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黑龙江省2016-2017学年高二数学下学期期末试卷 文


黑龙江省哈尔滨三十二中 2014-20 15 学年高二(下)期末 数学试卷(文科)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U={0,1,2,3,4},M={0,1,2},N={2,3},则(?UM)∩N=( A. {2} 3,4} B. {2,3,4} C. {3} )

D. {0,1,2,

2.下列图形可以表示为以 M={x|0≤x≤1}为定义域,以 N={y|0≤y≤1}为值域 的函数是( )

A.

B.

C.

D.

3.若 a,b 都是实数,则“ A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件

”是“a2﹣b2>0”的( B. 必要而不充分条件



D. 既不充分也不必要条件

4.已知命题 P:“? x∈[1,2],x2+1≥a“,命题 q:“? x∈R,x2+2ax+2﹣a=0, 当命题“p∧q”真命题,则实数 a 的取值范围是( A. a≤﹣2 或 a≥1 B. a≤﹣2 或 1≤a≤2 D. ﹣2≤a≤1 ) C. a≥1

1

5.函数 f(x)= ﹣x 在(0,+∞)上是( A. 增函数 B. 减函数

) C. 不具备单调性 D. 无法判断

6.已知 f(x)= A. 2 B. 5

,则 f(3)的值为( C. 4

) D. 3

7.不等式 ax2+bx+2>0 的解集是 A. 10 B. ﹣10

,则 a+b 的值是( C. 14

) D. ﹣14

8.已知函数 f(x)是奇函数:当 x>0 时,f(x)=x(1﹣x) ;则当 x<0 时,f (x)=( ) B. f(x)=x(1+x) C. f(x)

A. f(x)=﹣x(1﹣x) =﹣x(1+x)

D. f(x)=x(1﹣x)

9.对于定义在 R 上的函数 f(x) ,有下述命题: ①若 f(x)是奇函数,则 f(x﹣1)的图象关于点 A(1,0)对称 ②若函数 f(x﹣1)的图象关于直线 x=1 对称,则 f(x)为偶函数 ③若对 x∈R,有 f(x﹣1)=﹣f(x) ,则 f(x)的周期为 2 ④函数 y=f(x﹣1)与 y=f(1﹣x)的图象关于直线 x=1 对称. 其中正确命题的个数是( A. 1 B. 2 ) C. 3 D. 4

10.函数 y=2x3﹣3x2(



A. 在 x=0 处取得极大值 0,但无极小值 B. 在 x=1 处取得极小值﹣1,但无极大值

2

C. 在 x=0 处取得极大值 0,在 x=1 处取得极小值﹣1 D. 以上都不对

11. 设函数 f (x) = A. 3 B. 6

,则 f (﹣2) +f(log212)=( C. 9 D. 12



12.已知曲线 y=x+lnx 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切, 则 a=( A. ﹣2 ) B. 0 C. 1 D. 8

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. 集合 A={0, 2, a}, B={1, a2}, 若 A∪B={0, 1, 2, 4, 16}, 则 a 的值为 .

14.已知函数 f(x)=ax3﹣2x 的图象过点(﹣1,4)则 a=



15.若 f(x)是 R 上周期为 3 的奇函数,且已知 f(1)=2014.则 f(2015) = .

16. 设f (x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时, f′(x) >0,且 则不等式 f(x)<0 的解集为 .



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤. 17.已知全集 U=R,设函数 y=lg(x+1)的定义域为集合 A,函数 y=x2+2x+5 的 值域为集合 B,求 A∩(?UB) .
3

18.已知 f(x)=

是 R 上的单调递增函数,求实数 a

的取值范围.

19.已知函数 f(x)=ax3+bx,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y=2x﹣2.求函数 f(x)的解析式.

20.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx.若函数 y=f(x)在 x=2 处有极值﹣6,求 y=f (x)的单调递减区间.

21.已知函数 f(x)=ex﹣mx+1 的图象为曲线 C,若曲线 C 存在与直线 y= x 垂 直的切线,求实数 m 的取值范围.

22.已知函数 f(x)= 的值.

