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2016年06月05日圆锥曲线数学组卷


2016 年 06 月 05 日圆锥曲线数学组卷
一.选择题(共 14 小题) 2 2 1. (2015?兴国县一模)椭圆 ax +by =1 与直线 y=1﹣x 交于 A、B 两点,过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 A. B. C. ,则 的值为( D. )

2. (2013?新课标Ⅰ)已知椭圆 E:

的右焦点为 F(

3,0) ,过点 F )

的直线交椭圆 E 于 A、B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,﹣1) ,则 E 的方程为( A. B.

C.

D.

3. (2016?潍坊模拟)椭圆

的左右焦点分别为 F1,F2,若椭圆

C 上恰好有 6 个不同的点 P,使得△ F1F2P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是 ( ) A. B. C. D.

4. (2015?天津)已知双曲线
2



=1 (a>0,b>0)的一条渐近线过点(2, x 的准线上,则双曲线的方程为( )

) ,且

双曲线的一个焦点在抛物线 y =4 A. ﹣ =1 B. ﹣ =1

C.



=1

D.



=1

5. (2015?长沙模拟)已知 F1(﹣c,0) ,F2(c,0)为椭圆 圆上一点且 A. B. ,则此椭圆离心率的取值范围是( C. D.
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的两个焦点,P 为椭 )

6. (2014?福建)设 P,Q 分别为圆 x +(y﹣6) =2 和椭圆 间的最大距离是( A.5 B. + ) C.7+

2

2

+y =1 上的点,则 P,Q 两点

2

D.6 =1 上的一点,F1,F2 是 C 的两个 )

7. (2015?河北)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: 焦点,若 A. D. <0,则 y0 的取值范围是( B. C.

8. (2015?天津)已知双曲线
2 2



=1(a>0,b>0)的一个焦点为 F(2,0) ,且双曲线 ) =1
2

的渐近线与圆(x﹣2) +y =3 相切,则双曲线的方程为( A. ﹣ =1 B. ﹣ =1 C. ﹣y =1D.x ﹣
2 2

9. (2009?全国卷Ⅱ)已知直线 y=k(x+2) (k>0)与抛物线 C:y =8x 相交于 A、B 两点, F 为 C 的焦点,若|FA|=2|FB|,则 k=( ) A. B. C. D.
2

10. (2015?浙江)如图,设抛物线 y =4x 的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三个不同的点 A, B, C, 其中点 A, B 在抛物线上, 点 C 在 y 轴上, 则△ BCF 与△ ACF 的面积之比是 ( )

A.

B.

C.

D.

11. (2014?焦作一模)已知椭圆

(a>b>0)与双曲线
2 2

(m>0,n>0)
2

有相同的焦点(﹣c,0)和(c,0) ,若 c 是 a、m 的等比中项,n 是 2m 与 c 的等差中项, 则椭圆的离心率是( ) A. B. C. D.

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12. (2015?新余二模)椭圆 C 的两个焦点分别是 F1,F2,若 C 上的点 P 满足 ,则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是( A. C. B. D. 或 )

13. (2016?天津校级模拟)如图,F1、F2 是双曲线

=1(a>0,b>0)的左、右焦点,

过 F1 的直线 l 与 C 的左、右 2 个分支分别交于点 A、B.若△ ABF2 为等边三角形,则双曲 线的离心率为( )

A.4

B.

C.

D.

14. (2014?湖北)已知 F1,F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点.且 ∠F1PF2= A. ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( B. C.3 D.2 )

二.填空题(共 6 小题) 15. (2014?安徽)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x +
2

=1(0<b<1)的左、右焦点,过点 F1 .

的直线交椭圆 E 于 A、 B 两点, 若|AF1|=3|F1B|, AF2⊥x 轴, 则椭圆 E 的方程为 16. (2015?浙江)椭圆 +

=1(a>b>0)的右焦点 F(c,0)关于直线 y= x 的对称点 . ﹣ =1 的一个焦点.若 C 上存在点 P,使线段 PF .

Q 在椭圆上,则椭圆的离心率是 17. (2015?湖南)设 F 是双曲线 C:

的中点恰为其虚轴的一个端点,则 C 的离心率为

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18. (2014?江西)设椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左右焦点为 F1,F2,过 F2 作 x 轴的

垂线与 C 相交于 A,B 两点,F1B 与 y 轴相交于点 D,若 AD⊥F1B,则椭圆 C 的离心率等 于 . 19. (2015?西安模拟)P 是双曲线
2 2

的右支上一点,M、N 分别是圆(x+5) +y =4 .

2

2

和(x﹣5) +y =1 上的点,则|PM|﹣|PN|的最大值为 20. (2014?山东)已知双曲线
2



=1(a>0,b>0)的焦距为 2c,右顶点为 A,抛物线

x =2py(p>0)的焦点为 F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c,且|FA|=c,则双曲 线的渐近线方程为 . 三.解答题(共 8 小题) 21. (2015?陕西)如图,椭圆 E: + =1(a>b>0)经过点 A(0,﹣1) ,且离心率为 .

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)经过点(1,1) ,且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P,Q(均异于点 A) , 证明:直线 AP 与 AQ 斜率之和为 2.

22. (2015?天津)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左焦点为 F(﹣c,0) ,离心率为
2 2



点 M 在椭圆上且位于第一象限,直线 FM 被圆 x +y = (Ⅰ)求直线 FM 的斜率; (Ⅱ)求椭圆的方程; (Ⅲ)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 值范围. 23. (2015?南开区二模)如图所示,椭圆 C: +

截得的线段的长为 c,|FM|=



,求直线 OP(O 为原点)的斜率的取

=1(a>b>0) ,其中 e= ,焦距为 2,

过点 M(4,0)的直线 l 与椭圆 C 交于点 A、B,点 B 在 AM 之间.又点 A,B 的中点横坐 标为 ,且 =λ .

