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1-3 柱坐标系和球坐标系 课件 (北师大选修4-4)


§3 柱坐标系和球坐标系

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1.柱坐标系 (1)定义:在平面极坐标系的基础上,通 过极点O,再增加一条与极坐标系所在 平面垂直的z轴,这样就建立了柱坐标 系.设M(x,y,z)为空间一点,并设点

>M在xOy平面上的投影点P的极坐标为
(r,θ),则这样的三个数r,θ,z构成的 柱坐标 ,这里规定 r,θ,z 就叫作点M的_______ 有序数组(__________) 0≤r<+∞ ,__________ 0≤θ<2π , r,θ,z的变化范围为___________ -∞<z<+∞ 以z轴为 ________________ .特别地,r=常数,表示的是_______
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过z轴的半平面 ;z 轴的圆柱面 ;θ=常数,表示的是_______________ ____________ xOy平面平行的平面 . =常数,表示的是与____________________ (2)空间点 M 的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,z)之间的
?x=ρcos θ , ? ?y=ρsin θ , ?z= z. ? ————————

变换公式为

2. 球坐标系 (1)定义:设 M(x,y,z)为空间一点,点 M 可用这样三个有次序的数 r, φ, θ 来确 定, 其中 r 为原点 O 到点 M 间的距离, φ
→ 为有向线段OM与 z 轴正方向所夹的
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角,θ 为从 z 轴正半轴看,x 轴正半轴按逆时针方向旋转到 → 的角,这里 P 为点 M 在 xOy 平面上的投影.这 有向线段OP

r,φ,θ )叫作点 样的三个数 r,φ,θ 构成的有 序数组(__________ 0≤r<+∞ , 球坐标 ,这里r,φ,θ的变化范围为___________ M的_______ 0≤φ≤π ,_________ 0≤θ<2π .特别地, _________ 以原点为球心的球面 ; r=常数,表示的是___________________ 以原点为顶点,z轴为轴的圆锥面 ; φ=常数,表示的是______________________________ 表示的是过z轴的半平面 . θ=常数,______________________
(2)空间点 P 的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的 sin φ ·cos θ , ?x= r· ? 变换关系为 ?y=r· sin φ ·sin θ , ?z=rcos φ . ? ——————————
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【思维导图】

【知能要点】
1.柱坐标系. 2.球坐标系. 3.空间点的坐标的确定.
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题型一

柱坐标系

柱坐标系又称半极坐标系,它是由平面极坐标系及空间直 角坐标系中的一部分建立起来的. 空间任一点P的位置可以用有序数组(ρ,θ,z)表示,(ρ,

θ)是点P在Oxy平面上的射影Q的极坐标,z是P在空间直角
坐标系中的竖坐标.

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【例1】 柱坐标满足方程ρ=2的点所构成的图形是什么?



在平面极坐标系中,ρ=2表示以极点为圆心,2为半

径的圆.因此,在柱坐标系中,设Oz轴所在的直线为l, 则方程ρ=2表示以l为轴,且垂直于轴的截面是半径为2的 圆柱面. 【反思感悟】 柱坐标满足ρ=2的点可以和平面直角坐标

系中满足x=1的点构成一条直线,空间直角坐标系中满足
y=2的点构成的图形是一个平面结合考虑.

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1.将下列各点的柱坐标化为直角坐标. ? ? ? ? π 2 ? ? P?2, ,1?,Q?4,3π ,-3? ? ? 6 ? ?
?x=ρcos θ ? 直接代入互化公式?y=ρsin θ , ? z= z ?



可得 P 的直角坐标为( 3, 1, 1), Q 点的直角坐标为(-2, 2 3, -3).

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题型二

球坐标系

球坐标系又称空间极坐标系,用空间任意一点P到O的距 离r以及两个角θ,φ来刻画点P的位置. 【例2】经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测,并通 过数据汇总,计算出一个航天器在某一时刻离地面2 384 千米的位置,地球半径为6 371千米,此时经度为80°,

纬度为75°.试建立适当的坐标系,确定出此时航天器点P
的坐标.

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在赤道平面上,我们选取地球球

心为极点,以O为端点且与零子午线相 交的射线Ox为极轴,建立平面极坐标

系,在此基础上,取以O为端点且经过
北极的射线Oz(垂直于赤道平面)为另一

条极轴,如图所示建立一个球坐标系.由已知航天器位于
经度为80°,可知θ=80°,由航天器位于纬度75°,可 知,φ=90°-75°=15°,由航天器离地面2 384千米,

地球半径为6 371千米,可知r=2 384+6 371=8 755千
米. 所以点P的球坐标为(8 755,15°,80°).
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【反思感悟】 写空间任一点的球半径,就是求该点到点O 的距离和方位角、高低角.两个角可以和地球的经纬度相 结合,要搞清它们的联系和区别.

