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江苏省2016届高三数学专题复习 回扣二 函数与导数 文


回扣二
陷阱盘点 1 对自变量取值考虑不周

函数与导数

求函数的定义域,关键是依据含自变量 x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解, 如开偶次方根,被开方数一定是非负数;对数式中的真数是正数.列不等式时,应列出所 有的不等式,不应遗漏. [回扣问题 1]函数 f(x)= 的定义域为________. 2 log2x-1 1

陷阱盘点 2 忽视分段函数的相关性质 分段函数是一个函数,对于分段函数的单调性,要注意每段上的单调性与整个定义域上的 单调性的关系.
? ?a ,x<0, [回扣问题 2]已知函数 f(x)=? ?(a-3)x+4a,x≥0 ?
x

满足对任意 x1≠x2,都有

f(x1)-f(x2) <0 成立,则实数 a 的取值范围是________. x1-x2

陷阱盘点 3 函数的定义域关于原点对称是奇函数、偶函数的必要条件 判断函数的奇偶性,要注意定义域必须关于原点对称,有时还要对函数式化简整理,但必 须注意使定义域不受影响. ln(1-x ) [回扣问题 3]函数 f(x)= 的奇偶性是__________(填“奇函数”、“偶函数”或 |x-2|-2 “非奇非偶函数”).
2

陷阱盘点 4 忽视奇(偶)函数的性质而致误

f(x)是偶函数?f(-x)=f(x)=f(|x|);
1

f(x)是奇函数?f(-x)=-f(x); 定义域含 0 的奇函数满足 f(0)=0;定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不
充分的条件;判断函数的奇偶性,先求定义域,再找 f(x)与 f(-x)的关系. [回扣问题 4]若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且 f(2)=0, 则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是________.

陷阱盘点 5 忽视函数方程中“隐含的周期性”导致计算失误 由周期函数的定义“函数 f(x)满足 f(x)=f(a+x)(a>0),则 f(x)是周期为 a 的周期函 数”得: ①函数 f(x)满足-f(x)=f(a+x),则 f(x)是周期为 2a 的周期函数; ②若 f(x+a)= 1 (a≠0)成立,则 T=2a; f(x) 1 (a≠0)恒成立,则 T=2a. f(x) 1

③若 f(x+a)=-

[回扣问题 5]对于函数 y=f(x)满足 f(x+2)=-

f(x)

,若当 2<x≤3 时,f(x)=x,则

f(2 017)=________.

陷阱盘点 6 忽视单调区间的特性致误 求函数单调区间时,多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接,可用“和”连接 或用“,”隔开.单调区间必须是“区间”,而不能用集合或不等式代替. [回扣问题 6]函数 f(x)=x -3x 的单调增区间是________.
3

陷阱盘点 7 “图象变换问题”把握不清致误 (1)混淆图象平移变换的方向与长度单位; (2)区别两种翻折变换:f(x)→|f(x)|与 f(x)→f(|x|);

2

(3)两个函数图象的对称: ①函数 y=f(x)与 y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称; ②函数 y=f(x)与 y=f(-x)的图象关于直线 x=0(y 轴)对称;函数 y=f(x)与函数 y=-

f(x)的图象关于直线 y=0(x 轴)对称.
π [回扣问题 7]将函数 y=cos 2x 的图象向左平移 个单位,得到函数 y=f(x)·cos x 的图 4 象,则 f(x)=________.

陷阱盘点 8 忽视指数(对数)函数中底的取值范围致误 不能准确理解基本初等函数的定义和性质,如函数 y=a (a>0,a≠1)的单调性忽视字母 a 的取值讨论,忽视 a >0;对数函数 y=logax(a>0,a≠1)忽视真数与底数的限制条件. [回扣问题 8]函数 f(x)=loga|x|的单调增区间为________.
x x

陷阱盘点 9 函数零点概念不清致误 易混淆函数的零点和函数图象与 x 轴的交点,不能把函数零点、方程的解、不等式解集的 端点值联系起来. [回扣问题 9]函数 f(x)=|x-2|-ln x 在定义域内的零点个数为________.

