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高三数学总复习讲义——向量X


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向量
知识清单 一、向量的有关概念 1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度). 2.向量的表示方法: ⑴字母表示法:如 a, b, c,?等.

? ??

⑵几何表示法:用一条有向线段表示向量.如 AB , CD 等.

??? ? ??? ?

⑶坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量 OA 的起点 O 为在坐标原点,终点 A 坐标为 ? x, y ? ,则 ? x, y ? 称为 OA 的 坐标,记为 OA = ? x, y ? . 注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具. 3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量 a 与 b 相等,记为 a ? b . 注:向量不能比较大小,因为方向没有大小. 4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的. 5.单位向量:长度等于 1 个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量. 6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定: 0 与任一向量共 线. 注:共线向量又称为平行向量. 7.相反向量: 长度相等且方向相反的向量. 二、向量的运算 (一)运算定义 ①向量的加减法,②实数与向量的乘积,③两个向量的数量积,这些运算的定义都是 “自然的”,它们都有明显 的物理学的意义及几何意义. 其中向量的加减法运算结果仍是向量,两个向量数量积运算结果是数量。研究这些运算,发现它们有很好地运 算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可 以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化. 刻划每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下: 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 ??? ??? ??? ??? ??? 加法与 OA OB OC OA + = 记 =( x 1,y1), OB =(x1,y2) 减法 ??? ? ??? ? ??? ??? ??? 则 =(x1+x2,y1+y2) OA ? OB OB ? OA =

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AB

??? ? ??? ? OB ? OA =(x2-x1,y2-y1)

OA + AB = OB
实数与 向量的 乘积 两个向 量的数 量积 (二)运算律
???

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???

AB =λ a

?

记 a =(x,y) 则λ a =(λ x,λ y) 记 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) 则 a ? b =x1x2+y1y2
? ? ?

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λ ∈R

? ? ? ? ?? a ? b ? a ? b cos a, b

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加法:① a ? b ? b ? a (交换律);

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实数与向量的乘积:① ? (a ? b) ? ? a ? ?b ; ② (? ? ? ) a ? ? a ? ? a ;③ ? (? a) ? (?? )a

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② (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) (结合律)

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c +b ?c 两个向量的数量积: ① a ? b = b ? a ; ②(λ a )? b = a ?(λ b )=λ ( a ? b );③( a + b )? c = a · 注:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可 以简化向量的运算,
例如( a ± b )2= a ? 2 a? b ? b
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(三)运算性质及重要结论

⑴平面向量基本定理 :如果 e1 , e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量 a ,有且只有一对 实数 ?1 , ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 ,称 ?1 e1 ? ?2 e2 为 e1 , e2 的线性组合。 ①其中 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的基底; ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量 e1 , e2 的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.
' 这说明如果 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 且 a ? ?1' e1 ? ?2 e2 ,那么 ?1 ? ?1? ? ?2 ? ?2? .

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③当基底 e1 , e2 是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本定理实际上是平面向量 坐标表示的基础. 向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标, 即若 A(x,y),则 OA =(x,y) ;当向量起点不在原点时,向量 AB 坐标为终点坐标减去起点坐标,即若 A(x1,y1) ,B (x2,y2) ,则 AB =(x2-x1,y2-y1) ⑵两个向量平行的充要条件 符号语言: a// b ? a ? ? b ( b ? 0 ) 坐标语言为:设非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ∥ b ? (x1,y1)=λ (x2,y2),
? ? ? ? ? x1 ? ? x2 |a| 即? ,或 x1y2-x2y1=0, 在这里,实数λ 是唯一存在的,当 a 与 b 同向时,λ >0;当 a 与 b 异向时,λ <0。|λ |= ? , ? y1 ? ? y2 |b|

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λ 的大小由 a 及 b 的大小确定。 因此,当 a , b 确定时, λ 的符号与大小就确定了.这就是实数乘向量中λ 的几何意义。 ⑶两个向量垂直的充要条件 符号语言: a ? b ? a ? b ? 0
? ? ? ?

