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保定市2017年10月底高三摸底考文科数学答案


数学评分标准与参考答案(文科)
一、选择题:DBADC CABBC AD

二、填空题:13. y=x-1;14. 三、解答题:

29 km/h;

15. ? , 7 ? ; ?5 ?

?14

?

16. 11

17. 解: (1)设数列 {an } 的公差为 d ,由题意知 a2 ? a3 ? 10 ,即 2a1 +3d ? 10 , 由 a1 ? 2 ,解得 d ? 2 . 所以 an ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n ,即 an ? 2n , n ? N? . ……………3 分 设满足条件的连续三项的中间项为 am 由题意得

3am ? 54 ,所以 am ? 18
(2 ? 2 n) n ? n 2 ? n ,所以 Sk ? k 2 ? k . 2

故所求的中间项对应的项数为 9……………………………………5 分 (2)由(1)可得 S n ?

又 a3 ? 2 ? 3 ? 6 , ak ?1 ? 2(k ? 1) ,
2 由已知可得 ak ?1 ? a3 Sk ,即 (2k ? 2) ? 6(k ? k ) ,………………8 分

2

2

整理得 k 2 ? k ? 2 ? 0 , k ? N* .解得 k ? ?1 (舍去)或 k ? 2 . 此时 a3 , ak ?1 , Sk 为 6,6,6,故公比 q=1……………………………10 分 18.解: (1)∵ a ? (

?

? ? 3 1 ? , ), b ? (sin ? x, cos ? x), f ( x) ? a ? b 2 2

∴ f ( x) ?

3 1 π sin πx ? cos πx ? sin( πx ? ) , ………2 分 2 2 6
2?

所以,其周期为

?

=2 ………4 分

π π π ? ? x + ? 2kπ+ (k ? Z) 2 6 2 2 1 ? 2 k - ? x ? 2 k + ( k ? Z) 3 3 Q 2kπ-

所以所求的单调递增区间为 [ 2k (2)令 f ( x) ? sin( πx ?

2 1 , 2k + ](k ? Z) ----------------------6 分 3 3

π π ) ? 0 得 πx ? ? kπ, k ? Z . 6 6

∵ x ?[?1,1] ,∴ x ? ?

1 5 1 5 或 x ? ,∴不妨记 M ( ? , 0), N ( , 0). ……8 分 6 6 6 6

由 sin( πx ?

π 1 1 ) ? 1 ,且 x ?[?1,1] 得 x ? ,∴ P ( ,1), ………………10 分 6 3 3 ???? 1 1 , ?1), PN ? ( , ?1), 2 2 1 3 +1= ………………………………………………12 分 4 4

∴ PM ? (?

???? ?

所以 PM · PN =19. 解: (1)∵ AD ?

???? ?

??? ?

AC ? 0 ∴AD⊥AC…………… 2 分
A

∵AD=AC∴∠ADC=45?…………………………… 3 分 所以∠ABD=15?,在 ?ABD 中

AB AD AD ? ? sin135? sin15? sin(45? ? 30?)
B D

F C

得 AB= 3 ? 3 ………………………………… 7 分

E AE=6……………8 分 (2)∵AB= 3 ? 3 ,BE=3 ? 3 ,所以 在△AED 中,由余弦定理得

DE 2 ? AE 2 ? AD2 ? 2 AE ? AD cos30? ? 36 ? 3 ? 2 ? 6 ? 3 ?

3 ? 21 ………11 分 2

所以 DE= 21 ……………………………………………………………… 12 分 20. 解: (1)由已知得 S n ?

1 an an ?1 , 2 1 于是由 n ? 1 得, a1 ? a1 a2 ,? a2 ? 2. ……..…….1 分 2 1 1 1 n ? 2 时, Sn ? Sn ?1 ? an an ?1 ? an ?1 an ? an ? an (an ?1 ? an ?1 ), 2 2 2
……………………3 分

? an ? 0,? an?1 ? an?1 ? 2(n ? 2).

法1: ? (an ?1 ? an ) ? (an ? an ?1 ) ? 2(n ? 2). 即an ?1 ? an ? 2 ? (an ? an ?1 )   an ? an ?1 ? 2 ? (an ?1 ? an ? 2 )   ……   a3 ? a2 ? 2 ? (a2 ? a1 )   又a2 ? a1 ? 2 ? 1 ? 1    ? an ? an ?1 ? 1
故 an ? n. ……………………………………………….6 分

法 2: a2n?1 ? a1 ? (n ? 1) ? 2 ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1

a2n ? a2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n
即 an ? n. ………………………………….6 分

法3:a2 n ?1 ? a2 n ?1 ? 2,   a2 n ?1 ? a2 n ?3 ? 2,   ……   a3 ? a1 ? 2    ? a2 n ?1 ? 2n ?1
同理, a2n?2 ? 2n ? 2 故 an ? n. ……………………………………………….6 分

an ?1 an ? 2 (n ? 1)(n ? 2) n 2 ? 3n ? 2 2 ? n ? ? 3 ? 3 ? 2 2. …8 分 ? ? (2)∵ n n n an

? n ? 1, 2 ,
n ? 3时,n ?

n?