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;
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(Ⅱ)求实数 λ 的值.

24. (2016?重庆校级模拟)椭圆 C:

+

=1(a>b>0) ,作直线 l 交椭圆于 P,Q 两点.M

为线段 PQ 的中点, O 为坐标原点, 设直线 1 的斜率为 k1, 直线 OM 的斜率为 k2, k1k2=﹣ . (I)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)设直线 l 与 x 轴交于点 D(﹣5,0) ,且满足 圆 C 的方程. 25. (2014?新课标 II)设 F1,F2 分别是 C: + =1(a>b>0)的左,右焦点,M 是 C =2 ,当△ 0PQ 的面积最大时,求椭

上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. (1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b. 26. (2016?西宁校级模拟)已知椭圆 的离心率 ,过点 A(0,

﹣b)和 B(a,0)的直线与原点的距离为



(1)求椭圆的方程; (2)已知定点 E(﹣1,0) ,若直线 y=kx+2(k≠0)与椭圆交于 C、D 两点,问:是否存在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由. 27. (2016?河东区一模)已知椭圆 C: 的离心率为 ,椭圆短轴

的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为



(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知动直线 y=k(x+1)与椭圆 C 相交于 A、B 两点. ①若线段 AB 中点的横坐标为 ②已知点 ,求证: ,求斜率 k 的值; 为定值.

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28. (2010?辽宁)设 F1,F2 分别为椭圆

(a>b>0)的左、右焦点,过 F2 的 .

直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60°,F1 到直线 l 的距离为 (Ⅰ)求椭圆 C 的焦距; (Ⅱ)如果 ,求椭圆 C 的方程.

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2016 年 06 月 05 日圆锥曲线数学组卷
参考答案与试题解析

一.选择题(共 14 小题) 1. (2015?兴国县一模)椭圆 ax +by =1 与直线 y=1﹣x 交于 A、B 两点,过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 A. B. C. ,则 的值为( D.
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2

2



【考点】椭圆的简单性质. 【专题】综合题. 2 2 2 【分析】联立椭圆方程与直线方程,得 ax +b(1﹣x) =1, (a+b)x ﹣2bx+b﹣1=0,A(x1, y1) ,B(x2,y2) ,由韦达定理得 AB 中点坐标: ( ) ,AB 中点与原点连线的斜率

k=

= =


2 2 2

【解答】解:联立椭圆方程与直线方程,得 ax +b(1﹣x) =1, (a+b)x ﹣2bx+b﹣1=0, A(x1,y1) ,B(x2,y2) , ,y1+y2=1﹣x1+1﹣x2=2﹣ = ,

AB 中点坐标: (

) ,AB 中点与原点连线的斜率 k=

= =



故选 A. 【点评】本题考查直线和圆锥曲线的经综合运用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理 地进行等价转化.

2. (2013?新课标Ⅰ)已知椭圆 E:

的右焦点为 F(3,0) ,过点 F )

的直线交椭圆 E 于 A、B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,﹣1) ,则 E 的方程为( A. B.

C.

D.

【考点】椭圆的标准方程. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
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【分析】设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,代入椭圆方程得

,利用“点差法”可得

.利用中点坐标公式可得 x1+x2=2,y1+y2=﹣2,利用斜率计

算公式可得

=
2 2

= .于是得到

,化为 a =2b ,再利用

2

2

c=3=

,即可解得 a ,b .进而得到椭圆的方程.

【解答】解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,

代入椭圆方程得



相减得







∵x1+x2=2,y1+y2=﹣2,

=

= .


2 2


2 2

化为 a =2b ,又 c=3=

,解得 a =18,b =9.

∴椭圆 E 的方程为



故选 D. 【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键.

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3. (2016?潍坊模拟)椭圆

的左右焦点分别为 F1,F2,若椭圆

C 上恰好有 6 个不同的点 P,使得△ F1F2P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是 ( ) A. B.
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C.

D.

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】分等腰三角形△ F1F2P 以 F1F2 为底和以 F1F2 为一腰两种情况进行讨论,结合以椭 圆焦点为圆心半径为 2c 的圆与椭圆位置关系的判断,建立关于 a、c 的不等式,解之即可得 到椭圆 C 的离心率的取值范围. 【解答】解:①当点 P 与短轴的顶点重合时, △ F1F2P 构成以 F1F2 为底边的等腰三角形, 此种情况有 2 个满足条件的等腰△ F1F2P; ②当△ F1F2P 构成以 F1F2 为一腰的等腰三角形时, 以 F2P 作为等腰三角形的底边为例, ∵F1F2=F1P, ∴点 P 在以 F1 为圆心,半径为焦距 2c 的圆上 因此,当以 F1 为圆心,半径为 2c 的圆与椭圆 C 有 2 交点时, 存在 2 个满足条件的等腰△ F1F2P, 在△ F1F2P1 中,F1F2+PF1>PF2,即 2c+2c>2a﹣2c, 由此得知 3c>a.所以离心率 e> . 当 e= 时,△ F1F2P 是等边三角形,与①中的三角形重复,故 e≠ 同理, 当 F1P 为等腰三角形的底边时, 在e 且 e≠ 时也存在 2 个满足条件的等腰△ F1F2P

这样,总共有 6 个不同的点 P 使得△ F1F2P 为等腰三角形 综上所述,离心率的取值范围是:e∈( , )∪( ,1)

【点评】本题给出椭圆的焦点三角形中,共有 6 个不同点 P 使得△ F1F2P 为等腰三角形,求 椭圆离心率 e 的取值范围. 着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识, 属于基础题.

