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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】综合检测二


综合检测(二)
一、选择题 1. “金导电、银导电、铜导电、锡导电,所以一切金属都导电”.此推理方法是( A.完全归纳推理 C.类比推理 2 2. 复数 等于 1-i A.1+i C.-1+i B.1-i D.-1-i B.归纳推理 D.演绎推理 ( ) )

3. 设 f(x)=10x+lg x,则 f′(1)等于 ( ) B.10ln 10+lg e D.11ln 10

A.10 10 C. +ln 10 ln 10

4. 若大前提:任何实数的平方都大于 0,小前提:a?R,结论:a2>0,那么这个演绎推理 出错在 A.大前提 C.推理形式 5.观察下列数表规律 2→3 6→710→11 ↑ ↓ ↑ ↓ ↑↓ 0→1 4→5 8→9 则数 2 007 的箭头方向是 A.2 007→ ↑ C.↑ →2 007 B.↓ 2 007→ D.→2 007 ↓ ( ) 12→? ( ) B.小前提 D.没有出错 ( )

6. 函数 f(x)=x3-ax2-bx+a2 在 x=1 处有极值 10,则 a,b 的值为
?a=3 ?a=-4 ? ? A.? 或? ? ? ?b=-3 ?b=11 ? ?a=-1 C.? ?b=5 ? ?a=-4 ? B.? ? ?b=11

D.以上都不对

7. 给出下列命题:

b ①?a bdx=?adt=b-a(a,b 为常数且 a<b); 2 1 2 ②?0 -1x dx=?0x dx;

③曲线 y=sin x,x?[0,2π]与直线 y=0 围成的两个封闭区域面积之和为 2, 其中正确命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 ( )

1 1 1 1 8. 用数学归纳法证明不等式 + +?+ > (n>1,n?N*)的过程中,从 n=k 到 n n+1 n+2 n+n 2 =k+1 时左边需增加的代数式是 ( 1 A. 2k+2 1 1 C. + 2k+1 2k+2 ) 1 1 B. - 2k+1 2k+2 1 D. 2k+1

AG 9. 已知结论:“在正三角形 ABC 中,若 D 是 BC 的中点,G 是三角形 ABC 的重心,则 GD =2”. 若把该结论推广到空间, 则有结论: 在棱长都相等的四面体 A—BCD 中, 若△BCD 的中心为 M,四面体内部一点 O 到四面体各面的距离都相等,则 A.1 B.2 C.3 D.4 ( ) AO 等于( OM )

1 10.曲线 y=e x 在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 2 9 A. e2 2 C.2e2 B.4e2 D.e2

1 1 1 11.设 x,y,z 都是正数,则三个数 x+ ,y+ ,z+ 的值 y z x A.都小于 2 C.至少有一个不小于 2 二、填空题 12.若复数 z 满足 z(1+i)=1-i(i 是虚数单位),则其共轭复数 z =________. B.至少有一个不大于 2 D.都大于 2

(

)

l2 13. 通过类比长方形, 由命题“周长为定值 l 的长方形中, 正方形的面积最大, 最大值为 ”, 16 可猜想关于长方体的相应命题为______________________________________ ________________________________________________________________________. 3 14.某物体做直线运动,其运动规律是 s=t2+ (t 的单位是秒,s 的单位是米),则它在 4 秒 t 末的瞬时速度为________. 15.如图所示的数阵中,第 20 行第 2 个数字是________.

1 1 2 1 3 1 4 1 5 三、解答题 16.已知复数 z1=2-3i,z2= 15-5i . ?2+i?2 1 2 1 1 4 3 1 1 1 7 7 4

1 1 1 1 11 11 11 5

z1 求:(1)z1+ z 2;(2)z1· z2;(3) . z2
2 ? ?x ,x≤0, π ? 17.设 f(x)= 试求 ? -1f(x)dx. 2 ? ?cos x-1,x>0,

18.已知 a,b,c>0,且 a+b+c=1, 1 求证:(1)a2+b2+c2≥ ;(2) a+ b+ c≤ 3. 3 19.如图,已知平面 α∩平面 β=直线 a,直线 b?α,直线 c?β,b∩a=A, c∥a. 求证:b 与 c 是异面直线. 1 3 20.已知函数 f(x)=4ln(x-1)+ x2-(m+2)x+ -m(m 为常数), 2 2 (1)当 m=4 时,求函数的单调区间; (2)若函数 y=f(x)有两个极值点,求实数 m 的取值范围. an2+n 12 22 n2 21.是否存在常数 a,b,使等式 + +?+ = 对一切 n?N+都成 1×3 3×5 ?2n-1??2n+1? bn+2 立?若不存在,说明理由;若存在,请用数学归纳法证明.

