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南京市2007届高三摸底考试数学学科情况分析


南京市 2008 届高三第一学期期末(2008、01、31) 考试 数学学科质量分析
一、命题意图
此次考试是为了了解我市高三学生通过第一阶段复习后,对数学基础知识、基 本技能、基本思想方法的掌握情况,对空间想象能力、抽象概括能力、推理论证 能力、运算求解能力、数据处理能力、综合能力的达成程度,对以填空题和解答 题构成的新高考试卷的适应状况.帮助同学和老师找出

第一阶段复习中存在的不 足之处,分析学习和教学中的问题,制定出切合实际的第二轮复习的计划,力争 使复习具有针对性和有效性,取得好的复习效果.

二、试卷特点
1.遵循 2008 年江苏省数学考试说明,注意知识的覆盖 如考试说明中必修部分的 76 个考点中的 8 个 C 级点分别在第 15 题 (两角和 (差) 的正弦、余弦、正切) ,第 11 题(平面向量的数量积) ,第 20 题(等差数列) ,第 8 题(等比数列) ,第 18 题(基本不等式) ,第 3 题、第 16 题(一元二次不等式) , 第 19 题(直线方程,圆的方程)进行了覆盖. 2.立足高中数学教材,考查基础知识 以课本中例题、习题的原形为基本题蓝本,考查基础知识.如第 1 题、第 3 题、 第 6 题、第 9 题、第 10 题都是选自教材. 3.依靠数学的通性通法,考查数学能力 通过最简单的正方体,圆柱与圆锥作为载体考查空间想象能力和推理论证能力, 通过茎叶图、数表考查数据处理能力,通过解不等式、解方程、求值、求导等查 考运算求解能力.

三、试题分析
1.设集合 A={x|x>-1},B={x|x≤3},则 A∩B=________.

考查目标:考查集合的运算与表示,容易题,难度 0.97.市均分 4.86. 主要问题:没有用集合或区间的形式表示出结果.不规范.

2.已知复数 z=1+bi(b∈R),z2 是纯虚数,则 b 的值是___________. 考查目标:考查复数的运算与有关概念,容易题,难度 0.85.市均分 4.27. 主要问题:b 的值求的不全,只求出 b=1,少了-1.不严紧.

3.函数 y=lg(x2-2x)的定义域是___________. 考查目标:考查函数的定义域与一元二次不等式解法,容易题,难度 0.89.市均 分 4.44. 主要问题: (1)没有用集合或区间的形式表示出结果,对函数的概念理解不深刻. (2)列出 x -2x≠0
2 2 ? ?x -2x>0, 或? 2 对对数函数的定义域不理解. ? ?x -2x≠1.

(3)一元二次不等式解的不正确,基本运算不到位.

4.经过点(-2,1),且与直线 2x-3y+5=0 平行的直线方程是___________.

考查目标:考查直线方程与两直线的位置关系,容易题,难度 0.87.市均分 4.36. 主要问题:恒等变形不正确,由一般方程不能正确求出斜率,不能正确化点斜式 方程为一般方程,算不对.

5.现有 2008 年奥运会福娃卡片 5 张,卡片正面分别是贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、 妮妮,每张卡片大小、质地和背面图案均相同,将卡片正面朝下反扣在桌子上, 从中一次随机抽出两张,抽到贝贝的概率是___________.

考查目标:考查等可能性事件的概率,容易题,难度 0.81.市均分 4.05. 主要问题:不能正确理解题意,算不对. 2 评讲建议: (1)考虑顺序,所在抽法有 20 种,其中含有贝贝的有 8 种,概率为 . 5 2 (2)不考虑顺序,所在抽法有 10 种,其中含有贝贝的有 4 种,概率为 . 5 (3)一次随机抽出两张等份于每次抽一张,连续抽两次,每次抽到贝贝的概率都 1 2 是 ,和为 . 5 5

6.右面是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图,则平均得分高的是 ___________运动员.
甲 乙 50 32 875421 944 2 0 1 2 3 4 5 1 8 247 199 36

考查目标:考查处理数据和估算能力,容易题,难度 0.95.市均分 4.77. 主要问题:不理解茎叶图的意义,读不懂.