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如图所示,棱长为a的正方体OABC— 2. D′A′B′C′中,对角线OB′与BD′相交于

点P,顶点O为坐标原点,OA,OC分
别在x轴,y轴的正半轴上,试写出点P 的球坐标.
1 3 2 2 2 解 |OP|= |OA| +|OC| +|OD′| = a. 2 2 π |D′B′| ∠xOM= ,tan∠D′OB′= = 2. 4 |D′O| ? 3 π? ? ? ∴点 P 的球坐标为? a,arctan 2, ?. 4? ? 2
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题型三

空间点的坐标

1.空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标

三度来确定的,即(x,y,z).
2.空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的 竖坐标组成的,即(ρ,θ,z). 3.(1)空间点的球坐标是点和原点的连线与x轴正方向所成的 角θ,与z轴的正方向所成的角φ,以及点到原点的距离r组 成的,即(r,φ,θ). (2)注意球坐标的顺序为:①到原点的距离r;②与z轴正方 向所成的角φ;③与x轴正方向所成的角θ.

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【例3】已知长方体ABCD—A1B1C1D1的边长为AB=14,AD =6,AA1=10,以这个长方体的顶点A为坐标原点,以 射线AB、AD、AA1分别为Ox、Oy、Oz轴的正半轴,建

立空间直角坐标系,求长方体顶点C1的空间直角坐标,
球坐标,柱坐标. 分析 如图所示,此题是考查空间直 角坐标,球坐标,柱坐标的概念,我 们要能借此区分三个坐标,找到它们 的相同和不同来.

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C1点的(x,y,z),分别对应着CD、BC、CC1,C1点的 (ρ,θ,z)分别对应着CA、∠DCA、CC1,C1点的(r,φ, θ)分别对应着AC1、∠A1AC1、∠BAC. 解 C1 点的空间直角坐标为(14,6,10), 3 C1 点的柱坐标为(2 58,arctan ,10), 7 ? 5 83 3? C1 点的球坐标为?2 83,arccos ,arctan ?. 83 7? ? 【反思感悟】 注意空间任一点的直角坐标、球坐标和柱 坐标的联系和区别,它们都能刻画点的位置,可以进行互 化.
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3.结晶体的基本单位称为晶胞,图(1)是食盐晶胞的示意图(可 1 看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体), 图形中的 2 点代表钠原子,其他点代表氯原子,如图 (2)所示,建立空 间直角坐标系 O-xyz 后,试写出全部钠原子所在位置的球 坐标,柱坐标.

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分析

在空间直角坐标中,我们需要找点的(x,y,z);在

柱坐标系中,需要找到(ρ,θ,z);在球坐标系中,需要找

到(r,φ,θ).
解 把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位 置的坐标.
下层的原子全部在 xOy 平面上, 它们所在位置的竖坐标全是 0,所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0), ? ? ? ? ? π π π? π π? π? ? ? ? ? ? ? ? 2 π ? , , , ,它 1 , , 0 2 , , 1 , , , , ? ? ? ? ? 2 2 4? 2 2? 2 4? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? π ? 们的柱坐标分别为 (0 , 0 , 0) , (1 , 0 , 0) , ? 2, ,0? ?, 4 ? ? ? ? ? 2 π ? π ? ? ? ? , 1 , , 0 , , 0 ? ? ? 2 ?; 2 4 ? ? ? ?
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上层的钠原子所在的平面平行于 xOy 平面,与 z 轴交点的竖坐 标为 1,所以,这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(1,0, ? ? ? ? π π? π π? ? ? ? ? ? ? 0) , ? 2, ,0? , ? 3,arctan 2, ? , ? 2, , ? , 4 4? 4 2? ? ? ? ? ? 6 2 π? ? ? ,它们的柱坐标分别为(0,0,1),(1,0, , arctan , ? 2 2 4? ? ? ? ? ? ? ? 2 π ? π π ? ? ? ? ? 1),? 2, ,1?,?1, ,1?,? , ,1? ?. 4 2 2 4 ? ? ? ? ? ? 中层的原子所在的平面平行于 xOy 平面,与 z 轴交点的竖坐标 1 为 ,所以,这四个钠原子所在位置的球坐标分别为 2

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? ? ? ? ? ? ?