答案
1.B 2.A 3.B 4.A 5.D 11.C 12.i S3 13.表面积为定值 S 的长方体中,正方体的体积最大,最大值为( ) 62 125 14. 米/秒 16 1 15. 191 15-5i 15-5i 5?3-i??3-4i? 5-15i 16.解 z2= = = = 5 ?2+i?2 3+4i ?3+4i??3-4i? =1-3i. (1)z1+ z 2=(2-3i)+(1+3i)=3. (2)z1· z2=(2-3i)(1-3i)=2-9-9i=-7-9i. z1 2-3i ?2-3i??1+3i? 2+9+3i 11 3 (3) = = = = + i. z2 1-3i ?1-3i??1+3i? 10 10 10 π π 17.解 ? -1f(x)dx=?0 -1f(x)dx+? 0f(x)dx 2 2 π 2 =?0 -1x dx+? 0(cos x-1)dx 2 1 π = x3|0-1+(sin x-x)| 0 3 2 1 π 4 π = +1- = - . 3 2 3 2 18.证明 1 2 1 2 1 2 (1)∵a2+ ≥ a,b2+ ≥ b,c2+ ≥ c, 9 3 9 3 9 3 6.B 7.B 8.B 9.C 10.D

1 1 1 ∴(a2+ )+(b2+ )+(c2+ ) 9 9 9 2 2 2 2 ≥ a+ b+ c= . 3 3 3 3 1 ∴a2+b2+c2≥ . 3 1 a+ 3 1 a·≤ , 3 2

(2)∵

1 b+ 3 1 b·≤ , 3 2

1 c+ 3 1 c·≤ , 3 2 三式相加得 a b c 1 1 + + ≤ (a+b+c)+ =1, 2 3 3 3 2

∴ a+ b+ c≤ 3. 19.证明 假设 b,c 不是异面直线,即 b 与 c 共面,设 b 与 c 确定的平面为 γ,则 γ∩α=b,

γ∩β=c. ∵a∥c,∴a∥γ. 又∵a?α,且 α∩γ=b,∴a∥b,这与 a∩b=A 矛盾. 因此 b 与 c 不可能共面,故 b 与 c 是异面直线. 20.解 依题意得,函数的定义域为(1,+∞). 1 5 (1)当 m=4 时,f(x)=4ln(x-1)+ x2-6x- . 2 2 x2-7x+10 4 f′(x)= +x-6= x-1 x-1 = ?x-2??x-5? . x-1

令 f′(x)>0,解得 x>5,或 1<x<2. 令 f′(x)<0,解得 2<x<5. 可知函数 f(x)的单调递增区间为(1,2)和(5,+∞),单调递减区间为(2,5). 4 (2)f′(x)= +x-(m+2) x-1 x2-?m+3?x+m+6 = x-1 若函数 y=f(x)有两个极值点,则 Δ=[-?m+3?] -4?m+6?>0, ? ?1-?m+3?+m+6>0, ?m+3 ? ? 2 >1. 解得 m>3. 21.解 若存在常数 a,b 使等式成立,则将 n=1,n=2 代入上式, 1 a+1 ? ?3=b+2, 有? 1 4 4a+2 ? ?3+15=2b+2. 得 a=1,b=4,
2

12 22 n2 即有 + +?+ 1×3 3×5 ?2n-1??2n+1? = n2+n 对于一切 n?N+都成立. 4n+2

证明如下: 12 1 (1)当 n=1 时,左边= = , 1×3 3 1+1 1 右边= = ,所以等式成立. 4×1+2 3 (2)假设 n=k(k≥1,且 k?N+)时等式成立,即 12 22 k2 + +?+ 1×3 3×5 ?2k-1??2k+1? = k2+k , 4k+2

当 n=k+1 时, ?k+1?2 12 22 k2 + +?+ + 1×3 3×5 ?2k-1??2k+1? ?2k+1??2k+3? k2+k ?k+1?2 = + 4k+2 ?2k+1??2k+3? = = = = = k+1 k k+1 · ( + ) 2k+1 2 2k+3 k+1 2k2+5k+2 · 2k+1 2?2k+3? k+1 ?2k+1??k+2? · 2k+1 2?2k+3? ?k+1??k+2? 4k+6 ?k+1?2+?k+1? , 4?k+1?+2

也就是说,当 n=k+1 时,等式成立, 综上所述,等式对任何 n?N+都成立.


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