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坐标语言:设非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ⑷两个向量数量积的重要性质: ① a ?| a |
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2

即 | a |?
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a (求线段的长度);

② a ? b ? a ? b ? 0 (垂直的判断);

? ? a ?b ③ cos ? ? ? ? (求角度)。 a?b
? ?

以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值. 注:①两向量 a , b 的数量积运算结果是一个数 a ? b cos ? (其中 ? ? a, b ),这个数的大小与两个向量的长度及其夹 角的余弦有关. ② b cos? 叫做向量 b 在 a 方向上的投影(如图).

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b 等于 a 的模与 b 在 a 方向上的投影的积. 数量积的几何意义是数量积 a ?
③如果 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ,则 PP 1 2 = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) ,

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2

( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ,这就是平面内两点间的距离公式. ∴ PP 1 2 ?
2

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课前预习

??? ? ??? ? ??? ? 1.在 ABCD 中, BC ? CD ? BA ? ( ) ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ( A)BC (B ) D A (C ) A B

?

? ? ?? (D ) A C
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2.平面内三点 A(0, ?3), B(3,3), C ( x, ?1) ,若 AB ∥ BC ,则 x 的值为( )
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(A)-5
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(B)-1
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(C)1
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(D)5
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3. 设 a , b , c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则: ①( a ? b ) c ? ( c ? a ) b =0
? ? ? ? ? ? ?

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②| a |-| b |<| a ? b |
? ? ? ? ? ?

③( b ? c ) a ? ( c ? a ) b 不与 c 垂直 ④(3 a +2 b )?(3 a ? 2 b )=9| a |2- 4 b |2 中, 真命题是( )(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④ 4. △OAB 中, OA = a , OB = b , OP = p ,若 p = t ( (A)∠AOB 平分线所在直线上 (C)AB 边所在直线上
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) ,t∈R,则点 P 在( |a| |b| (B)线段 AB 中垂线上 (D)AB 边的中线上
? ?

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a

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b

)

5. 正方形 PQRS 对角线交点为 M,坐标原点 O 不在正方形内部,且 OP =(0,3) , OS =(4,0) ,则
RM =(
7

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)
1 7 1 7 7

(A)( ? , ? ) (B)( , ) (C)(7,4) (D)( , ) 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? 6.已知 a ? ? x,3? , b ? ? ?2, 4 ? , a ? b ,则实数 x=_______. ? ? ? ? ? ? ? ? 7.已知 a ? b ? ? 2, ?8? , a ? b ? ? ?6, ?4 ? , 则 a ? _____, b ? ______, a 与 b 的夹角的余弦值是_____. ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 8.在△ OAB 中, OA ? (2cos ? , 2sin ? ) , OB ? (5cos ? ,5sin ? ) ,若 OA ? OB ? ?5 ,则 S?OAB = ▲ 9. 已知 ABC 的三个顶点分别为 A 3, ? 3 , B ? 6,0 ? , C 5, ? 3 , 求 ?ACB 的大小.

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.;

10. 已知△ABC 中,A(2,-1) ,B(3,2) ,C(-3,-1) ,BC 边上的高为 AD,求点 D 和向量 AD 坐 标。 11.在△OAB 的边 OA、OB 上分别取点 M、N,使| OM |∶| OA |=1∶3,| ON |∶| OB |=1∶4,设线段 AN 与 BM 交于点 P,记 OA = a , OB = b ,用 a , b 表示向量 OP .
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典型例题
一、平面向量的实际背景与基本概念

??? ? ??? ? ???? EG1.如图 1,设 O 是正六边形的中心,分别写出图中与 OA 、 、 OC 相等的向量。 OB B A
变式 1:如图 1,设 O 是正六边形的中心,分别写出 C ???? ???? 图中与 OD 、 DC 共线的向量。 解: D ??? ? B 变式 2:如图 2,设 O 是正六边形的中心,分别写出图中与 DA 图1 的模相等的向量以及方向相同的向量。 解: 二、平面向量的线性运算 ??? ? ???? EG2.如图,在平行四边形 ABCD 中, AB ? a , AD ? b , ???? ??? ? 你能用 a,b 表示向量 AC , DB 吗?
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O