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4. (2015?天津)已知双曲线
2



=1 (a>0,b>0)的一条渐近线过点(2, x 的准线上,则双曲线的方程为( )

) ,且

双曲线的一个焦点在抛物线 y =4 A. ﹣ =1 B. ﹣ =1

C.



=1

D.



=1

【考点】双曲线的标准方程. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程,从而可得双曲线的左焦点,再根据焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程,得 a、b 的另一个方程,求出 a、b,即可得到双曲 线的标准方程.
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【解答】解:由题意, =
2

, , 双曲线的一个焦点在抛物线 y =4
2

∵抛物线 y =4 x 的准线方程为 x=﹣ ∴c= , 2 2 2 ∴a +b =c =7, ∴a=2,b= , ∴双曲线的方程为 .

x 的准线上,

故选:D. 【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质,考查学生的计算能力,属于 基础题.

5. (2015?长沙模拟)已知 F1(﹣c,0) ,F2(c,0)为椭圆 圆上一点且 A. B. ,则此椭圆离心率的取值范围是( C. D.
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的两个焦点,P 为椭 )

【考点】椭圆的简单性质;向量在几何中的应用. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设 P(m,n ) ,由 得到 b m +a n =a b 围. 【解答】解:设 P(m,n ) ,
2 2 2 2 2 2 2

得到 n =2c ﹣m
2

2

2

①.把 P(m,n )代入椭圆
2 2 2

②,把①代入②得到 m 的解析式,由 m ≥0 及 m ≤a 求得 的范

=(﹣c﹣m,﹣n)?(c﹣m,﹣n)=m ﹣c +n ,
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2

2

2

∴m +n =2c ,n =2c ﹣m 把 P(m,n )代入椭圆

2

2

2

2

2

2

①. 得 b m +a n =a b
2 2 2 2 2 2

②,

把①代入②得 m =
2 2 2 2 2

2

≥0,∴a b ≤2a c ,

2 2

2 2

b ≤2c ,a ﹣c ≤2c ,∴ ≥
2 2


2 2 2

又 m ≤a ,∴

≤a ,∴

≤0,故 a ﹣2c ≥0,∴ ≤



综上,

≤ ≤



故选:C. 【点评】本题考查两个向量的数量积公式,以及椭圆的简单性质的应用,属于基础题.
2 2 2

6. (2014?福建)设 P,Q 分别为圆 x +(y﹣6) =2 和椭圆

+y =1 上的点,则 P,Q 两点

间的最大距离是( ) A.5 B. + C.7+ D.6 【考点】椭圆的简单性质;圆的标准方程. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离,加上半径,即可得出 P,Q 两点间的最大距离. 【解答】解:设椭圆上的点为(x,y) ,则
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∵圆 x +(y﹣6) =2 的圆心为(0,6) ,半径为 ∴椭圆上的点(x,y)到圆心(0,6)的距离为 =

2

2

, = ≤5 ,

∴P,Q 两点间的最大距离是 5 + =6 . 故选:D. 【点评】本题考查椭圆、圆的方程,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题.

7. (2015?河北)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: 焦点,若 A. D. <0,则 y0 的取值范围是( B. C. )

=1 上的一点,F1,F2 是 C 的两个

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用向量的数量积公式,结合双曲线方程,即可确定 y0 的取值范围.
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【解答】解:由题意, ﹣1<0, 所以﹣ <y0< .

=(

﹣x0,﹣y0)?(﹣

﹣x0,﹣y0)=x0 ﹣3+y0 =3y0

2

2

2

故选:A. 【点评】本题考查向量的数量积公式,考查双曲线方程,考查学生的计算能力,比较基础.

8. (2015?天津)已知双曲线
2 2



=1(a>0,b>0)的一个焦点为 F(2,0) ,且双曲线 ) =1

的渐近线与圆(x﹣2) +y =3 相切,则双曲线的方程为( A. ﹣ =1 B. ﹣ =1 C. ﹣y =1D.x ﹣
2 2

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由题意可得双曲线的渐近线方程,根据圆心到切线的距离等于半径得
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,求出 a,b 的关系,结合焦点为 F(2,0) ,求出 a,b 的值,即可得到双曲 线的方程. 【解答】解:双曲线的渐近线方程为 bx±ay=0, 2 2 ∵双曲线的渐近线与圆(x﹣2) +y =3 相切, ∴ ,

∴b= a, ∵焦点为 F(2,0) , 2 2 ∴a +b =4, ∴a=1,b= , ∴双曲线的方程为 x ﹣
2

=1.

故选:D. 【点评】 本题考查点到直线的距离公式, 双曲线的标准方程, 以及双曲线的简单性质的应用, 求出 a,b 的值,是解题的关键. 9. (2009?全国卷Ⅱ)已知直线 y=k(x+2) (k>0)与抛物线 C:y =8x 相交于 A、B 两点, F 为 C 的焦点,若|FA|=2|FB|,则 k=( ) A. B. C. D.
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2

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题;压轴题.

