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1.4.3


1.4.3 含有一个量 词的命题的否定

复习回顾
全称命题 “对M中任意一个x,有p(x)成立” 符号简记为: x∈M,p(x) 读作:对任意x属于M,有p(x)成立 ?

含有全称量词的命题,叫做全称命题
特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立” 符号简记为:?x∈R ,p(x)

集 合

读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”

含有存在量词的命题,叫做特称命题

复习回顾
常见的全称量词有“所有的”“任意一个” “一切” “每一个” “任给”“所有的”等.

常见的存在量词有“存在一个”“至少一个” “有些” “有一个” “对某个” “有的”等.
判断全称命题和特称命题真假 要判定全称命题“ ?x∈M, p(x) ”是真命题,需要对集合M中 每个元素x, 证明p(x)成立;如果在集合M中找到一个元素x0,使 得p(x0)不成立,那么这个全称命题就是假命题 要判定特称命题 “ ? x∈M, p(x)”是真命题,只需在集合 M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可,如果在集合M中,使 p(x)成立的元素x不存在,则特称命题是假命题

练习:
判断下列语句是不是命题,如果是,说明其是全称命题 还是特称命题,并用符号" ? " 或 " ?"来表示 (1)有一个向量a,a的方向不能确定. (2)存在一个函数f(x),使f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)对任何实数a,b,c,方程ax2+bx+c=0都有解. (4)平面外的所有直线中,有一条直线和这个平面垂直吗? 解答(1)(2)(3)都是命题,其中(1)(2)是特称命题,(3)是全称命 题.(4)不是命题.

对全称命题、特称命题不同表述形式的学习
同一个全称命题、特称命题,由于自然语言的不同, 可以有不同的表述方法。

命 题

全称命题
(1)所有x ? A, p( x)成立.

特称命题
(1)存在x0 ? A, 使p( x0 )成立.

表 (2)对一切x ? A, p( x)成立. (2)至少有一个x0 ? A, 使p( x0 ) 述 (3)对每一个x ? A, p( x)成立. 成立. 方 (4)任选一个x ? A, 使p( x) (3)对有些x0 ? A, 使p( x0 )成立. 法 成立. (4)对某个x0 ? A, 使p( x0 )成立.
(5)凡x ? A, 都有p( x)成立.
(5)有一个x0 ? A, 使p( x0 )成立.

练习:
0 1、设集合S={四边形},p(x):内角和为 360。试用 不同的表述写出全称命题 "?x ? S , p( x)". 3600 ; 解:对所有的四边形x,x的内角和为 3600 ; 对一切四边形x,x的内角和为 3600 ; 每一个四边形x,x的内角和为 凡是四边形x,x的内角和为 3600。 2 2、设q(x): x ? x, 适用不同的表达方式写出特称命题

" ?x ? R, q( x)".
2 至少有一个x0 , 使x0 ? x0成立; 存在x0 , 使x ? x0成立;

2 0

2 2 有一个x0 , 使x0 ? x0成立;对某个x0 , 使x0 ? x0成立;

对某些实数x0 , 使x ? x0成立。
2 0

复习回顾
命题的否定形式有:
原命 题 否定 形式 是 都 是 不 都 是 至少有 一个 一个也 没有

>

至多 有一 对任意x ? A 个 使p(x)真
至少 有两 存在x ? A 个 使p(x)假

不 是

?

情景一
设p:“平行四边形是矩形”
(1)命题p是真命题还是假命题 (2)请写出命题p的否定形式 (3)判断?p的真假

命题的否定的真值与原来的命题 相反 . 而否命题的真值与原命题 无关 .

情景一
设p:“平行四边形是矩形”

你能否用学过的“全称量词和存在量词”来解决上述问题
可以在“平行四边形是矩形”的前面加上全称量词,变为
p:“所有的平行四边形是矩形” 假命题

?p:“不是所有的平行四边形是矩形” 也就是说“存在至少一个平行四边形它不是矩形”

所以,?p : “存在平行四边形不是矩形”真命题

情景二 对于下列命题:
?
想一想?

