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2016年湖南省怀化市高考数学二模试卷(理科)(解析版)


2016 年湖南省怀化市高考数学二模试卷(理科)
一、选择题(每题 5 分) 1.已知集合 M={x|x2﹣3x+2<0},N={x|2<2x<8},则( A.M=N B.M∩N=? C.M? N D.M? N 2.已知 a,b 都是实数,那么“ > ”是“lna>lnb”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

) )

3.若 x,y 满足

,则 z=|y﹣2x|的最大值为(



A.8 B.6 C.4 D.1 4.根据如图所示程序框图,若输入 m=42,n=30,则输出 m 的值为(



A.0 B.3 C.6 D.12 5.若双曲线 x2+2my2=1 的两条渐近线互相垂直,则其一个焦点为( ) A. C. D. (0,1) B. (﹣1,0) (0, ) (﹣ ,0) 6.某班对一模考试数学成绩进行分析,利用随机数表法抽取样本时,先将 70 个同学按 00, 01,02,…,69 进行编号,然后从随机数表第 9 行第 9 列的数开始向右读,则选出的第 10 个样本中第 8 个样本的编号是( ) (注:如表为随机数表的第 8 行和第 9 行) 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54. A.07 B.44 C.38 D.51 7.将函数 的图象向左平移 个单位得到 y=g(x)的 ,则 φ 的值是( )

图象,若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2 的 x1、x2,|x1﹣x2|min= A. B. C. D.

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8. (1﹣x)3(1﹣ )3 展开式中的常数项是(



A.20 B.6 C.﹣15 D.﹣20 9.一个三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的四个面的面积中最大的是(



A.

B.

C.4

D.3

10.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对边的边长,若 cosA+sinA﹣ =0,则 的值是( )

A.2 B. C. D.1 11.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉 三角形”.

该表由若干行数字组成, 第一行共有 2016 个数字, 从第二行起, 每一行中的数字均等于其“肩 上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为( ) A.2016×22015 B.2016×22014 C.2017×22015 D.2017×22014 12.设函数 f(x)是定义在区间(﹣∞,0)上的可导函数,其导函数为 f′(x) ,且满足 xf′(x)+f(x)<x,则不等式(x+2016)f(x+2016)+2f(﹣2)>0 的解集为( ) A. (x|﹣2014<x<0} B. (x|x<﹣2018} C. D. (x|x>﹣2016} (x|﹣2016<x<﹣2014} 二、填空题(每题 5 分) 13.已知不等式 x2﹣x≤0 的解集为[a,b],则 x(x﹣1)dx=______.

14.i 是虚数单位,复数

的虚部为______.

15.已知向量 , 满足| |=4, 在 方向上的投影是 ,则 ? =______.

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16. ? =0, 平行四边形 ABCD 中, 沿 BD 将四边形折成直二面角 A﹣BD﹣C, 且 2| 2 2 | +| | =8,则三棱锥 A﹣BCD 的外接球的表面积为______. 三、解答题 17.在等比数列{an}中,公比 q≠1,等差数列{bn}满足 b1=a1=3,b4=a2,b13=a3. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)记 cn=(﹣1)n?bn+an,求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 18.2016 年 1 月 1 日起全国统一实施全面二孩政策,为了解适龄民众对放开生育二孩政策 的态度,某市选取 70 后和 80 后作为调查对象,随机调查了 100 位,得到数据如表: 生二 不生 合计 胎 二胎 70 后 30 15 45 80 后 45 10 55 75 25 100 合计 (1)根据调查数据,是否有 95%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”,并说明理由; (2)以这 100 个人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估计概率,若从该市 70 后公 民中随机抽取 3 位,记其中生二胎的人数为 X,求随机变量 X 的分布列及数学期望和方差. 参考数据: P(K2 0.15 >k) k 2.072 (参考公式:K2=

0.10 2.706

0.05 3.841

0.25 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

,其中 n=a+b+c+d)

19.如图,四边形 ABCD 是矩形,AB=1,AD= ,E 是 AD 的中点,BE 与 AC 交于点 F, GF⊥平面 ABCD (1)求证:AF⊥平面 BEG; (2)若 AF=FG,求直线 EG 与平面 ABG 所成的角的正弦值.