陷阱盘点 10 区别不清“在点 P 处”和“过点 P”的切线而致误 不能准确理解导函数的几何意义,易忽视切点(x0,f(x0))既在切线上,又在函数图象上, 过点 P 的曲线的切线不一定只有一条,点 P 不一定是切点. [回扣问题 10]已知函数 f(x)=x -3x,过点 P(2,-6)作曲线 y=f(x)的切线,则此切线的 方程是________.
3

3

陷阱盘点 11 函数单调性与导数关系理解不清致误 盲目认为 f′(x)>0?y=f(x)在定义域区间上是增函数,f′(x)>0 是函数 y=f(x)在定义 区间上为增函数的充分不必要条件,忽视检验 f′(x)=0 是否恒成立;f′(x)<0 亦有类似 的情形. [回扣问题 11]函数 f(x)=ax -x +x-5 在 R 上是增函数,则 a 的取值范围是________.
3 2

陷阱盘点 12 导数与极值关系理解不清致误 错以为 f′(x0)=0 是可导函数 y=f(x)在 x=x0 处有极值的充分条件,事实上,仅有 f′(x0) =0 还不够,还要考虑是否 f′(x)在点 x=x0 两侧满足异号,另外,已知极值点求参数时要 进行检验. [ 回扣问题 12] 已知函数 f(x) = x + ax + bx + a 在 x = 1 处有极值为 10 ,则 a + b = ________.
3 2 2

回扣二 函数与导数

? 1? 2 1.?0, ?∪(2,+∞) [依题意 log2x-1>0,且 x>0.则 log2x>1 或 log2x<-1. ? 2?
1 ? 1? ∴x>2 或 0<x< ,f(x)定义域为?0, ?∪(2,+∞).] 2 ? 2?

? 1? 2.?0, ? ? 4?

[由于? x1,x2 且 x1≠x2,有

f(x1)-f(x2) <0 成立. x1-x2 ?0<a<1,

∴f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,所以?a-3<0, 1 解之得 0<a≤ .] 4 3.奇函数 [由 1-x >0,且|x-2|-2≠0, 知 f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1),
2

?

? ?0+4a≤a0,

4

ln(1-x ) ln(1-x ) 因此 f(x)= =- 为奇函数.] -(x-2)-2 x 4.(-2,2) [因为 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x)=f(|x|).

2

2

因为 f(x)<0,f(2)=0.所以 f(|x|)<f(2). 又因为 f(x)在(-∞,0]上是减函数, 所以 f(x)在(0,+∞)上是增函数, 所以|x|<2,所以-2<x<2.] 1 5.- 3 [由 f(x+2)=- 1 ,得 f(x+4)=f(x), f(x)

∴函数 y=f(x)的最小正周期 T=4, 因此 f(2 017)=f(1)=- 1 1 =- .] f(3) 3 [由 f′(x)>0,得 3x -3>0,则 x>1 或 x<-1.]
2

6.(-∞,-1)和(1,+∞) 7.-2sin x 象,

π? π ? [y=cos 2x 的图象向左平移 个单位,得 y=cos?2x+ ?=-sin 2x 的图 2? 4 ?

则 f(x)·cos x=-sin 2x,∴f(x)=-2sin x.] 8.a>1 时,增区间(0,+∞);0<a<1 时,增区间为(-∞,0). 9.2 [由|x-2|-ln x=0,得 ln x=|x-2|. 在同一坐标系内作 y=ln x(x>0)与 y= |x-2|(x>0)的图象有两个交点,

∴f(x)=|x-2|-ln x 在定义域内有两个零点.] 10.3x+y=0 或 24x-y-54=0 [设过点 P(2,-6)的切线与 y=f(x)相切于点 M(x0,

2 y0),∴y-y0=f′(x0)(x-x0),即 y-(x3 0-3x0)=(3x0-3)(x-x0).

又点 P(2,-6)在切线上,∴-6-(x0-3x0)=3(x0-1)(2-x0),解之得 x0=0 或 x0=3. 故所求的切线为 3x+y=0 或 24x-y-54=0.]

3

2

?1 ? 3 2 2 11.? ,+∞? [f(x)=ax -x +x-5 的导数 f′(x)=3ax -2x+1. ?3 ?
? ?a>0, 1 由 f′(x)≥0,得? 解之得 a≥ . 3 ?Δ =4-12a≤0, ?

a= 时,f′(x)=(x-1)2≥0,且只有 x=1 时,f′(x)=0,∴a= 符合题意.]

1 3

1 3

5

12 . - 7

[f′(x) = 3x + 2ax + b , 由 x = 1 时 , 函 数 取 得 极 值 10 , 得

2

? ?f′(1)=3+2a+b=0,① ? 2 ?f(1)=1+a+b+a =10,② ?

由①②得?

?a=4, ?

?a=-3, ? 或? ?b=-11, ? ?b=3. ?
2

当 a=4,b=-11 时,f′(x)=3x +8x-11=(3x+11)(x-1)在 x=1 两侧的符号相反,符 合题意. 当 a=-3,b=3 时,f′(x)=3(x-1) 在 x=1 两侧的符号相同,所以 a=-3,b=3 不符 合题意,舍去. 综上可知 a=4,b=-11,∴a+b=-7.]
2

6


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