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2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步、复数 第2讲 直接证明与间接证明课件 理


第 2讲
考试要求

直接证明与间接证明

1.分析法和综合法的思考过程和特点,A级要求;

2.反证法的思考过程和特点,A级要求.

知识梳理 1.直接证明
内容 从 综合法 已知条件 出发,以已 从 分析法 问题的结论 出发,

知的定义、公理、定理为依

定义

追溯导致结论成立的条件, 逐步上溯,直到使结论成 立的条件和已知条件或已 知事实吻合为止.这种证明

据,逐步下推,直到推出要
证明的结论为止,这种证明 方法常称为综合法.

方法常称为分析法.
执果索因

实质

由因导果

Q?P1 → P1?P2 框图 表示 P?Q1 → Q1?Q2 →?→ Qn?Q →?→ 得到一个明显 成立的条件 要证??只需 证??即证??

文字 因为??所以?? 语言 或由??得??

2.间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一

种常用的间接证明方法.
(1) 反证法的定义:要证明某一结论 Q 是正确的,但不直接证 明,而是先去假设 Q 不成立 ( 即Q 的反面非 Q 是正确的 ) ,经过 正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设非Q是错误的,从 而断定结论Q是正确的,这种证明方法叫做反证法. (2)用反证法证明的一般步骤:①反设——假设命题的结论不 成立;②归谬 —— 根据假设进行推理,直到推出矛盾为止;

③结论——断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立.

诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)综合法是直接证明,分析法是间接证明.( × )
(2) 分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的 充要条件.( × ) (3)用反证法证明结论“a>b”时,应假设“a<b”.( × ) (4)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾.( × )

2.(2014· 山东卷改编 ) 用反证法证明命题“设 a , b为实数,则方
程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是________. 解析 因为 “ 方程 x3 + ax + b = 0 至少有一个实根 ” 等价于

“方程x3 +ax +b=0的实根的个数大于或等于 1”,所以要
做的假设是“方程x3+ax+b=0没有实根”. 答案 方程x3+ax+b=0没有实根

3.设a=lg 2+lg 5,b=ex(x<0),则a与b的大小关系为________. 解析 a=lg 2+lg 5=1,b=ex, 当x<0时,0<b<1, ∴a>b. 答案 a>b

4.若 a, b, c 为实数, 且 a<b<0, 给出下列四个不等式: ①ac2<bc2; 1 1 b a ②a >ab>b ;③ a < b ;④ a > b . 则上 述 不等式正 确的个数 为
2 2

________.
解析 a2-ab=a(a-b),∵a<b<0,∴a-b<0, ∴a2-ab>0,∴a2>ab.①

又ab-b2=b(a-b)>0,∴ab>b2,②
由①②得a2>ab>b2. 答案 1

5.如果 a a+b b>a b+b a,则 a、b 应满足的条件是________.
解析 ∵a a+b b-(a b+b a) = a(a-b)+ b(b-a) =( a- b)(a-b) =( a- b)2( a+ b). ∴当 a≥0,b≥0 且 a≠b 时,( a- b)2( a+ b)>0. 故 a a+b b>a b+b a成立的条件是 a≥0,b≥0 且 a≠b.
答案 a≥0,b≥0且a≠b

考点一 综合法的应用
【例 1】 设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,证明: 1 a2 b2 c2 (1)ab+bc+ac≤3;(2) b + c + a ≥1.
证明 (1)由 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac 得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即 a2+b2+c2 1 +2ab+2bc+2ca=1.所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤ . 3 a2 b2 c2 a2 b2 c2 (2)因为 b +b≥2a, c +c≥2b, a +a≥2c,故 b + c + a +(a+b a2 b2 c2 a2 b2 c2 +c)≥2(a+b+c),即 b + c + a ≥a+b+c.所以 b + c + a ≥1.

规律方法

用综合法证题是从已知条件出发,逐步推向结

论,综合法的适用范围: (1) 定义明确的问题,如证明函数
的单调性、奇偶性,求证无条件的等式或不等式; (2) 已知 条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的 题型. 在使用综合法证明时,易出现的错误是因果关系不明 确,逻辑表达混乱.

【训练 1】 如图,在四面体 PABC中,PC ⊥ AB,PA⊥ BC,
点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.

(1)求证:DE∥平面BCP;
(2)求证:四边形DEFG为矩形; (3) 是否存在点 Q,到四面体 PABC六条棱的中点的距离相 等?说明理由.

(1)证明 因为D,E分别为AP,AC的中点, 所以DE∥PC.

又因为DE?平面BCP,
所以DE∥平面BCP. (2)证明 因为D,E,F,G分别为AP,AC,BC,PB的中点,

所以DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF. 所以四边形DEFG为平行四边形.

