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广东高考理科数学-极坐标及参数方程复习


极坐标与参数方程选讲

刘超俊

极坐标及参数方程复习
1.极坐标系的概念:在平面内取一个定点 O ,叫做极点;自极点 O 引一条射线 Ox 叫做极 轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这 样就建立了一个极坐标系。 2.点 M 的极坐标:设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离

| OM | 叫做点 M 的极径, 记为 ? ;以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的 ?xOM 叫做点 M 的极角,记为 ? 。有序 数对 ( ? ,? ) 叫做点 M 的极坐标,记为 M ( ? , ? ) . 极坐标 ( ? ,? ) 与 ( ? ,? ? 2k? )(k ? Z) 表示同一个点。极点 O 的坐标为 (0,? )(? ? R ) . 3.若 ? ? 0 ,则 ? ? ? 0 ,规定点 (? ? ,? ) 与点 ( ? ,? ) 关于极点对称,即 (? ? ,? ) 与 ( ? , ? ? ? ) 表示同一点。 如果规定 ? ? 0,0 ? ? ? 2? , 那么除极点外, 平面内的点可用唯一的极坐标 ( ? ,? ) 表示; 同时,极坐标 ( ? ,? ) 表示的点也是唯一确定的。 ★4. (重点)极坐标与直角坐标的互化:

? 2 ? x2 ? y2 ,
y ? ?sin? ,

x ? ?cos? , y tan? ? ( x ? 0) x

5.圆的极坐标方程: 在极坐标系中,以极点为圆心, r 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? r ; 在极坐标系中,以 C (a,0) ( a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2acos? ; 在极坐标系中,以 C ( a,

?
2

) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2asin? ;

6.在极坐标系中,? ? ? ( ? ? 0) 表示以极点为起点的一条射线;? ? ? ( ? ? R ) 表示过极点 的一条直线. 在极坐标系中, 过点 A(a,0)(a ? 0) , 且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是 ?cos? ? a . 7. 参数方程的概念: 在平面直角坐标系中, 如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变数 t

? x ? f (t ), 并且对于 t 的每一个允许值, 由这个方程所确定的点 M ( x, y ) 都在这条 y ? g (t ), ? 曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,
的函数 ? 简称参数。 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 8.圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的参数方程可表示为 ?

? x ? a ? rcos? , (?为参数) . ? y ? b ? rsin? . ? x ? acos? , x2 y2 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的参数方程可表示为 ? (?为参数) . a b ? y ? bsin?.
抛物线 y ? 2 px 的参数方程可表示为 ?
2

? x ? 2 pt2 , (t为参数) . y ? 2 pt. ? ? x ? xo ? tcos? , (t 为 ? y ? y o ? tsin? .

经过点 M O ( xo , yo ) ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程可表示为 ?

参数). 9.在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互 化中,必须使 x, y 的取值范围保持一致.

1

极坐标与参数方程选讲

刘超俊

坐标系与参数方程选讲
1.坐标系与参数方程选做题)设点 A 的极坐标为 ? 2, ( 为

? ?

??

? ,直线 l 过点 A 且与极轴所成的角 6?

? ,则直线 l 的极坐标方程为 ... 3



3. (坐标系与参数方程选做题)极坐标方程分别为 ? ? 4cos? 和 ? ? ?8sin ? 的两个圆的圆心 距为 .

4. (坐标系与参数方程选讲选做题)已知直线 l 的参数方程为: ?

? x ? 2t , ( t 为参 ? y ? 1 ? 4t
.

数) ,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 2 sin ? ,则直线 l 与圆 C 的位置关系为 5. 圆 C: ?

? x ? 1 ? cos?, ? y ? sin ?,

( ? 为参数)的普通方程为

,设 O 为坐标原点,点

M ( x0,y0 ) 在 C 上运动,点 P( x,y ) 是线段 OM 的中点,则点 P 的轨迹方程为



6. ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 在 极 坐 标 系 中 , 圆 ? ? 2 上 的 点 到 直 线

? cos? ? 3 sin ? ? 6 的距离的最小值是

?

?

.

7. (坐标系与参数方程选做题)以极坐标系中的点 (1,1) 为圆心, 1 为半径的圆的方程是

? ? 2cos ?? ?1?
8.(坐标系与参数方程选做题) 曲线 ?

? x ? sin ? (? 为参数)与直线 y ? a 有两个公共点, 2 ? y ? sin ?
.

则实数 a 的取值范围是

9. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线的极坐标方程为 ? sin(? ? A ( 2,

?
4

)?

2 ,则点 2

? 10 . 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 在 极 坐 标 系 中 , 点 M ( 2 , ) 直 线 ( 到 3

7? ) 到这条直线的距离为 4

? 2 l : ? sin(? ? ) ? 的距离为 4 2

.

2

极坐标与参数方程选讲

刘超俊

11.(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为 ?

? x ? 5 cos ? ? (0≤?<? ) 和 ? y ? sin ? ?

5 2 ? ?x ? t 4 (t ? R ) ,它们的交点坐标为 ? ?y ? t ?

.

[来源:Zxxk.Com]

12.已知抛物线 C 的参数方程为 ?

? x ? 8t 2 , ? y ? 8t.

( t 为参数)若斜率为 1 的
2

2 2 直线经过抛物线 C 的焦点,且与圆 ? x ? 4 ? ? y ? r (r ? 0) 相切,

则 r =_

_.

13.自极点 O 向直线 l 作垂线,垂足是 H( ( 2,

? ),则直线 l 的极坐标方程为 3

体验高考
1、(2011?广东文理数) 已知两曲线参数方程分别为 ∈R) ,它们的交点坐标为 . (0≤θ<π) 和 (t

2、(2010 广东理数)在极坐标系(ρ,θ) 0 ? ? <2? )中,曲线 ? ? 2sin ? 与 ? cos ? ? ?1 ( 的交点的极坐标为______________. 3.(2009 广东文科) (坐标系与参数方程选做题)若直线 ?

? x ? 1 ? 2t (t 为参数)与直线 ? y ? 2 ? 3t

4 x ? ky ? 1 垂直,则常数 k =

.

4. (2008 广东文理数) (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C1 , C2 的极坐标方程分别为

? ? cos ? ? 3, ? ? 4cos ? ( ? ? 0,0 ? ? ? ) ,则曲线 C1 C2 交点的极坐标为 2
5. (2007 广东文数)在极坐标系中,直线 l 的方程为 ? sin ? ? 3 ,则点 ? 2, ? 到直线 l 的距 离为 . 6.(2007 广东理数) (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数 ?x ? t ? 3 ? x ? cos ? 方程为 ? (参数 t∈R) ,圆 C 的参数方程为 ? (参数 ? ? [0, 2? ] ) ,则圆 C ?y ? 3?t ? y ? 2sin ? ? 2 的圆心坐标为_______,圆心到直线 l 的距离为 ______ .

? ?

π? 6?

3


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