F

E

A

C

O

F

D 图2 D A

E C B

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??? ? ??? ? 变式 1:如图,在五边形 ABCDE 中, AB ? a , BC ? b , ??? ? ??? ? ???? ??? ? CD ? c , EA ? d ,试用 a ,b , c , d 表示向量 CE 和 DE .
E C ??? ? ??? ? A 变式 2:如图,在平行四边形 ABCD 中,若, OA ? a , OB ?b B 则下列各表述是正确的为( ) C ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? A. OA ? OB ? AB B. OC ? OD ? AB ??? ? ??? ? A C. CD ? ? a + b D. BC ? ? (a + b)

D

D O B )

变式 3:已知 OA =a, OB =b, OC =c, OD =d, 且四边形 ABCD 为平行四边形,则( A. C. a+b+c+d=0 a+b-c-d=0
??? ?

B.

a-b+c-d=0 D. a-b-c+d=0

变式 4:在四边形 ABCD 中,若 AB ? ? CD ,则此四边形是( A.平行四边形 B.菱形 C.梯形

? 1 ??? 2

) D.矩形
( )

变式 5:已知 a、b 是非零向量,则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的 ? A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件?

? C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

变式 6:在四边形 ABCD 中, AB =a+2b, BC =-4a-b, CD =-5a-3b,其中 a、b 不共线,则四边 形 ABCD 为( ) A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形 变式 7:已知菱形 ABCD,点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A、C) ,则 AP 等( ) A.λ ( AB + AD ),λ ∈(0,1) C.λ ( AB - AD ),λ ∈(0,1) B.λ ( AB + BC ),λ ∈(0,
2 ) 2 2 D.λ ( AB ? BC ),λ ∈(0, ) 2

? ? 变式 8:已知 D、E、F 分别是△ABC 的边 BC、CA、AB 的中点,且 BC = a , CA = b , ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? AB = c ,则下列各式:① EF = c - b ② BE = a + b ③ CF =- a + b 2 2 2 2 2 ? ④ AD + BE + CF = 0 其中正确的等式的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 ??? ? ??? ? EG3.如图,已知任意两个非零向量 a 、b ,试作 OA ? a + b, OB ? a + 2b, ??? ? b OC ? a + 3b,你能判断 A、B、C 三点之间的位置关系吗?为什么? a
??? ? ??? ? ??? ? 变式 1:已知 OA ? a + 2b, OB ? 2a + 4b, OC ? 3a + 6b (其中 a 、b 是两个任意非零向量) ,证明:A、B、C 三点共线. ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 证明:∵ AB ? OB ? OA ? a + 2b, AC ? OC ? OA ? 2a + 4b, ??? ? ??? ? ∴ AC ? 2 AB 所以,A、B、C 三点共线.
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??? ? ??? ? ??? ? 变式 2:已知点 A、B、C 在同一直线上,并且 OA ? a + b, OB ? (m ? 2) a + 2b, OC ? (n ? 1) a + 3b (其 中 a 、b 是两个任意非零向量) ,试求 m、n 之间的关系. ??? ? ???? EG4.已知四边形 ABCD,点 E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点,求证: EF ? HG

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变式 1:已知任意四边形 ABCD 的边 AD 和 BC 的中点分别为 E、F, 求证: AB ? DC ? 2EF . E A B
??? ? ???? ??? ?

D C F

三、平面向量的基本定理及坐标表示 EG4.已知 a = (4,2),b = (6,y),且 a // b ,求 y .

变式 1:与向量 a = (12,5) 平行的单位向量为( ) 5? 5? ? 12 ? 12 A. ? ,- ? B. ? ? ,- ? 13 ? 13 ? ? 13 ? 13 5? 5? ? 12 5 ? ? 12 ? 12 5 ? ? 12 C. ? , ? 或 ? ? ,- ? D. ? ? , ? 或 ? ,- ? 13 ? 13 ? ? 13 13 ? ? 13 ? 13 13 ? ? 13 变式 2:已知 a ? (1, 2) ,b ? ? x,1? ,当 a+2b 与 2a-b 共线时, x 值为 ( A.1 B.2 C.
1 3



D.

