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上海市大同中学高一下数学期中考试(参考答案)


上海市大同中学 2014 学年度第二学期期中试卷参考答案
高一数学 (满分 100 分, 时间 90 分钟) 班级___________学号__________姓名___________ (2015 年 4 月) 一、填空题(本大题满分 30 分,每小题 3 分) 4? 1、经过 40 分钟,钟表的分针转过_________________弧度的角。 ? 3 ? 4?

24 ? 2、已知扇形的圆心角为 ,弧长为 ,则扇形的面积为_________________。 5 25 3
3、 arcsin ? sin11? ? _________________。 11 ? 4? 4、若 ? ? ? ?

1 ? cos ? 1 ? cos ? 3 2 ? ,化简: ? ? _________________。 ? 2 sin ? 1 ? cos ? 1 ? cos ?
4sin ? ? 3cos ? 5 ? _________________。 ? 2sin ? ? 5cos ? 4

5、 2sin ? ? cos ? ? 0 ,则 6、 若? ? ?

?? ? ? 4 sin ? 化简: 1 ? sin 2? ? 1 ? sin 2? ? 2 ? 2cos 2? ? _________________。 , ?, ?4 2?

7、求值: 1 ? tan1

?

??1 ? tan 2 ? ?1 ? tan 44 ??1 ? tan 45 ? ? _________________。 2

23

n? 8 、 使 方 程 2 s i?

1 5? co ? s 有 解 的 实 数 k 的 取 值 范 围 是 _________________ 。 k

1? ? ? ??, ? ? 3? ?

?1 ? , ?? ? ? ?3 ?

9 、在四边形 ABCD 中, ?A ? ?C ? _________________。

?
2

, ?B ?

?
3

, AD ? 3 , CD ? 5 ,则对角线 BD 的长为

14 3 3

10、在 ?ABC 中,已知 a, b, c 是角 A, B, C 的对应边,则 ①若 a ? b ,则 f ( x) ? ?sin A ? sin B ? ? x 在 R 上是增函数;
2 2 ②若 a ? b ? ? a cos B ? b cos A ? ,则 ? ABC 是 Rt ? ; 2

③ cos C ? sin C 的最小值为 ? 2 ; ④若 cos 2 A ? cos 2 B ,则 A ? B ; ⑤若 ?1 ? tan A??1 ? tan B ? ? 2 ,则 A ? B ?

3 ?, 4

其中错误命题的序号是_________________。③⑤

二、选择题(本大题满分 16 分,每小题 4 分)

1

11、函数 y ? 4sin ? 2 x ?

? ?

??
?
6

? 的图像关于( 3?

)对称。D D.直线 x ?

A.原点

B.直线 x ?

C. y 轴

?
12

12、在 ?ABC 中,角 A, B 均为锐角,且 cos A ? sin B ,则三角形 ABC(

)B

A.一定为直角三角形 C.一定为锐角三角形

B.一定为钝角三角形 D.不能确定为何种三角形 ? 13、先将函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度,再将所得图象作关于 y 轴的对称变换,则 3
所得函数图象对应的解析式为( A.y ? sin ? ?2 x ? )D

? ?

??
? 3?

B.y ? sin ? ?2 x ?

? ?

??
? 3?

C.y ? sin ? ?2 x ?

? ?

2? ? ? 3 ?

D.y ? sin ? ?2 x ?

? ?

2? ? ? 3 ?

b ? 1, ?ABC 的面积为 3 , ?A ? 60 , 14、 在 ?ABC 中, 则

a?b?c n is n is A? n is B ?

C

的值为 (



B A.
8 3 81

B.

2 39 3

C.

26 3 3

D. 2 7

三、解答题(本大题满分 54 分)
15、 (本题 10 分) (1)已知 ? 、 ? ? ? 0, ? ? , tan

?
2

?

1 5 , sin ?? ? ? ? ? ,求 cos ? 。 2 13

2cos 4 x ? 2cos 2 x ?
(2)化简:

?? ? ?? ? 2 tan ? ? x ? sin 2 ? ? x ? ?4 ? ?4 ?
2?

1 2

1 1 1? 4 2 ? , cos ? ? 4 ? 3 , cos ?? ? ? ? ? ? 12 解: (1) sin ? ? 1 5 1 5 13 1? 1? 4 4 12 3 5 4 16 cos ? ? cos ?? ? ? ? cos? ? sin ?? ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? ? ? 13 5 13 5 65
(2)原式 ?

2cos 4 x ? 2cos 2 x ?

