当前位置:首页 >> 数学 >>

河南省天一大联考2015届高三数学阶段测试试卷(一)理


河南省天一大联考 2015 届高三数学阶段测试试卷(一)理(扫描版)

-1-

-2-

-3-

-4-

-5-

-6-

-7-

-8-

天一大联考(原豫东、豫北十所名校联

考) 2014—2015 学年高中毕业班阶段性测试(一) 数学(理科)·答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分. 题号 答案 1 C 2 A 3 C 4 B 5 C 6 D 7 B 8 C 9 B 10 C 11 A 12 C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13) 2 (15) 12 π 三、解答题 (14) 3 或 (16) 804

7 3

(17)解: (Ⅰ)由正弦定理得 a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B, c ? 2 R sin C , 又 b cos C ? 3a cos B ? c cos B , 所以 sin B cos C ? 3sin A cos B ? sin C cos B ,????????????????(2 分) 即 sin B cos C ? sin C cos B ? 3sin A cos B , 所以 sin( B ? C ) ? 3sin A cos B , 即 sin A ? 3sin A cos B ,又 sin A ? 0 ,

1 .??????????????????????????????(6 分) 3 1 (Ⅱ)由 BA BC ? 2, 得 ac cos B ? 2 ,又 cos B ? ,所以 ac ? 6 .????????(8 分) 3
所以 cos B ? 由 b ? a ? c ? 2ac cos B, b ? 2 2 ,可得 a 2 ? c 2 ? 12 ,
2 2 2

所以 (a ? c) ? 0 ,即 a ? c ,所以 a ? c ?
2

6 .????????????????(12 分)

(18)解: (Ⅰ)由

a ? 0.15 ,得 a ? 15 ,因为 35 ? 25 ? a ? 10 ? b ? 100 ,所以 b ? 15 , 100

“购买该品牌汽车的 3 位顾客中至多有 1 位采用 4 期付款”的概率
2 P( A) ? 0.93 ? C1 3 ? 0.1? (1 ? 0.1) ? 0.972. ??????????????????(4 分)

(Ⅱ) 记分期付款的期数为 ? ,依题意得 P (? ? 1) ? 0.35 , P(? ? 2) ? 0.25 , P(? ? 3) ? 0.15 ,

P(? ? 4) ? 0.1 , P(? ? 5) ? 0.15 ,?????????????(6 分)
因为 X 的可能取值为 1,1.5, 2 ,并且 P ( X ? 1) ? P (? ? 1) ? 0.35 ,

P( X ? 1.5) ? P(? ? 2) ? P(? ? 3) ? 0.4 , P( X ? 2) ? P(? ? 4) ? P(? ? 5) ? 0.1 ? 0.15 ? 0.25 .?????????????(10 分)
所以 X 的分布列为

X

1

1.5

2
-9-

P

0.35

0.4

0.25

所以 X 的数学期望为 E ( X ) ? 1? 0.35 ? 1.5 ? 0.4 ? 2 ? 0.25 ? 1.45(万元).????(12 分) (19)解: (Ⅰ)当 M 是 PB 的中点时, ME // BC .因为 BC // 平面 PAD ,所以 ME // 平面 PAD ,所以 ME // AN .又 ME // AD ,所以 N 、 D 两点重合. 所以 PN ? PD ? 3 ? ( 2) ? 11 .????????????????????(4 分)
2 2

(Ⅱ)解法一:连接 AC 、 BD 交于点 O ,以 O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系, 则 B ( 2, 0, 0), C (0, 2, 0), P(0, 0,3), A(0, ? 2, 0), E ? 0,

? ? ?

2 3? , ?. 2 2? ?

? 3 2 3? ???????????(6 分) ? PB ? ( 2, 0, ?3), PC ? (0, 2, ?3), AE ? ? ? 0, 2 , 2 ? ?. ? ?
设平面 PBC 的一个法向量为 m =(x, y, z ), 则

? ?m ? PB ? 2 x ? 3z ? 0, 令 z ? 2 ,得 m ? (3,3, 2). ? m ? PC ? 2 y ? 3 z ? 0, ? ?
?????????????????????(8 分) 设直线 AE 与平面 PBC 所成的角为 ? ,则

9 2 3 2 ? 2 2 ? 2 30 . sin ? ? cos? m , AE ? ? 15 3 3 ?2 5 2
所以直线 AE 与平面 PBC 所成角的正弦值为

2 30 .?????????????? (12 分) 15
32 ?