1 2

变式 3:已知 A(0,3) 、B(2,0) 、C(-1,3) 与 AB ? 2 AC 方向相反的单位向量是( A.(0,1) B.(0,-1) C. (-1,1) D.(1,-1)

)

变式 4:已知 a = (1,0),b = (2,1) .试问:当 k 为何实数时, ka-b 与 a+3b 平行, 平行时它们是 同向还是反向? EG5.设点 P 是线段 PP ,y1 ? , ? x2,y2 ? . 1 2 上的一点, P 1、 P 2 的坐标分别为 ? x1 (1) 当点 P 是线段 PP 1 2 上的中点时,求点 P 的坐标; (2) 当点 P 是线段 PP 1 2 的一个三等分点时,求 P 的坐标 ???? 1 ???? ? 变式 1:已知两点 M ? 3, 2? , N ? ?5, ?5? , MP ? MN ,则 P 点坐标是 2 A. ? ?8,1?
3? ? B. ? ?1, ? ? 2? ? ? 3? C. ?1, ? ? 2?


B


Q P A

D. ?8, ?1?

??? ? 变式 2:如图,设点 P、Q 是线段 AB 的三等分点,若 OA =a, ??? ? ??? ? ???? OB =b,则 OP = , OQ = (用 a、b 表示)

b a O

四、平面向量的数量积
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EG6.已知|a|=6,|b| =4 且 a 与 b 的夹角为 60 ? ,求 (a + 2b)?(a ?3 b) .

? ? ? ? ? ? ? ? 变式 1:已知 a ? 3, b ? 4, a ? b ? a ? 2b ? 23, 那么 a 与 b 夹角为

?

??

?

A、 60 ? B、 90 ? C、 120? D、 150? 变式 2:已知向量 a 和 b 的夹角为 60°,| a | = 3,| b | = 4,则(2a – b) ?a 等于 (A)15 (B)12 (C)6 (D)3 变式 3:在△ABC 中,已知| AB |=4,| AC |=1,S△ABC= 3 ,则 AB ? AC 等于( ) A.-2 B.2 C.±2 D.±4 变式 4:设向量 2t e1 ? 7e2 与向量 e1 ? t e2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围. EG7.已知|a|=3,|b| =4 且 a 与 b 不共线,k 为何实数时,向量 a + kb 与 a ? k b 互相垂直? 变式 1:已知 a⊥b ,|a|=2,|b| =3,且向量 3a + 2b 与 ka ? b 互相垂直,则 k 的值为( ) 3 3 3 A. ? B. C. ? D.1 2 2 2 变式 2:已知|a|=1,|b| = 2 且(a-b)⊥a,则 a 与 b 夹角的大小为 . EG8.已知 a = (4,2),求与向量 a 垂直的单位向量的坐标. 变式 1:若 i = (1,0), j =(0,1),则与 2i+3j 垂直的向量是 ( A.3i+2j B.-2i+3j C.-3i+2j ) D.2i-3j )

变式 2:已知向量 a ? (1 , 1) , b ? (2 , ? 3) ,若 k a ? 2b 与 a 垂直,则实数 k =( A.1 A. a ? b ? a ? b B.-1 C.0 B. | a ? b |?| a ? b | D.2 (

变式 3:若非零向量 a, b 互相垂直,则下列各式中一定成立的是



C. (a ? b)(a ? b) ? 0 D. (a ? b)2 ? 0 变式 4:已知向量 a=(3,-4) ,b=(2,x) , c=(2,y)且 a∥b,a ? c.求|b-c|的值. EG9.已知 A (1,2),B (2,3),C ( ?2 ,5),试判断 ?ABC 的形状,并给出证明. ??? ? ???? ???? ??? ? 变式 1: O 是 ?ABC 所在的平面内的一点,且满足 OB ? OC ? OC ? OA ? 0 ,则

?

??

?