又因为PC⊥AB,
所以DE⊥DG. 所以四边形DEFG为矩形.

(3)证明 存在点Q满足条件,理由如下:

如图,连接DF,EG,设Q为EG的中点.
由(2)知,DF∩EG=Q, 1 且 QD=QE=QF=QG=2EG. 分别取 PC,AB 的中点 M,N,连接 ME,EN,NG,MG, MN. 与(2)同理,可证四边形 MENG 为矩形,其对角线交点为 EG 1 的中点 Q,且 QM=QN= EG,所以 Q 为满足条件的点. 2

考点二 分析法的应用
【例 2】 已知 a>0,证明: 1 1 a + 2- 2≥a+a-2. a
2

证明

要证

1 1 a +a2- 2≥a+a-2,只需证
2

1 ? 1? a +a2≥?a+a?- ? ?
2

(2 - 2 ). 因 为
? ? ?
2

? 1? a > 0 , 所 以 ?a+a? - (2 - ? ?

2)>0,所以只需证

?2 ? 1? 1 ?2 ?? 1? 即 2(2- 2)?a+a?≥8-4 2, a +a2? ≥??a+a?-(2- 2)? , ?? ? ? ? ? ?

? ? 1 1 1 只需证 a+a≥2.因为 a>0, a+a≥2 显然成立?a=a=1时等号成立?, ? ?

所以要证的不等式成立.

规律方法

分析法是逆向思维,当已知条件与结论之间的

联系不够明显、直接,或证明过程中需要用到的知识不太

明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对
值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑用分析法 . 注意用分析法证题时,通过反推,逐步寻找使结论成立的 充分条件,正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.

a b 【训练 2】 已知:a>0,b>0.求证: + ≥ a+ b. b a
证明
? a b ?2 a b ∵a>0,b>0,要证 + ≥ a+ b,只需证? + ? a? b a ? b

2 2 a b ≥( a+ b)2 成立,即证 b + a +2 ab≥a+b+2 ab成立,

a3+b3 即证 ab ≥a+b.也就是证(a+b)(a2-ab+b2)≥ab(a+b)成立, 即证 a2-2ab+b2≥0,也就是证(a-b)2≥0 成立.∵(a-b)2≥0 a b 恒成立,∴ + ≥ a+ b成立. b a

考点三 反证法的应用

【例 3】 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, a1=1+ 2, S3=9+3 2.

(1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn; Sn (2)设 bn= n (n∈N*),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能 成为等比数列.

(1)解

? ?a1= 2+1, 由已知得? ? ?3a1+3d=9+3

2,

所以 d=2,故 an=2n-1+ 2,Sn=n(n+ 2).

Sn (2)证明 由(1),得 bn= n =n+ 2.假设数列{bn}中存在三项 bp, bq,br(p,q,r 互不相等)成等比数列,
2 则 b2 q=bpbr,即(q+ 2) =(p+ 2)(r+ 2),

所以(q2-pr)+ 2(2q-p-r)=0. 因为
2 ? q -pr=0, ? * p,q,r∈N ,所以? ? ?2q-p-r=0,

?p+r? ?2 2 所以? = pr , ( p - r ) =0. ? 2 ? ? ?

所以 p=r,这与 p≠r 矛盾,所以数列{bn}中任意不同的三项都不 能成为等比数列.

规律方法

(1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、

“唯一”或以否定形式出现时,可用反证法来证,反证法关
键是在正确的推理下得出矛盾,矛盾可以是与已知条件矛盾, 与假设矛盾,与定义、公理、定理矛盾,与事实矛盾等. (2)用反证法证明不等式要把握三点:①必须否定结论; ②必须从否定结论进行推理;③推导出的矛盾必须是明显的.

【训练3】 已知a≠0,证明关于x的方程ax=b有且只有一个根.
证明 b 由于 a≠0,因此方程至少有一个根 x=a.

假设 x1,x2 是它的两个不同的根,即 ax1=b,① ax2=b,② 由①-②得 a(x1-x2)=0, 因为 x1≠x2,所以 x1-x2≠0, 所以 a=0,这与已知矛盾,故假设错误. 所以当 a≠0 时,方程 ax=b 有且只有一个根.

[思想方法]
分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然,容易寻

找到解题的思路和方法,缺点是思路逆行,叙述较繁;综合法
从条件推出结论,较简捷地解决问题,但不便于思考.实际证题 时常常两法兼用,先用分析法探索证明途径,然后再用综合法 叙述出来.

[易错防范]
1. 用分析法证明时,要注意书写格式的规范性,常常用“要证 ( 欲证 )??”“即证??”“只需证??”等,逐步分析,直 到一个明显成立的结论.

2.在使用反证法证明数学命题时,反设必须恰当,如“都是”
的否定是“不都是”“至少一个”的否定是“不存在”等.


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