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湖北省黄冈中学2012-2013学年高二下学期期中考试数学(理)试题


涉县第一中学 2014 届高二数学上学期期末考试试题
一、选择题 :本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) 1.曲线 y ? x ? 4 x 在点 (1, ?3) 处的切线倾斜角为(
3



A.

3 ? 4

B.

2.已知 x1>

;0,x1≠1 且 xn+1=

xn· (x2 n+3) (n=1,2,?),试证:“数列{xn}对任意的正整数 n, 2 3xn+1 )

? 2

C.

? 4

D.

? 6

都满足 xn>xn+1,”当此题用 反证法否定结论时应为( A.对任意的正整数 n,有 xn=xn+1 C.存在正整数 n,使 xn≥xn-1,且 xn≥xn+1

B.存在正整数 n,使 xn≤xn+1 D.存在正整数 n,使(xn-xn-1)(xn-xn+1)≥0

3.下列四个命题:①若 x2-3x+2=0,则 x=1 或 x=2 ②若-2≤x<3,则(x+2)(x-3)≤0 ③若 x=y=0,则 x2+y2=0 ④若 x、 y∈N*,x+y 是奇数, 则 x、 y 中一个是奇数, 一个是偶数.那么 ( ) A.①的逆命题真 B.②的否命题真 C.③的逆否命题假 D.④的逆命题假 4.下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A.两条直线平行,同旁内角互补,由此若∠A,∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得
[来源 :学 ,科 ,网 ] [来源

的同旁内角,则∠A+∠B =180° B.某校高三(1)班有 55 人,高三(2)班有 54 人,高三(3)班有 52 人,由此得出高三所有班人 数超过 50 人 C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质 1 1 D.在数列{an}中,a1=1,an= (an-1+ )(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式 2 an-1

? x2 (0 ? x ? 1) 2 5.设 f ( x ) ? ? 则 ? 0 f ( x ) dx =( ? 2 ? x (1 ? x ? 2)
A.



5 D.不存在 6 ???? ??? ? ??? ? 6.如图所示,空间四边形 OABC 中, OA ? a , OB ? b , OC ? c , ???? ? ???? ? ???? ? O 点 M 在 OA 上,且 OM ? 2MA ,N 为 BC 中点,则 MN 等于( ) 1 2 1 2 1 1 A. a ? b ? c B. ? a + b ? c M 2 3 2 3 2 2 1 1 2 2 2 1 A C. a + b ? c D. a + b ? c 2 2 3 3 3 2
B. C. 7.方程 2 x ? 6 x ? 7 ? 0 在 (0, 2) 内根的个数有( )
3 2

3 4

4 5

C B N

A. 0 个
3

B. 1 个
2

C. 2 个

D. 3 个

8.如图为函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 的图象, f '( x) 为函 数 f ( x) 的导函数,则不等式

y

- 3 o

3

x

x ? f '( x) ? 0 的解集为(
A. ( ??, ? 3)

) C. ( 3, ??)
2

B. (0, 3)

D. ( ??, ? 3) ?(0, 3)

x2 y 2 b? ? 2 2 9、 椭圆 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 和圆 x ? y ? ? c ? ? (其中 c 为椭圆半焦距)有四个不同 2? a b ?
的交点,则椭圆离心率的范围是: ( )

A?(

5 3 , ) 5 5

B?(

2 5 , ) 5 5

C ?(

2 3 , ) 5 5

? 5? ? D ?? ? 0, 5 ? ? ?

10.定义方程 f ( x) ? f ?( x) 的实数根 x0 叫做函数 f ( x) 的“新驻点” ,如果函数 g ( x) ? x ,

? h( x) ? ln( x ? 1) ,? ( x) ? cos x( x ? ( , ?) )的“新驻点”分别为 ? , ? ,? ,那么 ? , ?

? , ? 的大小关系是( A. ? ? ? ? ?

) B. ? ? ? ? ?

