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一轮复习导数的综合应用1 (1)


西乡一中 2017 届理科数学一轮复习导学案 NO 编写 杨 磊 2017 届 5 班专用 第 周 班 组 姓名 课题:导数的综合应用(1) 第 课时 组评 师评 【考纲解读】近几年,以高等数学为背景的高考命题成为热点.许多省市高考试卷有关导数的题目往 往可以用拉格朗日中值定理解答.本文主要先归类总结,再通过一些具体的高考试题,利用拉格朗日 中值定理解答,并与参考答案的解法作比较,体现高观点解题的好处. 【教学重点】解题方法和解题技巧的培养 【教学难点】解题方法和解题技巧的培养 【学习方法】合作探究、学案导学法 【课堂合作探究】 【拉格朗日中值定理】 若函数 f 满足如下条件: (i) f 在闭区间 [ a, b] 上连续; (ii) f 在开区间 ( a, b) 内可导; 则在 ? a, b ? 内至少存在一点 ? ,使得 f

'

b?a f ? x? f ? x? ? a或 ? a 成立(其中 x ? 0 ) 1、证明 x x x ?x 例: (2007年高考全国卷I第20题)设函数 f ? x ? ? e ? e .
(Ⅰ)证明: f ? x ? 的导数 f
'

?? ? ?

f ?b? ? f ? a ?

.

3、证明 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ? x1 ? x2 ? 成立 例: (2OO6年四川卷理第22题) 已知函数 f ? x ? ? x ?
2

2 ? a ln x( x ? 0), f ? x ? 的导函数是 f ' ? x ? ,对任意两个不相等的正数 x

? x? ? 2 ;
f ? x ? ? ax ,则 a 的取值范围是 (??, 2] .

x 1 , x 2 ,证明:
(1)当 a ? 0 时,

(Ⅱ)证明:若对所有 x ? 0 ,都有

? x ? x2 ? ? f? 1 ? 2 ? 2 ? ' ' (2)当 a ? 4 时, f ? x 1 ? ? f ? x 2 ? ? x 1 ? x 2 .

f ? x1 ? ? f ? x2 ?

2、证明 g ? a ? ? g ? b ? ? 2 g ?

? a?b? ? ? ? (b ? a), ? b ? a ? 成立 ? 2 ?

例: (2004年四川卷第22题)

已知函数 f ? x ? ? ln(1 ? x) ? x, g ? x ? ? x ln x . (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最大值; (Ⅱ)设 0 ? a ? b ? 2a ,证明: g ? a ? ? g ? b ? ? 2 g ?

?a?b? ? ? (b ? a) ln 2 . ? 2 ?

4、证明 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ? x1 ? x2 ? 或 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ? x1 ? x2 ? 成立 例: (2008年全国卷Ⅱ22题)设函数 f ? x ? ? (Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间;

sin x . 2 ? cos x

(Ⅱ)如果对任何 x ? 0 ,都有 f ? x ? ? ax ,求 a 的取值范围. 6、证明

f ? x1 ? ? f ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ??或 ? ? (其中 x1 ? x2 ) x1 ? x2 x1 ? x2

例: (2009年辽宁卷理21题)

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x, a ? 1 2 (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性;
已知函数 f ( x) ? (Ⅱ)证明:若 a ? 5 ,则对任意 x1, x2 ? ? 0, ??? , x1 ? x2 ,有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 . x1 ? x2

5、证明 f ? x ? ? 0,( x ? a) 成立, (其中 f ? a ? ? 0 ) 例: (2007年安徽卷18题) (Ⅰ)令 F ? x ? ? xf
'

设 a ? 0, f ? x ? ? x ?1? ln x ? 2a ln x ? x ? 0? .
2

? x? ,讨论 F ? x? 在 ?0, ??? 内的单调性并求极值;
2

(Ⅱ)求证:当 x ? 1 时,恒有 x ? ln x ? 2a ln x ? 1 .


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