20. 已知椭圆

+

=1 F2 的距离之和为 2 (a>b>0) 上一点与它的左、 右两个焦点 F1,



且它的离心率与双曲线 x2﹣y2=2 的离心率互为倒数. (1)求椭圆的方程; (2)如图,点 A 为椭圆上一动点(非长轴端点) ,AF1 的延长线与椭圆交于点 B,AO 的延 C 长线与椭圆交于点 . ①当直线 AB 的斜率存在时,求证:直线 AB 与 BC 的斜率之积为定值; ②求△ABC 面积的最大值,并求此时直线 AB 的方程.
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21.已知函数 f(x)=lnx﹣a(x﹣1) ,g(x)=ex, (1) (Ⅰ)g(x)≥x+1 (Ⅱ)设 h(x)=f(x+1)+g(x) ,当 x≥0,h(x)≥1 时,求实数 a 的取值范围; (2)当 a≠0 时,过原点分别做曲线 y=f(x)与 y=g(x)的切线 l1、l2,已知两切线的斜率 互为倒数,证明: <a< .

[选修 4-1:几何证明选讲]| 22.如图,等腰梯形 ABDC 内接于圆,过 B 作腰 AC 的平行线 BE 交圆于 F,过 A 点的切 线交 DC 的延长线于 P,PC=ED=1,PA=2. (Ⅰ)求 AC 的长; (Ⅱ)求证:BE=EF.

[选修 4-4:坐标系与参数方程]|

23.直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,曲线 C:ρ=1,

(1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (2)点 P(1,2)为直线 l 上一点,设曲线 C 经过伸缩变换 l 与曲线 C′相交于 A,B 两点,求 + 的值. 得到曲线 C′,若直线

[选修 4-5:不等式选讲]| 24.已知函数 f(x)=|x﹣3|﹣|x+2|. (1)若不等式 f(x)≥|m﹣1|有解,求实数 m 的最小值 M;
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(2)在(1)的条件下,若正数 a,b 满足 3a+b=﹣M,证明:

+ ≥3.

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2016 年湖南省怀化市高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每题 5 分) 1.已知集合 M={x|x2﹣3x+2<0},N={x|2<2x<8},则( A.M=N B.M∩N=? C.M? N D.M? N 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【分析】先把集合 M,N 解出来,然后判断即可. 【解答】解:∵M={x|x2﹣3x+2<0}={x|1<x<2}, N={x|2<2x<8}={x|1<x<3}, ∴M? N, 故选 D. 2.已知 a,b 都是实数,那么“ > ”是“lna>lnb”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件





【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据充分必要条件的定义,结合对数函数的性质,从而得到答案. 【解答】解:∵lna>lnb? a>b>0? > ,是必要条件, 而 > ,如 a=1,b=0 则 lna>lnb 不成立,不是充分条件, 故选:B.

3.若 x,y 满足

,则 z=|y﹣2x|的最大值为(



A.8

B.6

C.4

D.1

【考点】简单线性规划. 【分析】由约束条件作出可行域,令 t=y﹣2x,化为 y=2x+t,由线性规划知识求出 t 的取值 范围,则 z=|y﹣2x|的最大值可求.