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【分析】根据直线方程可知直线恒过定点,如图过 A、B 分别作 AM⊥l 于 M,BN⊥l 于 N, 根据|FA|=2|FB|, 推断出|AM|=2|BN|, 点 B 为 AP 的中点、 连接 OB, 进而可知 ,

进而推断出|OB|=|BF|,进而求得点 B 的横坐标,则点 B 的坐标可得,最后利用直线上的两 点求得直线的斜率. 2 【解答】解:设抛物线 C:y =8x 的准线为 l:x=﹣2 直线 y=k(x+2) (k>0)恒过定点 P(﹣2,0) 如图过 A、B 分别作 AM⊥l 于 M,BN⊥l 于 N, 由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|, 点 B 为 AP 的中点、连接 OB, 则 ,

∴|OB|=|BF|,点 B 的横坐标为 1, 故点 B 的坐标为 故选 D ,

【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质.考查了对抛物线的基础知识的灵活运用. 10. (2015?浙江)如图,设抛物线 y =4x 的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三个不同的点 A, B, C, 其中点 A, B 在抛物线上, 点 C 在 y 轴上, 则△ BCF 与△ ACF 的面积之比是 ( )
2

A.

B.

C.

D.

【考点】直线与圆锥曲线的关系.

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【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据抛物线的定义,将三角形的面积关系转化为 的关系进行求解即可.

【解答】解:如图所示,抛物线的准线 DE 的方程为 x=﹣1, 过 A,B 分别作 AE⊥DE 于 E,交 y 轴于 N,BD⊥DE 于 D,交 y 轴于 M, 由抛物线的定义知 BF=BD,AF=AE, 则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1, |AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1, 则 故选:A = = = ,

【点评】本题主要考查三角形的面积关系,利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键.

11. (2014?焦作一模)已知椭圆

(a>b>0)与双曲线
2 2

(m>0,n>0)
2

有相同的焦点(﹣c,0)和(c,0) ,若 c 是 a、m 的等比中项,n 是 2m 与 c 的等差中项, 则椭圆的离心率是( ) A. B. C. D.
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【考点】椭圆的简单性质;等差数列的性质;等比数列的性质;圆锥曲线的共同特征. 【专题】计算题;压轴题.
2 2

【分析】根据是 a、m 的等比中项可得 c =am,根据椭圆与双曲线有相同的焦点可得 a ﹣ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b =m +n =c ,根据 n 是 2m 与 c 的等差中项可得 2n =2m +c ,联立方程即可求得 a 和 c 的关系,进而求得离心率 e.

【解答】解:由题意:

∴ ∴ ∴ 故选 D. .

, ,∴a =4c ,
2 2

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【点评】本题主要考查了椭圆的性质,属基础题. 12. (2015?新余二模)椭圆 C 的两个焦点分别是 F1,F2,若 C 上的点 P 满足 ,则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是( A. C. B. D.
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【考点】椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆 C 的离心率 e 的计算公式即可得出 【解答】解:∵椭圆 C 上的点 P 满足 ,∴|PF1|= =3c,

由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a,∴|PF2|=2a﹣3c. 利用三角形的三边的关系可得:2c+(2a﹣3c)≥3c,3c+2c≥2a﹣3c, 化为 . .

∴椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是

故选:C. 【点评】本题考查了椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆的离心率的计算公式等基础知 识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.

13. (2016?天津校级模拟)如图,F1、F2 是双曲线

=1(a>0,b>0)的左、右焦点,

过 F1 的直线 l 与 C 的左、右 2 个分支分别交于点 A、B.若△ ABF2 为等边三角形,则双曲 线的离心率为( )

A.4

B.

C.

D.
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【考点】双曲线的简单性质. 【专题】压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用双曲线的定义可得可得|AF1|﹣|AF2|=2a,|BF2|﹣|BF1|=2a,利用等边三角形的 定义可得:|AB|=|AF2|=|BF2|, .在△ AF1F2 中使用余弦定理可得
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=



,再利用离心率的计算公

式即可得出. 【解答】解:∵△ABF2 为等边三角形,∴|AB|=|AF2|=|BF2|, 由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a,∴|BF1|=2a. 又|BF2|﹣|BF1|=2a,∴|BF2|=4a. ∴|AF2|=4a,|AF1|=6a. 在△ AF1F2 中,由余弦定理可得: , ∴ ,化为 c =7a ,
2 2



=





=



故选 B. 【点评】熟练掌握双曲线的定义、余弦定理、离心率的计算公式是解题的关键. 14. (2014?湖北)已知 F1,F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点.且 ∠F1PF2= A. ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( B. C.3 D.2
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【考点】椭圆的简单性质;余弦定理;双曲线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系,结合余弦定理即可得到结论. 【解答】解:设椭圆的长半轴为 a,双曲线的实半轴为 a1, (a>a1) ,半焦距为 c, 由椭圆和双曲线的定义可知, 设|PF1|=r1,|PF2|=r2,|F1F2|=2c, 椭圆和双曲线的离心率分别为 e1,e2 ∵∠F1PF2= ,
2 2 2

∴由余弦定理可得 4c =(r1) +(r2) ﹣2r1r2cos 在椭圆中,①化简为即 4c =4a ﹣3r1r2, 即 ,②
2 2 2 2

,①

在双曲线中,①化简为即 4c =4a1 +r1r2, 即 ,③

第 16 页(共 32 页)

联立②③得,

=4,

由柯西不等式得(1+ ) (

)≥(1×

+

),

2

即(



=



,d 当且仅当

时取等号,

法 2:设椭圆的长半轴为 a1,双曲线的实半轴为 a2, (a1>a2) ,半焦距为 c, 由椭圆和双曲线的定义可知, 设|PF1|=r1,|PF2|=r2,|F1F2|=2c, 椭圆和双曲线的离心率分别为 e1,e2 ∵∠F1PF2= ,
2 2 2