?
?

所有的人都喝水; 2 存在有理数,使 x ? 2 ? 0; 对所有实数都有 | a |? 0 。
?尝试对上述命题进行否定,你 发现有什么规律?

(1)所有的人都喝水;(2)存在有理数,使 x 2 ? 2 ? 0 ; (3)对所有实数都有 | a |? 0 。

命题(1)的否定为“并非所有 的人都喝水”,换言之 , “有的人不喝水”。命 题否定后,全称量词变 为存在量 词,“肯定”变为“否 定”。
命题( 2)的否定为“并非存在 有理数 x, 使x 2 ? 2 ? 0” , 即“对所有的有理数 x, x 2 ? 2 ? 0” .命题否定后,存在 量词变为全称量词,“ 肯定”变为“否定”。

命题(3)的否定为“并非对所 有的实数 a,都有 a ? 0” , 即“存在实数 a,使 a ? 0” .

新课讲授
从形式看,全称命题的否定是特称命题。
含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论
全称命题 p : ?x ? M,p(x)

它的否定 ?p : ?x ? M,?p(x)

例1写出下列全称命题的否定: 1)p:所有能被3整除的整数都是奇数;
2) P:每一个四边形的四点共圆;

3)p:对任意x ? Z,x 的个位数字不等于3。
2

从形式看,特称命题的否定都变成了全称命题. 含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论
特称命题 p : ?x ? M,p(x) 它的否定

?p : ?x ? M,?p(x)
2

例2

写 出下列特 称命题 的否定:

1)p:?x ? R,x +2x+3 ? 0;

2)p:有的三角形是等边三角形; 3)p:有一个素数含有三个正因子。

问题讨论
写出下列命题的非. (1)p:方程x2-x-6=0的解是x=-2. (2)q:四条边相等的四边形是正方形. (3)r:奇数是质数. 解答(1)?p:方程x2-x-6=0的解不是x=-2. (2)?q:四条边相等的四边形不是正方形. (3)?r:奇数不是质数. 以上解答是否错误,请说明理由.

注:非p叫做命题的否定,但“非p”绝不是“是”与“不是”的简 演绎。因注意命题中是否存在“全称量词”或“特称量词”

例2写出下列命题的否定,并判断真假: 1)p:任意两个等边三角形都是相似的; 2 2)p:?x ? R,x +2x+2=0;

3 )空集是任何集合的真子集.
变式练习

巩固训练

小结
含有一个量词的命题的否定

一般地,我们有: “?x ? M , p( x)”的否定为“?x ? M , ?p( x)” , “?x ? M , p( x)”的否定为“?x ? M , ?p( x)”。
结论:全称命题的否定是特称命题 特称命题的否定是全称命题

课外练习:已知命题 p:? a,b,c ? (0,+∞) ,三个数 1 1 1 a ? , b ? , c ? 中至少有一个不小于 2 .试写出 b c a ?p,并证明它们的真假.
1 1 1 解:?p:? a,b,c?(0,+∞),三个数 a? , b? , c? 全小于 2 . b c a 1 1 1 假设?p 是真命题,则? a,b,c?(0,+∞), a? + b? + c? <6 b c a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ∵ a? + b? + c? = a? ?b? ?c? ≥ a? ?2 b? 2 c? ?6 a b c a b c b c a ∴推出矛盾,由此可知?p 是假命题,∴p 是真命题

巩固训练
2、下列命题中假命题的个数是( C ) (1)2x+1是整数(x?R);(2)对所有的x ?R,x>3; (3)对任 意一个x?Z, 2 x2 ? 1为奇数。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3、以下三个命题: (1)?? ? R, 在[? , ? ? ? ]上函数y ? sin x都能取到最大值1;

(2)若?x ? R且? ? 0,f ( x ? ? ) ? ? f ( x)对?x ? R成立, 则f ( x)为周期函数; ? 7? 3? ? (3)?x ? ? ? , ? ? , 使 sin x ? cos x. 4 ? ? 4 其中正确的命题个数为( B ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3


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