C. ? ? ? ? ?

D. ? ? ? ? ?

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上. 11.椭圆 5x 2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是 (0,2) ,那么 k 的值为 12.观察下列式子: 1 ? .

1 3 1 1 5 1 1 1 7 ? ,1 ? 2 ? 2 ? , 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ,??,根据以上 2 2 2 2 3 3 2 3 4 4 1 1 1 式子可以猜想: 1 ? 2 ? 2 ? ? ? ? 2 3 20122 13.设 p : 4 x ? 3 ≤1 , q : ? x ? a ?? x ? a ? 1? ≤ 0 ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的
取值范围是
3 2

.
2

14.函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a , 在 x ? 1时有极值 10 ,那么 a ? b 的值为________ 15.对于三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) ,定义:设 f ( x) 是函数 y ? f ( x) 的导
3 2 ''

数 f ( x) 的导数, 若方程 f ( x) ? 0 有实数解 x 0 , 则称点 ?x0 , f ( x0 )
' ''

? 为函数 y ?

“拐 f ( x) 的

点”.有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’ ;任何一个三次函数都有对称中心” ,且 ‘拐点’就是对称中心.请你将这一发现作为条件. (1).函数 f ( x) ? x ? 3x ? 3x 的对称中心为________.
3 2

(2).若函数
g ( x) ? 1 3 1 2 5 1 1 2 3 2012 _____. x ? x ? 3x ? ? , 则g ( ) ? g( ) ? g( ) ? ? ? g( )? 3 2 12 x ? 1 2013 2013 2013 2013 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 10 分)

17. 已知:如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 为正方形, PA ? 面ABCD ,且

PA ? AB ? 2 , E 为 PD 中点.
(Ⅰ)证明: PB //平面 AEC ;
[来源:学 |科 |网 ]

(Ⅱ)证明:平面 PCD ? 平面 PAD ;

(Ⅲ)求二面角 E ? AC ? D 的正弦值.

19. (本小题 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是 菱形, AC ? 2 , BD ? 2 3 ,E 是 PB 上任意一点 . (I) 求证: AC⊥DE; (II) 已知二面角 A ? PB ? D 的余弦值为 若 E 为 PB 的中点,求 EC 与平面 PAB 所成角的正弦值 . E D A O O B C

15 , 5

P

x2 y2 ? ? 1 的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合. 4 3 (1)求抛物线 D 的方程;(2)已知动直线 l 过点 P?4,0? ,交抛物线 D 于 A 、 B 两点.
20. 已知抛物线 D 的顶点是椭圆

?i ? 若直线 l 的斜率为 1,求 AB 的长; ?ii? 是否存在垂直于 x 轴的直线 m 被以 AP 为直径的圆
M 所截得的弦长恒为定值?如果存在,求出 m 的方程;如果不存在,说明理由.

21.已知函数 f ( x) ? ln( ? (Ⅰ)若 x ?

1 2

1 ax) ? x 2 ? ax .( a 为常数, a ? 0 ) 2

1 是函数 f ( x) 的一个极值点,求 a 的值; (Ⅱ)求证:当 0 ? a ? 2 时, f ( x) 2 1 1 在 [ , ? ?) 上是增函数; (Ⅲ)若对任意 的 a ? (1, 2) ,总存在 .. ..x0 ? [ , 1] ,使不等式 2 2
f ( x0 ) ? m(1 ? a 2 ) 成立,求实数 m 的取值范围.

?0<m<4, ?m>4, ? ? m 1 4 1 (17)解:若命题 p 为真,则 有? 或? 0<e2=1- < , ?0<e2=1- < , ? 4 2 m 2 ? ?
解得 2<m<4 或 4<m<8. 圆 x2+y2-4x+7-m=0 化为(x-2)2+y2=m-3.若 命题 q 为真,则有
?m-3>0, ? 解得 3<m<5. 2 2 ?(1-2) +(-1) >m-3,

?4 分

?8 分

?2<m<4或4<m<8, ∵p∧q 为真命题,∴p 真 q 真,故有? 即 3<m<5 且 m≠4. ?3<m<5, 故所求实数 m 的取值范围是 3<m<5 且 m≠4.

