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3.3.1 几何概型 课件1


第三章 概率 3.3.1 几何概型

一、复习回顾.

我抛一枚硬币, 猜这一次是正面 问题:猜中的概率是多少? 向上。

这是什么概型问题?

1、古典概型的两个基本特点:
(1)试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个. (2)每个基本事件出现的可能性相等. 2、计算古典概型的公式:<

br />
A包含基本事件的个数 公式:P( A) ? 基本事件的总数
那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如 何求呢?

二、问题情境1. 取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那 么剪得两段的长度都不小于1m的概率有多大?

分析:从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪 断位置可以是3m绳子上的任意一点,并且每一点 被剪的可能性相等。

问题情境2.
下图是卧室和书房地板的示意图,图中 每一块方砖除颜色外完全相同,小猫分 别在卧室和书房中自由地走来走去,并 随意停留在某块方砖上。在哪个房间里, 与面积成比例 小猫停留在黑砖上的概率大?

卧 室

书 房

问题情境3
有一杯1升的水,其中含有1个细菌, 用一个小杯从这杯水中取出0.1升, 求小杯水中含有这个细菌的概率. 分析:细菌在1升水的杯中任何位置的机会 是等可能的,但细菌所在的位置却是无限 多个的,因而不能利用古典概型。 解:取出0.1升中“含有这个细菌”这 一事件记为A,则
与体积成比例

取出水的体积 0.1 P? A? ? ? ? 0.1 杯中所有水的体积 1

三、基本概念

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区 域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模 型为几何概率模型,简称为几何概型. 几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个.

(2)每个基本事件出现的可能性相等.
几何概型概率计算公式: P(A)=

构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度
(面积或体积)

取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断, 那么剪得两段的长度都不小于1m的概率有多大? 记“剪得两段绳长都不小于1m”为事件A. 把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事 件A发生.由于中间一段的长度等于1m. 3米
1米

1米

1米

1 事件A发生的概率 P(A) = 3

知识串联:两种概型 概率公式的联系 古典概型 共同点 不同点 基本事件发生 的等可能性 几何概型 基本事件发生 的等可能性 基本事件个数 的无限性

基本事件个数 的有限性 古典概型概率计算公式:
P(A)=

A包含的基本事件的个数 基本事件的总数

几何概型概率计算公式:
P(A)=

构成事件A的区域长度(面积或体积)
试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

四、例题讲解

例1.某人午觉醒来,发现表停了,他打开 收音机想听电台整点报时,求他等待 的时 间不多于10分钟的概率. 0 10 20 30 40 50 60

分析:因为电台每隔1小时报时一次,他在0~60之 间任何一个时刻打开收音机是等可能的,但0~60之 间有无穷个时刻,不能用古典概型的公式计算随机 事件发生的概率。所以他在哪个时间段打开收音机 的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的 位置无关,这符合几何概型的条件。

解:

设A= 等待的时间不多于10分钟

则事件A发生恰好是打开收音机的 时刻位于[50,60]时间段内,因此 由几何概型的求概率公式得
P(A)=

60-50 60

=

1 6

1 即“等待报时的时间不多于10分钟”的概率为 6

.

点评:

0

10

20

30

40

50

60

打开收音机的时刻X是随机的,可以是0~60 之间的任何时刻,且是等可能的.我们称X服从[0, 60]上的均匀分布,X称为[0,60]上的均匀随机数.

例2. 抛阶砖游戏“抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏 之一.参与者只须将手上的“金币”(设“金币” 的半径为1)抛向离身边若干距离的阶砖平面上, 抛出的“金币”若恰好落在任何一个阶砖(边长为 3的正方形)的范围内(不与阶砖相连的线重叠), 便可获奖,许多人纷纷参与此游戏,却很少有人得 到奖品,你能用今天所学的数学知识解释这是为什 么吗?(假设每次抛的金币都落在阶砖上)

解: 分析: 试验的基本事件是: 金币的中心投在由若干个小正方 形组成的阶砖面里.

S
3

A

设事件A={金币不与小正方形边相碰}

不妨先考虑金币与一块阶砖的关系.
A={金币的中心要投在绿色小正方形内} 由几何概型的定义知: 参加者获奖的概率为:
n个A的面积 A的面积 P( A) ? ? n个S的面积 S的面积

3

(3-2)2 1 = = 9 32

解题方法小结:对于复杂的实际问题,解题的关键 是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对 应的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利用 几何概率公式求解.

练习

1.一个路口的红绿灯,红灯的 时间为30秒,黄灯的时间为5 秒,绿灯的时间为40秒。当 你到达路口不用停直接通过 的概率为 8/15
2.某公共汽车站每隔15分 钟有一辆汽车到达,乘客 到达车站的时刻是任意的, 求一个乘客到达车站后候 车时间大于10 分钟的概 率?

练习2
某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达,乘客到 达车站的时刻是任意的,求一个乘客到达车站后候车 时间大于10 分钟的概率? T1 T T2 分析:把时刻抽象为点,时间抽象为线段,故可以 用几何概型求解。上辆车于时刻T1到达,而下一辆 车于时刻T2到达,线段T1T2的长度为15,设T是 T1T2上的点,且T1T=5,T2T=10,如图所示: 解:记候车时间大于10分钟为事件A,则当乘客到 达车站的时刻落在线段T1T上时,事件发生. 5 1 A 的长度 所以 p (A) = ————— = —— = 15 3 总 的长度 1 答:候车时间大于10 分钟的概率是
3

练习
3.欧阳修《卖油翁》中写道:“乃 取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以 杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿。” 可见“行行出状元”,卖油翁的技艺 让人叹为观止。若铜钱的直径是3cm的 圆,中间有边长为1cm的正方形孔,若 你随机向铜钱上滴一滴油,则油正好 4 落入孔中的概率是 (假设油 9π
滴落在铜钱上且油滴的大小忽略不计)

解:根据题意可知,铜 ? ? cm2,正 钱圆的面积为? ???? 3 2? ? 方形孔的面积为1cm2。由 几何概型可知事件的概率 等于相应面积的比,即 1 = 4 故填 4 ? 3? 9π 9π
2

?? ?
?

2

2

? ? ?

练习 4、射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向 内为白色、黑色、蓝色、红色,靶心是金色,金色 靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm, 靶心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭,假设每箭 都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那 么射中黄心的概率是多少?
解 .记“射中黄心”为事 件B, 由于中靶点随机落在 1 面积为 × π× 122 2 cm 2的大圆内, 而当中靶点落在面 4 1 积为 × π× 12.2 2cm 2的黄心内时, 事件B发生. 4

1 ?π? 12.22 事件B发生的概率为P (B)? 4 ? 0.01 1 ?π? 1222 4

练习 : 5、一只蚂蚁在一边长为6的正方形区域内 随机地爬行,则其恰在离四个顶点距离都大于3的地方 4 -π 的概率是 4 解析;如果离四个顶点距离都大于3,那么蚂蚁所处 的位置应该四个四分之一圆之外,圆的圆心为4个顶 点,半径都是3,

解:此试验是几何概型,正方形面A 积为S,区域A的面积为SA, S=6×6=36 1 SA=6×6―4× 4 π×32=36-9π
36-9π SA P(A)= = = 4-π S 4 36 B

D

C

五、课堂小结

1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等 可能发生的概率类型。 2.几何概型主要用于解决长度、面积、体积有关 的题目,几何概型的概率公式.
构成事件A的区域长度(面积或体积) P( A) ? 全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

3.注意理解几何概型与古典概型的区别。 4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题, 利用几何概型公式求解。


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