?ABC 一定为( ) A.正三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.斜三角形 变式 2:已知 A、B、C 三点不共线,O 是△ ABC 内的一点,若 OA + OB + OC =0,则 O 是△ ABC 的 ( ) A. 重心 B. 垂心 C. 内心 D. 外心

变式 3:已知 AB ? BC ? AB ? 0 ,则△ABC 一定是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 (1)若 BC // DA ,试求 x 与 y 满足的关系式;

2

( ) D.等腰直角三角形

变式 4:四边形 ABCD 中, AB ? (6,1), BC ? ( x, y),CD ? (?2,?3) (2)满足(1)的同时又有 AC ? BD ,求 x, y 的值及四边形 ABCD 的面积。

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五、平面向量应用举例 EG10.题目意图:用平面向量的方法证明平面几何命题:平行四边形两条对角线的平方和等于其两条 邻边的平方和的两倍 变式 1:如图,矩形 ABCD 内接于半径为 r 的圆 O,点 P 是圆周上任意一点, 求证:PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.

变式 2:已知△ABC 中, BC ? a, CA ? b, AB ? c ,若 a ? b ? b ? c ? c ? a ,求证:△ABC 为正三角形.

变 式 3 : 已 知 平 行 四 边 形 ABCD 的 两 条 对 角 线 AC 与 BD 交 于 E , O 是 任 意 一 点 , 求 证 OA ? OB ? OC ? OD ? 4OE . 变式 4:四边形 ABCD 的边 AD 和 BC 的中点分别为 E、F, 求证: EF ? ( AB ? DC ) 实战训练
1 2

??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? 1.(08 全国一 3)在 △ ABC 中, AB ? c , AC ? b .若点 D 满足 BD ? 2DC ,则 AD ?
2 1 A. b ? c 3 3 1 2 D. b ? c 3 3 ??? ? ??? ? ??? ? 2. (08 安徽卷 3) . 在平行四边形 ABCD 中, AC 为一条对角线, 若 AB ? (2, 4) ,AC ? (1,3) ,则 BD ?( 5 2 B. c ? b 3 3 2 1 C. b ? c 3 3



A. (-2,-4)

B. (-3,-5)

C. (3,5)

D. (2,4)

3.(08 湖北卷 1)设 a ? (1,?2) , b ? (?3,4) , c ? (3,2) 则 (a ? 2b) ? c ? C A. (?15,12) B. 0 C. ?3 D. ?11

???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 4. (08 湖南卷 7) 设 D、 E、 F 分别是△ABC 的三边 BC、 CA、 AB 上的点, 且 DC ? 2BD, CE ? 2EA, AF ? 2FB,
???? ??? ? ??? ? ??? ? 则 AD ? BE ? CF 与 BC (
A.反向平行 C.互相垂直 ) B.同向平行 D.既不平行也不垂直

5.(08 陕西卷 15)关于平面向量 a,b,c .有下列三个命题:
6) , a ∥ b ,则 k ? ?3 . ①若 a ?b = a ?c ,则 b ? c .②若 a ? (1,k ),b ? (?2,

③非零向量 a 和 b 满足 | a |?| b |?| a ? b | ,则 a 与 a ? b 的夹角为 60? .
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其中真命题的序号为

. (写出所有真命题的序号)

6.(08 广东卷 8)在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点, AE 的延长线

??? ? ??? ? ??? ? 与 CD 交于点 F .若 AC ? a , BD ? b ,则 AF ? (
1 1 A. a ? b 4 2
2 1 B. a ? b 3 3


1 2 D. a ? b 3 3

1 1 C. a ? b 2 4

7. (08 浙江卷 9) 已知 a , b 是平面内两个互相垂直的单位向量, 若向量 c 满足 (a ? c) ? (b ? c) ? 0 ,则 c 的最大值是 (A)1 (B)2 (C) 2 (D)
2 2

??? ? ??? ? ??? ? 8.(08 辽宁卷 5)已知 O,A,B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满足 2 AC ? CB ? 0 ,则 OC ?
( ) ??? ? ??? ? A. 2OA ? OB

??? ? ??? ? B. ?OA ? 2OB

? 1 ??? ? 2 ??? C. OA ? OB 3 3

? 2 ??? ? 1 ??? D. ? OA ? OB 3 3

? ? 9.(08 海南卷 8)平面向量 a , b 共线的充要条件是( ? ? A. a , b 方向相同
C. ?? ? R ,



? ? B. a , b 两向量中至少有一个为零向量

? ? b ? ?a

? ? ? D. 存在不全为零的实数 ?1 , ?2 , ?1 a ? ?2 b ? 0
. .