7.已知双曲线的中心在原点,一个焦点为( 2,0),实轴长为 2,则该双曲线的 方程是___________.

考查目标:考查双曲线的标准方程与几何性质,容易题,难度 0.84.市均分 4.18. 主要问题:审题不仔细,误把实轴长为 2 看成 a=2.

8.已知等比数列{an}的各项都为正数,它的前三项依次为 1,a+1,2a+5,则数 列{an}的通项公式为 an=___________. 考查目标:考查等比数列的概念与通项公式,容易题,难度 0.86.市均分 4.29. 主要问题:审题不仔细,没有注意各项都是正数这个条件,运算不正确,没有得 到 a 的正确值.

9.根据如图所示的算法流程图,可知输出的结果 i 为___________.

开始 i←1 s←1

i←i+1 s←s×i s≤6 N 输出 i 结束
(第 9 题图)

Y

考查目标:考查算法与流程图,中等题,难度 0.73.市均分 3.67. 主要问题:读不懂流程图. 评讲建议: (1)列表法:
运算次数 i s 0 1 1 1 2 1 2 3 2 3 4 6 4 5 24

(2)注意变式训练: ① 当型变为直到型.
开始 i←1 s←1 i←i+1 s←s×i ① s>6 Y 输出 i N N 输出 s 结束 结束 开始 i←1 s←1

i←i+1 s←s×i Y

②变为填条件

当输出 S=24 时,关于 i 的判断框①应填的条件是___________.

10.已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm) , 3 可得这个几何体的体积是___________cm .
主视图 1 1 左视图

1 2 俯视图

1 2

考查目标:考查三视图与立体图之间的转化,柱体、锥体的体积计算.容易题, 难度 0.81.市均分 4.06. 主要问题:不能正确的进行三视图与立体图的转化,对柱体、锥体的体积公式不 熟悉,计算不正确.

?? ?? ?? ?? 11.已知| OA |=2,| OB |=2 3, OA ? OB =0,点 C 在线段 AB 上,且?AOC=60?, ?? ?? 则 AB ? OC =___________.

考查目标:考查向量的数量积及向量与几何的转化.中等题,难度 0.62.市均分 3.12. 主要问题:不能正确的把向量语言用图形表示出来,对向量的数量积运算不熟 练.两个向量的夹角的概念模糊. ?? ?? ?? ?? 评讲建议: (1)根据| OA |=2,| OB |=2 3, OA ? OB =0 可得△AOB 是直角三角 形,且?OAB=60?.又因为?AOC=60?,故 C 为 AB 的中点.②可以用几何法或 ?? ?? ?? ?? ?? ?? 代数法求出 AB ? OC . 用几何法, 根据条件可得| AB |=4, | OC |=2, < AB ,OC ?? ?? >=60?.故 AB ? OC =4; (2)用代数法,如图建立直角坐标系,则 A(0,2),B(2 3,0),C( 3,1),所以 ?? AB =(2 3,-2), ?? ?? ?? ?? ?? ?? 1), 从而 AB ? OC =4. 或用基底法, 选取 OA ,OB 作为基底, 则 AB OC =( 3, ?? ?? ?? 1 ?? ?? ?? ?? 1 ?? ?? = OB - OA , OC = ( OB + OA ),所以 AB ? OC = ( OB 2- OA 2)=4. 2 2
y A C O B O A C B x

12.函数 f(x)由下表定义:

x f(x)

1 3

2 4

3 5

4 2

5 1

若 a1=2,a2=5,an+2=f(an),n∈N*,则 a2008 的值是___________.

