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浙江省五校联盟2013届高三下学期第一次联考数学理试题


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浙江省五校联盟 2013 届高三下学期第一次联考 数学理试题

本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题 纸上。 2.

每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式:
如果事件 A, B 互斥, 那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A, B 相互独立, 那么 P(A· B)=P(A)· P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p, 那么 n 棱柱的体积公式 V=Sh 其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式 V=
1 3

Sh

次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 k n-k Pn(k)=C 错误!不能通过编辑域代码创建对象。 p (1-p) (k = 0,1,2,…, n) 球的表面积公式 2 棱台的体积公式 S = 4πR 1 球的体积公式 V ? h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 3 其中 S1, S2 分别表示棱台的上.下底面积, h 表示棱台 V=错误! 不能通过编辑域 代码创建对象。πR3 的高 其中 R 表示球的半径

第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1、若集合 M A. ? 0,1?

? x x ? 2 ? t , t ?R?, N ? ?y y ? sin x, x ? R?,则 M ? N ?
B. ? ?1,0? C. ??1,1? D. ?

?

( ▲ )

2、复数 z1 ? 3 ? i, z2 ? 1 ? i ,则复数 A.第一象限 B.第二象限

z1 在复平面内对应的点位于 ( ▲ ) z2

C.第三象限 D.第四象限 3、若某程序框图如图所示,则输出的 p 的值是

( ▲ )

A.22 B. 27 C. 31 D. 56 4、已知 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ | x ? 2 | ? | x |? a 恒成立”的 ( ▲ ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5、已知两个不重合的平面 ? , ? ,给定以下条件: ① ? 内不共线的三点到 ? 的距离相等;② l , m 是 ? 内的两条直线,且 l / / ? , m / / ? ;

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③ l , m 是两条异面直线,且 l / /? , l / / ? , m / /? , m / / ? ; 其 中 ( ▲ ) A.① 6、若函数 可 B.② 以 判 定

? / /?





C.①③

f( ? ) 3 ?
( ▲ ) A. ? 1 7 、 对 函 数 ( ▲ ) A.1 个 B.1
x

?

f ( x) ? sin ?x ? cos?x(? ? 0) 对任意实数 x 都有 f ( ? x) ? f ( ? x) ,则 6 6

?

D.③

?

?









C.
2

2

D. ?

2

f ( x) ? 2 ? x ? 1 ? 1 的 零 点 个 数 判 断 正 确 的 是
B.2 个 C.3 个 D.0 个

?x ? y ? 0 ? 8、在平面直角坐标系中,不等式 ? x ? y ? 0 (a 为常数 ) 表示的平面区域的面积为 8,则 ?x ? a ? x? y?2 的 最 小 值 为 x?3
( ▲ ) A. 8

2 ? 10

B. 6 ? 4

2

C. 5 ? 4

2

D.

2 3

9、已知 P 为抛物线 y 2 ? 4 x 上一个动点,Q 为圆 x 2 ? ( y ? 4) 2 ? 1 上一个动点,那么点 P 到 点 Q 的 距 离 与 点 P 到 y 轴 距 离 之 和 最 小 值 是 ( ▲ ) A. 17 ? 1 B. 17 ? 2 C. 5 ? 2 D. 17 ? 1 10、将一个三位数的三个数字顺序颠倒,将所得到的数和原数相加,若和中没有一个数字是 偶数,则称这个数是奇和数。那么,所有的三位数中,奇和数有 ( ▲ ) A.80 B.100 C.120 D.160

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11、 (1 ? x ? x ) ? ( x ? ) 的展开式中的常数项为___▲ __.
2 6

1 x

12、一空间几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为 ________▲ ______. 13、公比为 4 的等比数列

?bn ?中,若 Tn 是数列 ?bn ?的前 n 项积,则



T20 T30 T40 100 也成等比数列,且公比为 4 ;类比上述结 , , T 10 T20 T30

论,相应的在公差为 3 的等差数列

?an ?中,若 S n 是 ?an ?的

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前 n 项和,则有一相应的等差数列,该等差数列的公差为________▲ ______. 14、有一种游戏规则如下:口袋里有 5 个红球和 5 个黄球,一次 P 摸出 5 个, 若颜色相 同则得 100 分, 4 个球颜色相同, 若 另一个不同, 则得 50 分, 其他情况不得分。 小张摸一次得分的期望是分 __ _ _▲ ______. 15、 设双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F , 左右 a 2 b2

顶 点

A

分别为 A , A2 ,过 F 且与双曲线 C 的一条渐近线平行 1

C B l 与另一条渐近线相交于 P ,若 P 恰好在以 A1 A2 为直径的圆上,则双曲线的离心率为

D 的直线

________▲ ______. 16、已知 f ( x) ? x 2 ? 2017x ? 8052 ? x 2 ? 2017x ? 8052 ,则

f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2013) ? _



_.

