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我的椭圆及其标准方程


人生是可以雕塑的

生活中的椭圆

人生是可以雕塑的

画椭圆

小熊邀你来画图1
取一根定长的细绳,把它的一端固定在板上一点 O处 ,在另一端用铅笔尖M将细绳拉紧,并在板 上慢慢移动,能够得到什么样的图形呢?
M

O

人生是可以雕塑的

小熊邀你来画图2
取一根定长的细绳,把它的两端分别固定在板上 的两点F1、F2处 ,从中用铅笔尖M将细绳拉紧, 并在板上慢慢移动,能够得到什么样的图形呢?
M

F1

F2

人生是可以雕塑的

二.讲授新课:
1 .椭圆定义: 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点, 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距(一般用2c表示)。 注意:椭圆定义中容易遗漏的四处地方:

如果这个常 (1) 必须在平面内; 数小于或等 F1 F2 (2)两个定点---两点间距离确定; 于|F1F2|呢?
(3)定长---轨迹上任意点到两定点距离和确定.

M

(4)|MF1|+|MF2|>|F1F2|
人生是可以雕塑的

椭圆的标准方程
求曲线方程的步骤—— 建系、设点、列式、化简

y

y

y
O

对称美
F2 x

F1

O x
O

x

人生是可以雕塑的

y

椭圆标准方程推导
M 1.建系:以F1F2所在直线为X轴, 线段F1F2 的中点为原点 x 2.设点:设M(x,y)为椭圆上任意 一点,设|F1F2|=2c,则 F1(-c,0),F2(c,0), 设M与F1和F2的距离和为2a 3.列式:

F1

O

F2

4.化简:

人生是可以雕塑的

4.化简
移项平方 整理得
4

( x ? c ) ? y ? ( x ? c ) ? y ? 2a
2 2 2 2

( x ? c ) 2 ? y 2 ? 4a 2 ? 4a ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2

a ? cx ? a ( x ? c) ? y
2 2
2 2 2

2

两边再平方

a ? 2a cx ? c x ? a x ? 2a cx ? a c ? a y 2 2 2 2 2 2 2 2 (a ? c ) x ? a y ? a (a ? c )
2 2 2
a 2b 2

2

2

2

2

两边同除以a2(a2-c2)得: x 2

y2 ? 2 ?1 2 2 a a ?c


由定义2a>2c,得a
代入上式得

2

? c2 ? 0

a2 ? c2 ? b2

其中b >0

x2 y 2 ? ?1( a ?b ?0,c 2 ? a 2 ?b2 ) a 2 b2
人生是可以雕塑的

椭圆的标准方程
x2 y 2 ? ?1( a ?b ?0,c 2 ? a 2 ?b2 ) a 2 b2

y M

叫做椭圆的标准方程(焦点在x轴上)

F1

0 y F2

F2

x

当焦点在y轴上时,我们可以得 到的椭圆方程又是怎样的呢?

简洁美
M

? MF1 | ? | MF 2 |? 2a |
? x ? ( y ? c ) ? x ? ( y ? c ) ? 2a
2 2 2 2

O

x
F1

y x ? 2 ?1 2 2 a a ?c

2

2

y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0, c 2 ? a 2 ? b 2 ) a2 b 人生是可以雕塑的

定 义

|MF1|+|MF2|=2a (a>c>0) y y
M F 2 F 1

M

图 形

o
2

F2 x

o
F 1

x

方 程 焦 点
a,b,c之间的关系

x y ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? a2 b

2

y2 x2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b

F(±c,0)

F(0,±c)

c2= a2-b2 (a2=b2+c2)

共同点:(1)两种标准方程中都有a>b>0; (2)方程的左边是平方和,右边是1. (3)焦点在坐标轴上,中心在坐标原点 不同点:焦点位置不同

谁的分母大,焦点就在谁对应的轴上

学以致用

例1.下列方程哪些表示椭圆?若是,则判定其焦 点在何轴上?
x2 y2 x y ? ?1 (1) ? ? 1( 2) 25 16 16 16
2 2

x y 2 2 (3) 2 ? 2 ? 1 (4)9 x ? 25 y ? 225 ? 0 m m ?1

2

2

人生是可以雕塑的

小菜一碟

练习.下列方程是否表示椭圆?若是,则求出其 对应的a,b及焦点坐标。

x y (1) 2 ? ?1 3 4

2

2

(2)2 x ? y ? 8
2 2

人生是可以雕塑的

学以致用

例2 .求适合下列条件的椭圆的标准方程. 1、a=3,b=1 焦点在x轴上 2、a=3,b=1 焦点在y 轴上

x2 2 ? y ?1 9 y2 2 x ? ?1 9

人生是可以雕塑的

牛刀小试

已知椭圆的焦距等于8cm,其上得点到两焦点 的距离之和等于10cm,求椭圆的标准方程。

人生是可以雕塑的

识图

你能在图中找出a, b, c吗?
| OF 1 |?| OF 2
?C

c p

y
a

| PF 1 |?| PF 2 |? a,

F1
b

O

F2

x

| PO |? b

当a或c变化时,对椭圆的形状有什么影响呢??

人生是可以雕塑的

小结
1 、椭圆的定义及焦点,焦距的概念;

2、椭圆的标准方程:
x2 y 2 (1)当焦点在X轴上时, 2 ? 2 ?1( a ?b?0) a b
y 2 x2 (2)当焦点在Y轴上时, 2 ? 2 ?1( a ?b ?0) a b

3、椭圆标准方程中的a, b ,c 的关系:

b 2 ? a 2 ?c 2

4、如何由椭圆的标准方程判断焦点的位置,焦点坐标和焦距:
看标准方程中

x 2 , y 2 的分母,哪个的分母大焦点就在哪一条轴上。
人生是可以雕塑的

谢 谢!

人生是可以雕塑的


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