∴由余弦定理可得 4c =(r1) +(r2) ﹣2r1r2cos

=(r1) +(r2) ﹣r1r2,

2

2



,得





=



令 m=

=

=





时,m



∴ 即

, 的最大值为 ,

法 3:设 PF1|=m,|PF2|=n,则 则 a1+a2=m, 则 = ,



第 17 页(共 32 页)

由正弦定理得 即 =

=

, =

sin(120°﹣θ)≤

故选:A 【点评】 本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质, 利用余弦定理和柯西不等式是解决本题 的关键.难度较大. 二.填空题(共 6 小题) 15. (2014?安徽)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x +
2

=1(0<b<1)的左、右焦点,过点 F1
2

的直线交椭圆 E 于 A、 B 两点, 若|AF1|=3|F1B|, AF2⊥x 轴, 则椭圆 E 的方程为 x + 【考点】椭圆的标准方程;椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
2
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=1 .

【分析】求出 B(﹣ c,﹣ b ) ,代入椭圆方程,结合 1=b +c ,即可求出椭圆的方程. 【解答】解:由题意,F1(﹣c,0) ,F2(c,0) ,AF2⊥x 轴,∴|AF2|=b , 2 ∴A 点坐标为(c,b ) , 设 B(x,y) ,则 ∵|AF1|=3|F1B|, 2 ∴(﹣c﹣c,﹣b )=3(x+c,y) ∴B(﹣ c,﹣ b ) ,
2 2

2

2

代入椭圆方程可得 ∵1=b +c , ∴b = ,c = , ∴x +
2 2 2 2 2



=1.
2

故答案为:x +

=1.

【点评】本题考查椭圆的方程与性质,考查学生的计算能力,属于中档题.

16. (2015?浙江)椭圆

+

=1(a>b>0)的右焦点 F(c,0)关于直线 y= x 的对称点

Q 在椭圆上,则椭圆的离心率是
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【考点】椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
第 18 页(共 32 页)

【分析】设出 Q 的坐标,利用对称知识,集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系,然后 求解离心率即可.

【解答】解:设 Q(m,n) ,由题意可得



由①②可得: m=
2 4 2 2

, n=

, 代入③可得:



解得 e (4e ﹣4e +1)+4e =1, 6 2 可得,4e +e ﹣1=0. 6 4 4 2 2 即 4e ﹣2e +2e ﹣e +2e ﹣1=0, 2 4 2 可得(2e ﹣1) (2e +e +1)=0 解得 e= . .

故答案为:

【点评】本题考查椭圆的方程简单性质的应用,考查对称知识以及计算能力.

17. (2015?湖南)设 F 是双曲线 C:



=1 的一个焦点.若 C 上存在点 P,使线段 PF

的中点恰为其虚轴的一个端点,则 C 的离心率为 . 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设 F(c,0) ,P(m,n) , (m<0) ,设 PF 的中点为 M(0,b) ,即有 m=﹣c,n=2b, 将中点 M 的坐标代入双曲线方程,结合离心率公式,计算即可得到. 【解答】解:设 F(c,0) ,P(m,n) , (m<0) , 设 PF 的中点为 M(0,b) , 即有 m=﹣c,n=2b, 将点(﹣c,2b)代入双曲线方程可得,
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=1,

可得 e =

2

=5,

解得 e= . 故答案为: .

第 19 页(共 32 页)

【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的离心率的求法,同时考查中点坐 标公式的运用,属于中档题.

18. (2014?江西)设椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左右焦点为 F1,F2,过 F2 作 x 轴的

垂线与 C 相交于 A,B 两点,F1B 与 y 轴相交于点 D,若 AD⊥F1B,则椭圆 C 的离心率等 于 .
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【考点】椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据条件分别求出 A,B,D 的坐标,利用 AD⊥F1B,建立方程关系即可得到结论. 【解答】解:连接 AF1,∵OD∥AB,O 为 F1F2 的中点, ∴D 为 BF1 的中点, 又 AD⊥BF1,∴|AF1|=|AB|. ∴|AF1|=2|AF2|. 设|AF2|=n,则|AF1|=2n,|F1F2|= n, ∴e= = = = = .

【点评】本题主要考查椭圆离心率的求解,根据条件求出对应点的坐标,利用直线垂直与斜 率之间的关系是解决本题的关键,运算量较大.为了方便,可以先确定一个参数的值.

19. (2015?西安模拟)P 是双曲线
2 2

的右支上一点,M、N 分别是圆(x+5) +y =4

2

2

和(x﹣5) +y =1 上的点,则|PM|﹣|PN|的最大值为 9 . 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】由题设知|PF1|﹣|PF2|=2a=6,|MP|≤|PF1|+|MF1|,|PN|≥|PF2|﹣|NF2|,﹣|PN|≤﹣ |PF2|+|NF2|,所以,|PM|﹣|PN|≤|PF1|+|MF1|﹣|PF2|﹣|NF2|=6+1+2=9.
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【解答】解:双曲线

中,

第 20 页(共 32 页)

∵a=3,b=4,c=5, ∴F1(﹣5,0) ,F2(5,0) , ∵|PF1|﹣|PF2|=2a=6, ∴|MP|≤|PF1|+|MF1|,|PN|≥|PF2|+|NF2|, ∴﹣|PN|≤﹣|PF2|+|NF2|, 所以,|PM|﹣|PN|≤|PF1|+|MF1|﹣|PF2|﹣|NF2| =6+1+2 =9. 故答案为:9. 【点评】 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力, 具体涉及到轨迹方程的求法及直线 与双曲线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.