2 ? 3 ? 6 …………………………………………9 分 n

2 ? 3? 6 n

? n ? 1, 2 时,

an ?1 an ? 2 的最小值为 6………………………………………….12 分 an

21. 解:法 1: (1)如图,设∠AON=θ ,则 BM=AOsinθ =80sinθ , AB=MO+AOcosθ =80+80cosθ ,θ ∈(0,π ).……3 分 1 1 则 S= MB·AB= ×80sinθ ×(80+80cosθ ) 2 2 =3200sinθ (1+cosθ ),θ ∈(0,π ).……6 分

(2)结合(1) ,S′=3200(2cos θ +cosθ -1) =3200(2cosθ -1)(cosθ +1).令 S′=0, 1 得 cosθ = 或 cosθ =-1(舍去), 2 π 此时 θ = . …………9 分 3 当 θ 变化时,S′,S 的变化情况如下表: π ? π π θ ( , ) (0, ) 3 3 3 2 S′ S + ? 0 极大值 -

2

l

B

A

M

O

N

π 所以,当 θ= 时,S 取得最大值 Smax=2400 3m2. …………… 12 分 3 法 2: (1)如图,设∠AMN=θ ,则∠AON=2θ , 则 BM=Aosin2θ =80sin2θ , AB=MO+Aocos2θ =80+80cos2θ ,θ ∈(0,π /2).……3 分 1 1 所以 S= MB· AB= × 80sin2θ×(80+80cos2θ) 2 2 =3200sin2θ (1+cos2θ ) …………6 分(至此也给 6 分) 3 =12800 sinθ cos θ ,θ ∈(0,π /2) …………6 分 (2)结合(1) ,对 S=3200sin2θ (1+cos2θ )求导得 2 S′=6400(2cos 2θ +cos2θ -1) =6400(2cos2θ -1)(cos2θ +1).令 S′=0, 1 得 cos2θ = 或 cos2θ =-1(舍去), 2 此时 θ =

?
6

.
4

…………9 分
3

【另:结合(1) ,由 S=12800 sinθ cos θ 求导得 S′=12800( cos 由 S′=0 得 cos 所以 θ =
2

? ? 3sin 2 ? cos2 ? )=12800 cos2 ? (cos2 ? ? 3sin 2 ? )
3 3

? ? 3sin 2 ? ? 0 ,即 tan ? ?

?
6
θ



…………9 分】

当 θ 变化时,S′,S 的变化情况如下表: (0, +

?
6



?
6
0 极大值



?
6

, -

?
2



S′ S 所以,当 θ=

?
6

?

时,S 取得最大值 Smax=2400 3m2. …………… 12 分

22.解: (1) ? ( x) ? f ( x) ?
?

1 3 1 ?1 x ?1 ? ,所以 ? ' ( x) ? ? 2 ? 2 ,…………1 分 x .x x 2 x

当 x ? 4 时, ? ?( x) ? 0 ,? ? ( x) 单调递增, 所以 ? ( x) ? ? (4) ? ln 4 ?

1 3 5 ? ? ln 4 ? . 4 2 4 5 ? ? ( x) 的最小值为 ln 4 ? .………………………… 3 分 4 1 (2)函数 H(x)= 2 f ( x) ? ln[ g ( x)] 在 [ ,1] 上有零点 2 3 1 ? a ? x ? x 3 在 x ? [ ,1] 上有解且 g ( x) ? 0 .………………………… 4 分 2 2 3 1 3 1 3 2 2 令 h( x ) ? x ? x , x ? [ ,1] ,因为 h?( x) ? ? 3 x ? 3( ? x ) , 2 2 2 2 2 3 1 2 3 令 h' ( x) ? 0 ,所以 1 <x< 2 .? h( x) ? x ? x 在 x ? [ , ] 上单调递增, x ? [ 2 ,1] 上单 2 2 2 2 2
调递减,又 h(1) ? h( ) ,? h(1) ? h( x) ? h(

1 2

2 ), 2



3 1 2 1 2 ,故 a ? [ , ? h( x ) ? ] .由 g ( x) ? 0 得 a ? 2 4 2 2 2
1 2 2 ] ………………………… 7 分 2

综上可得 a ? [ ,

(3)设 p(k ) ? 2 f (2k ? 1) ? f (k ? 1) ? f (k ) ,则 p(k ) ? ln[

4k 2 ? 4k ? 1 ] k (k ? 1)

4k 2 ? 4k ? 1 1 因为 p(k ) ? ln[ ] ? ln[4 ? ] k (k ? 1) k (k ? 1)


1 1 1 递减,所以 ? k (k ? 1) k (k ? 1) 2

即 p(k ) ? ln[

4k 2 ? 4k ? 1 1 1 9 ] ? ln[4 ? ] ? ln[4 ? ] ? ln ………………9 分 k (k ? 1) k (k ? 1) 2 2
5 ? 0( x ? 4) , 4

由(1)知,当 a ? 1 时, ? ( x) min ? ln 4 ?

3 1 ? ln x ? ? ( x ? 4) , 2 x

4k 2 ? 4k ? 1 ? ?4 k (k ? 1)

4k 2 ? 4k ? 1 3 k (k ? 1) 3 1 5 ]? ? 2 ? ? ? k (k ? 1) 2 4k ? 4k ? 1 2 4 4 5 即 2 f (2k ? 1) ? f (k ? 1) ? f ( k ) ? 4
所以 p(k ) ? ln[ 故结论成立………………………………………………………… 12 分 另:因为 p (k ) ? ln[

4k 2 ? 4k ? 1 (2k ? 1) 2 ] ? ln ? ln 4 2k ? 1 2 k (k ? 1) ( ) 2
5

5 4 1 44 1 256 4 ? 0, 而 ln 4 ? ? ln 4 ? ln e ? ln 5 ? ln 5 ? ln 4 4 e 4 243 4 e 5 即 ln 4 ? 4 5 所以 2 f (2k ? 1) ? f (k ? 1) ? f ( k ) ? 4
故结论成立………………………………………………………… 12


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