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2012优化方案数学精品练习(苏教版选修2-1):2.5 知能优化训练)


1.已知双曲线 3x2-y2=9,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距 离之比等于________. 解析:∵3x2-y2=9, x2 y2 ∴ - =1. 3 9 ∴a= 3,b=3,c=2 3. c ∴e= =2. a 答案:2 2.已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上, 且 2x2=x1+x3,则下列说法正确的是________.(填序号) ①|FP1|+|FP2|=|FP3|; ②|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2; ③|FP1|+|FP3|=2|FP2|; ④|FP2|2=|FP1|· |FP3|. p p p p x2+ ?= 解析:由题意得|FP1|=x1+ ,|FP2|=x2+ ,|FP3|=x3+ .再由 2x2=x1+x3 得 2? 2? ? 2 2 2 p p ?x1+ ?+?x3+ ?,即 2|FP2|=|FP1|+|FP3|. 2? ? 2? ? 答案:③ 3.如果双曲线的两个焦点分别为 F1(-3,0),F2(3,0),一条渐近线方程为 y= 2x,那么它 的两条准线之间的距离为________. b 2a2 解析:由题意得 c=3, = 2,∴a= 3,∴d= =2. a c 答案:2 4.方程 ?x-1?2+?y-1?2=|x+y+2|表示的曲线是________. 解析:利用圆锥曲线的统一定义判断.设 P(x,y),A(1,1),由于直线 l:x+y+2=0,因 |PA| 此|PA|= 2d(d 为点 p 到直线 l 的距离), ∴e= = 2>1.∴点 P 的轨迹是双曲线. 故填双曲线. d 答案:双曲线 一、填空题

x2 3 1.已知双曲线 2-y2=1(a>0)的一条准线方程为 x= ,则双曲线的离心率为________. a 2 3 a2 解析:由双曲线的准线方程求基本量的值,进而求出离心率.∵准线方程为 x= ,∴ = 2 c 3 c 2 3 2 3 .① 又∵b2=1,∴c2=a2+1.② 由①②得 a= 3,c=2,∴e= = .故填 . 2 a 3 3 2 3 答案: 3 x2 y2 2.设椭圆 2+ 2 =1(m>1)上一点 P 到其左焦点的距离为 3,到右焦点的距离为 1,则 m m -1 P 到右准线的距离为________. 解析:∵m2>m2-1,∴m2=a2,m2-1=b2. ∴c2=1.又 3+1=2a, 1 ∴a=2.∴e= . 2

1 a ∴d= = =2. e c 答案:2

x2 y2 → 1 → → 3.如图所示,P 是椭圆 + =1 上任意一点,F 是椭圆的左焦点,且OQ= (OP+OF), 25 9 2 → |OQ|=4,则点 P 到该椭圆左准线的距离为________. → 1 → → → 解析:因为OQ= (OP+OF),所以 Q 为线段 PF 的中点.因为|OQ|=4,所以点 P 到右焦 2 |PF| c 4 5 点 F′的距离为 8.所以|PF|=2×5-8=2.又因为 =e= = ,所以 d= . d a 5 2 5 答案: 2 x2 y2 4.(2010 年高考江西卷)点 A(x0,y0)在双曲线 - =1 的右支上,若点 A 到右焦点的距 4 32 离等于 2x0,则 x0=________. x2 y2 c 解析:由 - =1 知,a=2,b=4 2,∴c=6,∴e= =3, 4 32 a a2 4 2 2x0 ∴ = = ,由双曲线的第二定义知 =e, c 6 3 a2 x0- c 2x0 即 =3,解得 x0=2. 2 x0- 3 答案:2 5.已知椭圆的两个焦点将长轴三等分,焦点到相应准线的距离为 8,则该椭圆的长轴长 为________. 1 2c= ×2a, 3 解析:由题意得 2 解得 a=3,∴2a=6. a -c=8, c

? ? ?

答案:6 6. 已知直线 l 与抛物线 y2=8x 交于 A, B 两点, 且 l 经过抛物线的焦点, 点 A 的坐标为(8,8), 则线段 AB 的中点到准线的距离是________.