20. (2014?山东)已知双曲线
2



=1(a>0,b>0)的焦距为 2c,右顶点为 A,抛物线

x =2py(p>0)的焦点为 F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c,且|FA|=c,则双曲 线的渐近线方程为 y=±x . 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 【分析】求出双曲线的右顶点 A(a,0) ,拋物线 x =2py(p>0)的焦点及准线方程,根据
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已知条件得出



, 求出 a=b, 得双曲线的渐近线方程为:

y=±x. 【解答】解:∵右顶点为 A, ∴A(a,0) , ∵F 为抛物线 x =2py(p>0)的焦点, F ∵|FA|=c, ∴ 抛物线的准线方程为 ,
2







, 由①②,得 ∵c =a +b , ∴a=b,
第 21 页(共 32 页)
2 2 2

=2c,即 c =2a ,

2

2

∴双曲线的渐近线方程为:y=±x, 故答案为:y=±x. 【点评】熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键. 三.解答题(共 8 小题) 21. (2015?陕西)如图,椭圆 E: + =1(a>b>0)经过点 A(0,﹣1) ,且离心率为 .

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)经过点(1,1) ,且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P,Q(均异于点 A) , 证明:直线 AP 与 AQ 斜率之和为 2.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】开放型;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (Ⅰ)运用离心率公式和 a,b,c 的关系,解方程可得 a,进而得到椭圆方程;
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(Ⅱ)由题意设直线 PQ 的方程为 y=k(x﹣1)+1(k≠0) ,代入椭圆方程 达定理和直线的斜率公式,化简计算即可得到结论. 【解答】解: (Ⅰ)由题设知, = 结合 a =b +c ,解得 a= 所以 +y =1;
2 2 2 2

+y =1,运用韦

2

,b=1,



(Ⅱ)证明:由题意设直线 PQ 的方程为 y=k(x﹣1)+1(k≠0) , 代入椭圆方程
2 2

+y =1,

2

可得(1+2k )x ﹣4k(k﹣1)x+2k(k﹣2)=0, 由已知得(1,1)在椭圆外, 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,x1x2≠0, 则 x1+x2=
2 2

,x1x2=
2



且△ =16k (k﹣1) ﹣8k(k﹣2) (1+2k )>0,解得 k>0 或 k<﹣2. 则有直线 AP,AQ 的斜率之和为 kAP+kAQ= +

=

+

=2k+(2﹣k) (

+

)=2k+(2﹣k)?

第 22 页(共 32 页)

=2k+(2﹣k)?

=2k﹣2(k﹣1)=2.

即有直线 AP 与 AQ 斜率之和为 2. 【点评】 本题考查椭圆的方程和性质, 主要考查椭圆的离心率和方程的运用, 联立直线方程, 运用韦达定理,考查直线的斜率公式,属于中档题.

22. (2015?天津)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左焦点为 F(﹣c,0) ,离心率为
2 2



点 M 在椭圆上且位于第一象限,直线 FM 被圆 x +y =

截得的线段的长为 c,|FM|=



(Ⅰ)求直线 FM 的斜率; (Ⅱ)求椭圆的方程; (Ⅲ)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 ,求直线 OP(O 为原点)的斜率的取 值范围. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 【专题】创新题型;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.
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【分析】 (Ⅰ) 通过离心率为

, 计算可得 a =3c 、 b =2c , 设直线 FM 的方程为 y=k (x+c) ,

2

2

2

2

利用勾股定理及弦心距公式,计算可得结论; (Ⅱ)通过联立椭圆与直线 FM 的方程,可得 M(c, c) ,利用|FM|= 计算即可;

(Ⅲ)设动点 P 的坐标为(x,y) ,分别联立直线 FP、直线 OP 与椭圆方程,分 x∈(﹣ , ﹣1)与 x∈(﹣1,0)两种情况讨论即可结论. 【解答】解: (Ⅰ)∵离心率为
2 2 2 2 2 2

,∴

=

= ,

∴2a =3b ,∴a =3c ,b =2c , 设直线 FM 的斜率为 k(k>0) ,则直线 FM 的方程为 y=k(x+c) , ∵直线 FM 被圆 x +y =
2 2

截得的线段的长为 c, ,

∴圆心(0,0)到直线 FM 的距离 d=

∴d +

2

=

,即(

)+

2

=



解得 k=

,即直线 FM 的斜率为



(Ⅱ)由(I)得椭圆方程为:

+

=1,直线 FM 的方程为 y=

(x+c) ,

第 23 页(共 32 页)

联立两个方程,消去 y,整理得 3x +2cx﹣5c =0,解得 x=﹣ c,或 x=c, ∵点 M 在第一象限,∴M(c, ∵|FM|= ,∴
2 2 2 2

2

2

c) , = ,

解得 c=1,∴a =3c =3,b =2c =2, 即椭圆的方程为 + =1;

(Ⅲ)设动点 P 的坐标为(x,y) ,直线 FP 的斜率为 t, ∵F(﹣1,0) ,∴t= ,即 y=t(x+1) (x≠﹣1) ,

联立方程组

,消去 y 并整理,得 2x +3t (x+1) =6,

2

2

2

又∵直线 FP 的斜率大于 ∴ >


2 2

,6﹣2x >6(x+1) ,

整理得:x(2x+3)<0 且 x≠﹣1, 解得﹣ <x<﹣1,或﹣1<x<0, 设直线 OP 的斜率为 m,得 m= ,即 y=mx(x≠0) ,

联立方程组

,消去 y 并整理,得 m =

2

﹣ .