【解答】解:由约束条件

作出可行域如图,

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令 t=y﹣2x,化为 y=2x+t, 由图可知,当直线 y=2x+t 过 A(﹣2,0)时,t 有最大值为 4,当直线 y=2x+t 过 B(4,0) 时,t 有最小值为﹣8. ∴z=|y﹣2x|的最大值为|﹣8|=8. 故选:A. 4.根据如图所示程序框图,若输入 m=42,n=30,则输出 m 的值为( )

A.0

B.3

C.6

D.12

【考点】程序框图. 【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 m 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 【解答】解:第一次执行循环体后,r=12,m=30,n=12,不满足退出循环的条件; 第二次执行循环体后,r=6,m=12,n=6,不满足退出循环的条件; 第三次执行循环体后,r=0,m=6,n=0,满足退出循环的条件; 故输出的 m 值为 6, 故选:C; 5.若双曲线 x2+2my2=1 的两条渐近线互相垂直,则其一个焦点为( A. C. D. (0,1) B. (﹣1,0) (0, ) (﹣ ,0) )

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】求出双曲线的渐近线方程,由两直线垂直的条件,可得 m,再求解双曲线的焦点坐 标. 【解答】解:双曲线 C:x2+2my2=1(m<0) , 可得渐近线方程为 y=± 由渐近线垂直可得 解得 m=﹣ , 即双曲线方程为 x2﹣y2=1, 可得焦点为( , 0) .
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x, =1,

故选:D. 6.某班对一模考试数学成绩进行分析,利用随机数表法抽取样本时,先将 70 个同学按 00, 01,02,…,69 进行编号,然后从随机数表第 9 行第 9 列的数开始向右读,则选出的第 10 个样本中第 8 个样本的编号是( ) (注:如表为随机数表的第 8 行和第 9 行) 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54. A.07 B.44 C.38 D.51 【考点】简单随机抽样. 【分析】根据题意,写出从随机数表选出的 10 个样本数中第 8 个样本的编号即可. 【解答】解:70 个同学按 00,01,02,…,69 进行编号,从随机数表第 9 行第 9 列的数开 始向右读, 选出的第 10 个样本数分别是 29, (78 舍去) ,64,56,07, (82 舍去) ,52,42, (07 舍去) , 44,38,15,51; 第 8 个样本的编号是 38. 故选:C.

7.将函数

的图象向左平移

个单位得到 y=g(x)的 ,则 φ 的值是( )

图象,若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2 的 x1、x2,|x1﹣x2|min= A. B. C. D.

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】先求得 g(x)的解析式,根据题意可得两个函数的最大值与最小值的差为 2 时, |x1﹣x2|min= .不妨设 x1= ,此时 x2 = ± .检验求得 φ 的值. 个单位得到 y=g

【解答】 解: 将函数 (x)=sin[2(x+φ)+ ]=sin(2x+2φ+

的图象向左平移 )的图象, , .

对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2 的 x1、x2,|x1﹣x2|min= 即两个函数的最大值与最小值的差为 2 时,|x1﹣x2|min= 不妨设 x1= 若 x1= 若 x1= ,此时 x2 = + ﹣ = =﹣ ± .

,x2 = ,x2 =

,则 g(x2)=﹣1,sin2φ=1,φ=

. ,不合题意,

,则 g(x2)=﹣1,sin2φ=﹣1,φ=

故选:B.

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8. (1﹣x)3(1﹣ )3 展开式中的常数项是( A.20 B.6 C.﹣15 D.﹣20



【考点】二项式定理的应用. 【分析】把(1﹣x)3(1﹣ )3 按照二项式定理展开,可得它的开式中的通项常数项. 【解答】解:∵(1﹣x)3(1﹣ )3=( ?( + ?(﹣ )+ ? + ? + ?(﹣x)+ , ?(﹣x)2+ ?(﹣x)3)

故它的开式中的通项常数项为 1+3×3+3×3+1=20, 故选:A. 9.一个三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的四个面的面积中最大的是( )

A.

B.

C.4

D.3

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图可知:该几何体如图所示,利用三角形面积计算公式分别计算出,经过比 较即可得出结论. 【解答】解:由三视图可知:该几何体如图所示, = S△ABC= = = =2. × = . =3,

则该三棱锥的四个面的面积中最大的是△D1AC. 故选:A.