? ? 6 6 1? 2 π ? ? , ,0?, 2 ,arccos 6 ,arctan 2?, 2 4 ? ? ? ? ? π π? 6 6 2 ? ? ,arccos ,arctan 2?,? , , ?, 2 6 4 2? ? ? 2 ? 5 ?1 1? 1 1? 它 们 的 柱 坐 标 分 别 为 ?2,0,2? , ? ,arctan , ? , 2 2? ? ? ? 2 ? 5 π 1? 1? ? 1 ? ? ? ,arctan 2, ?,? , , ?. 2? ?2 2 2? ? 2

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1. 一个圆形体育馆,自正东方向起,按逆时针方向等分为十 六个扇形区域,顺次记为一区,二区,…,十六区,我们

设圆形体育场第一排与体育中心O的距离为500 m,每相
邻两排的间距为1 m,每层看台的高度为0.7 m,现在需要 确定第九区第四排正中的位置A,请建立适当的坐标系, 求出点A的坐标. 点拨:找空间中一点的柱坐标,与找平面极坐标是类似

的,需要确定极径、极角,只是比平面极坐标多了一个
量,即点在空间中的高度.
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解 以圆形体育场中心 O 为极点,选取以 O 为端点且过正 东入口的射线 Ox 为极轴, 在地平面上建立极坐标系. 则点 A 与体育场中轴线 Oz 的距离为 503 m,极轴 Ox 按逆时针 17π 方向旋转 ,就是 OA 在地平面上的射影,A 距地面的 16 高度为 2.8 m, 因此我们可以用柱坐标来表示点 A 的准确位 ? ? 17π ? ? 置.所以点 A 的柱坐标为?503, ,2.8?. 16 ? ?

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2.如图所示,请你说出点M的球坐标.

解 抓住球坐标定义,连结OM,记 |OM|=R,OM与Oz轴正向所夹的角为 φ,设M在Oxy平面上的射影为Q,x轴

按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最
小正角为θ.这样点M的位置就可以用有 序数组(R,φ,θ)表示.因此M点的球

坐标为(R,φ,θ).
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3.摊开世界地图,问初次降临地球的外星人:台湾在哪里? 阿根廷的Formosa(福尔摩沙)省又位于何处(如图所示)?外 星人必然一头雾水,如果你再给他一组数据:

经度
台湾 东经121°

纬度
北纬25°

Formosa

西经59°

南纬25°

我们相信,外星人可以找到这两个可爱的地方——台湾与 福尔摩沙.想一想,它们的位置有什么关联?

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两地经度差180°,纬度相反.故它们位于地球同一

直径的两个端点上.

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1.空间点的坐标的确定 (1)空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和 竖坐标三度来确定的,即(x,y,z). (2)空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标 系中的竖坐标组成的,即(ρ,θ,z). (3)空间点的球坐标是点在Oxy平面上的射影和原点的 连线与x轴正方向所成的角θ,点和原点的连线与z轴的正

方向所成的角φ,以及点到原点的距离r组成的,即(r,
φ,θ).
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注意球坐标的顺序为:①到原点的距离r;②与z轴正 方向所成的角φ;③与x轴正方向所成的角θ. 2.球坐标的应用 在球坐标系中,它的三度实际上也是我们所熟悉的, 它与前面所学的球的一些基本知识是有着密切联系的.我 们得熟悉这部分内容. (1)经线与经度:地球球面上从北极到南极的半个大圆

叫做经线,规定以经过英国格林尼治天文台原址的经线为
0°经线.一个地方的经度是指经过当地经线的所在半平 面和0°经线所在半平面之间的夹角的度数,以0°经线为 基准,向东度量的为东经,向西度量的为西经.如东经 30°,西经60°等.
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(2)纬线与纬度:与地轴(通过北极和南极的直线)垂直

的平面截地球球面所得的圆叫做纬线(纬线圈),其中的大
圆叫做赤道.一个地方的纬度是指当地与球心的连线和地 球赤道平面之间所成的角的度数,赤道为0°纬线;以赤 道为基准,向北度量为北纬,向南度量为南纬.如北纬 25°,南纬23.5°.

与球坐标比较,点P(r,φ,θ)中的r是到球心的距离,
φ与纬度是互余的;θ与经度是相关的,若建立适当的坐标 系,θ就是经度.

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【规律方法总结】 1.根据图形的特征,可以选择不同的坐标系来确定点 的位置. 2.点的直角坐标、柱坐标、球坐标可以相互转化. 3.利用柱坐标系、球坐标系解决空间点的位置时,对

于含角度的比较方便.

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