①当 x∈(﹣ ,﹣1)时,有 y=t(x+1)<0,因此 m>0, ∴m= ,∴m∈( , ) ;

②当 x∈(﹣1,0)时,有 y=t(x+1)>0,因此 m<0, ∴m=﹣ ,∴m∈(﹣∞,﹣ ) ;

综上所述,直线 OP 的斜率的取值范围是: (﹣∞,﹣

)∪(



) .

【点评】 本题考查椭圆的标准方程和几何性质、 直线方程和圆的方程、 直线与圆的位置关系、 一元二次不等式等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查运算求解能力、以 及用函数与方程思想解决问题的能力,属于中档题.
第 24 页(共 32 页)

23. (2015?南开区二模)如图所示,椭圆 C:

+

=1(a>b>0) ,其中 e= ,焦距为 2,

过点 M(4,0)的直线 l 与椭圆 C 交于点 A、B,点 B 在 AM 之间.又点 A,B 的中点横坐 标为 ,且 =λ .

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)求实数 λ 的值.

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;平面向量及应用;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (I)运用离心率公式和椭圆的 a,b,c 的关系,解得 a,b,即可得到椭圆方程; (II)运用向量共线的知识,设出直线 l 的方程,联立椭圆方程,消去 y,运用判别式大于 0, 以及韦达定理和中点坐标公式,计算得到 A,B 的横坐标,即可得到所求值. 【解答】解: (I)由条件可知,c=1,a=2, 2 2 2 故 b =a ﹣c =3,
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椭圆的标准方程是



(II)由

,可知 A,B,M 三点共线,

设点 A(x1,y1) ,点 B(x2,y2) . 若直线 AB⊥x 轴,则 x1=x2=4,不合题意. 当 AB 所在直线 l 的斜率 k 存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x﹣4) .
2 2 2 2



消去 y 得, (3+4k )x ﹣32k x+64k ﹣12=0.①
2 4 2 2 2

由①的判别式△ =32 k ﹣4(4k +3) (64k ﹣12)=144(1﹣4k )>0, 解得 ,





,可得

,即有



第 25 页(共 32 页)

将 则 x1= 又因为

代入方程①,得 7x ﹣8x﹣8=0, ,x2= . , , ,

2

所以



所以 λ=



【点评】本题考查椭圆的方程和性质,考查直线方程和椭圆方程联立,运用韦达定理和中点 坐标公式,考查运算能力,属于中档题.

24. (2016?重庆校级模拟)椭圆 C:

+

=1(a>b>0) ,作直线 l 交椭圆于 P,Q 两点.M

为线段 PQ 的中点, O 为坐标原点, 设直线 1 的斜率为 k1, 直线 OM 的斜率为 k2, k1k2=﹣ . (I)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)设直线 l 与 x 轴交于点 D(﹣5,0) ,且满足 =2 ,当△ 0PQ 的面积最大时,求椭

圆 C 的方程. 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】方程思想;分析法;平面向量及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (I)设点,代入椭圆方程,利用点差法,结合线段 PQ 的中点为 M,再由离心率公 式,即可得到结论;
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(Ⅱ)由(1)知可得椭圆的方程为 2x +3y =6c ,设直线 l 的方程为 x=my﹣5,代入椭圆方 程,利用韦达定理及 =2 ,确定 P,Q 坐标之间的关系,表示出面积,利用基本不等式

2

2

2

求出 S△ OPQ 的最大值,即可得到椭圆的方程. 【解答】解: (I)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,M(x0,y0) , 由题意可得 + =1, + =1,

两式相减可得,

+

=0,

由 k1=

,k2=

=



即有 k1k2=﹣

=﹣ ,

第 26 页(共 32 页)

即为 2a =3b =3(a ﹣c ) , 即 c = a ,e= =
2 2

2

2

2

2


2 2 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,a =3c ,b =2c , 2 2 2 椭圆的方程为 2x +3y =6c ,① 可设直线 l 的方程为 x=my﹣5②, 将②代入①中整理得(3+2m )y ﹣20my+50﹣6c =0, 2 2 2 因为直线 l 与椭圆交于 P,Q 两点,所以△ =4(12m c +18c ﹣150)>0, 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , 则 y1+y2= ,y1y2= ,
2 2 2

|y1﹣y2|=

=



=2

,可得(x1+5,y1)=2(﹣5﹣x2,﹣y2) ,

即为 y1=﹣2y2,代入韦达定理,可得 c=
2



即有|y1﹣y2|=

=



=5



当且仅当 2|m|=

,即为 m=±

时,取得等号. ,

又△ 0PQ 的面积为 S= |OD|?|y1﹣y2|= |y1﹣y2|的最大值为 此时,m = ,c =
2 2 2

=
2



所求椭圆的方程为 2x +3y =250, 即 + =1.

【点评】本题考查椭圆的几何性质,考查椭圆的标准方程,解题的关键是确定几何量之间的 关系,利用直线与椭圆联立,结合韦达定理和基本不等式求解,属于中档题.

