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0866 高三数学-2015届高三月考数学试卷20150105


2015 届高三Ⅲ部冲刺二统模拟测试(一)

数 学 试 题I

2015.1.9

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需写出解答过程,请把答案 直接填写在答题卡相应位置 上. ....... 1.若集合 A={0,1,2,4},B={1,2,3},则 A∩B= ▲ .

/>3?i 2.复数 2 (i 为虚数单位)的实部等于 i



.

3.右图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图, 则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 ▲ . x2 y2 4.已知双曲线 2- =1(a>0)的离心率为 2,则 a= a 3 ▲ . Read a S ?0 I ?1 While I≤3 S ?S+a a ?a×2 I ?I+1 End While Print S
第(6)题

5.抛掷一粒骰子, 观察掷出的点数, 设事件 A 为出现奇数点, 事件 B 为出现 2 1 1 点,已知 P(A)= ,P(B)= ,则出现奇数点或 2 点的概率为 2 6 6.根据如图所示的伪代码,当输入 a 的值为 3 时,最后输出的 S 的 值为 ▲ . 7.已知 ?an ? 为等比数列, a1 ? a7 ? 2, a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? 8.已知 sin( ▲ . . ▲ .

?
2

?? ) ?

4 5? ?? ) ? , ? ? (0, ? ) ,则 cos( 5 6



9.已知函数

f ( x) ? x 2 ? abx ? a ? 2b . 若 f (0) ? 4 则 f (1) 的 最 大 值 为

▲ . 10. 如图所示, 已知三棱柱 ABC A1B1C1 的所有棱长均为 1, 且 AA1⊥底面 ABC, 则三棱锥 B1 ABC1 的体积为 ▲ . 11.已知存在实数 a ,满足对任意的实数 b ,直线 y ? ? x ? b 都不是曲线

y ? x 3 ? 3ax 的切线,则实数 a 的取值范围是



. 第(10) 题

12. 如 图 , 在 ?ABC 中 , ?A ? 600 , ?A 的 平 分 线 交 BC 于 D , 若 AB ? 4 , 且 B 1 ▲ . AD ? AC ? ? AB (? ? R) ,则 AD 的长为 D 4 13.已知 A(?2, 0) , B(2, 0) ,点 P 在圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? r 2 ? r ? 0 ? 上,满足 若这样的点 P 有两个, 则 r 的取值范围是 PA2 ? PB 2 =40, ▲ .
A C

第(12) 题

1

?3x , 0 ? x ? 1 ? 14.已知函数 f ( x) ? ? 9 3 , 若 f ( f ( x)) ? t 有 3 个零点, 则 t 的取值范 ? ? x,1 ? x ? 3 ?2 2
围是 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文 ....... 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在△ ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 m

? 2 cos A, 3 sin A

?

?,

n ? ?cos A,?2 cos A? , m ? n ? ?1 .
(1)求 ?A 的大小; (2)若 a ? 2 3 , c ? 2 ,求△ ABC 的面积.

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,平面 PAB⊥平面 ABCD,PA⊥PB, BP=BC,E 为 PC 的中点. P (1)求证:AP∥平面 BDE; (2)求证:BE⊥平面 PAC.
A B E

D

C

17. (本小题满分 14 分) 某地有三个村庄,分别位于等腰直角三角形 ABC 的三个顶点处,已知 AB=AC=6km,现计划
2

在 BC 边的高 AO 上一点 P 处建造一个变电站. 记 P 到三个村庄的距离之和为 y. (1)设 ?PBO ? ? ,把 y 表示成 ? 的函数关系式; (2)变电站建于何处时,它到三个小区的距离之和最小? A

P

B

O

C

18.(本小题满分 16 分)

3 1 x2 y 2 如图,椭圆 C: 2 + 2 =1(a >b>0) 经过点 P(1, ), 离心率 e = ,直线 l 的方程为 x =4 . 2 2 a b
(1) 求椭圆 C 的方程; (2) AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P ),设直线 AB 与直线 l 相交于点 M ,记

PA, PB, PM 的斜率分别为 k1 ,k2 ,k3. 问:是否存在常数 ? ,使得 k1 +k2 =? k3. ?若存在
求 ? 的值;若不存在,说明理由.

19. (本题满分 16 分) 已知数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且满足 a1+a2+a3=9,b1b2b3=27. (1)若 a4=b3,b4-b3=m.