+sinx,求 f(﹣2)+f(﹣1)+f(0)+f(1)+f(2)

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黑龙江省哈尔滨三十二中 2016-2017 学年高二(下)期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U={0,1,2,3,4},M={0,1,2},N={2,3},则(?UM)∩N=( A. {2} 3,4} B. {2,3,4} C. {3} )

D. {0,1,2,

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 先求出 M 的补集,再求出其补集与 N 的交集,从而得到答案. 解答: 解:∵CUM={3,4}, ∴(CUM)∩N={3}, 故选:C. 点评: 本题考查了集合的运算,是一道基础题.

2.下列图形可以表示为以 M={x|0≤x≤1}为定义域,以 N={y|0≤y≤1}为值域 的函数是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的表示方法.
5

专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的定义知:函数是定义域到值域的一个映射,即任一定义域内 的数,都唯一对应值域内的数;由此可知,用逐一排除法可做出. 解答: 解:A 选项,函数定义域为 M,但值域不是 N; B 选项,函数定义域不是 M,值域为 N; D 选项,集合 M 中存在 x 与集合 N 中的两个 y 对应,不构成映射关系,故也不构 成函数关系. 故选 C. 点评: 本题利用图象考查了函数的定义:即定义域,值域,对应关系,是基础 题.

3.若 a,b 都是实数,则“ A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件

”是“a2﹣b2>0”的( B. 必要而不充分条件



D. 既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由“ 能推出“ 解答: 解:由“ 性成立. 由“a2﹣b2>0”可得|a|>|b|,不能推出 故“ 故选 A. 点评: 本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义,不等式的基本性 质的应用,属于基础题. ,故必要性不成立. ”可推出“a2﹣b2>0”成立, 而由“a2﹣b2>0”成立不 ”成立,从而得出结论. ”可得 a>b>0,故有“a2﹣b2>0”成立,故充分

”是“a2﹣b2>0”的充分而不必要条件,

6

4.已知命题 P:“? x∈[1,2],x2+1≥a“,命题 q:“? x∈R,x2+2ax+2﹣a=0, 当命题“p∧q”真命题,则实数 a 的取值范围是( A. a≤﹣2 或 a≥1 B. a≤﹣2 或 1≤a≤2 D. ﹣2≤a≤1 ) C. a≥1

考点: 复合命题的真假. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 据复合命题的真假与简单命题真假的关系,得到 p,q 全真;p 真即不等 式恒成立转化成求最值,q 真即二次方程有根,△≥0 解答: 解:∵“p∧q”为真命题, ∴得 p、q 为真, 若 p:“? x∈[1,2],x2+1≥a”为真,则有 a≤(x2)min=2,即 a≤2; 若 q:“? x∈R,x2+2ax+2﹣a=0”为真,则有△=4a2﹣4(2﹣a)≥0,即 a≤﹣ 2,或 a≥1. 综上 a≤﹣2 或 1≤a≤2. 故选 B 点评: 本题考查复合命题的真假与简单命题真假的关系及如何解决不等式恒 成立问题,二次方程有根问题.

5.函数 f(x)= ﹣x 在(0,+∞)上是( A. 增函数 B. 减函数

) C. 不具备单调性 D. 无法判断

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 通过求导函数得 f′(x)<0 判断函数的单调性,从而得出结论. 解答: 解:∵f′(x)=﹣ ﹣1<0,

7

∴f(x)在(0,+∞)是减函数, 故选:B. 点评: 本题考查了函数的单调性的判断,通过定义和求导是常用的方法.

6.已知 f(x)= A. 2 B. 5

,则 f(3)的值为( C. 4

) D. 3

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 根据已知中分段函数 f(x)= 代入运算后,即可得到 f(3)的值. 解答: 解:由已知 f(x)= ∵3<6 ∴f(3)=f(3+4)=f(7) 又∵7≥6 ∴f(7)=7﹣5=2 故选 A. 点评: 本题考查的知识点是函数的值,根据函数的解析式细心运算即可得到答 案,属简单题型. , 的解析式,我们将 3

7.不等式 ax2+bx+2>0 的解集是 A. 10 B. ﹣10

,则 a+b 的值是( C. 14

) D. ﹣14

考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 计算题.
8

分析: 不等式 ax +bx+2>0 的解集是 为 ,

2

,说明方程 ax +bx+2=0 的解

2

把解代入方程求出 a、b 即可. 解答: 解:不等式 ax2+bx+2>0 的解集是 即方程 ax2+bx+2=0 的解为



a=﹣12b=﹣2∴

点评: 本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系,一元二次不等式的解 法,是基础题.