解法二:设直线 AE 与平面 PBC 所成的角为 ? .因为 PC ? 所以 CE ?

? 2?

2

? 11 ,

2 22 11 ,所以 cos ?PCA ? .???????????????(6 分) ? 2 11 11
3 3 27 ,故 AE ? . 2 4

由余弦定理,得 AE 2 ? AC 2 ? CE 2 ? 2 AC ? CE ? cos ?PCA ? 因为 VP ? ABC ? V A? PCB ,易得 VP ? ABC ?

1 ? 2 ? 3 ? 2 ,S ?PBC ? 10 ,????????(8 分) 3

- 10 -

所以点 A 到平面 PBC 的距离 d ?

2?3 3 d 2 30 , ? 10 ,故 sin ? ? ? AE 15 10 5
2 30 .?????????????(12 分) 15

所以直线 AE 与平面 PBC 所成角的正弦值为

(20)解: (Ⅰ)因为点 F (? 3?,?0?) 在圆 M : ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 16 内,所以圆 N 内切于圆 M . 因为 | NM | ? | NF |? 4 ?| FM | ,所以点 N 的轨迹 E 为椭圆,且 2a ? 4, c ? 3 ,所以 b ? 1 ,

所以轨迹 E 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .??????????????????????(4 分) 4

(Ⅱ) (i)当 AB 为长轴(或短轴)时,依题意知,点 C 就是椭圆的上下顶点(或左右顶点) , 此时 S ?ABC ?

1 ? | OC | ? | AB |? 2 .??????????????????????(5 分) 2

(ii)当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时,设其斜率为 k ,直线 AB 的方程为 y ? kx ,

? x2 4 4k 2 ? ? y 2 ? 1, 2 2 联立方程 ? 4 得 xA ? , y ? , A 2 2 1 ? 4 k 1 ? 4 k ? y ? kx, ?
2 所以 | OA | ? x A ? yA ?

2

2

4(1 ? k 2 ) .?????????????????????(7 分) 1 ? 4k 2

由 | AC |?| CB | 知, △ABC 为等腰三角形, O 为 AB 的中点, OC ? AB ,所以直线 OC 的

? x2 ? y 2 ? 1, ? 4k 2 4(1 ? k 2 ) 1 4 ?4 2 2 方程为 y ? ? x ,由 ? 解得 xC ? 2 , , yC ? 2 , | OC |2 ? 2 k ? 4 k ? 4 k k ? 4 1 ? y ? ? x, ? k ?
?????????????????????????????????????(9 分)

S ?ABC ? 2S?OAC ?| OA | ? | OC |?

4(1 ? k 2 ) 4(1 ? k 2 ) 4(1 ? k 2 ) ? ? , 1 ? 4k 2 k2 ? 4 (1 ? 4k 2 )(k 2 ? 4)

由于 (1 ? 4k )( k ? 4)?
2 2

(1 ? 4k 2 ) ? (k 2 ? 4) 5(1 ? k 2 ) 8 ? ,所以 S ?ABC… ,????(11 分) 2 2 5
8 . 因为 5

当且仅当 1 ? 4k 2 ? k 2 ? 4 ,即 k ? ?1 时等号成立,此时 △ABC 面积的最小值是

2?

8 8 ,所以△ABC 面积的最小值为 ,此时直线 AB 的方程为 y ? x 或 y ? ? x . 5 5

????????????????????????????????????(12 分)

- 11 -

(21)解:(Ⅰ) 函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? a ?

1 ( x ? 0) . x

当 a… 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数, f ( x) 没有极值;?????(2 分)

1? ? a? x ? ? 1 1? a? ? ? 当 a ? 0 时 , f ?( x) ? , 若 x ? ? 0, ? ? , 则 f ?( x ) ? 0 ; 若 x ? ( ? , ??) , 则 x a a? ?
f ?( x) ? 0 ,

1 1 1 ? f ( x) 存在极大值,且当 x ? ? 时, f ( x)极大值 ? f (? ) ? ln(? ) ? 1 .?????(4 分) a a a

0 时, f ( x) 没有极值; 综上可知:当 a…
当 a ? 0 时, f ( x) 存在极大值,且当 x ? ?