湖北省黄冈市黄冈中学 2014 届高二下学期期中考试试题

数学(理科)
一、选择题 :本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.曲线 y ? x ? 4 x 在点 (1, ?3) 处的切线倾斜角为(
3



A.

3 ? 4

B.

? 2

C.

? 4

D.

? 6

' 2 答案:A. y ? 3 x ? 4 ,在点 (1, ?3) 处的切线斜率为 k ? ?1 ,故倾斜角为
2.已知 x1>0,x1≠1 且 xn+1=

xn· (x2 n+3) (n=1,2,?),试证:“数列{xn}对任意的正整数 n, 2 3xn+1 )

3 ?. 4

都满足 xn>xn+1,”当此题用 反证法否定结论时应为( A.对任意的正整数 n,有 xn=xn+1 C.存在正整数 n,使 xn≥xn-1,且 xn≥xn+1 2. B

B.存在正整数 n,使 xn≤xn+1 D.存在正整数 n,使(xn-xn-1)(xn-xn+1)≥0

解析:根据全称命题的否定,是特称命题,即“数列{xn}对任意的正整数 n,都满

足 xn>xn+1”的否定为“存在正整数 n,使 xn≤xn+1” ,故选 B. 3.下列四个命题:①若 x2-3x+2=0,则 x=1 或 x=2 ②若-2≤x<3,则(x+2)(x-3)≤0 ③若 x=y=0,则 x2+y2=0 ④若 x、 y∈N*,x+y 是奇数, 则 x、 y 中一个是奇数, 一个是偶数.那么 ( ) A.①的逆命题真 B.②的否命题真 C.③的逆否命题假 D.④的逆命题假 3.A 【解析】①的逆命题为:若 x=1 或 x = 2,则 x2-3x+2=0,显然为真;②的否命题为假, 因 x=3 时, (x+2)(x-3)=0;③为真命题,其逆否命题亦真;④的逆命题为真. 4.下面几种推理过程是演绎推理的是( )
[来源:学 ,科 ,网] [来源:Z_xx_k.Com]

A.两条直线平行,同旁内角互补,由此若∠A,∠B 是两条平行直线被第三条直线所

截得的同旁内角,则∠A+∠B =180° B.某校高三(1)班有 55 人,高三(2)班有 54 人,高三(3)班有 52 人,由此得出高三所有 班人数超过 50 人 C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质 1 1 D.在数列{an}中,a1=1,an= (an-1+ )(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式 2 an-1 【答案】A 【解析】两条直线平行,同旁内角互补………………………………………………大前 提 ∠A,∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角……………………小前提 ∠A+∠B=180° ………………………………………………………………………结论 故 A 是演绎推理,而 B、D 是归纳推理,C 是类比推理.

? x2 (0 ? x ? 1) 2 5.设 f ( x ) ? ? 则 ? 0 f ( x ) dx =( 2 ? x (1 ? x ? 2) ?
A.



3 4

B.

4 5

C.

5 6

D.不存在

1 3 2 1 5 2 2 2 f ( x)dx ?? 1 x |1 ? (2 x ? x 2 ) |1 ? 0 x dx ? ? 1 (2 ? x )dx ? 3 2 6 ???? ??? ? ??? ? 6.如图所示,空间四边形 OABC 中, OA ? a , OB ? b , OC ? c , ???? ? ???? ? ???? ? 点 M 在 OA 上,且 OM ? 2MA ,N 为 BC 中点,则 MN 等于( B ) O 1 2 1 2 1 1 A. a ? b ? c B. ? a + b ? c M 2 3 2 3 2 2 1 1 2 2 2 1 A C. a + b ? c D. a + b ? c 2 2 3 3 3 2 N ???? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? 1 ??? ? ??? ? ???? ? 2 ???? 提示:由题意知 ON ? OC ? CN ? OC ? CB ? (OC ? OB), OM ? OA , B 2 2 3 ???? ? ???? ???? ? 2 1 1 ∴ MN ? ON ? OM ? ? a + b ? c . 3 2 2
5. 【答案】C 解析:

?