考查目标: 考查函数的概念, 数列的通项以及归纳推理能力. 中等题, 难度 0.52. 市 均分 2.6. 主要问题: 不能正确的理解表格中反应的内容, 计算几项找不出规律, 求不出 a2008. 评讲建议: (1)a1=2,a2=5,a3=4,a4=1,a5=2,a6=3,a7=4,a8=5,a9=2,a10=1, a11=4,a12=3,a13=2,a14=5 周期为 12.a2008=a167×12+4=a4=1. (2)a2=5,a4=1,a6=3,a8=5,a10=1,a12=3,??,偶数项是周期为 3. a2008=a2007+1=a4=1. (3)令 bn=a2n,则 b1=5,b2=1,b3=3,?,bn 是周期为 3 的周期数列,a2008 =b1004=b1002+2=b2=1.

13.如图,正六边形 ABCDEF 的两个顶点 A,D 为椭圆的两个焦点,
F A B E

其余四个顶点在椭圆上,则椭圆的离心率的值是___________.
D C

考查目标:考查椭圆的定义与几何性质.中等题,难度 0.50.市均分 2.5. 主要问题:对椭圆的定义理解不深刻,不会根据图形找出椭圆的几何量. 评讲建议: (1)几何法:不妨设正六边形的边长为 1,则椭圆的焦距 2c=AD=2, c 2c 椭圆的长轴长 2a=AF+AD=1+ 3,离心率 e= = = 3-1. a 2a
F A B E

D C

x2 y2 (2)坐标法:如图建立直角坐标系,设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),不妨设 a b 1 3 正六边形的边长为 1,则 c=1,即 a2-b2=1,又 E 的坐标为( , ),代入椭圆 2 2 3+1 3-1 1 3 方程得, 2+ 2=1,解得 a= , (a = 舍去) ,求得 e= 3-1. 4a 4b 2 2
y
F A B E

O
C

D

x

14.已知定义域为 D 的函数 f(x),对任意 x∈D,存在正数 K,都有|f(x)|≤K 成立, 则称函数 f(x)是 D 上的 “有界函数” . 已知下列函数: ①f(x)=2sinx; ②f(x)= 1-x2; x ③f(x)=1-2x;④f(x)= ,其中是“有界函数”的是_______. (写出所有满足 1+x2 条件要求的函数的序号) .

考查目标:考查函数的性质.中等题,难度 0.35.市均分 1.74. 主要问题:一是对定义中的“任意” 、 “存在”不理解,二是对|f(x)|≤K 不会转化, 处理含有绝对值的问题的思路不清晰. 评讲建议: (1)从形的角度来看, “有界函数”的图象一定夹在两条直线 y=K 与 y=-K 之 x 1 间,画出几个函数的图象,而 f(x)= 可以根据函数 y = x + 来画. x 1+x2 (2)从数的角度来看, “有界函数”的值域一定包含于区间[-K,K].求出几个 x 函数的值域,然后进行判断,而 f(x)= 的值域可以观察法或判别式法或不等 1+x2 式法.

15.(本题满分 14 分) 1 ? ? 已知?∈(0, ),tan?= .求 tan2?,sin(2?+ )的值. 2 2 3

考查目标:考查同角三角函数之间的基本关系,两角和与二倍角的三角函数.容 易题,难度 0.86.市均分 12. 主要问题:二倍角的正切公式记忆不准确,用同角三角函数关系求值时不考虑角 的范围,计算不准确.

? ? ? ? 4? 变化训练:令 2?+ =?,则?= - .?∈( , ).此题化为: 3 2 6 3 3 ? 4? ? ? 1 ? 已知?∈( , ),tan( - )= ,求 tan(?- ),sin?的值. 3 3 2 6 2 3

16.(本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 1 已知函数 f(x)=- x3+x2+3x+a. 3 (1)求 f(x)的单调减区间; 7 (2)若 f(x)在区间[-3,4]上的最大值为 ,求 a 的值. 3

考查目标:考查用导数法研究三次函数的单调性与最值.容易题,难度 0.68.市 均分 9.52. 主要问题:第一问一是求导不正确,二是解一元二次不等式不正确,三是两个单 调递减区间用“∪”联接. 第二问中叙述不完整,有人直接就说最小值是 f(-1). 变化训练: (3)若 f(x)=0 有三个不同的零点,求实数 a 的取值范围. 2a 14 (4)若函数 f(x)的图象与直线 y=4x+ 相切,求过点(1, )的切线方程. 3 3 17.(本题满分 14 分,第 1 小题 7 分,第 2 小题 7 分) 如图,M,N,K 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB,CD,C1D1 的中点. (1)求证:AN∥平面 A1MK;
1 (2)求证:平面 A1B1C?平面 A1MK.