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10.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对边的边长,若 cosA+sinA﹣ =0,则 A.2 的值是( B. C. ) D.1

【考点】正弦定理. 【分析】在△ABC 中,cosA+sinA﹣ =0,展开利用和差公式可得 cos(A﹣C)

+sin(A+C)=2,因此只有 cos(A﹣C)=sin(A+C)=1,求出角,再利用正弦定理即可得 出. 【解答】解:∵在△ABC 中,cosA+sinA﹣ ∴(cosA+sinA) (cosC+sinC)=2, 展开可得 cosAcosC+sinCcosA+sinAcosC+sinAsinC=2, 即 cos(A﹣C)+sin(A+C)=2, 又 cos(A﹣C)≤1 且 sin(A+C)≤1, 故只有 cos(A﹣C)=sin(A+C)=1, ∴A﹣C=0,A+C= ,∴A=C= ,B= , =0,

由正弦定理可得

=

=

=



故选:C. 11.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉 三角形”.

该表由若干行数字组成, 第一行共有 2016 个数字, 从第二行起, 每一行中的数字均等于其“肩 上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为( )
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A.2016×22015 B.2016×22014 C.2017×22015 D.2017×22014 【考点】数列递推式. 【分析】由题意,数表的每一行都是等差数列,且第一行公差为 1,第二行公差为 2,第三 行公差为 4,…,第 2015 行公差为 22014,可得:第 n 行的第一个数为: (n+1)×2n﹣2,即可 得出. 【解答】解:由题意,数表的每一行都是等差数列, 且第一行公差为 1,第二行公差为 2,第三行公差为 4,…,第 2015 行公差为 22014, 故第 1 行的第一个数为:2×2﹣1, 第 2 行的第一个数为:3×20, 第 3 行的第一个数为:4×21, … 第 n 行的第一个数为: (n+1)×2n﹣2, 第 2016 行只有 M, 则 M=(1+2016)?22014=2017×22014, 故选:D. 12.设函数 f(x)是定义在区间(﹣∞,0)上的可导函数,其导函数为 f′(x) ,且满足 xf′ (x)+f(x)<x,则不等式(x+2016)f(x+2016)+2f(﹣2)>0 的解集为( ) A. (x|﹣2014<x<0} B. (x|x<﹣2018} C. x x 2016 D ( | >﹣ } . (x|﹣2016<x<﹣2014} 【考点】利用导数研究函数的单调性;函数的单调性与导数的关系. 【分析】根据条件,构造函数,利用函数的单调性和导数之间的关系,将不等式进行转化即 可得到结论 【解答】解:由 f(x)+xf′(x)<x,x<0, 即[xf(x)]′<x<0, 令 F(x)=xf(x) , 则当 x<0 时,F'(x)<0, 即 F(x)在(﹣∞,0)上是减函数, F(x+2016)=(x+2016)f(x+2014) ,F(﹣2)=(﹣2)f(﹣2) , F(x+2016)﹣F(﹣2)>0, ∵F(x)在(﹣∞,0)是减函数, ∴由 F(x+2014)>F(﹣2)得, ∴x+2016<﹣2, 即 x<﹣2018. 故选 B. 二、填空题(每题 5 分) 13.已知不等式 x2﹣x≤0 的解集为[a,b],则 x(x﹣1)dx= ﹣ .

【考点】定积分. 【分析】先求解不等式得其解集,然后借助于微积分基本定理求解定积分. 【解答】解:由 x2﹣x≤0,得:0≤x≤1, ∵不等式 x2﹣x≤0 的解集为[a,b], ∴a=0,b=1,
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x(x﹣1)dx=

(x(x﹣1)dx=(



)|

=

=﹣ ,

故答案为:﹣ .

14.i 是虚数单位,复数

的虚部为



【考点】复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【解答】解:∵ = ,

∴复数

的虚部为﹣ .

故答案为:﹣ .