2 0

C

7.方程 2 x ? 6 x ? 7 ? 0 在 (0, 2) 内根的个数有( )
3 2

A. 0 个

B. 1 个

C. 2 个

D. 3 个

' 2 3 2 答案:B.令 f ( x) ? 2 x ? 6 x ? 7 ,则 f ( x ) ? 6 x ? 12 x ,故 f ( x) 在 (0, 2) 上为减函数,
又 f (0) ? 7 , f (2) ? ?1 ,故 f ( x) ? 0 在 (0, 2) 内有 1 个根. 8.如图为函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 的图象, f '( x) 为函 数 f ( x) 的导函数,则不等式
3 2

x ? f '( x) ? 0 的解集为(



y

- 3 o

3

x

A. ( ??, ? 3) C. ( 3, ??)

B. (0, 3) D. ( ??, ? 3) ?(0, 3)

【解析】当 x ? ( ??, ? 3) 时, f ?( x) ? 0 ,则 x ? 0 ,故 ( ??, ? 3) 是解集的一部分;同 理 (0, 3) 也是解集的一部分.故选 D.

9、 椭圆

b? x2 y 2 ? ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 和圆 x 2 ? y 2 ? ? c ? ? (其中 c 为椭圆半焦距)有四个不同 2 2? a b ?
( A )

2

的交点,则椭圆离心率的范围是:

A?(

5 3 , ) 5 5

B?(

2 5 , ) 5 5

C ?(

2 3 , ) 5 5
2 2 2

? 5? ? D ?? 0 , ? 5 ? ? ?
2

9、A
2

要有四个交点只须 b<r<a,∴b<b/2+c<a,∴2c>b,∴a =c +b <5c ,? e ?
2 2 2 2

5 /5

∵b <4(a-c) ∴a -c <4(a-c) ,∴a+c<4(a-c),∴5c<3a,∴e<3/5。 10.定义方程 f ( x) ? f ?( x) 的实数根 x0 叫做函数 f ( x) 的“新驻点” , 如果函数 g ( x) ? x , h( x) ? ln( x ? 1) , ? ( x) ? cos x ( x ? ( , ?) ) 的“新驻点”分别为 ? , ? , ? ,那么 ? , ? , ? 的大小关系是( D A. ? ? ? ? ? B. ? ? ? ? ? C. ? ? ? ? ? 【答案】D 【解析】 :∵ g ?( x) ? 1 ,令 g ( x) ? g ?( x) ,∴ ? ? 1 ,∵ h?( x) ? ) D. ? ? ? ? ?

? ?

1 ,令 h( x) ? h?( x) ,结 x ?1 3? 合图象可知, ? ? 1 ;∵ ? ?( x) ? ? sin x ,令 ? ( x) ? ? ?( x) ,∴ ? ? ? 2 ,∴ ? ? ? ? ? . 4
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上. 11.椭圆 5x 2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是 (0,2) ,那么 k 的值为 解析: ?1 ∵椭圆的方程可化为 x 2 ? .

y2 5 ? 1 ,且焦点为 (0, 2) ,∴ a 2 ? ? , b2 ? 1 , 5 k ? k

由 a2 ? b2 ? c2 ? 4 得 k ? ?1 .