? ? ? ? ? ? ? ? ? b ? 2 且 a 与 b 的夹角为 ,则 a ? b ? 10.(08 上海卷 5)若向量 a , b 满足 a ? 1, 3

2) b ? (2, 3) ,若向量 ? a ? b 与向量 c ? (?4, ? 7) 共线,则 ? ? 11.(08 全国二 13)设向量 a ? (1,,

(2a ? b) 的 值 12. ( 08 北 京 卷 10 ) 已 知 向 量 a 与 b 的 夹 角 为 120? , 且 a ? b ? 4 , 那 么 b?





? ? ? ? ? ? ? ? 13.(08 天津卷 14)已知平面向量 a ? (2, 4) , b ? (?1, 2) .若 c ? a ? (a ? b )b ,则 | c |? _____________.
? ? ? ? ? ? 14.(08 江苏卷 5) a , b 的夹角为 120? , a ? 1 , b ? 3 则 5a ? b ?





15.(08 江西卷 13)直角坐标平面上三点 A(1, 2)、B(3, ?2)、C (9,7) ,若 E、F 为线段 BC 的三等分点,
??? ? ??? ? 则 AE ? AF =



? ? ? ? 16. (08 海南卷 13)已知向量 a ? (0, ?1,1) , b ? (4,1,0) , | ? a ? b |? 29 且 ? ? 0 ,则 ? = _____
17(08 福建卷 17)已知向量 m=(sinA,cosA),n= ( 3, ?1) ,m?n=1,且 A 为锐角.
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(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 4cos A sin x( x ? R) 的值域. ?? 3A 3A ,sin ), 18.在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c ,已知向量 m ? (cos 2 2 ? ?? ? A A n ? (cos ,sin ), 且满足 m ? n ? 3 , 2 2 (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 b ? c ? 3a, 试判断 ?ABC 的形状。
? ? ? ? ? 19.已知向量 b ? (m,sin 2x), c ? (cos2x, n), x ? R, f ( x) ? b ? c ,若函数 f ( x) 的图象经过点 (0,1) 和 ( ,1).

4

(I)求 m、n 的值;
? (II)求 f ( x) 的最小正周期,并求 f ( x) 在 x ?[0, ] 上的最小值;
4 1 (III)当 f ( ) ? ,? ?[0, ? ] 时,求 sin ? 的值. 2 5 ?? 20.在 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 所对边分别为 a, b, c .已知 m ? (sin C,sin B cos A),

?

?? ? ? n ? (b, 2c) ,且 m?n ? 0 .
(Ⅰ)求 ? A 大小. (Ⅱ)若 a ? 2 3, c ? 2, 求 ?ABC 的面积 S 的大小. 21.已知向量 a ? (1 ? tan x,1) , b ? (1 ? sin 2 x ? cos 2 x,0) ,记 f ( x) ? a ? b . (1)求 f(x)的解析式并指出它的定义域; (2)若 f (? ? ) ?
π 8 2 π ,且 ? ? (0, ) ,求 f (? ) . 5 2

22.已知向量 m ? (cos x, ? sin x) , n ? (cos x,sin x ? 2 3 cos x) , x ? R ,设 f ( x) ? m ? n . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期. (Ⅱ)若 f ( x) ?
24 ? ? ,且 x ?[ , ] ,求 sin 2 x 的值. 13 4 2

23.(2007 年陕西卷理 17.)设函数 f(x)=a-b,其中向量 a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函数 y=f(x)的
? ? 图象经过点 ? ,2 ? , ?4 ?

?

(Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的最小值及此时 x 的值的集合. 24.(07 年陕西卷文 17).设函数 f ( x) ? a、b .其中向量 π a ? (m, cos x), b ? (1 ? sin x,1), x ? R, 且f ( ) ? 2 . 2 (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的最小值.

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