15.已知向量 , 满足| |=4, 在 方向上的投影是 ,则 ? = 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】设 【解答】解:设 |cosθ=4× =2. 故答案为:2.

2 .

的夹角为 θ,则| |cosθ= ,于是 ? =| |?| |cosθ=4× =2. 的夹角为 θ,则 在 方向上的投影为| |cosθ= ,∴ ? =| |?|

16. ? =0, 平行四边形 ABCD 中, 沿 BD 将四边形折成直二面角 A﹣BD﹣C, 且 2| 2 2 | +| | =8,则三棱锥 A﹣BCD 的外接球的表面积为 8π . 【考点】球的体积和表面积;球内接多面体. 【分析】由已知中 ? =0 可得 AB⊥BD,沿 BD 折起后,由平面 ABD⊥平面 BDC,可得 三棱锥 A﹣BCD 的外接球的直径为 AC,进而根据 2| |2+| |2=8,求出三棱锥 A﹣BCD 的外接球的半径,可得三棱锥 A﹣BCD 的外接球的表面积. 【解答】解:平行四边形 ABCD 中, ∵ ? =0 ∴AB⊥BD, 沿 BD 折成直二面角 A﹣BD﹣C, ∵平面 ABD⊥平面 BDC 三棱锥 A﹣BCD 的外接球的直径为 AC, ∴AC2=AB2+BD2+CD2=2AB2+BD2=8 ∴外接球的半径为 ,
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故表面积是 8π. 故答案为:8π. 三、解答题 17.在等比数列{an}中,公比 q≠1,等差数列{bn}满足 b1=a1=3,b4=a2,b13=a3. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)记 cn=(﹣1)n?bn+an,求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 【考点】等差数列与等比数列的综合;数列的求和. 【分析】 (Ⅰ)设等比数列{an}的公比为 q(q≠1) ,等差数列{bn}的公差为 d,根据 b1=a1, b4=a2,b13=a3 及等差、等比数列的通项公式列关于 q,d 的方程组解出即得 q,d,再代入通 项公式即可; (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,Sn=c1+c2+…+cn=(﹣3+5)+

(﹣7+9)+…+(﹣1)n﹣1(2n﹣1)+(﹣1)n(2n+1)+3+32+…+3n,分 n 为奇数、偶数两种 情况讨论即可; 【解答】解: (Ⅰ) 设等比数列{an}的公比为 q(q≠1) ,等差数列{bn}的公差为 d. 由已知得: ,b1=3,b4=3+3d,b13=3+12d, 或 q=1(舍去) ,

所以 所以,此时 d=2, 所以, ,bn=2n+1;

(Ⅱ) 由题意得:



Sn=c1+c2+…+cn=(﹣3+5)+(﹣7+9)+…+(﹣1)n﹣1(2n﹣1)+(﹣1)n(2n+1)+3+32+…+3n, 当 n 为偶数时, 当 n 为奇数时, , ,

所以,



18.2016 年 1 月 1 日起全国统一实施全面二孩政策,为了解适龄民众对放开生育二孩政策 的态度,某市选取 70 后和 80 后作为调查对象,随机调查了 100 位,得到数据如表: 生二 不生 合计 胎 二胎 70 后 30 15 45 80 后 45 10 55 75 25 100 合计
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(1)根据调查数据,是否有 95%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”,并说明理由; (2)以这 100 个人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估计概率,若从该市 70 后公 民中随机抽取 3 位,记其中生二胎的人数为 X,求随机变量 X 的分布列及数学期望和方差. 参考数据: P(K2 0.15 >k) k 2.072 (参考公式:K2=

0.10 2.706

0.05 3.841

0.25 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

,其中 n=a+b+c+d)

【考点】独立性检验的应用. 【分析】 (1)根据列联表中的数据,计算 K2 的值,即可得到结论; (2)X 可能取值为 0,1,2,3,X~B(3, ) ,求出相应的概率,可得 X 的分布列及数 学期望和方差. 【解答】解: (1)由题意,K2= 所以没有 95%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”; (2)由已知得该市 70 后“生二胎”的概率为 P(X=0)=C30( )3= , = ,且 X~B(3, ) , ≈3.030<3.841,