8.已知函数 f(x)是奇函数:当 x>0 时,f(x)=x(1﹣x) ;则当 x<0 时,f (x)=( ) B. f(x)=x(1+x) C. f(x)

A. f(x)=﹣x(1﹣x) =﹣x(1+x)

D. f(x)=x(1﹣x)

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 因为是要求 x<0 时的解析式,所以先设 x<0,则﹣x>0,根据已知 x >0 时函数的解析式, 所以可求出 f(﹣x) ,再根据已知函数为奇函数求出 f(x) 与 f(﹣x)之间的关系,从而可求出 x<0 时,f(x)的解析式. 解答: 解:设 x<0,则﹣x>0, ∵当 x>0 时,f(x)=x(﹣x+1) , ∴f(﹣x)=﹣x(x+1) 又∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(x)=﹣f(﹣x)=x(x+1) 故选 B.

9

点评: 本题考查了函数求解析式问题.给定函数当 x>0 的解析式,根据函数 奇偶性求 x<0 的解析式,关键点是利用奇函数的定义 f(﹣x)=﹣f(x)求解.

9.对于定义在 R 上的函数 f(x) ,有下述命题: ①若 f(x)是奇函数,则 f(x﹣1)的图象关于点 A(1,0)对称 ②若函数 f(x﹣1)的图象关于直线 x=1 对称,则 f(x)为偶函数 ③若对 x∈R,有 f(x﹣1)=﹣f(x) ,则 f(x)的周期为 2 ④函数 y=f(x﹣1)与 y=f(1﹣x)的图象关于直线 x=1 对称. 其中正确命题的个数是( A. 1 B. 2 ) C. 3 D. 4

考点: 函数的周期性;函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据 f(x﹣1)的图象由 f(x)的图象向右移一个单位可知①②的真假, 根据对 x∈R,有 f(x﹣1)=﹣f(x) ,则 f(x﹣2)=﹣f(x﹣1)=f(x)可知 函数的周期从而确定③的真假,根据 y=f(x﹣1)的图象由 f(x)的图象向右 移一个单位,y=f(1﹣x)的图象是由 f(x)的图象关于 y 轴对称后向右平移一 个单位,可知④的真假. 解答: 解:∵f(x)是奇函数∴f(x)的图象关于原点对称, 而 f(x﹣1)的图象由 f(x)的图象向右移一个单位, 故 f(x﹣1)的图象关于点 A(1,0)对称,故①正确; 若函数 f(x﹣1)的图象关于直线 x=1 对称,而 f(x﹣1)的图象由 f(x)的图 象向右移一个单位, 则 f(x)的图象关于 y 轴对称,∴f(x)为偶函数故②正确; 若对 x∈R,有 f(x﹣1)=﹣f(x) ,则 f(x﹣2)=﹣f(x﹣1)=f(x)∴f(1) 是周期函数,且周期为 2,故③正确; y=f(x﹣1)的图象由 f(x)的图象向右移一个单位,y=f(1﹣x)的图象是由 f(x)的图象关于 y 轴对称后向右平移一个单位
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∴函数 y=f(x﹣1)与 y=f(1﹣x)的图象关于直线 x=1 对称.故④正确; 故选 D 点评: 本题主要考查了抽象函数的奇偶性、单调性以及图象的对称性和平移变 换等有关知识,是一道综合题,需要对各性质都要清楚才能做出,属于中档题.

10.函数 y=2x3﹣3x2(



A. 在 x=0 处取得极大值 0,但无极小值 B. 在 x=1 处取得极小值﹣1,但无极大值 C. 在 x=0 处取得极大值 0,在 x=1 处取得极小值﹣1 D. 以上都不对

考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 求出函数的导数,得到函数的单调区间,进而求出函数的极值. 解答: 解:y′=6x2﹣6x, 令 y′>0,解得:x>1 或 x<0,令 y′<0,解得:0<x<1, ∴函数 y=2x3﹣3x2 在(﹣∞,0) , (1,+∞)递增,在(0,1)递减, ∴函数在 x=0 处取得极大值 0,在 x=1 处取得极小值﹣1, 故选:C. 点评: 本题考查了函数的单调性、极值问题,考查导数的应用,是一道基础题.