17 、 已 知 O 是 锐 角 ?ABC 的 外 接 圆 的 圆 心 , 且 ?A ?

?
4

, 若

? c oBs??? AB ? s i Cn

???? C ???? s c o AC ? 2mAO ,则 m =________▲ ______. B i n s

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分) 18、在锐角 ?ABC 中, a, b, c 分别是内角 A, B, C 所对边长,且满足

sin 2 A ? sin( ? B) ? sin( ? B) ? sin 2 B 。 3 3 (1) 求角 A 的大小; ??? ??? ? ? (2) 若 AB ? AC ? 12, a ? 2 7 ,求 b, c(b ? c)

?

?

19、已知三个正整数 2a,1, a ? 3 按某种顺序排列成等差数列。 (1)求 a 的值; (2)若等差数列 an 的首项、公差都为 a ,等比数列 bn 的首项、公比也都为 a ,前 n
2

? ?

? ?

项和分别为 S n , Tn ,且

Tn ? 2 ? S n ?108 ,求满足条件的正整数 n 的最大值。 2n

20、 (本小题满分 14 分) 在四棱锥 P - ABCD 中, AB // CD , AB ? AD ,

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AB ? 4, AD ? 2 2, CD ? 2 , PA ? 平面 ABCD , PA ? 4 . (Ⅰ)设平面 PAB ? 平面 PCD ? m ,求证: CD // m ; (Ⅱ)求证: BD ? 平面 PAC ; (Ⅲ)设点 Q 为线段 PB 上一点,且直线 QC 与平面 PAC 所成角
的正弦值为

PQ 3 ,求 的值. PB 3

21、 椭圆 E :

x2 y2 过 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F2 与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点重合, F2 作 2 a b CD ?2 2。 与 x 轴垂直的直线 l 与椭圆交于 S, T 两点, 与抛物线交于 C, D 两点, 且 ST (1)求椭圆 E 的方程; (2)若过点 M (2,0) 的直线与椭圆 E 相交于两点 A, B ,设 P 为椭圆 E 上一点,且满足
, OA ? OB ? tOP (0 为坐标原点) 当 PA ? PB ?

2 5 时, 求实数 t 的取值范围。 3

22、已知函数

1 1 f ( x) ? ln( ? ax) ? x 2 ? ax (a 为常数, a ? 0) 2 2 (1)当 a ? 1 时,求函数 f (x ) 在 x ? 1 处的切线方程; 1 (2)当 y ? f (x) 在 x ? 处取得极值时,若关于 x 的方程 f ( x) ? b ? 0 在 ?0,2? 上恰有 2 两个不相等的实数根,求实数 b 的取值范围; ?1 ? 2 (3)若对任意的 a ? (1,2) ,总存在 x0 ? ? 2 ,1? ,使不等式 f ( x0 ) ? m(a ? 2a ? 3) 成 ? ?
立,求实数 m 的取值范围。

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浙江省五校联盟 2013 届高三联考 理科数学(含 1B 模块) 参考答 案 一.选择题 AACCD DCBBB 二.填空题 11. ? 5 ; 12. 2 ;
三、解答题

13. 300;

14.

75 ; 15. 7

2 ;16. 24136; 17.

2 . 2

19、 (1)? 2a, a

2

? 3 是正整数,?a 是正整数,? a 2 ? 3 ? 2a ? 1 ,————4 分

?4a ? a 2 ? 3 ? 1, ?a ? 2 ———————————————————————6 分
(2) S n

? 2n ?

n(n ? 1) ? 2 ? n 2 ? n ,—————————————————9 分 2

Tn ?

T ?2 2(1 ? 2 n ) ? 2 n?1 ? 2 , ? n n ? 2 ,——————————————12 分 2 1? 2

? S n ? 110 ,即 n 2 ? n ?110 ? 0,??11 ? n ? 10 ————————————13 分

? n 是正整数,?n 的最大值是 9。————————————————————14 分
20、 (1) CD // AB, CD

? 面PAB, AB ? 面PAB ,

? CD // 面PAB
又面 PAB ? 面PCD

? l , CD ? 面PCD ,? CD // l ———————————4 分

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21、 (1)设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距为 a, b, c ,则 c ? 1 ,且 CD

? 4, ST ?

2b 2 , a

?

CD ST

?

