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高中数学直线、平面垂直的判定与性质专题


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专题

直线、平面垂直的判定与性质
考点精要

1.掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理. 2.掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理.

热点分析
线线垂直,线面垂直,面面垂直仍然是考查的重点和难点.

知识梳理
1.线面垂直定义:如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一 条直线都垂直,我们就说这条直线和这个平面互相垂直.其中直线叫做平面的垂 线,平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足. 2.直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都 垂直,那么这条直线垂直于这个平面. 推论 1. 如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直于 这个平面. 推论 2. 如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行. 3.两个平面垂直的判定定理:如果一个平面过另一个平面的一条垂线,那么两 个平面互相垂直. 4.两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直 于它们交线的直线垂直于另一个平面. 5.三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂 直,那么它也和这条斜线垂直. 6.三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂 直,那么它也和这条斜线的射影垂直. 例题精讲: 例 1. 如图,棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形, B1C ? A1B (Ⅰ)证明:平面 AB1C ? 平面 A1BC1 ; (Ⅱ)设 D 是 AC 1 1 上的点,且 A 1B // 平面 B 1CD ,求 A 1 D : DC1 的值.

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例 2 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是正方形, MA ? 平面 ABCD , PD // MA , E 、 G 、 F 分别为 MB 、 PB 、 PC 的中点,且 AD ? PD ? 2 MA . (I)求证:平面 EFG ? 平面 PDC ; (II)求三棱锥 P ? MAB 与四棱锥 P ? ABCD 的体积之比.

例 3 (1).已知: 如图, 在直三棱柱 ABC — A1 B1C1 中, AC ? BC ,D 为 AB 的中点. 求证: (Ⅰ) CD ? 平面AA1B1B ; (Ⅱ) BC1 ∥平面 DAC 1 .

SD ? 平面 ABCD ,E 是 SD 的中点. (2)如图, 四棱锥 S ? ABCD 的底面是正方形,

(Ⅰ)求证: SB // 平面 EAC ; (Ⅱ)求证: AC ? BE .

(3)如图, 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 每个侧面均为正方形,D 为底边 AB 的中点,
E 为侧棱 CC1 的中点, AB1 与 A1B 的交点为 O .

A1 B1 O

C1

(Ⅰ)求证: CD ∥平面 A1 EB ;

E 2

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A D B

C

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(Ⅱ)求证: AB1 ? 平面 A1 EB .

例 4(1)

一个直三棱柱的直观图及三视图如图所示, (其中 D 为 A1B1 的中点)
A B C C1 A1 D B1

(Ⅰ).求证: C1D ? 平面 ABB1 A1 (Ⅱ).当点 F 在棱 BB1 上的什么位置时, 有 AB1 ? 平面 C1DF , 请证明你的结论 (Ⅲ).对 (2) 中确定的点 F , 求三棱锥 B1 ? C1DF 的体积.

1 2 主视图 1 侧视图

1

2 俯视图

(2) 三 棱 柱 A B C ? A1 B1C1 中 , 侧 棱 与 底 面 垂 直 , ?ABC ? 90? , A AB ? BC ? BB1 ? 2 , M , N 分别是 AB , AC 1 的中点. M B C (Ⅰ)求证: MN || 平面 BCC1 B1 ; (Ⅱ)求证: MN ? 平面 A1 B1C ; (Ⅲ)求三棱锥 M ? A1 B1C 的体积. N

A1 B1 C1

?ABC ? 60?, PA ? 平面 ABCD, (3)如图: 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形,

点 M , N 分别为 BC, PA 的中点,且 PA ? AB ? 2 .

P

N 更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere A

3
C

D
D

B

M

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(I) 证明: BC ⊥平面 AMN ; (II)求三棱锥 N ? AMC 的体积; (III)在线段 PD 上是否存在一点 E, 使得 NM / / 平面 ACE ; 若存在, 求出 PE 的长; 若不存在,说明理由.

例 5 . 三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, CC1 ? 平面 ABC , ?ABC 是边长为 2 的等边三 角形, D 为 AB 边中点,且 CC1 ? 2 AB . (Ⅰ)求证:平面 C1CD ? 平面 ABC ; (Ⅱ)求证: AC1 / / 平面 CDB1 ; (Ⅲ)求三棱锥 D ? CBB1 的体积.
C1 B1

A1

C D A

B

例 6 . 如图 1, 在三棱锥 P ? ABC 中,PA ? 平面 ABC ,AC ? BC ,D 为侧棱 PC 上一点,它的正(主)视图和侧(左)视图如图 2 所示. (Ⅰ)证明: AD ? 平面 PBC ;

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(Ⅱ)求三棱锥 D ? ABC 的体积; (Ⅲ) 在 ?ACB 的平分线上确定一点 Q , 使得 PQ // 平面 ABD , 并求此时 PQ 的长. P
2 2
2

D

4

2 2

2 4 侧(左)视图 图2

A B

C

4 正(主)视图

图1

例 7. 如图,已知 PA ? ⊙ O 所在的平面, AB 是⊙ O 的直径, AB ? 2 , C 是⊙ O 上一 点,且 PA ? AC ? BC , E , F 分别为 PC, PB 中点. (Ⅰ) 求证: EF ∥平面 ABC ; (Ⅱ) 求证: EF ? PC ; (Ⅲ)求三棱锥 B - PAC 的体积.