P(X=1)=C31( ) ( )2= , P(X=2)=C32( )2( )= , P(X=3)=C32( )3= 其分布列如下: X 0 P ∴E(X)=3× =2,D(X)=3× × = . ,

1

2

3

19.如图,四边形 ABCD 是矩形,AB=1,AD= ,E 是 AD 的中点,BE 与 AC 交于点 F, GF⊥平面 ABCD (1)求证:AF⊥平面 BEG; (2)若 AF=FG,求直线 EG 与平面 ABG 所成的角的正弦值.

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【考点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定. 【分析】 (1)推导出△AEF∽△CBF,从而 AE= ,AC= ,进而得到 AC⊥BE,AC⊥

GF,由此能证明 AF⊥平面 BEG. (2)以点 F 为原点,FA、FE、FG 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系, 利用向量法能求出直线 EG 与平面 ABG 所成的角的正弦值. 【解答】证明: (1)∵四边形 ABCD 为矩形,∴△AEF∽△CBF, ∴ , ,∴AE= ,∴AF= ,AC= , ,

又∵矩形 ABCD 中,AB=1,AD= 在 Rt△BEA 中,BE= BD= , )2+( =

在△ABF 中,AF2+BF2=(

)2=1=AB2,

∴∠AFB=90°,∴AC⊥BE, ∵GF⊥平面 ABCD,AC? 平面 ABCD,∴AC⊥GF, 又∵BE∩GF=F,BE,GF? 平面 BCE,∴AF⊥平面 BEG. 解: (2)由(1)得 AD、BE、FG 两两垂直,以点 F 为原点,FA、FE、FG 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴, 建立空间直角坐标系, 则 A( ,0,0) ,B(0,﹣ , 设 =(x,y,z)是平面 ABG 的法向量, ,0) ,G(0,0, ) ,E(0, , =(0,﹣ ,0) , ) ,



,取

,得 =(

) ,

设直线 EG 与平面 ABG 所成角的大小为 θ,

则 sinθ=

=

=



第 15 页(共 23 页)

∴直线 EG 与平面 ABG 所成的角的正弦值为



20. 已知椭圆

+

=1 F2 的距离之和为 2 (a>b>0) 上一点与它的左、 右两个焦点 F1,



且它的离心率与双曲线 x2﹣y2=2 的离心率互为倒数. (1)求椭圆的方程; (2)如图,点 A 为椭圆上一动点(非长轴端点) ,AF1 的延长线与椭圆交于点 B,AO 的延 长线与椭圆交于点 C. ①当直线 AB 的斜率存在时,求证:直线 AB 与 BC 的斜率之积为定值; ②求△ABC 面积的最大值,并求此时直线 AB 的方程.

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)易知 2a=2 ,e= ,从而解得;

(2)①设 A(xA,yA) ,B(xB,yB) ,则 C(﹣xA,﹣yA) ,从而设直线 BA 的方程为 y=k (x+1) ,联立方程化简(2k2+1)x2+4k2x+2k2﹣2=0,从而可得 xA+xB=﹣ yA+yB=k ,从而证明. ,

②分情况讨论以分别确定△ABC 的面积的取值范围,从而解得. 【解答】解: (1)由椭圆的定义知 2a=2 , 2 双曲线 x ﹣y2=2 的离心率为 , 故椭圆 + =1 的离心率 e= ,
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故 a=

,c=1,b=1; +y2=1;

故椭圆的方程为

(2)①证明:设 A(xA,yA) ,B(xB,yB) ,则 C(﹣xA,﹣yA) , 设直线 BA 的方程为 y=k(x+1) ,

联立方程

化简得,

(2k2+1)x2+4k2x+2k2﹣2=0, ∴xA+xB=﹣ ,

yA+yB=k(xA+xB)+2k=k(﹣

+2)=k



∴kABkBC=k?

