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高一第二学期期中考试数学试卷


高一第二学期期中考试数学试卷
参考公式:用最小二阶乘法求线性回归方程系数公式 b ?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y , a ? y ? bx ? nx
2

?x
i ?1

2 i


一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1.设集合 A ? {1,3}, 集合 B ? {1, 2, 4,5} ,则集合 A ? B ? A.{1,3,1,2,4,5} 2. B. {1} C. {1, 2,3, 4,5} A.3 A.5 D. {2,3, 4,5} B.9 B.4 C.17 C.2 D.51 D.1

用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是

3.已知函数 f ( x) ? ?

? x ? 1, x ? 0
2 ?x , x ? 0

,则 f [ f (?2)] 的值为

4.同时掷 3 枚硬币,那么互为对立事件的是 A.至少有 1 枚正面和最多有 1 枚正面 C.至多1枚正面和至少有2枚正面 5.下列各式错误的是 A. 30.8 ? 30.7 B. log0.5 0.4 ? log0.5 0.6 C. 0.75?0.1 ? 0.750.1 D. lg1.6 ? lg1.4 B.最多 1 枚正面和恰有 2 枚正面 D.至少有2枚正面和恰有1枚正面

6.下列函数中,在区间(0,2)上不是增函数的是 A . y ? ?x 2 B . y ? x2 ?1 C . y ? log0.5 (3 ? x) D . y ? 22 x 频率 组距 0.04 0.03 0.02 0.01 40 50 60 70 80 时速 (km) D.-0.5

7.200 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图 如右图所示,则时速在 [60,70)的汽车大约有 A 30 辆 B 40 辆 C 60 辆 D 80 辆

8.某同学使用计算器求 30 个数据的平均数时,错将其中一个 数据 105 输人为 15,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是 A.3.5 B.-3 C.3

9. 为调查深圳市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间 X (单位:分钟) ,按锻炼时间分下列四 种情况统计:①0~10 分钟;②11~20 分钟;③21~30 分钟;④30 分钟以上.有 10000 名中学生 参加了此项活动,下图是此次调查中某一项

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开始

的流程图,其输出的结果是 6200,则平均每天 参加体育锻炼时间在 0~20 分钟内的学生的频率是 A.3800 B.6200 C. 0.38 D. 0.62
S ?0

? 4x ? 4 , x ? 1 10.函数 f ?x ? ? ? 2 的图象 ? x ? 4 x ? 3, x ? 1
和函数 g ?x ? ? log2 x 的图象的交点个数是 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

T ?1
输入 X

X ? 20 S ? S ?1

T ? T ?1

T ? 10000

输出 S

(第 9 题) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 11.若 log2 3 ? a,
结束

log2 5 ? b ,则 log

2

9 =_________________. 5

开始 输入 m n ,

12.一个单位共有职工200人,其中不超过45岁的有120人,超过 45岁的有80人.为了调查职工的健康状况,用分层抽样的方 法从全体职工中抽取一个容量为25的样本,应抽取超过45岁 的职工________________人. 13.阅读程序框图,若输入 m ? 4 , n ? 6 ,则输出 a ? 14.已知函数 f ( x) ? x ? 2 | x ? a | ?2 为偶函数,则:
2

i ?1
a ? m?i



i ? i ?1
n 整除 a? 否

①. a ? _______;

②. f (e ) 的值域 ________________.

x

是 输出 a,i 结束 13 题 题)

三.解答题:共 6 题,共 80 分。
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15(12 分)用红、黄、蓝三种不同颜色给下图中 3 个矩形随机涂色, 每个矩形只涂一种颜色,求:

(1)3 个矩形颜色都相同的概率; (2)3 个矩形颜色都不同的概率; (3) 3 个矩形颜色恰好为两种的概率

16. (12 分)已知函数 f ( x) ? loga (1 ? x) ? loga ( x ? 3) (0 ? a ? 1) (1)求函数 f (x) 的定义域; (2)求函数 f (x) 的零点; (3)若函数 f(x)的最小值为 ? 4 ,求 a 的值。

17. (14 分)下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生 产能耗 y(吨标准煤)的几组对应数据. x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5

(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 (3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤,试根据(2)求出的线性回归 方程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?

18. (14 分)某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元,每生产一台仪器需要增加投入

1 2 ? ?400x ? x , 0 ? x ? 400 100 元,已知总收益满足函数: R( x) ? ? ,其中 x 是仪器的月产量。 2 ?80 000, x ? 400 ?
(1)将利润 y 元表示为月产量 x 台的函数; (2)当月产量为何值时,公司所获得利润最大?最大利润是多少?(总收益=总成本+利润)
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2 2 19. (14分)设关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 。

1)若 a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数, b 是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上 述方程有实根的概率。 2)若 a 是从区间【0,3】任取的一个数, b 是从区间【0,2】任取的一个数,求上述方程有 实根的概率。

20. (14 分)已知函数 f ( x) ?

x 2 ? ax ? b , x ? (0, ??) . x

(Ⅰ)若 b ? 1 ,求证 f ( x ) 在 (0,1) 上是减函数; (Ⅱ) 是否存在实数 a, b ,使 f (x) 同时满足下列二个条件:①在 (0,1) 上是减函数, (1,??) 上是增函 数;② f (x) 的最小值是 3. 若存在,求出 a, b ;若不存在,说明理由.

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数学答题卷
题 号 得 分 一. 题号 选项 二. 11. 13. 三. 15. 解答题 填空题 12. 14.① ② 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 一 二 15 16 三 17 18 19 20

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16.

17.

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18.

19.

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20.