25. (2014?新课标 II)设 F1,F2 分别是 C:

+

=1(a>b>0)的左,右焦点,M 是 C

上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. (1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b.
第 27 页(共 32 页)

【考点】椭圆的应用. 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题.
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【分析】 (1)根据条件求出 M 的坐标,利用直线 MN 的斜率为 ,建立关于 a,c 的方程即 可求 C 的离心率; (2)根据直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,以及|MN|=5|F1N|,建立方程组关系,求出 N 的坐 标,代入椭圆方程即可得到结论. 【解答】解: (1)∵M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直, ∴M 的横坐标为 c,当 x=c 时,y= 若直线 MN 的斜率为 , ,即 M(c, ) ,

即 tan∠MF1F2= 即b = 即c + 则 即 2e +3e﹣2=0
2 2 2


2

=a ﹣c , ﹣a =0, ,
2

2

解得 e= 或 e=﹣2(舍去) , 即 e= . (Ⅱ)由题意,原点 O 是 F1F2 的中点,则直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点, 设 M(c,y) , (y>0) , 则 ,即 ,解得 y= ,

∵OD 是△ MF1F2 的中位线, ∴ =4,即 b =4a,
2

由|MN|=5|F1N|, 则|MF1|=4|F1N|, 解得|DF1|=2|F1N|, 即 设 N(x1,y1) ,由题意知 y1<0, 则(﹣c,﹣2)=2(x1+c,y1) .

第 28 页(共 32 页)



,即

代入椭圆方程得



将 b =4a 代入得 解得 a=7,b= .

2



【点评】本题主要考查椭圆的性质,利用条件建立方程组,利用待定系数法是解决本题的关 键,综合性较强,运算量较大,有一定的难度.

26. (2016?西宁校级模拟)已知椭圆

的离心率

,过点 A(0,

﹣b)和 B(a,0)的直线与原点的距离为



(1)求椭圆的方程; (2)已知定点 E(﹣1,0) ,若直线 y=kx+2(k≠0)与椭圆交于 C、D 两点,问:是否存在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由. 【考点】圆与圆锥曲线的综合;椭圆的标准方程. 【专题】综合题.
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【分析】 (1)直线 AB 方程为 bx﹣ay﹣ab=0,依题意可得:

,由此能求出椭

圆的方程. (2)假设存在这样的值. ,得(1+3k )x +12kx+9=0,再由根的判别式
2 2

和根与系数的关系进行求解. 【解答】解: (1)直线 AB 方程为 bx﹣ay﹣ab=0,
第 29 页(共 32 页)

依题意可得:



解得:a =3,b=1, ∴椭圆的方程为 (2)假设存在这样的值. , 得(1+3k )x +12kx+9=0, 2 2 ∴△=(12k) ﹣36(1+3k )>0…①, 设 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,
2 2

2





而 y1?y2=(kx1+2) (kx2+2)=k x1x2+2k(x1+x2)+4, 要使以 CD 为直径的圆过点 E(﹣1,0) , 当且仅当 CE⊥DE 时, 则 y1y2+(x1+1) (x2+1)=0, 2 ∴(k +1)x1x2+(2k+1) (x1+x2)+5=0…③ 将②代入③整理得 k= , 经验证 k= 使得①成立综上可知,存在 k= 使得以 CD 为直径的圆过点 E. 【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合 理地进行等价转化.

2

27. (2016?河东区一模)已知椭圆 C:

的离心率为

,椭圆短轴

的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为



(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知动直线 y=k(x+1)与椭圆 C 相交于 A、B 两点. ①若线段 AB 中点的横坐标为 ②已知点 ,求证: ,求斜率 k 的值; 为定值.
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【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.
第 30 页(共 32 页)

【专题】综合题;压轴题. 【分析】 (1)根据椭圆的离心率,三角形的面积及椭圆几何量之间的关系,建立等式,即可 求得椭圆的标准方程; (2)①直线方程代入椭圆方程,利用韦达定理及线段 AB 中点的横坐标为 率 k 的值; ②利用韦达定理,及向量的数量积公式,计算即可证得结论. 【解答】 (1)解:因为 满足 a =b +c ,
2 2 2

,即可求斜

,…(2 分)

根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 从而可解得 所以椭圆方程为 , …(4 分)

,可得



(2)证明:①将 y=k(x+1)代入 分)

中,消元得(1+3k )x +6k x+3k ﹣5=0…(6

2

2

2

2

△ =36k ﹣4(3k +1) (3k ﹣5)=48k +20>0,

4

2

2

2

…(7 分)

因为 AB 中点的横坐标为

,所以

,解得

…(9 分)

②由①知



所以 = = …(12 分)

… (11 分)

=

=

= …(14 分) 【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查向量的数量积,考查 学生的运算能力,综合性强.
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28. (2010?辽宁)设 F1,F2 分别为椭圆

(a>b>0)的左、右焦点,过 F2 的 .

直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60°,F1 到直线 l 的距离为 (Ⅰ)求椭圆 C 的焦距; (Ⅱ)如果 ,求椭圆 C 的方程.
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【考点】椭圆的简单性质;椭圆的标准方程. 【专题】综合题;压轴题. 【分析】 (Ⅰ)过 F1 作 F1⊥l 可直接根据直角三角形的边角关系得到 ,求得 c 的 值,进而可得到焦距的值. (Ⅱ)假设点 A,B 的坐标,再由点斜式得到直线 l 的方程,然后联立直线与椭圆方程消去 x 得到关于 y 的一元二次方程,求出两根,再由 可得 y1 与 y2 的关系,再结合所

求得到 y1 与 y2 的值可得到 a,b 的值,进而可求得椭圆方程. 【解答】解: (Ⅰ)设焦距为 2c,由已知可得 F1 到直线 l 的距离 所以椭圆 C 的焦距为 4. (Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,可设 y1<0,y2>0,直线 l 的方程为 联立 , y+
2

. .

y+

﹣1=0

解得 因为 .











故椭圆 C 的方程为



【点评】本题主要考查椭圆的基本性质.考查考生对椭圆基本性质的理解和认知,椭圆的基 本性质是高考的重点内容,每年必考,一定要熟练掌握并能灵活运用.

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