针对训练
1.“直线 l 垂直于平面?内的无数条直线”是“ l ⊥?”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 A. l ?? 3.下列说法正确的是 A.直线 a 平行于平面 M,则 a 平行于 M 内的任意一条直线 B.直线 a 与平面 M 相交,则 a 不平行于 M 内的任意一条直线 C.直线 a 不垂直于平面 M,则 a 不垂直于 M 内的任意一条直线 D.直线 a 不垂直于平面 M,则过 a 的平面不垂直于 M 4.设 P 是平面 α 外一点,且 P 到平面 α 内的四边形的四条边的距离都相等,则 B. l ⊥? B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 C. l ∥? D.l ??或 l ∥?

2.如果一条直线 l 与平面?的一条垂线垂直,那么直线 l 与平面?的位置关系是

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四边形是 A.梯形 B.圆外切四边形 C.圆内接四边形 D.任意四边形 5.平面 α 与正四棱柱的四条侧棱 AA1、BB1、CC1、DD1 分别交于 E、F、G、H.若 AE=3,BF=4,CG=5,则 DH 等于 A.6 B.5 C.4 D.3 6.设 ? , ? , ? 为两两不重合的平面, l , m, n 为两两不重合的直线,给出下列四个 命题: ①若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? || ? ; ②若 m ? ? , n ? ? , m || ? , n || ? ,则

? || ? ;
③若 ? || ? , l ? ? ,则 l || ? ;
l || ? ,则 m || n

④若 ? ? ? ? l , ? ? ? ? m , ? ? ? ? n ,

其中真命题的个数是 A.1 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 A.若 l ? ? ,? ? ? ,则 l ? ? ∥β,则 l ? ? C.若 l ? ? ,α∥β,则 l ? ? D.若 l∥α, ? ? ? ,则 l ? ? B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 B.若 l∥α,α B.2 C.3 D.4

7. 已知 α, β 表示两个不同的平面, m 为平面 α 内的一条直线, 则“ ? ? ? ”是“ m ? ? ”

8.设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是

9.若 l、m、n 是互不相同的空间直线, ? , ? 是不重合的平面,则下列命题中为 真命题的是 A.若 α∥β, l ? ? , n ? ? , 则 l∥n C.若 l ? n, m ? n, 则 l∥m 到 ?EBD 的位置,使平面 EDB ? 平面 ABD (1)求证: AB ? DE (2)求三棱锥 E ? ABD 的侧面积. B.若 ? ? ? , l ? ? , 则l ? ? D.若 l ? ? , l∥β, 则? ? ?

10.如图,平行四边形 ABCD 中, ?DAB ? 60? , AB ? 2, AD ? 4 将 ?CBD 沿 BD 折起

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11.如图,已知两个正方形 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内,M,N 分别为 AB, DF 的中点.CD=2,平面 ABCD⊥平面 DCEF,求直线 MN 的长;

12.如图,在四棱锥 P—ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB//CD,△PAD 是等 边三角形,已知 BD=2AD=8,AB=2DC= 4 5 . (1)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P—ABCD 的体积.

答案: 例 1 略 例 2 略 针对训练 1. B 2. D 3. B 4. B 5 . C 6. B
S ?8?2 3

7. B

8. C

9. D

10. (1) 略 (2)

11. (1) 6 (2)略

12. (1)略

(2) 16 3

高考链接
1(09 北京文) (本小题共 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形, PD ? 底面ABCD , 点 E 在棱 PB 上。 (Ⅰ)求证:平面 AEC ? 平面PDB ;

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(Ⅱ)当 PD ? 2 AB 且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小。

2(05 北京文) (本小题共 14 分) 如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AA1=4,点 D 是 AB 的 中点, (I)求证:AC⊥BC1; (II)求证:AC 1//平面 CDB1; (III)求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值.

3

(11 海淀模拟) (本小题满分 13 分) 如图, 已知四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面是菱形, 侧棱 BB1⊥底面 ABCD, E 是侧棱 CC1 的中点。 (I)求证:AC⊥平面 BDD1B1; (II)求证:AC//平面 B1DE。

4(11 海淀文).(本小题共 13 分)已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都相 等, 且 D, E, F 分别为 BC, BB1, AA1 的中点. (I) 求证: 平面 B1 FC // 平面 EAD ; (II) 求证: BC1 ? 平面 EAD .

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A1 B1

C1

F E

A
D
B

C

答案 1 略 2 证明(共 14 分) (I)直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面三边长 AC=3,BC=4AB=5, ∴ AC⊥BC,且 BC1 在平面 ABC 内的射影为 BC,∴ AC⊥BC1; (II)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连结 DE,∵ D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中 点,∴ DE//AC1, ∵ DE ? 平面 CDB1,AC1 ? 平面 CDB1,∴ AC1//平面 CDB1; (III)∵ DE//AC1,∴ ∠CED 为 AC1 与 B1C 所成的角,
5 5 1 1 1 在△CED 中,ED= AC 1= ,CD= AB= ,CE= CB1=2 2 , 2 2 2 2 2

∴ cos ?CED ?

8 2?2 2 ? 5 2

?

2 2 , 5

∴ 异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值 3 略 4 略

2 2 . 5

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