D1 A

K

C1 B1

D

N

C

A

M
(第 17 题图)

B

考查目标:考查空间平行与垂直问题.容易题,难度 0.64.市均分 8.96. 主要问题:一是用平行四边形证明线线平行时,证明平行四边形不规范.二是证 明线面垂直不规范.定理没有写全或用了不可作为定理的结论. 思维训练:
? ?

? ? ?
a b c a ? a b

? ? ?
a

? ?

? ? ? ? ?
a

线∥线

?

b

? ?
b

线∥面
a

面∥面

? ? ?

?

? ? ?

? ? ? ?

线⊥线
?

线⊥面
? ? ? ?

? ? ?

面⊥面

18. (本题满分 16 分) 某建筑的金属支架形状如图所示,根据要求 AB 至少长 2.8 米,C 为 AB 的中点, B 到 D 的距离比 CD 的长小 0.5 米,?BCD=60?,已知建造支架的材料每米的价 格一定,问怎样设计 AB,CD 的长度,可使建造这个支架的成本最低?
A C

B

考查目标:考查建立数学模型解决实际问题能力以及解三角形、基本不等式等知 识.中等题,难度 0.27.市均分 4.38. 主要问题:一是不知选择什么量来表示金属支架的成本,二是知道设出两个量, 但不会用余弦定理找出这两个量之间的关系,三是找出关系后不知用哪一个量表 示另一个量,四是消元后不会求此函数的最小值. 评讲建议: (1)设 BC=a 米,CD=b 米, 1 1 则由(b- )2=b2+a2-2abcos60?,得 a2-ab+b- =0 2 4 1 1 设 b+2a=t,则 b=t-2a,代入 a2-ab+b- =0 得 3a2-(2+t)a+(t- )=0,由 4 4 3 + a∈R ,得△≥0 得 t≥7,或 t≤1(舍去) ,a= .b=2 时取最小值. 2 1 1 a2- a2- 4 4 1 3 (2)由(b- )2=b2+a2-2abcos60?,得 b= ,y=b+2a= +2a,y?= 2 4 a-1 a-1 (2a-3)(2a-1) ? (a-1)2 3 1 3 3 令 y?=0 得 a= ,a= 不合.在[1.4, )内 y?<0,y 递减,在( ,+∞),y?>0,y 2 2 2 2 3 递增,故当 a= 时,y 有极小值,且此极小值就是最小值. 2 19.(本题满分 16 分,第 1 小题 8 分,第 2 小题 8 分) 设 O 为坐标原点,已知圆 M:x2+(y-2)2=1,设点 B,C 是直线 l:x-2y=0 上 的两点,它们的横坐标分别是 t,t+4(t∈R) ,点 P 在线段 BC 上,过 P 点作圆 M 的切线 PA,A 为切点. (1)若 t=0,MP= 5,求直线 PA 的方程; (2)经过 A,P,M 三点的圆的圆心是 D,求线段 DO 长的最小值 L(t).

考查目标:考查两点间距离公式、直线的方程、四点共圆、二次函数在闭区间上 的最值等有关知识.中等题,难度 0.24.市均分 3.84. 主要问题:一是忽视 P 在线段 BC 这个条件,结果出现两解,增加了后面的计算 量;二是对过一点与圆相切的直线方程的求法不熟练,方法选择不恰当或计算不 合理;三是对切线的性质不清楚,直角三角形的外接圆圆心不会求;四是对二次 函数在闭区间上的最值不会求,不知要讨论或不知如何讨论.