1 1 时, f ( x)极大值 ? ln( ? ) ? 1 . a a

?????????????????????????????????????(5 分) (Ⅱ) 函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? be ,? g ?(0) ? b .
x

? ?b ? c ? 1, g (0) ? b ? c ,? ? ? ? b ? 1,

? g ( x) ? e x .???????????????????????????????(6 分)
当 a ? 0 时, f ( x) ? ln x ,令 ? ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? 2 ,则 ? ( x) ? e ? ln x ? 2 ,
x

? ? ?( x) ? e x ?

1 ,且 ? ?( x) 在 (0, ??) 上为增函数, x 1 设 ? ?( x) ? 0 的根为 x ? t ,则 et ? ,即 t ? e ? t , t
当 x ? (0, t ) 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 (0, t ) 上为减函数; 当 x ? (t , ??) 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 (t , ??) 上为增函数,???????????(9 分)

?? ( x) min ? ? (t ) ? et ? ln t ? 2 ? et ? ln e ? t ? 2 ? et ? t ? 2 .???????????(10 分)

?1? ?1 ? ? ?(1) ? e ? 1 ? 0 , ? ? ? ? ? e ? 2 ? 0 ,? t ? ? ,1? , ?2? ?2 ?
由于函数 ? ( x) ? e ? x ? 2 在 ?
x

?1 ? ,1? 上为增函数, ?2 ?
1

∴ ? ( x) min ? ? (t ) ? e ? t ? 2 ? e 2 ?
t

1 1 ? 2 ? 2.25 ? ? 2 ? 0 , 2 2

∴ f ( x) ? g ( x) ? 2 .????????????????????????????(12 分)
- 12 -

( 22 )证明: (Ⅰ) 因为 BC 是圆 O 的直径, BE 是圆 O 的切线,所以 EB ? BC . 又因为 AD ? BC , 所 以 AD ∥ BE , 可 知 △BFC ∽△DGC , △FEC ∽△GAC , 所 以

BF CF EF CF BF EF ,所以 . ? , ? ? DG CG AG CG DG AG 因为 G 是 AD 的中点,所以 DG ? AG ,所以 F 是 BE 的中点, BF ? EF . ????(5 分) (Ⅱ)如图,连接 AO,AB ,因为 BC 是圆 O 的直径,所以 ?BAC ? 90° .

在 Rt△BAE 中,由(Ⅰ)知 F 是斜边 BE 的中点, 所以 AF ? FB ? EF ,所以 ?FBA ? ?FAB . 又因为 OA ? OB ,所以 ?ABO ? ?BAO . 因为 BE 是圆 O 的切线,所以 ?EBO ? 90° . 因为 ?EBO ? ?FBA ? ?ABO ? ?FAB ? ?BAO ? ?FAO ? 90° , 所以 PA 是圆 O 的切线.??????????????????????????(10 分) (23)解: (Ⅰ)直线 l 的参数方程为 ?
2

? x ? 4 ? t cos ? , (t 为参数 ) .?????????(2 分) ? y ? 2 ? t sin ?
2 2

因为 ? ? 4 cos ? ,所以 ? ? 4 ? cos ? ,所以曲线 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 x . ?????????????????????????????????????(4 分) (Ⅱ)将 ?

? x ? 4 ? t cos ? , 2 2 2 代入 C : x ? y ? 4 x 中,得 t ? 4(sin ? ? cos ? )t ? 4 ? 0 ,则 ? y ? 2 ? t sin ?

?? ? 16(sin ? ? cos ? ) 2 ? 16 ? 0, ? 有 ? t1 ? t2 ? ?4(sin ? ? cos ? ), ?????????????????????(6 分) ? t t ? 4, ? 12
所以 sin ? cos ? ? 0 .又 ? ? [0, π) ,所以 ? ? ? 0,

? ?

π? ?, 2?

π? ? | PM | ? | PN |?| t1 | ? | t2 |? ?(t1 ? t2 ) ? 4(sin ? ? cos ? ) ? 4 2 sin ? ? ? ? ,???(8 分) 4? ?
由? ?