3

①当 m=18 时,求数列{an}和{bn}的通项公式; ②若数列{bn}是唯一的,求 m 的值; (2)若 a1+b1,a2+b2,a3+b3 均为正整数,且成等比数列,求数列{an}的公差 d 的最 大值.

20(本题满分 16 分)
3 已知函数 f ( x) ? x ? ln x, g ( x) ? ax ?

1 2 x? . 2 3e

(1)求 f ( x ) 的单调增区间和最小值; (2)若函数 y ? f ( x) 与函数 y ? g ( x) 在交点处存在公共切线,求实数 a 的值; (3)若 x ? (0, e ] 时,函数 y ? f ( x) 的图象恰好位于两条平行直线 l1 : y ? kx ;
2

l2 : y ? kx ? m 之间,当 l1 与 l2 间的距离最小时,求实数 m 的值.

淮安市淮海中学 2015 届高三Ⅲ部冲刺二统模拟测试(一)

数 学 试 题 数 学 II(附加题)2015.1.9
21(本小题满分 10 分)

4

?3 3 ? ?1? , 若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 ? 1 ? ? ? , 属于特征值 1 ? ?c d ? ?1? ?3? 的一个特征向量为 ? 2 ? ? ? .求矩阵 A 的逆矩阵. ? ? 2?
已知矩阵 A ? ?

在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设点 A,B 分
?x=3+cosθ 别在曲线 C1:? (θ 为参数)和曲线 C2:ρ=1 上,求线段 AB 的最小值. ?y=4+sinθ

22(本题满分 10 分) 如图,已知三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M、N 分别 是 CC1、BC 的中点,点 P 在直线 A1B1 上,且满足 A1 P ? ? A1 B1 ( ? ? R) . (1)证明:PN⊥AM; (2)若平面 PMN 与平面 ABC 所成的角为 45°,试确定点 P 的位置.

5

23.(本小题满分 10 分) 已知数列{an}满足: a1 ? 2a ? 2, an ?1 ? a an ?1 ? 1(n ? N* ) . (1)若 a ? ?1 ,求数列{an}的通项公式; (2)若 a ? 3 ,试证明:对 ?n ? N* ,an 是 4 的倍数.

2015 届高三Ⅲ部冲刺二统模拟测试(一)2015.1.9
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.{1,2}
3?4 3 10

2.-3

3.6.8

4.1

5.

2 3

6.21

7.-7

8.

3 9.7 10. 12

1 1. a ?

1 3

12. 3 3

13. ?1,9 ?

14. [1,3)

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.
6

15. (本小题满分 14 分) (1)法一:由题意知 M· N ? 2 cos A ? 2 3 sin A cos A ? ?1 .…………… 2 分
2

∴ 1 ? cos 2 A ? 3 sin 2 A ? ?1 . 即 3 sin 2 A ? cos 2 A ? 2 ∴ 2 sin ? 2 A ?

? ?

??

?? ? ? ? 2 ,即 sin ? 2 A ? ? ? 1 . 6? 6? ?
?
6 ? 2A ?

∵ 0 ? A ? ? ,∴ ? ∴ 2A ?

?
6

?

?
6

?

?
2

,即 A ?
2

?

11? 6

3

.…………………………… 7 分

法二:由题意知 M· N ? 2 cos A ? 2 3 sin A cos A ? ?1 . ∴ 2 cos A ? 2 3 sin A cos A ? sin A ? cos A ? 0 .
2 2 2

即 3 cos A ? 2 3 sin A cos A ? sin A ? 0 .
2 2

?

3 cos A ? sin A ? 0 ∴ 3 cos A ? sin A ,即 tan A ? 3

?

2

∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ?

?
3



(2)法一:由余弦定理知 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,即 12 ? b 2 ? 4 ? 2b , ∴ b 2 ? 2b ? 8 ? 0 ,解得 b ? 4 , ( b ? ?2 舍去)………………… 10 分 ∴△ ABC 的面积为 S ? 16(本小题满分 14 分) 证: (1)设 AC∩BD=O,连结 OE.因为 ABCD 为矩形,所以 O 是 AC 的中点. 因为 E 是 PC 中点,所以 OE∥AP. …………………………………4 分

1 1 3 bc sin A ? ? 4 ? 2 ? ? 2 3 .……………… 14 分 2 2 2

因为 AP/ ?平面 BDE,OE?平面 BDE,所以 AP∥平面 BDE.…………………………6 分 (2)因为平面 PAB⊥平面 ABCD,BC⊥AB,平面 PAB∩平面 ABCD=AB, 所以 BC⊥平面 PAB. …………………………8 分