20.(本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分) 已知数列{an}是公差为 d 的等差数列, 它的前 n 项和为 Sn, S4=2S2+4, bn= (1)求公差 d 的值; 5 (2)若 a1=- ,求数列{bn}中的最大项和最小项的值; 2 (3)若对任意的 n∈N*,都有 bn≤b8 恒成立,求 a1 的取值范围. 考查目标:考查等差数列的基本量求法,数列中最大项、最小项的求法,不等式 恒成立等问题.中等题,难度 0.33.市均分 5.28. 主要问题:一是计算错误,导致 d 或 bn 不正确.二是叙述不清楚,最大项、最小 项理由说不完整.三是以几何直观代替论证,过程不规范. 7 1 1 评讲建议:第(2)问:由(1)得 an=a1+(n-1)=n- .∴bn=1+ =1+ . 2 an 7 n- 2 ①用函数法:∵函数 y=1+ 7 7 在(-∞, )和( ,+∞)内单调递减, 7 2 2 x- 2 1 1+an . an

∴b3<b2<b1<1;当 n≥4 时,1<bn≤b4. ∴数列{bn}中的最大项是 b4=3,最小项是 b3=-1. 3 ③用不等式法:设 bn 是数列{bn}的最大值,因 b1= 显然不是最大值,所以 n>1, 5

? 1 7≥ 1 9, 7 9 ?n-2 n-2 ?2<n<2, ? ?bn≥bn-1, 7 9 则? ?? 1 ? ? < n < ,又 n∈N*,故 n=4. ? 5 7 2 1 2 ? ?bn≥bn+1. ?n-5≤n-7. ?n<2或n>2. ? 2 2
同理求出最小值,b3=-1,b4=3. ( 3 )用特殊到一般法, bn = 1 +
?b7≤b8, ? 1 .对 n ∈ N* ,都成立,则 ? ? n+a1-1 ?b9≤b8.

1 1 ? ≤ ?6+a1 7+a1, ? ?-7<a1<-6, ? ?? 1 ? ?-7<a1<-6. 1 ? ?a1<-8或a1>-7. ? ?8+a1≤7+a1. 且当-7<a1<-6 时,1>b1>b2>?>b7,b8>b9>?>1.故满足 bn≤b8. 或不等式法:对任意的 n∈N*,都有 bn≤b8 恒成立,? ∈N*恒成立? 1 1 - ≤0 对 n n+a1-1 a1+7

n-8 ≥0(*)对 n∈N*恒成立. (a1+7)(a1+n-1)

①当 n≤7 时,n-8<0,上式?(a1+7)(a1+n-1)<0,?-7<a1<1-n 对 n=1, 2,?,7 恒成立?-7<a1<-6. ②当 n=8 时,a1∈R 且 a1≠-7. ③当 n≥9 时, (*)式?a1<1-n,或 a1>-7,因为 a1<1-n 不可能对 n∈N*恒 成立,故 a1>-7.综上所述-7<a1<-6.

四、后一阶段复习注意问题
1.抓平时复习中的薄弱环节,突出重中之重 坚持以函数、不等式、数列、三角函数、立体几何、解析几何、导数与向量、应 用问题等主干知识为板块的专题复习,加强中等题训练,确保这几块的中等难度 的解答题不失分. 2.抓思维易错点,突出典型问题分析

针对学生在应用概念、性质、定理、公式解题时常忽略解题基本原则,忽略挖掘 问题的隐含条件而造成解题失误的情况.让学生查找失误原因,以便对症下药, 进行有针对性的强化训练,从而减少失误率. 3.抓运算能力,提高解题准确性与速度 填空题在数学学科中的比例大,分值高,因此在冲刺阶段很有必要强化解填空 题的训练,从而提高得分率. 4.抓规范答题,加强非智力因素的训练 每次练习都要求学生做到“四要”:一要熟练、准确;二要简捷、迅速;三要 注重思维过程;四要规范.其中规范是高考取得高分的保证,要防止由于解题格 式、过程的不规范而失分. 5.抓“考试说明”与教材,突出课本功能 进一步对高考试卷的进行研究,领悟“考试说明”中对各知识点的具体要求, 提高复习效率.与此同时,要紧扣课本,突出课本基础知识的作用,突出课本例 题中数学思想方法的挖掘和应用,重视课本习题中潜在功能的挖掘与利用.


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