=

=﹣ ;

②当直线 AB 的斜率不存在时, 可知 A(﹣1, ) ,B(﹣1,﹣ ) ,C(1,﹣ ) ,

故 S△ABC= , 当直线 AB 的斜率存在时,由①知, xA+xB=﹣ 故|xA﹣xB|= = ,xAxB= ,

?



故|AB|=

|xA﹣xB|

=

?

?



点 C 到直线 AB 的距离 d=

=



故 S△ABC= ?(

?

?

)?

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=2

=2

?





故△ABC 面积的最大值为

,此时 AB 的方程为 x+1=0.

21.已知函数 f(x)=lnx﹣a(x﹣1) ,g(x)=ex, (1) (Ⅰ)g(x)≥x+1 (Ⅱ)设 h(x)=f(x+1)+g(x) ,当 x≥0,h(x)≥1 时,求实数 a 的取值范围; (2)当 a≠0 时,过原点分别做曲线 y=f(x)与 y=g(x)的切线 l1、l2,已知两切线的斜率 互为倒数,证明: <a< .

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (Ⅰ)求得 g(x)﹣x﹣1 的导数,求得单调区间和极小值,可得最小值,即可得证; (Ⅱ) (1)利用导数处理函数的最值和不等式的恒成立求参数的范围问题,求导过程中用到 x 了 e ≥x+1 这个结论,注意讨论 a 的范围; (2)背景为指数函数 y=ex 与对数函数 y=lnx 关于直线 y=x 对称的特征,得到过原点的切线 也关于直线 y=x 对称,利用导函数研究曲线的切线及结合方程有解零点存在定理的应该用 求参数的问题,得到不等式的证明. 【解答】解: (Ⅰ)g(x)﹣x﹣1=ex﹣x﹣1, g′(x)=ex﹣1,当 x>0 时,g′(x)>0,g(x)递增; 当 x<0 时,g′(x)<0,g(x)递减. 则 x=0 处取得极小值,且为最小值 0, 即有 g(x)≥x+1: (Ⅱ) (1)h(x)=f(x+1)+g(x)=ln(x+1)﹣ax+ex, h′(x)=ex+ ﹣a. ﹣a≥x+1+ ﹣a≥2﹣a≥0,

①当 a≤2 时,因为 ex≥x+1,所以 h′(x)=ex+

h(x)在[0,+∞)上递增,h(x)≥h(0)=1 恒成立,符合题意; ②当 a>2 时,因为 h″(x)=ex﹣ = ≥0,

所以 h′(x)在[0,+∞)上递增,且 h′(0)=2﹣a<0, 则存在 x0∈(0,+∞) ,使得 h′(0)=0. 所以 h(x)在(0,x0)上递减,在(x0,+∞)上递增,又 h(x0)<h(0)=1, 所以 h(x)≥1 不恒成立, 综合①②可知,所求实数 a 的取值范围是(﹣∞,2]; (2)证明:设切线 l2 的方程为 y=k2x,切点为(x2,y2) , 则 y2=ex2,k2=g′(x2)=ex2= ,
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所以 x2=1,y2=e,则 k2=ex2=e. 由题意知,切线 l1 的斜率为 k1= = ,l1 的方程为 y=k1x= x.

设 l1 与曲线 y=f(x)的切点为(x1,y1) , 则 k1=f′(x1)= 所以 y1= ﹣a= = ,

=1﹣ax1,a=

﹣ . ﹣ =0.

又因为 y1=lnx1﹣a(x1﹣1) ,消去 y1 和 a 后,整理得 lnx1﹣1+ 令 m(x)=lnx﹣1+ ﹣ =0,则 m′(x)= ﹣ = ,

m(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. 若 x1∈(0,1) ,因为 m( )=﹣2+e﹣ >0,m(1)=﹣ <0, 所以 x1∈( ,1) , 而 a= ﹣ 在 x1∈( ,1)上单调递减,所以 <a<



若 x1∈(1,+∞) ,因为 m(x)在(1,+∞)上单调递增,且 m(e)=0,则 x1=e, 所以 a= ﹣ =0(舍去) .

