法

(1)定义域为R问题转化为不

等式恒成立问题; (2)处理形如口z2+bx+c>0对任意z ∈R恒成立问题的方法:①优先考虑二次项 系数为0的情况,②结合二次函数图象分 析,③注意二次项系数的正、负和判别式△ 的正、负. 类型二:值域求法

(z≠一手)的形式,先化为厂(z)2詈+
6一一ad


云南(z≠一孚)的形式j再结合图象求解.
,例5

■例1

(1)y—z+厄,
(2)y----COS2x+sin

求下列函数的值域:

求下列函数的值域:

z.

(1)y=x2-x+2,z∈[一1,1]5

方法 式进行换元.

换元法:对复杂形式或特定形

(2)y=Si…z∈睁料
方法 图象法,适用于能作出图象的 基本函数或基本函数变换后的函数.(要体 会到“一切尽在图形中”,即具有优先利用图 形分析解决问题的意识.)

◎注意换元法要考虑元的范围.

◆例6

求下列函数的值域:

(1)厂(z)一z2+南;
(2)厂(z)一万x--而1(z>1).
方法 基本不等式法,适用于能化成

,例2

求下列函数的值域.

(1)y=以=万--X;

(2)y=(丢)2一…∈[-1'2].
方法 调性的函数. 单调性法,适用于能判断出单

厂(z)一z+詈形式的函数.
结论

对勾函数,(z)一z+导(n>o)

的图象与性质.

◆例3

(1)y一万蒜’
(3)y=Sin

求下列函数的值域:

◆例7
方法

求函数厂(z)=zl眦的值域.
导数法(导数法并不是最优先

的方法,但是在前面的方法均不可行的情况 下,要想到导数法.可形象地比喻为:导数法 是最后的救命稻草,不要上来就用,也不要 在关键时刻忘记用).

(2)y----log{(z2+2z+2)5

2z+号)灰[o,甜

方语

复合函数法,即fig(z)]值域

基本想法

的求法:先求g(z)的值域,再以g(z)的值域 作为,(z)的定义域,求出厂(z)的值域即可. (体验将复杂函数转化为基本函数的神奇.)

处理函数值域(最值)问

题,优先考虑图象法或单调性法,然后观察 函数的特征能否使用前6种方法,若不能, 则考虑能否转化后使用前6种方法,最后别 忘了导数法.

◆例4
I‘

求下列函数的值域:

New University Enti'ance Examination

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