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高一第二学期期中考试数学试卷
参考答案
一.选择题 题号 选项 1 C 2 D 3 A 4 C 5 C 12.10 14.① a ? 0; ②. (2, ??) . 6 A 7 D 8 C 9 C 10 B

二.填空题 2a ? b 11. 13. 12

三.解答题 15.解:所有可能的基本事件共有 27 个,如图所示.
红 红黄 蓝 红 红 黄黄 蓝 红 蓝黄 蓝 红 红 红黄 红黄 蓝 蓝 红 红 黄 黄 黄 蓝 黄黄 蓝 蓝 红 红 蓝黄 蓝黄 蓝 蓝

(1)记“3 个矩形都涂同一颜色”为事件 A,由图知,事件 A 的基本事件有 1×3=3 个,故 P(A) =

3 1 ? . 27 9

(2)记“3 个矩形颜色都不同”为事件 B,由图可知,事件 B 的基本事件有 2×3=6 个,故 P(B) =

6 2 ? . 27 9

(3)记“3 个矩形颜色恰好为两种”为事件 C, ∵事件 A 与事件 B 的和事件与 C 事件互为对立事件 故 P(C)=1-

1 2 2 ? ? . 9 9 3

答:3 个矩形颜色都相同的概率为

1 2 ,3 个矩形颜色都不同的概率为 ; 9 9 2 3 个矩形颜色恰好为两种的概率为 3

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16.解: (1)要使函数有意义:则有 ?

?1 ? x ? 0 ,解之得: ?3 ? x ? 1 , ?x ? 3 ? 0

所以函数的定义域为: (?3, 1) (2)函数可化为 f ( x) ? loga (1 ? x)(x ? 3) ? loga (? x2 ? 2x ? 3) 由 f ( x) ? 0 ,得 ? x ? 2 x ? 3 ? 1,
2

即 x ? 2 x ? 2 ? 0 , x ? ?1? 3
2

??1 ? 3 ? (?3,1) ,? f (x) 的零点是 ?1? 3
(3)函数可化为: f ( x) ? loga (1 ? x)( x ? 3) ? loga (? x2 ? 2x ? 3) ? loga [?( x ? 1)2 ? 4] ∵ ?3 ? x ? 1 ∴ 0 ? ?( x ? 1)2 ? 4 ? 4

? 0 ? a ? 1 ,?loga [?( x ? 1)2 ? 4] ? loga 4 ,即 f ( x)mim ? loga 4
由 loga 4 ? ?4 ,得 a 17. 解: (1) 散点图略 (2)
?4

? 4 ,? a ? 4

?

1 4

?

2 2

? X Y ? 66.5
i ?1 i i

4

?X
i ?1

4

2 i

? 32 ? 42 ? 52 ? 62 ? 86

X ? 4.5

Y ? 3.5

? 66.5 ? 4 ? 4.5 ? 3.5 ? 66.5 ? 63 ? 0.7 ; b? 86 ? 4 ? 4.52 86 ? 81
所求的回归方程为 (3)

? ? a ? Y ? bX ? 3.5 ? 0.7 ? 4.5 ? 0.35

y ? 0.7 x ? 0.35 y ? 100 ? 0.7 ? 0.35 ? 70.35 吨,

x ? 100 ,

预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低 90 ? 70.35 ? 19.65 (吨)

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18.解: (1)依题设,总成本为 20 000? 100x ,

? 1 2 ?? x ? 300x ? 20 000, 0 ? x ? 400 则y?? 2 ?60 000? 100x, x ? 400 ?
(2)当 0 ? x ? 400 时, y ? ?

1 ( x ? 300 ) 2 ? 25 000 2

则当 x ? 300 时, ymax ? 25 000 当 x ? 400 时, y ? 60 000? 100x 是减函数, 则 y ? 60 000? 100? 400 ? 25 000 所以,当 x ? 300 时,有最大利润 25 000元。
2 2 19.设事件 A 为“方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实根” 2 2 2 2 要使方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实根,则 a ? b

1) a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数, b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数, 所有可能的情况有 b 0 1 2

a

0 (0,0) (0,1) (0,2)

1 (1,0) (1,1) (1,2)

2 (2,0) (2,1) (2,2)

3 (3,0) (3,1) (3,2)

共 12 个基本事件 其中 A 包含 9 个基本事件 故 P(A)=

9 3 ? 12 4

2) a 是从区间【0,3】任取的一个数, b 是从区间【0,2】任取的一个数 所有结果构成的区域为 {(a,b)| 0 ? a ? 3,0 ? b ? 2 }

构成A的区域为{(a,b)| 0 ? a ? 3,0 ? b ? 2, a ? b }
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1 3* 2 ? * 2 * 2 2 2 ∴P(A)= ? 3* 2 3
2 2 3 答:1)方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实根的概率为

4 2 2 2 2)方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实根的概率为 3

20. (Ⅰ)设 0 ? x1 ? x 2 ? 1 ,则 0 ? x1 x 2 ? 1 , x1 ? x 2 ? 0 .又 b≥1, ∴ x1 x 2 ? b ? 0 ∵

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

( x1 ? x2 )( x1 x2 ? b) ? 0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) , x1 x2

∴函数 f ( x ) 在 (0,1) 上是减函数 (Ⅱ)设 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ∵ f (x) 在 (0,1) 上是减函数, ∴ x1 x 2 ? b ? 0 恒成立, 则 b≥1, 同理 f(x)在(1,+∞)上是增函数,则 b≤1, ∴b=1 依题意 f ( x) min ? f (1) =1+a+b=3,∴a=1 ∴存在 a=1,b=1

( x1 ? x2 )( x1x2 ? b) x1x2

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