1 3 1 1 5 1 1 1 7 ? ,1 ? 2 ? 2 ? , 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ,??,根据以上 2 2 2 2 3 3 2 3 4 4 1 1 1 式子可以猜想: 1 ? 2 ? 2 ? ? ? ? 2 3 20122 4023 1 1 1 2n ? 1 * 答案: .上述式子推广: 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ( n ? 2 且 n? N ) . 2012 2 3 n n 13.设 p : 4 x ? 3 ≤1 , q : ? x ? a ?? x ? a ? 1? ≤ 0 ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的
12.观察下列式子: 1 ? 取值范围是 .

? 1? 【答案】 : ?0, ? ? 2? ?1 ? 【提示】 : x 4 x ? 3 ≤1 ? ? ,1? , x ? x ? a ?? x ? a ? 1? ≤ 0 ? ? a, a ? 1? ,由 p 是 q 的充 ?2 ?

?

?

?

?

1 ? 1 ?a ≤ ?1 ? 分不必要条件得 ? ,1? ? ? a, a ? 1? ,故有 ? 2 ,即 0 ≤ a ≤ . 2 ?2 ? ? ? a ? 1≥ 1
14.函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a , 在 x ? 1时有极值 10 ,那么 a ? b 的值为________
3 2 2

' 2 答案: ?7 . f (1) ? 1 ? a ? b ? a ? 10 , f (1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 解得 a ? 4, b ? ?11 .
15.对于三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) ,定义:设 f ( x) 是函数 y ? f ( x) 的导
3 2 ''

数 f ( x) 的导数, 若方程 f ( x) ? 0 有实数解 x 0 , 则称点 ?x0 , f ( x0 )
' ''

? 为函数 y ?

“拐 f ( x) 的

点”.有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’ ;任何一个三次函数都有对称中心” ,且 ‘拐点’就是对称中心.请你将这一发现作为条件. (1).函数 f ( x) ? x ? 3x ? 3x 的对称中心为___(1,1)_____.
3 2

(2).若函数

g ( x) ?

1 3 1 2 5 1 1 2 3 2012 x ? x ? 3x ? ? , 则g ( ) ? g( ) ? g( ) ? ? ? g( )? 3 2 12 x ? 1 2013 2013 2013 2013 2

__20 12______. 15. (1)依题意由 f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 3x 得 f ?( x) ? 3x2 ? 6 x ? 3 ? 3( x ? 1)2 . ∴ f ?( x) ? 6 x ? 6 ,令 f ??( x) ? 0 得 x0 ? 1 ,∴ f (1) ? 1 ,∴对称中心为 (1,1) . (2)令 g1 ( x) ? x3 ? x 2 ? 3x ?
1 3 1 2 5 2 , g 2 ( x) ? .则 g ( x) ? g1 ( x) ? g2 ( x) . 12 2x ?1

又 g1? ( x) ? x 2 ? x ? 3 , g ?? ( x) ? 2 x ? 1 .令 g1? ( x) ? 0 得 x ?
1 1 2 的对称中心为 ( , 0) . ( ,1) .易知 g 2 ( x) ? 2 2 2x ?1

1 .故函数 g1 ( x) 的对称中心为 2

1 设 P( x0 , y0 ) 在 g1 ( x) 上可知 P 关于对称点 ( ,1) 的对称点 P 1 (1 ? x0 , 2 ? y0 ) 也在函数 g1 ( x ) 2 上, ∴ g1 (1 ? x0 ) ? 2 ? y0 .∴ g ( x0 ) ? g (1 ? x0 ) ? y0 ? (2 ? y0 ) ? 2 . 同理可得 g2 ( x0 ) ? g2 (1 ? x0 ) ? 0 . ∵ g ( x) ? g1 ( x) ? g2 ( x) .