综上可知,

<a<



[选修 4-1:几何证明选讲]| 22.如图,等腰梯形 ABDC 内接于圆,过 B 作腰 AC 的平行线 BE 交圆于 F,过 A 点的切 线交 DC 的延长线于 P,PC=ED=1,PA=2. (Ⅰ)求 AC 的长; (Ⅱ)求证:BE=EF.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (I)由 PA 是圆的切线结合切割线定理得比例关系,求得 PD,再由角相等得三角形 相似:△PAC∽△CBA,从而求得 AC 的长;
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(II)欲求证:“BE=EF”,可先分别求出它们的值,比较即可,求解时可结合圆中相交弦的 乘积关系. 【解答】解: (I)∵PA2=PC?PD,PA=2,PC=1, ∴PD=4,… 又∵PC=ED=1, ∴CE=2, ∵∠PAC=∠CBA,∠PCA=∠CAB, ∴△PAC∽△CBA, ∴ ,…

∴AC2=PC?AB=2, … ∴ 证明: (II)∵ ∴ ∴EF=BE. , …

,CE=2,而 CE?ED=BE?EF,…

[选修 4-4:坐标系与参数方程]|

23.直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,曲线 C:ρ=1,

(1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (2)点 P(1,2)为直线 l 上一点,设曲线 C 经过伸缩变换 l 与曲线 C′相交于 A,B 两点,求 + 的值. 得到曲线 C′,若直线

【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.

【分析】 (1) 直线 l 的参数方程为

(t 为参数) , 消去参数 t 可得直角坐标方程. 由

曲线 C:ρ=1,利用 ρ2=x2+y2 可得直角坐标方程.

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(2) 由伸缩变换

得到

, 代入曲线 C 可得曲线 C′:

2 =1. + (y′) 把

直线 l 的参数方程代入可得:13t2+

x+42=0,利用根与系数的关系可得

+

=

+

=



【解答】解: (1)直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,消去参数 t 可得:

x﹣

y+2﹣ =0, 由曲线 C:ρ=1,可得直角坐标方程:x2+y2=1. +(y′)2=1.

(2)由伸缩变换

得到

,代入曲线 C 可得曲线 C′:

故曲线 C′的方程为:

=1. x+42=0,∴t1+t2=﹣ = ,t1t2=4.

把直线 l 的参数方程代入可得:13t2+



+

=

+

=



[选修 4-5:不等式选讲]| 24.已知函数 f(x)=|x﹣3|﹣|x+2|. (1)若不等式 f(x)≥|m﹣1|有解,求实数 m 的最小值 M; (2)在(1)的条件下,若正数 a,b 满足 3a+b=﹣M,证明: + ≥3.

【考点】绝对值三角不等式. 【分析】 (1)由条件利用绝对值的意义求得 f(x)的最小值,从而求得实数 m 的最小值 M. (2)由题意可得即 =1,故有 + = + = + + ,再利用基本不

等式证得 + ≥3. 【解答】解:函数 f(x)=|x﹣3|﹣|x+2|表述数轴上的 x 的对应点到 3 对应点的距离减去 它到﹣2 对应点的距离, 它的最小值为﹣5,最大值为 5, (1)若不等式 f(x)≥|m﹣1|有解,则 5≥|m﹣1|,即﹣5≤m﹣1≤5,求得﹣4≤m≤6, 故实数 m 的最小值 M=﹣4.
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(2)在(1)的条件下,若正数 a,b 满足 3a+b=﹣M=4,即

=1,

∴ + =

+

= +

+

≥ +2

+3= +2? =3,



+ ≥3.

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2016 年 9 月 28 日

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