11. 设函数 f (x) = A. 3 B. 6

,则 f (﹣2) +f(log212)=( C. 9 D. 12



考点: 函数的值. 专题: 计算题;函数的性质及应用.

11

分析: 先求 f(﹣2)=1+log2(2+2)=1+2=3,再由对数恒等式,求得 f(log212) =6,进而得到所求和. 解答: 解:函数 f(x)= 即有 f(﹣2)=1+log2(2+2)=1+2=3, f(log212)= =12× =6, ,

则有 f(﹣2)+f(log212)=3+6=9. 故选 C. 点评: 本题考查分段函数的求值,主要考查对数的运算性质,属于基础题.

12.已知曲线 y=x+lnx 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切, 则 a=( A. ﹣2 ) B. 0 C. 1 D. 8

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 求出 y=x+lnx 的导数,求得切线的斜率,可得切线方程,再由于切线与 曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,有且只有一切点,进而可联立切线与曲线方程, 根据△=0 得到 a 的值. 解答: 解:y=x+lnx 的导数为 y′=1+ , 曲线 y=x+lnx 在 x=1 处的切线斜率为 k=2, 则曲线 y=x+lnx 在 x=1 处的切线方程为 y﹣1=2x﹣2,即 y=2x﹣1. 由于切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切, y=ax2+(a+2)x+1 可联立 y=2x﹣1, 得 ax2+ax+2=0, 又 a≠0,两线相切有一切点, 所以有△=a2﹣8a=0,

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解得 a=8. 故选 D. 点评: 本题考查导数的运用:求切线方程,主要考查导数的几何意义:函数在 某点处的导数即为曲线在该点处的导数,设出切线方程运用两线相切的性质是 解题的关键.

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. 集合 A={0, 2, a}, B={1, a2}, 若 A∪B={0,1, 2, 4, 16}, 则 a 的值为 4 .

考点: 并集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 根据给出的集合 A 与 B,结合 A∪B={0,1,2,4,16},可知 a=4,a2=16, 则 a 的值可求. 解答: 解:由 A={0,2,a},B={1,a2}, 又 A∪B={0,1,2,4,16}, ∴ ,

∴满足 A∪B={1,1,2,4,16}的 a 的值为 4. 故答案为:4. 点评: 本题考查了并集及其运算,考查了集合中元素的特性,是基础题.

14.已知函数 f(x)=ax3﹣2x 的图象过点(﹣1,4)则 a=

﹣2



考点: 函数解析式的求解及常用方法;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: f(x)是图象过点(﹣1,4) ,从而该点坐标满足函数 f(x)解析式, 从而将点(﹣1,4)带入函数 f(x)解析式即可求出 a. 解答: 解:根据条件得:
13

4=﹣a+2; ∴a=﹣2. 故答案为:﹣2.
3 点评: 考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系, 注意 (﹣1) 等于﹣1,

而不要写成 1.

15.若 f(x)是 R 上周期为 3 的奇函数,且已知 f(1)=2014.则 f(2015)= ﹣2014 .

考点: 函数奇偶性的性质;函数的周期性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先求 f(0) ,再由 f(x)是 R 上周期为 3 的函数得 f(x+3)=f(x) ,进 而得出 f(2015)=f(3×671+2)=f(2)=f(2﹣3)=f(﹣1)=﹣f(1)得出 结果. 解答: 解:∵f(x)是 R 上的奇函数,f(1)=2014, ∴f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2014, 又 f(x)是 R 上周期为 3 的函数, ∴f(x+3)=f(x) , ∴f(2015)=f(3×671+2)=f(2)=f(2﹣3)=f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2014. 故答案为:﹣2014; 点评: 本题主要考查函数的性质,利用函数的奇偶性与函数的周期性结合来求 函数的函数值,属于基础题.

16. 设f (x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时, f′(x) >0,且 则不等式 f(x)<0 的解集为 .



考点: 函数的单调性与导数的关系;奇函数.