因为 AP?平面 PAB,所以 BC⊥PA.因为 PB⊥PA,BC∩PB=B,BC,PB?平面 PBC, 所以 PA⊥平面 PBC. ……………………………………12 分

因为 BE?平面 PBC,所以 PA⊥BE.因为 BP=PC,且 E 为 PC 中点,所以 BE⊥PC. 因为 PA∩PC=P,PA,PC?平面 PAC,所以 BE⊥平面 PAC. ……………14 分
7

17、 (本小题满分 14 分)
【解】 (1)在 Rt?AOB 中, AB ? 6,所以 OB =OA= 3 2 .所以 ?ABC ? 由题意知 0 ? ? ?

π 4

π. 4

……………………2 分

所以点 P 到 A、B、C 的距离之和为

y ? 2 PB ? PA ? 2 ?

3 2 2 ? sin ? ? (3 2 ? 3 2 tan ? ) ? 3 2 ? 3 2 ? . cos ? cos ?

……………………6 分

故所求函数关系式为 y ? 3 2 ? 3 2 ? 2 ? sin ? 0 ? ? ? π .

cos ?

?

4

?

……………………7 分

( 2 ) 由 ( 1 ) 得 y? ? 3 2 ?

2 s i? n? 2 cos ?

, 令 y ? ? 0 即 sin ? ?

1

1 π ,从而 , 又 0 ?? ? 4 2

??

π . 6

……………………9 分.

当0 ?? ? 所以当 ? ?

π π π 时, y ? ? 0 ;当 ? ? ? 时, y ? ? 0 . 6 6 4
………………… 13 分

π 2 ? sin ? 时, y ? 4 ? 3 2 ? 取得最小值, 6 cos ?

此时 OP ? 3 2 tan

π ,即点 P 在 OA 上距 O 点 6 km 处. ? 6 (km) 6

【答】变电站建于距 O 点 6 km 处时,它到三个小区的距离之和最小. ………… 14 分

18. (本小题满分 16 分)
【答案】解:(1)由 P (1, ) 在椭圆上得,

3 2

1 9 ? 2 ?1 2 a 4b



依题设知 a ? 2c ,则 b ? 3c
2

2



②代入①解得 c2 ? 1, a 2 ? 4, b2 ? 3 .

故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 . ……………………………6 分 4 3

(2)方法一:由题意可设 AB 的斜率为 k , 则直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ③

代入椭圆方程 3x2 ? 4 y 2 ? 12 并整理,得 (4k 2 ? 3) x2 ? 8k 2 x ? 4(k 2 ? 3) ? 0 , 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有

x1 ? x2 ?

8k 2 4(k 2 ? 3) , x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3



在方程③中令 x ? 4 得, M 的坐标为 (4,3k ) .

8

3 3 3 y2 ? 3k ? 2 ,k ? 2 ,k ? 2 ?k?1. 从而 k1 ? 2 3 x1 ? 1 x2 ? 1 4 ?1 2 y1 ?
注意到 A, F , B 共线,则有 k ? k AF ? kBF ,即有

y1 y ? 2 ?k. x1 ? 1 x2 ? 1

3 3 y2 ? 2? 2 ? y1 ? y2 ? 3 ( 1 ? 1 ) 所以 k1 ? k2 ? x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 2 x1 ? 1 x2 ? 2 y1 ?

x1 ? x2 ? 2 3 ? 2k ? ? 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1

⑤ ……………………………10 分

8k 2 ?2 2 3 4 k ? 3 ④代入⑤得 k1 ? k2 ? 2k ? ? ? 2k ? 1 , 8k 2 2 4(k 2 ? 3) ? ?1 4k 2 ? 3 4 k 2 ? 3 1 又 k3 ? k ? ,所以 k1 ? k2 ? 2k3 .故存在常数 ? ? 2 符合题意. …………………16 分 2
19. (本小题满分 16 分) 解析: (1)①由数列{an}是等差数列及 a1+a2+a3=9,得 a2=3, 由数列{bn}是等比数列及 b1b2b3=27,得 b2=3. 设数列{an}的公差为 d,数列{bn}的公比为 q, 若 m=18,
?3+2d=3q, ? 则有? 2 ?3q -3q=18. ? ?d=3, ? 解得? ?q=3; ?