? g(

1 2 2012 1 2 2002 ) ? g( ) ??? g( ) ? g1 ( ) ? g1 ( ) ? ? ? g1 ( ) 2013 2013 2013 2013 2013 2003
1 2 2012 ) ? g2 ( ) ? ? ? g2 ( ) 2013 2013 2013

? g2 (

1 2012 ? 2007 ? ? 1 2012 ? 2007 ? ? ? 2006 ? 2006 ? ? g1 ( ) ? g2 ( ) ? ? ? ? ? g1 ( ) ? g1 ( ) ? ? ? g2 ( ) ? g2 ( ) ? ? ? ? ? g2 ( ) ? g2 ( ) 2013 ? 2013 ? ? 2013 2013 ? 2013 ? ? 2003 ? 2013 ? 2013 ?

? 2 ?1006 ? 0 ?1006 ? 2012 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 10 分) 设 y ? f ( x) 是二次函数,方程 f ( x) ? 0 有两个相等的实根,且 f ?( x) ? 2 x ? 2 . (1)求 f ( x) 的表达式. (2)求 y ? f ( x) 的图象与坐标轴所围成的图形的面积.
2 ? ? ? ? b ? 4ac ? 0 16、解: (1)设 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c ? a ? 0 ? ,由题意得: ? ' ??3 分 ? ? f ( x) ? 2ax ? b ? 2 x ? 2

解得 a ? 1, b ? 2, c ? 1,所以 f ( x) ? x ? 2 x ? 1
2

??????????6 分

(2)由题意得

?

0

?1

( x ? 1)2 dx ?

1 , 3

??????????12 分

17. 已知:如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 为正方形, PA ? 面ABCD ,且

PA ? AB ? 2 , E 为 PD 中点.
(Ⅰ)证明: PB //平面 AEC ;
[来源:学 |科 |网 ]

(Ⅱ)证明:平面 PCD ? 平面 PAD ; (Ⅲ)求二面角 E ? AC ? D 的正弦值.

P

【答案】解: (Ⅰ)
E

P

E
A D

A

D

B

C

O B C

证明:连结 BD 交 AC 于点 O,连结 EO. ?O 为 BD 中点,E 为 PD 中点, ∴EO//PB. ?EO ? 平面 AEC,PB ? 平面 AEC, ∴ PB//平面 AEC.????4 分 (Ⅱ证明: PA⊥平面 ABCD.

CD ? 平面 ABCD,
∴ PA ? CD . 又?在正方形 ABCD 中 CD ? AD 且 PA ? AD ? A , ∴CD ? 平面 PAD.又? CD ? 平面 PCD, ∴平面 PCD ? 平面 PAD . ????8 分
z

(Ⅲ)如图,以 A 为坐标原点, AB, AD, AP 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空 间直角坐标系.
P

E

A B C x

D y

由 PA=AB=2 可知 A、B、C、D、P、E 的坐标分别为 A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0), D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) . ?????9 分

. ?PA ? 平面 ABCD,∴ AP 是平面 ABCD 的法向量, AP =(0, 0, 2) 设平面 AEC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , AE ? (0, 1, 1), AC ? (2, 2, 0) , 则?

? ?n ? AE ? 0, ? ?n ? AC ? 0.

即?

?0 ? y ? z ? 0, ? 2 x ? 2 y ? 0 ? 0.

∴ ?

? z ? ? y, ? x ? ? y.

∴ 令 y ? ?1 ,则 n ? (1, ? 1, 1) . ∴ cos ? AP, n ??

AP ? n | AP | ? | n |

?

2 2? 3

?

1 3

,

二面角 E ? AC ? D 的正

弦值为

6 3

???????12 分

18、在 1, 2, 3,? , 9 这 9 个自然数中,任取 3 个数. (I)求这 3 个数中恰有 1 个是偶数的概率; (II)设 ? 为这 3 个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为 1, 2,3 ,则有两组相邻的数 .求随机变量 ? 的分布列及其数学期望 E? . 1, 2 和 2,3 ,此时 ? 的值是 2 ) 解(I)记“这 3 个数恰有一个是偶数”为事件 A,则 P( A) ? (II)随机变量 ? 的取值为 0 , 1 , ? 的分布列为 2,
1 C4 C5 2 10 ? ;??6 分 3 C9 21

?
P

0

1

2

5 12

1 2

1 12

5 1 1 2 ?1 ? ? 2 ? ? ????12 分 12 2 12 3 19. (本小题 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是 菱形, AC ? 2 , BD ? 2 3 ,E 是 PB 上任意一点 .
所以 ? 的数学期望为 E? ? 0 ? (I)求证: AC⊥DE; (II)已知二面角 A ? PB ? D 的余弦值为 P

15 ,若 E 为 5
D A O O

PB 的中点,求 EC 与平面 PAB 所成角的正弦值 .