?? ? ?? ? 2 tan ? ? x ? cos 2 ? ? x ? ?4 ? ?4 ?

1 2

?

2cos 4 x ? 2cos 2 x ? ?? ? sin ? ? 2 x ? ?2 ?

1 2 2 cos 2 x ? 1? ? 1 2 ? ? cos 2 x 2 cos 2 x 2

16、 (本题 10 分)渔船甲在海中某岛南偏西 50 方向,与岛相距 12 海里,看到渔船乙刚从岛向北偏 西 10 的方向航行,速度为 10 海里/小时。问:渔船甲需要用多大速度朝什么方向航行,经过 2 小时
2

能追到渔船乙? 解:设渔船甲航速为 x 海里/小时。

? 2x?

2

? 202 ? 122 ? 2 ? 20 ?12 cos120

x ? 14 ( x 海里/小时) 28 20 ? sin120 sin ?
sin ? ? 5 3 14

航向东偏北 40 ? arcsin

5 3 ? 78.2 14

答:航速 14 海里/小时,航向东偏北 78.2 。 17、 (本题 10 分)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 。 (1)若 c ? 2 , C ?

?
3

,且 S?ABC ? 3 ,求 a , b 的值;

(2)若 sin C ? sin ? B ? A? ? sin 2 A ,试判断 ?ABC 的形状。 解: (1) 3 ?

1 ? ab sin ? ab ? 4 2 3

22 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos

?

3

? a ? b2 ? ab ? 4

2

? a ? b?

2

? 16 ? a ? b ? 4

故a ? b ? 2 (2) sin ? B ? A? ? sin ? B ? A? ? sin 2 A

2sin B cos A ? 2sin A cos A

cos A?sin A ? sinB? ? 0
或A?B 2 ?ABC 为等腰三角形或直角三角形。 18 、 (本题 12 分)定义在区间 ? ?? , ? ? 上的函数 y ? f ? x? 的图像关于直线 x ? ? 对称,当 6 3 ? ?

A?

?

?

2 ?

?

? ? 2 ? x ? ? ? , ? ? 时,函数 f ? x ? ? Asin ??x ? ? ? ? 6 3 ?

? ?? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ? ? ? ? ,其图像如图所示。 2 2? ?

3

(1)求函数 y ? f ? x ? 在 ? ?? , ? ? 的表达式; 3 (2)求方程 f ? x ? ?

? ?

2 ? ?

2 的解。 2

解: (1) y ? ? sin x

? ? 5 ? ? 3 ?? ? , ? , ? , ? ? 4 12 12 ? (2) ? 4
? ?

19、 (本题 12 分)就实数 a 的取值范围,讨论关于 x 的方程 cos 2 x ? 2sin x ? 2a ? 3 ? 0 在 ? ?? , 内解的个数情况。 解: 1 ? 2sin 2 x ? 2sin x ? 2a ? 3 ? 0

??
2? ?

a ? 1 ? sin 2 x ? sin x
因为当 t ???1 ?

?0,1? 时方程 sin x ? t 在 x ? ? ? ?? ,
? ? ?

??
2? ?

有一解;

当 t ? ? ?1,0? 时方程 sin x ? t 在 x ? ? ?? ,

??
2? ?

有两解。

所以考虑水平直线 y ? a ? 1 与 y ? t ?t ?1? t ???1,1? 交点横坐标的情况。 当 0 ? a ? 1 ? 2 ,即 a ? ?1,3? 时,有 sin x ? t1

t1 ? ? 0,1? ,原方程有一解;

当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? 1 时,有 sin x ? ?1,sin x ? 0 ,原方程有三解; 当?

1 ?3 ? ? a ?1 ? 0 , 即 a ? ? ,1? 时, 有 sin x ? t1 ,sin x ? t2 4 ?4 ?

? 1 ? t1 ? ?

1 ? t2 ? 0 , 原方程有四解; 2

当 a ?1 ? ?

1 3 1 ,即 a ? 时,有 sin x ? ? ,原方程有两解; 4 4 2 1 3? ? ,即 a ? ? ??, ? 4 4? ?

当 a ?1 ? 2 或 a ?1 ? ? 小结:

? 3, ?? ? 时,原方程无解。

4

a ? ?1,3? 时,原方程有一解;
a ? 1 时,原方程有三解;
?3 ? a ? ? ,1? 时,原方程有四解; ?4 ?
a? 3 时,原方程有两解; 4

3? ? a ? ? ??, ? 4? ?

? 3, ?? ? 时,原方程无解。

5


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