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重庆市七校联考2014-2015学年高一数学下学期期中试题 文


重庆市七校联考 2014-2015 学年高一数学下学期期中试题 文
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑. 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,

将答案书写在答题卷规定的位置上. 4.考试结束后,将答题卷交回. 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分,把正确答案涂在机读卡上才能得分) 1.已知 {an } 是等比数列, a1 ? 8, a4 ? 1,则公比 q ? ( A. ? ) D.

1 2

B. ?2 )

C.2

1 2

2.设 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则( A. ac ? bc B. a ? b
3 3

C. a ? b
2

2

D.

1 1 ? a b

3.在 ?ABC 中, a ? 1, b ? 6, C ? 60? ,则三角形的面积为(



A.

3 2

B.

3 3 2

C. 3 3

D.3

4.某单位有职工 750 人,其中青年职工 420 人,中年职工 210 人,老年职工 120 人,为了了 解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本中的青年职工为 14 人,则样本容量为( A.7 B.15 ) C.25
2 2 2

D.35 )

5. 在 ?ABC 中,a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边, 若a ? b ?c , 则 ?ABC 的形状为 ( A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.不能确定 开始 S = 0,i =1 ) S =S+i2 i =i+1 i≤3 否 输出 S 结束

?x ? 1 ? 6.实数 x , y 满足的不等式组 ? y ? 1 所表示的平面区域面积为( ?x ? y ? 3 ?
1 A. 2
B.1 C.2 ) D.4



7.阅读右边的程序框图,则输出的 S=(

-1-

A.14

B.20

C.30

D.55

8.根据三个点(0,2) , (4,4) , (8,9)的坐标数据,求得的回归 直线方程是( A. =3x-1 ) B. =

7 3 x? 8 2

C. =x+2

D. =

1 10 x? 3 3

9.在等差数列 {an } 中, ( A.40 )

a1 , a2015 为方程 x2 ? 20 x ? 16 ? 0 的两根,则 a2 ? a1008 ? a2014 ?
C.30 ) D.24

B.36

10.下列各函数中,最小值为 4 的是( A. y ? x ? C. y ?

4 x 2 x ?2

x2 ? 1

4 ? , x ? (0, ) sin x 2 9 ?2 D. y ? x ? x
B. y ? sin x ? )

11. 在 100 3 m 高的山顶上, 测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是 30°、 60°,则塔高为 ( A.

400 m 3

B.

400 3 m 3

C.

200 3 m 3
?
9 a 3 a4

D.

200 m 3
*

12.如下图所示将若干个点摆成三角形图案,每条边(色括两个端点)有 n(n>l,n∈N )个 点,相应的图案中总的点数记为 a n ,则
9 a 2 a3

?

9 a 4 a5

???

9 a 2014 a 2015

?(



A.

2012 2013

B.

2013 2012

C.

2014 2015

D.

2013 2014

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:(每小题 5 分,共 20 分,把正确答案写在答题卡上才能得分) 13.已知一个样本容量为 100 的样本数据 的频率分布直方图如图所示,样本数 据落在[80,100]内的频数为 14.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边 分别为 a, b, c , a ? 1, b ? 3, B ? 60? , 则角 A 的大小为_______________. .

? 2a ? ? n 15.设数列 {an } 满足 an ?1 ? ? ? 2a ? 1 n ? ?

1 (0 ? an ? ) 4 2 若 a1 ? ,则 a2015 ? ___________. 1 7 ( ? an ? 1) 2
-2-

16.已知 x ? 0, y ? 0,

1 1 ? ? 2 ,若 x ? y ? 3 m 2 ? m 恒成立,则实数 m 的取值范围用区间表 x y

示为_______________. 三、解答题:(共 70 分,在答题卡上写出必要的求解或证明步骤才能得分) 17. (本小题满分 10 分) 为了了解市民的环保意识,某校高一(1)班 50 名学生在 6 月 5 日(世界环境日)这一天 调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况,有关数据如下表: 每户丢弃旧塑料袋个数 户数 2 10 3 10 4 20 5 10

(1)求这 50 户居民每天丢弃旧塑料袋的平均数; (2)求这 50 户居民每天丢弃旧塑料袋的方差.

18. (本小题满分 12 分) 解不等式 x2 ? (1 ? a) x ? a ? 0 .

19. (本小题满分 10 分) 公差不为零的等差数列 {an } 中, a3 ? 9 且 a3 , a6 , a10 成等比数列, (1)求数列 {an } 的通项公式;(2)求前 27 项的和 S27.

20. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c, 且 c sin B ? 3b cos C ? 3 (1)求角 C; (2)若 ?ABC 的面积为 9 3 ,求边 c.

21. (本小题满分 12 分) 某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示. 用煤(吨) 用电(千瓦) 产值(万元)

-3-

甲产品 乙产品

3 7

50 20

12 8

但国家每天分配给该厂的煤、电有限, 每天供煤至多 47 吨,供电至多 300 千瓦,问该厂 如何安排生产,使得该厂日产值最大?最大日产值为多少?

22. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足: a1 ? 1, an?1 ? an sin 2 ? ? sin 2? ? cos2n ? (1)当 ? ?

?
4

时,求证:数列 {2n?1 an } 为等差数列;

(2)在(1)的条件下,若数列 {bn } 满足 bn ? sin 对任意 n ? N , S n ? 3 ?
?