2 2 2a ? 2 2 ,又 a ? b ? 1 , 2 b

? a ? 2, b ? 1,
x2 ? ? y 2 ? 1 ——————————————————————————————6 分 2
(2)由题,直线 l 斜率存在,设直线 l : y ? k ( x ? 2) ,联立

x2 ? y 2 ? 1 ,消 y 得: 2

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由 ①②得:

1 1 ? k 2 ? ——————————————————————————11 分 4 2

4k 2 ? 2k 则 AB 的中点 D( , ) 2 1 ? 2k 1 ? 2 k 2

?OA? OB ? 2OD ? tOP ,得 P(

8k 2 ? 4k , ) 代入椭圆方程得: 2 (1 ? 2k )t (1 ? 2k 2 )t

4 2 2 32k 4 16k 2 ? ? 1 ,即 t 2 ? 32k ? 16k ? 16k ? 16 2 2 2 2 2 2 (1 ? 2k ) t (1 ? 2k ) t 1 (1 ? 2k 2 ) 2 1 ? 2k 2 ?2 2

k

1 1 8 ? ? k 2 ? ,? ? t 2 ? 4 ,即 t ? ( 2 6 ,2) ? (?2,? 2 6 ) ————————15 分 4 2 3 3 3
22、 (1) a ? 1 时,

1 1 f ( x) ? ln( ? x) ? x 2 ? x 2 2

? f ' ( x) ?

3 1 ? 2 x ? 1 ,于是 f ' (1) ? ,又 f (1) ? 0 ,即切点为(1,0) 2 1? x

3 ?切线方程为 y ? ( x ? 1) —————————————————————————5 分 2
(2)

f ' ( x) ?

a ? 2x ? a , 1 ? ax

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1 f '( ) ? 2

2 a ? 1 ? a ? 0 ,即 a ? a ? 2 ? 0 ,? a ? 0,? a ? 2 1 1? a 2

? 1 ? 上减, ? 1 ,2? 上增, 此时, f ' ( x) ? 2 x(2 x ? 1) ,? x ? 0, ?2 ? ? 2? 1 ? 2x ? ? ? ?


1 1 3 5 f (0) ? ln , f ( ) ? ? , f (2) ? ln 2 2 4 2

3 1 ? ? ? b ? ln ———————————————————————————10 分 4 2

(法一)设 h(a) ? ln(

1 1 ? a) ? 1 ? a ? m(a 2 ? 2a ? 3) 2 2

h ' (a) ?

1 ? 2ma2 ? (4m ? 1)a ? 2m ? 1 ? 2ma ? 2m ? 1? a a ?1
'

又 h(1) ? 0 ? h(a) 在 1 的右侧需先增,? h

(1) ? 0,? m ? ?

1 8

设 g (a) ? ?2ma

2

? (4m ? 1)a ? 2m ,对称轴 a ? ?1 ?

1 ?1 4m

又 ? 2m ? 0 , g (1) ? ?8m ? 1 ? 0

?在 (1,2) 上, g (a) ? 0 ,即 h' (a) ? 0
? h(a) 在 (1,2) 上单调递增,? h(a) ? h(1) ? 0

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设 g ( a) ?

(a ? 1)(a ? 2a ? 3) ' a3 ? a ? 2 1 1 ?0 ? ln( ? a) , g (a) ? 2(a ? 1) 3 2(a ? 1) 2 2 2
2

? g (a) 在 ?1,2? 上增,又 g (1) ? 0 ,

? g (a) ? 0 ,即 h' (a) ? 0 ,? h(a) 在 (1,2) 上增
又 lim
a ?1

1 1 1 ?1 ln( ? a ) ? 1 ? a 1 2 2 ? lim 1 ? a ?? 2 a ? 2a ? 3 2a ? 2 8 a ?1

?m ? ?

1 8
数学 选修 1B 模块答案

题号:03 答案

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(2)由柯西不等式得:

(

a b c ? ? )( a (3 ? a) ? b (3 ? b) ? c (3 ? c)) ? (1 ? 1 ? 1) 2 ? 9 3? a 3?b 3?c

又? a (3 ? a) ?

a(3 ? a) 2 ?

2a(3 ? a)(3 ? a) 1 2a ? 3 ? a ? 3 ? a 3 ? ( ) ?2 2 2 3

此时, a ? 1 时取“=”号;同理: b (3 ? b) ? 2 , c (3 ? c) ? 2 .

?
3 2

a b c 3 a b c 的最小值为 ? ? ? ,所以,当 a ? b ? c ? 1时, ? ? 3?a 3?b 3?c 2 3? a 3?b 3?c

(提示:本题也可以用基本不等式求解:如:

a a (3 ? a) ? ? a ,其中 a (3 ? a) ? 2 3?a 4

也可以构造函数 f ( x) ? x(3 ? x 2 )(x ? (0, 3) 用导数求最大值)—————————10 分

题号:04 答案
(1)直线 l : 3x ? 4 y ? 1 ? 0 令 x ? ? cos? , y ? ? sin ? 代入直线方程得: 3? cos? ? 4? sin ? ? 1 ? 0

? 直线 l 的极坐标方程为: ? ? ?

1 .————————————3 分 3? cos? ? 4 ? sin ?

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(写成 3? cos? ? 4? sin ? ? 1 ? 0 的形式不扣分)

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