E C

19. (1)证明:∵ PD ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ∴ PD ? AC 又∵ ABCD 是菱形 ∴ BD ? AC ∴ AC ? 平面 PBD ∵ DE ? 平面 PBD ∴ AC ? DE ????6 分

B

(2)分别以 OA, OB, OE 方向为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,设 PD ? t ,则

t? ? A ?1, 0, 0 ? , B 0, 3, 0 , C ? ?1, 0, 0 ? , E ? 0, 0, ? , P 0, ? 3, t 2? ?
??

?

?

?

?
?? ?

由(1)知:平面 PBD 的法向量为 n1 ? ?1, 0, 0 ? ,令平面 PAB 的法向量为 n2 ? ? x, y, z ? ,

?? ? ??? ? ?? ? ? ? 2 3? ?n2 ?AB ? 0 ? ?? x ? 3 y ? 0 则根据 ? ?? 得? ∴ n2 ? ? 3,1, ? ??? ? ? ? t ? ? ? ? ?? x ? 3 y ? tz ? 0 ?n2 ?AP ? 0 ?
因为二面角 A-PB-D 的余弦值为

?? ?? ? 15 15 ,则 cos? n1 , n2 ? ? ,即 5 5

3 15 ? ?t ?2 3 5 12 4? 2 t
∴ P 0, ? 3, 2 3

??????9 分

?

?
??? ?

设 EC 与平面 PAB 所成的角为 ? ,∵ EC ? ?1, 0, ? 3 , n2 ?

?

?

?? ?

?

3,1,1 则

?

??? ? ?? ? 2 3 15 sin ? ? cos? EC , n2 ? ? ? 5 2? 5

??????12 分

x2 y2 ? ? 1 的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合. 20. 已知抛物线 D 的顶点是椭圆 4 3
(1)求抛物线 D 的方程; (2)已知动直线 l 过点 P?4,0? ,交抛物线 D 于 A 、 B 两点.

?i ? 若直线 l 的斜率为 1,求 AB 的长; ?ii? 是否存在垂直于 x 轴的直线 m 被以 AP 为直径的圆 M 所截得的弦长恒为定值?如
果存在,求出 m 的方程;如果不存在,说明理由.
2

21. 解:解:(1)由题意,可设抛物线方程为 y ? 2 px? p ? 0? .

?抛物线的焦点为 ?1,0 ? ,? p ? 2 . ?抛物线 D 的方程为 y 2 ? 4 x .
(2)设 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y 2 ? . ????4 分

由 a ? b ? 4 ? 3 ? 1 ,得 c ? 1 .
2 2

?i ? 直线 l 的方程为: y ? x ? 4 ,
?y ? x ? 4 ? y ? 4x
2

????6 分 ????7 分

联立 ?

,整理得: x ? 12 x ? 16 ? 0
2
2

? AB = (1 ? 1) 2 [? x1 ? x 2 ? ? 4 x1 x 2 ? 4 10 .????8 分
(ⅱ) 设存在直线 m : x ? a 满足题意,则圆心 M ?