………………2 分



9 ? ?d=- , 2 ? ? ?q=-2. 9 ? ?an=- n+12, 2 或? ………………4 分 n-2 ? ?bn=3(-2) .

?an=3n-3, ? 所以,{an}和{bn}的通项公式为? n-1 ?bn=3 ; ?

② 由题设 b4-b3=m,得 3q2-3q=m,即 3q2-3q-m=0(*) . 因为数列{bn}是唯一的,所以 若 q=0,则 m=0,检验知,当 m=0 时,q=1 或 0(舍去) ,满足题意; 3 1 若 q≠0,则(-3)2+12 m=0,解得 m=-4,代入(*)式,解得 q=2, 又 b2=3,所以{bn}是唯一的等比数列,符合题意. 3 所以,m=0 或-4 . (2)依题意,36=(a1+b1) (a3+b3),
9

………………8 分

3 设{bn}公比为 q,则有 36=(3-d+q)(3+d+3q), (**) 3 记 m=3-d+q,n=3+d+3q,则 mn=36. 将(**)中的 q 消去,整理得: d2+(m-n)d+3(m+n)-36=0 ………………10 分

n-m+ (m-n)2-12(m+n)+144 n-m+ (m+n-6)2-36 d 的大根为 = 2 2 而 m,n∈N*,所以 (m,n)的可能取值为: (1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6),(9,4),(12,3),(18,2),(36,1) . 35+5 37 所以,当 m=1,n=36 时,d 的最大值为 . 2 20. (本小题满分 16 分) 解(1)因为 f ?( x) ? ln x ? 1 ,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ………………16 分

1 , e

所以 f ( x ) 的单调增区间为 ( , ??) ,……………………………………………………2 分 又当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0 ,则 f ( x ) 在 (0, ) 上单调减, 当 x ? ( , ??) 时, f ?( x) ? 0 ,则 f ( x ) 在 ( , ??) 上单调增,

1 e

1 e

1 e

1 e

1 e

1 . …………………………………………………5 分 e 1 2 (2)因为 f ?( x) ? ln x ? 1 , g ?( x) ? 3ax ? , 2
所以 f ( x ) 的最小值为 f ( ) ? ? 设公切点处的横坐标为 x ,则与 f ( x ) 相切的直线方程为: y ? (ln x ? 1) x ? x ,
2 3 与 g ( x) 相切的直线方程为: y ? (3ax ? ) x ? 2ax ?

1 e

1 2

2 , 3e

1 ? ln x ? 1 ? 3ax 2 ? , ? ? 2 所以 ? ? ? x ? ?2ax 3 ? 2 , ? 3e ?
1 e

…………………………………………………………8 分

解之得 x ln x ? ? ,由(1)知 x ?

e2 1 ,所以 a ? . …………………………10 分 e 6

2 2 (3)若直线 l1 过 (e , 2e ) ,则 k ? 2 ,此时有 ln x ? 1 ? 2 ( x 为切点处的横坐标) ,

所以 x ? e , m ? ?e , ………………………………………………………………11 分 当 k ? 2 时,有 l2 : y ? (ln x ? 1) x ? x , l1 : y ? (ln x ? 1) x ,且 x ? 2 ,

10

所以两平行线间的距离 d ?

x 1 ? (ln x ? 1)
2

,………………………………………12 分

令 h( x) ? x ln x ? (ln x ? 1) x ? x ,因为 h?( x) ? ln x ? 1 ? ln x ?1 ? ln x ? ln x , 所以当 x ? x 时, h?( x) ? 0 ,则 h( x) 在 (0, x ) 上单调减; 当 x ? x 时, h?( x) ? 0 ,则 h( x) 在 ( x , e2 ) 上单调增, 所以 h( x) 有最小值 h( x ) ? 0 ,即函数 f ( x ) 的图象均在 l2 的上方,………………13 分 令 t ( x) ?

x2 ,则 ln 2 x ? 2 ln x ? 2

t ?( x) ?