? an
2

, S n 为数列 {bn } 的前 n 项和,求证:

5? . 8

-4-

2014—2015 学年度第二学期半期七校联考 高一数学(文科)参考答案 一、1.D 2.B 3.B 4.C 5.C 6.A 7.A 8.B 9.C 10.D 11.C 12.D 提示:由图得 a2 ? 3, a3 ? 6, a4 ? 9, a5 ? 12 归纳得 an ? 3(n ?1) (n ? 2)

9 9 1 1 1 ? ? ? ? an an?1 3(n ? 2)3n (n ? 1)n n ? 1 n 1 1 1 1 1 1 2013 ? ) ? 1? ? ∴ 原式= (1 ? ) ? ( ? ) ? L ? ( 2 2 3 2013 2014 2014 2014
∴ 二、13. 35 14. 30° 15.

1 7

16. ( ?1, )

2 3

提示: x ? 0, y ? 0 不等式 x ? y ? 3m2 ? m 恒成立 即: ( x ? y)min ? 3m2 ? m

1 1 1 1 y x 1 2 x ? y ? ( x ? y)( ? ) ? (2 ? ? ) ? (2 ? 2) ? 2 2 x y 2 x y 2 2 2 ∴ 3m ? m ? 2 得 ?1 ? m ? 3 1 (2 ?10 ? 3 ?10 ? 4 ? 20 ? 5 ?10) ? 3.6 17.解:(1) 平均数 x ? (4 分) 50 1 2 [10 ? (2 ? 3.6) 2 ? 10 ? (3 ? 3.6) 2 ? 20 ? (4 ? 3.6) 2 ? 10(5 ? 3.6) 2 ] ? 1.04 (2) S ? 50
(10 分) 18.解: x ? (1 ? a) x ? a ? 0
2

( x ? 1)( x ? a) ? 0 (3 分) ① a ? ?1 时,不等式解集为 [?1, a] ② a ? ?1 时,不等式解集为 {?1} ③ a ? ?1 时,不等式解集为 [a, ?1]
2 6

(6 分) (9 分) (12 分) (5 分) (12 分)

19.解:(1)设公差为 d(d≠0),由题意得 a ? a3a10 , a3 ? 9 则 (9 ? 3d )2 ? 9(9 ? 7d ) 得 d ? 1 (8 分) an ? 9 ? (n ? 3) ? n ? 6 (2) S27 ? 27a1 ? 27 ?13 ? 27 ? 7 ? 27 ?13 ? 540 20.解:(1)由 c sin B ? 3b cos C ,得

sin C sin B ? 3sin B cos C 即 sin C ? 3 cos C ∴ tan C ? 3 因为在△ABC 中, C ? (0, ? ) ? 所以 C ? (6 分) 3 1 3 (2)由 S ?ABC ? ac sin B ? a ? 9 3 ,得 a ? 6 3 2 2 ? ? 由(1) C ? 得 3b cos ? 3, b ? 2 3 3 3

(3 分)

(8 分) (10 分)

-5-

由 c ? a2 ? b2 ? 2ab cos C 得 c ? 108 ? 12 ? 2 ? 6 3 ? 2 3 cos

?
3

? 84 ? 2 21

(12 分)

21.解:设生产甲、乙两种产品各 x 吨、y 吨,日产值为 z 万元 由题意得 x,y 的约束条件为:

?x ? 0 , y ? 0 ? ?3 x ? 7 y ? 47 ?50 x ? 20 y ? 300 ?
目标函数 z ? 12 x ? 8 y 作出可行域 (6 分)

在图中作 l0 :12 x ? 8 y ? 0 即 3x ? 2 y ? 0 由 ?

(8 分)

?3x ? 7 y ? 47 得 A(4,5) (10 分) ?50 x ? 20 y ? 300 在可行域内平移 l0 ,当移至过点 A 时,Z 取最大值。 ∴ Zmax ? 12 ? 4 ? 8 ? 5 ? 88
答:每天生产甲 4 吨,乙 5 吨,时日产值最大为 88 万元。 22.解:(1)当 ? ?
n

(12 分)

?

4 2 an?1 ? 2n?1 ? an ? 1
n ?1

时, an ?1 ?

1 1 an ? n 2 2
(4 分)

∴ {2n?1 an } 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列 (2)由(1) 2

an ? n
(5 分)

从而 an ?

n 2 n ?1

n? 3? , b1 ? b2 ? 1 , b3 ? sin ?1 n 2 8 5? ∴ 当 n=1,2,3 时, S n ? 3 ? 成立 8 n? n? 当 n ? 4 时,因为 bn ? sin n ? n 2 2 bn ? sin
Sn ? 3 ? (
2
4 24

(6 分)

?
2

5 25

? ??

n ) π 2n

(8 分)

5 n 4 令 T ? 4 ? 5 ? ?? n 2
1 T 2

?

4 25

?

5 26

? ??

n 2 n?1

1 两式相减得 2 T

?

4 24

?

1 25

? ??

1 2n

?

1 4

?

1 24

5 ? 16

∴ ∴

T?

5 8

(11 分)

Sn ? 3 ?

5? 8

-6-

综上,对任意 n ? N , S n ? 3 ?

?

5? 8

(12 分)

-7-


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