? x1 ? 4 y1 ? , ? ,过 M 作直线 x ? a 的垂线, 2? ? 2

垂足为 E ,设直线 m 与圆 M 的一个交点为 G .可得:

EG ? MG ? ME ,
即 EG =
2

2

2

2

? MA ? ME =
2

2

2

?x1 ? 4?2 ? y1 2
4
2

1 2 ?x1 ? 4? ? ?x1 ? 4? y1 ? ? a?x1 ? 4? ? a 2 4 4 2 2 = x1 ? 4 x1 ? a?x1 ? 4? ? a = ?a ? 3?x1 ? 4a ? a
当 a ? 3 时, EG
2

?x ?4 ? ?? 1 ? a? ? 2 ?
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

2

? 3 ,此时直线 m 被以 AP 为直径的圆 M 所截得的弦长恒为定值 2 3 .

因此存在直线 m : x ? 3 满足题意

????13 分

1 1 21.已知函数 f ( x) ? ln( ? ax) ? x 2 ? ax .( a 为常数, a ? 0 ) 2 2 1 (Ⅰ)若 x ? 是函数 f ( x) 的一个极值点,求 a 的值; 2 1 (Ⅱ)求证:当 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在 [ , ? ?) 上是增函数; 2 1 2 (Ⅲ)若对任意 的 a ? (1, 2) ,总存在 .. ..x0 ? [ , 1] ,使不等式 f ( x0 ) ? m(1 ? a ) 成立,求 2
实数 m 的取值范围.

a2 ? 2 1 2ax( x ? ) a 1 2 a 2 .(Ⅰ)由已知,得 f ?( ) ? 0 且 ? 2x ? a ? 21. f ?( x) ? 1 1 2 1 ? ax ? ax 2 2
a2 ? 2 ? 0 ,? a 2 ? a ? 2 ? 0 ,? a ? 0 ,? a ? 2 .????4 分 2a
(Ⅱ)当 0 ? a ? 2 时,?

1 a2 ? 2 a 2 ? 2 1 a 2 ? a ? 2 (a ? 2)(a ? 1) , ? ? ? ? 0 ,? ? 2 2a 2a 2 2a 2a

?当 x ?
增函数.

1 2ax 1 a2 ? 2 时, x ? ? 0 ,? f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 [ , ? ?) 上是 ? 0 .又 2a 2 1 ? ax 2 1 2 1 2 1 a) ? 1 ? a , 2

????8 分

(Ⅲ) a ? (1, 2) 时,由(Ⅱ)知, f ( x) 在 [ ,1] 上的最大值为 f (1) ? ln( ?
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

于是问题等价于: 对任意的 a ? (1, 2) , 不等式 ln( ?

1 2

1 a) ? 1 ? a ? m(a 2 ? 1) ? 0 恒成立. 2

1 1 , ( ) 则 1? a ? 2 g (a) ? ln( ? a) ? 1 ? a ? m(a 2 ? 1) 2 2 1 a g ?(a) ? ? 1 ? 2ma ? [2ma ? (1 ? 2m)] , 1? a 1? a ?a 当 m ? 0 时, g ?(a) ? ? 0 , ? g (a) 在区间 (1, 2) 上递减,此时, g (a) ? g (1) ? 0 , 1? a
记 由 于 a ? 1 ? 0 , ? m ? 0 时 不 可 能 使 g ( a) ? 0 恒 成 立 , 故 必 有
2

m ? 0 ,? g ?(a) ?


2ma 1 [a ? ( ? 1)] . 1? a 2m

1 1 ? 1 ? 1 , 可 知 g (a ) 在 区 间 (1, min{2, ? 1}) 上 递 减 , 在 此 区 间 上 , 有 2m 2m 1 与 g (a) ? 0 恒成立矛盾, 故 这时,g ?(a) ? 0 ,g (a ) 在 (1, 2) g (a) ? g (1) ? 0 , ?1 ? 1 , 2m

?m ? 0 1 ? 上递增,恒有 g (a) ? g (1) ? 0 ,满足题设要求,? ? 1 ,即 m ? ,所以,实数 m 4 ?1 ? 1 ? ? 2m
的取值范围为 [ , ? ?) .

1 4

????14 分


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