解析:如图所示,抛物线 y2=8x 的准线方程为 x=-2.因为 l 过抛物线的焦点,所以 xA· xB p 42 1 17 17 25 = = =4, 即 xB= .所以线段 AB 的中点的横坐标为 .所以中点到准线的距离为 +2= . 4 4 2 4 4 4 25 答案: 4
2

x2 y2 7.如果双曲线 - =1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2,那么点 P 到 y 轴的距离是 4 2 ________. c 6 |PF2| 解析:∵双曲线的离心率 e= = ,由双曲线的定义知,P 点到右准线的距离 d= = a 2 e 2 2 6 4 6 = ,∴P 点到 y 轴的距离为 . 3 3 6 2 4 6 答案: 3 x2 y2 3a 8.若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)上横坐标为 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距 a b 2 离,则双曲线离心率的取值范围是________. 3 解析:设 e 为双曲线离心率,c 为半焦距,且 a>0, 2 2 2 3 a? 3 a 则 e? ?2a- c ?>2a+ c , a 3 c? 5 ∴ - ? + <0, c 2?a? 2 3 c?2 5?c? ∴ ? - -1>0, 2?a? 2?a? ∴3e2-5e-2>0,即(3e+1)(e-2)>0. 又 e>1,∴e>2. 答案:(2,+∞) 二、解答题 x2 y2 9.已知双曲线 - =1 的右焦点为 F,点 A(9,2),试在这个双曲线上求一点 M,使|MA| 9 16 3 + |MF|的值最小,并求出这个最小值. 5

解:如图所示,l 为双曲线的右准线,M 为双曲线上任意一点,分别作 MN⊥l,AB⊥l 交 于 N、B 两点. 5 ∵离心率 e= , 3 |MF| 3 ∴由双曲线的统一定义有 =e,即|MN|= |MF|. |MN| 5 3 ∴|MA|+ |MF|=|MA|+|MN|≥|AB|. 5 3 当且仅当 M 为 AB 与双曲线右支的交点时,|MA|+ |MF|取得最小值.此时,点 M 的坐标 5 2 a 9 36 3 5 ?,最小值为 9- =9- = . 为? c 5 5 ? 2 ,2? 2 2 x y 10.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点,求离心率 e a b 的取值范围.

解:如图所示,设 M(x0,y0)是双曲线右支上满足条件的点,且它到右焦点 F2 的距离等于 它到左准线的距离|MN|,即|MF2|=|MN|. |MF1| 由圆锥曲线统一定义可知 =e, |MN| ∴|MF1|=e|MN|=e|MF2|. ex0+a ∴ =e. ex0-a a?1+e? ∴x0= 2 . e -e a?1+e? 又 x0≥a,∴ 2 ≥a. e -e 即 e2-2e-1≤0,解得 1- 2≤e≤ 2+1, 又 e>1,∴1<e≤ 2+1. 9 x2 y2 4, ?,C(x2,y2)与焦点 F(4,0)的距离 11.已知椭圆 + =1 上不同的三点 A(x1,y1),B? ? 5? 25 9 成等差数列. (1)求证 x1+x2=8; (2)若线段 AC 的垂直平分线与 x 轴交于点 T,求直线 BT 的斜率. 解:(1)证明:由已知得 a=5,b=3,c=4. 4 因为|AF|=a-ex1=5- x1, 5 4 4 9 |CF|=a-ex2=5- x2,|BF|=5- ×4= , 5 5 5 且|AF|+|CF|=2|BF|, 4 4 18 5- x1?+?5- x2?= , 所以? ? 5 ? ? 5 ? 5 即 x1+x2=8. (2)因为 A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上, x2 y2 1 1 所以 + =1,① 25 9 x2 y2 2 2 + =1.② 25 9 9 72 2 由①-②得 y2 1-y2=- (x1+x2)(x1-x2)=- (x1-x2). 25 25 y1+y2? 又因为线段 AC 的中点为?4, , 2 ? ? y1+y2 x1-x2 所以线段 AC 的垂直平分线的方程为 y- =- (x-4).③ 2 y1-y2 因为点 T 在 x 轴上,则设点 T 的坐标为(x0,0), 2 y1 -y2 2 代入③得 x0-4= , 2?x1-x2? 36 所以 x0-4=- . 25 9 - 5 5 所以直线 BT 的斜率 k= = . x0-4 4

5 故直线 BT 的斜率为 . 4

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m


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