14

专题: 综合题. 分析: 由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, ,则 =f (0)

=f( )=0,则可以将定义域 R 分为(﹣∞,﹣1) , (﹣1,0) , (0,1) , (1,+∞) 四个区间结合单调性进行讨论,可得答案. 解答: 解:∵当 x<0 时,f′(x)>0,∴f(x)在(﹣∞,0)上为增函数, ∵ ∴不等式 f(x)<0 的解集为 ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f( )=0, ∴不等式 f(x)<0 的解集为 综上不等式 f(x)<0 的解集为 故答案为: . , ,

点评: 解答本题的关键是根据已知条件, 结合奇函数的性质, 找出函数的零点, 并以零点为端点将定义域分为几个不同的区间,然后在每个区间上结合函数的 单调性进行讨论,这是分类讨论思想在解决问题的巨大作用的最好体现,分类 讨论思想往往能将一个复杂的问题的简单化,是高中阶段必须要掌握的一种方 法.属中档题

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤. 17.已知全集 U=R,设函数 y=lg(x+1)的定义域为集合 A,函数 y=x2+2x+5 的 值域为集合 B,求 A∩(?UB) .

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合.

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分析: 根据对数函数的定义求出集合 A,根据二次函数的性子求出集合 B,根 据全集 U=R,找出集合 B 的补集,然后找出集合 B 补集与集合 A 的公共元素,即 可求出所求的集合. 解答: 解∵y=lg(x+1)的定义域为集合 A, ∴x+1>0,即 x>﹣1, ∴A=(﹣1,+∞) , ∵函数 y=x2+2x+5 的值域为集合 B, ∴y=x2+2x+5=(x+1)2+4, ∴B=[4,+∞) , ∴?UB=(﹣∞,4) ∴A∩(CUB)=(﹣1,4) . 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,是一道基本题型,求集合补集时 注意全集的范围.

18.已知 f(x)=

是 R 上的单调递增函数,求实数 a

的取值范围.

考点: 指数函数的单调性与特殊点;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 若分段函数 f(x)=

是 R 上的单调递增函数,

则每一段均为增函数,且当 x=1 时,左段函数值不大于右段函数值,进而可得 实数 a 的取值范围.

解答: 解: 根据函数

是 R 上的单调递增函数,

16

可得:每一段均为增函数,且当 x=1 时,左段函数值不大于右段函数值,

所以



故实数 a 的取值范围为[4,8) . 点评: 本题考查的知识点是分段函数的单调性,熟练掌握并正确理解分段函数 的单调性的实际含义,是解答的关键.

19.已知函数 f(x)=ax3+bx,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y=2x﹣2.求函数 f(x)的解析式.

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先求出函数 f(x)的导数,根据题意得到方程组,解出即可. 解答: 解:f′(x)=3ax2+b, 由题知 ∴f(x)=x ﹣x. 点评: 本题考查了曲线的切线方程,考查导数的应用,是一道基础题.
3



20.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx.若函数 y=f(x)在 x=2 处有极值﹣6,求 y=f (x)的单调递减区间.

考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先求出函数的导数,得到方程组,求出 a,b 的值,从而求出函数的解 析式,求出函数递减区间. 解答: 解:f′(x)=3x2+2ax+b,
17

依题意有





,解得



∴f′(x)=3x2﹣5x﹣2, 由 f′(x)<0,得﹣ <x<2, ∴y=f(x)的单调递减区间是 .

点评: 本题考查了求函数的解析式问题,函数的单调性,考查导数的应用,是 一道基础题.

21.已知函数 f(x)=ex﹣mx+1 的图象为曲线 C,若曲线 C 存在与直线 y= x 垂 直的切线,求实数 m 的取值范围.

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先求出函数的导数, 问题可转化为 f′ (x) =ex﹣m=﹣2 有解, 得到 m=ex+2 >2 即可. 解答: 解:f′(x)=ex﹣m,因为与直线 y= x 垂直的直线的斜率为﹣2, 则问题可转化为 f′(x)=ex﹣m=﹣2 有解, 所以 m=ex+2>2. 即实数 m 的取值范围是 m>2. 点评: 本题考查了曲线的切线问题,考查导数的应用,指数函数的性质,是一 道基础题.

22.已知函数 f(x)= 的值.

+sinx,求 f(﹣2)+f(﹣1)+f(0)+f(1)+f(2)

18

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据条件求出函数 f(x)+f(﹣x)=2,进行求解即可. 解答: 解:∵f(x)+f(﹣x)= f(0)=1, ∴f(﹣2)+f(﹣1)+f(0)+f(1)+f(2)=5. 点评: 本题主要考查函数值的计算,根据条件求出 f(x)+f(﹣x)=2 是解决 本题的关键. ,且

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