2 x ln 2 x ? 4 x ln x ? 4 x ? 2 x ln x ? 2 x 2 x ln 2 x ? 2 x ln x ? 2 x ? ?0, (ln 2 x ? 2ln x ? 2)2 (ln 2 x ? 2ln x ? 2)2

所以当 x ? x 时, t ( x) ? t ( x ) ,………………………………………………………15 分 所以当 d 最小时, x ? e , m ? ?e .…………………………………………………16 分

淮安市淮海中学 2015 届高三月考数学附加题参考答案及评分标准 2015.1 ?1? ?3 3 ? ?1? ?1? 21. 解: 由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 ? 1 ? ? ? , 可得 ? =6 ? ? , ? ? ? ?1? ?c d ? ?1? ?1? 即c ? d ? 6;
由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 ? 2 ? ? 即 3c ? 2d ? ?2 ,…………………5 分

?3? ?3 3 ? ? 3 ? ? 3 ? 可得, ? ? ? ? ?=? ?, ? ? 2? ?c d ? ? ? 2 ? ? ? 2 ?

1? ?2 ? 3 - 2? ?c ? 2, ? 3 3? 解得 ? 即 A=? ? , A 逆矩阵是 ? 1 1 ? .…………………10 分 ?d ? 4, ? 2 4? ?? ? 3 2?
22. 解析:将曲线 C1 的参数 θ 消去可得(x-3)2+(y-4)2=1. 将曲线 C2 化为直角坐标方程为 x2+y2=1. ………………5 分

曲线 C1 是以(3,4)为圆心,1 为半径的圆;曲线 C2 是以(0,0)为圆心,1 为半径的圆, 可求得两圆圆心距为 32+42=5, 所以,AB 的最小值为 5-1-1=3. ………………10 分

23. 解: (1) 证明: 如图, 以 AB, AC, AA1 分别为 x, y, z 轴, 建立空间直角坐标系 A-xyz. 则 1 1 1 P(λ,0,1) ,N(2,2,0) ,M(0,1,2) ,------------------------2 分

11

1 1 1 从而 PN =(2-λ,2,-1) , AM =(0,1,2) ,P NA M ? 所以 PN⊥AM;

1 1 1 =(2-λ)×0+2×1-1×2=0,

----------------------------------------------------------4 分

(2)平面 ABC 的一个法向量为 n= AA . 1 =(0,0,1) 设平面 PMN 的一个法向量为 m=(x,y,z) , 1 由(1)得 MP =(λ,-1,2) .

1 1 ? (? ? ) x ? y ? z ? 0, ? ? m ? NP ? 0 , ? 2 2 由? 得? ? 1 ? ?m ? MP ? 0, ??x ? y ? z ? 0. ? 2 ?

2? ? 1 ? y? x, ? ? 3 解得 ? 令x ? 3, 得m ? (3,2? ? 1,2(1 ? ? )) .------------6 分 2 ( 1 ? ? ) ?z ? x. ? 3 ?
∵平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 45°, m· n ∴|cos〈m,n〉|=||m|· |n||= 1 解得 λ=-2. |2(1-λ)| 9+(2λ+1) +4(1-λ)
2 2=

2 2 ,

--------------------------------------------8 分

1 故点 P 在 B1A1 的延长线上,且|A1P|=2. ----------------------10 分 24.解:(1)当 a ? ?1 时, a1 ? ?4, an ?1 ? (?1) an ?1 ? 1 . 令 bn ? an ? 1 ,则 b1 ? ?5, bn ?1 ? (?1)bn . 因 b1 ? ?5 为奇数, bn 也是奇数且只能为 ?1 ,
??5, n ? 1, ??4, n ? 1, 所以, bn ? ? 即 an ? ? ??1, n ? 2, ?0, n ? 2.

……………………………3 分

(2)当 a ? 3 时, a1 ? 4, an ?1 ? 3an ?1 ? 1 .………………………………4 分 下面利用数学归纳法来证明:an 是 4 的倍数. 当 n ? 1 时, a1 ? 4 ? 4 ? 1 ,命题成立; 设当 n ? k (k ? N* ) 时,命题成立,则存在 t ? N*,使得 ak ? 4t ,

? ak ?1 ? 3ak ?1 ? 1 ? 34t ?1 ? 1 ? 27 ? (4 ? 1) 4(t ?1) ? 1 ? 27 ? (4m ? 1) ? 1 ? 4(27 m ? 7) ,
4t ?5 ? 其中, 4m ? 44(t ?1) ? C1 4( t ?1) ? 4 4t ? 4 ? r ? (?1) r C r ? 4( t ?1) ? 4 t ?3 ? C4 4( t ?1) ? 4 ,

? m ? Z ,? 当 n ? k ? 1 时,命题成立.
? 由数学归纳法原理知命题对 ?n ? N* 成立.……………………………………10 分

12

13


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