2 π? π ? π 3π ? ? ? sin ? ? ? ? ? 1 ,所以 | PM | ? | PN |? (4, 4 2] .???(10 分) ?? , ? 得 2 4? 4 ?4 4 ? ?
1 2 x ? 4 ,得 ?3 ? x? 0 ; 时,原不等式化为 4 ? x… 2

2 x ? 4 , 得 x? ? 3 ; (24)解: (Ⅰ)当 x? ? 3 时,原不等式化为 ?3 x ? 2…
当 ?3 ? x?

- 13 -

当x?

1 时,原不等式化为 3 x ? 2… 2 x ? 4 ,得 x… 2, 2

综上, A ? {x | x? 0 或 x… 2} .????????????????????????(5 分) (Ⅱ)当 2 x ? 4? 0, 即 x? ? 2 时, | 2 x ? a | ? | x ? 3 | 厖 0 2 x ? 4 成立, 当 2 x ? 4. a ?1 或 > 0, 即 x ? ?2 时 , | 2 x ? a | ? | x ? 3 |?| 2 x ? a | ? x ? 3… 2 x ? 4 , 得 x…

x?

a ?1 , 3

所以 a ? 1? ? 2 或 a ? 1?

a ?1 ,得 a? ? 2 . 3

综上, a 的取值范围为 ? ??, ?2? .??????????????????????(10 分)

- 14 -


相关文章:
河南省天一大联考2015届高三阶段测试(一)数学理试题(WORD版)
河南省天一大联考2015届高三阶段测试(一)数学理试题(WORD版)_数学_高中教育_教育...CB ,当 ABC 的面积最小时, 求直线 AB 的方程. (21)(本小题满分12分) ...
河南省天一大联考2015届高三阶段测试(一)数学文试题含解析
河南省天一大联考2015届高三阶段测试(一)数学试题含解析_数学_高中教育_教育专区。河南省开封高级中学等 22 校 2015 届高三天一大联考(一) 文科数学试卷试卷...
2016届河南省高三上学期天一大联考阶段测试数学(理)试题 一 word版含解析
2016届河南省高三上学期天一大联考阶段测试数学(理)试题 一 word版含解析_高考_高中教育_教育专区。天一大联考 2016 学年高中毕业班阶段性测试(一) 数学理科一、...
河南省2016届高三上学期天一大联考阶段测试一 数学(理)试题 扫描版含答案
河南省2016届高三上学期天一大联考阶段测试一 数学(理)试题 扫描版含答案_高中教育_教育专区。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ...
河南省2016届高三上学期天一大联考阶段测试数学(理)试题(扫描版)
河南省2016届高三上学期天一大联考阶段测试数学(理)试题(扫描版)_数学_高中教育_教育专区。 文档贡献者 whyzhxz 贡献于2015-09-14 相关文档推荐 暂无相关推荐...
河南省天一大联考2016届高三阶段性测试(四) 数学(理) Word版含答案
河南省天一大联考2016届高三阶段测试(四) 数学(理) Word版含答案_高三数学_...天一大联考 2015-2016 学年高中毕业班阶段测试(四) 数学(理科) 第Ⅰ卷一...
河南省天一大联考2016届高三阶段性测试(四) 数学(理) Word版含答案
河南省天一大联考2016届高三阶段测试(四) 数学(理) Word版含答案_高三数学_...天一大联考 2015-2016 学年高中毕业班阶段测试(四) 数学(理科) 第Ⅰ卷一...
河南省天一大联考2016届高三阶段性测试(四) 数学(理) Word版含答案
河南省天一大联考2016届高三阶段测试(四) 数学(理) Word版含答案_数学_高中...天一大联考 2015-2016 学年高中毕业班阶段测试(四) 数学(理科)第Ⅰ卷一、...
河南省天一大联考2016届高三阶段性测试(四)数学(理)试题(含答案)
http://www.eywedu.cn/ 天一大联考 2015-2016 学年高中毕业班阶段测试(四) 数学(理科)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分...
更多相关标签:
2016河南省天一大联考 | 2017河南省天一大联考 | 河南省天一大联考 | 河南省天一大联考2015 | 河南省高二天一大联考 | 河南省天一联考 | 天一大联考2017届高三 | 2016天一大联考高三 |