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高中数学 第一章 第三节 空间几何体的表面积和体积(4)同步练习 新人教A版必修2


第一章第三节空间几何体的表面积和体积(4)
时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 1.(2014·全国高考卷Ⅰ) 某几何体的三视图,如图所示,则这个几何体是( )

A.三棱锥 C.四棱锥 [答案] B

B.三棱柱 D.四棱柱

2.如图,△O′A′B′是水平放置的△OAB 的直观图,则△OAB 的面积为(

)

A.6 C.6 2 [答案] D

B. 3 2 D.12

1 [解析] △OAB 是直角三角形,OA=6,OB=4,∠AOB=90°,∴S△OAB= ×6×4=12. 2 3.已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为 5,菱形的对角线的长分别是 9 和 15,则 这个棱柱的侧面积是( A.30 34 C.30 34+135 [答案] A [解析] 由菱形的对角线长分别是 9 和 15,得菱形的边长为 9 2 15 2 3 ? ? +? ? = 2 2 2 ) B.60 34 D.135

3 34,则这个菱柱的侧面积为 4× 34×5=30 34. 2

1

4.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为( A. 3 3 πR 24 5 3 πR 25 B. 3 3 πR 8 5 3 πR 8

)

C.

D.

[答案] A

R 3 [解析] 依题意,得圆锥的底面周长为 π R,母线长为 R,则底面半径为 ,高为 R, 2 2
1 R 2 3 3 3 所以圆锥的体积为 ×π ×( ) × R= π R . 3 2 2 24 5.已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为 V1 和 V2,则 V1?V2= ( ) A.1?3 C.2?1 [答案] D 1 [解析] V1?V2=(Sh)?( Sh)=3?1. 3 6.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如右图所示,其顶点都在一个球面上,则 该球的表面积为( ) B.1?1 D.3?1

16 A. π 3 19 C. π 12 [答案] B

19 B. π 3 4 D. π 3

[解析] 设球半径是 R,依题意知,该三棱柱是一个底面边长为 2,侧棱长为 1 的正三 1 2 3 2 棱柱,记上,下底面的中心分别是 O1,O,易知球心是线段 O1O 的中点,于是 R =( ) +( 2 3 2 2 19 19 19π 2 ×2× ) = ,因此所求球的表面积是 4π R =4π × = ,选 B. 3 12 12 3 7.一个正方体的体积是 8,则这个正方体的内切球的表面积是( A.8π C.4π [答案] C [解析] 设正方体的棱长为 a,则 a =8,所以 a=2,而此正方体内的球直径为 2,所
2
3

)

B.6π D. π

以 S 表=4π r =4π . 8.如图是一个空间几何体的三视图,如果直角三角形的直角边长均为 1,那么这个几 何体的体积为( )

2

A.1 1 C. 3 [答案] C

1 B. 2 1 D. 6

[解析] 该几何体的直观图为如图所示的四棱锥 P-ABCD, 且 PA=AB=AD=1, PA⊥AB,

PA⊥AD,四边形 ABCD 为正方形,则 V= ×12×1= ,故选 C.
9.(2015·全国卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问 题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内 墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约 为 3,估算出堆放斛的米约有( )

1 3

1 3

A.14 斛 C.36 斛 [答案] B

B.22 斛 D.66 斛

3

[ 解析 ]

1 16 1 1 设圆锥底面半径为 r ,则 ×2×3r = 8 ,∴ r = ,所以米堆的体积为 × 4 3 4 3

16 2 320 320 ×3×( ) ×5= ,故堆放的米约为 ÷1.62≈22,故选 B. 3 9 9 9.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长为 3,圆台的侧面积为 84π , 则圆台较小底面的半径为( A.7 C.5 [答案] A [解析] 设上,下底面半径为 r,R.则 2π R=3×2π r,所以 R=3r.又 π (r1+r2)l=S


) B. 6 D. 3

,所以 S 侧=π (3r+r)×3=84π ,所以 r=7. 10.正三棱柱有一个半径为 3 cm 的内切球,则此棱柱的体积是( A.9 3 cm C.27 cm
3 3

)

B.54 cm

3

D.18 3 cm

3

[答案] B [解析] 由题意知棱柱的高为 2 3 cm,底面正三角形的内切圆的半径为 3 cm,∴底 面正三角形的边长为 6 cm,正三棱柱的底面面积为 9 3 cm ,∴此三棱柱的体积 V=9 3 ×2 3=54(cm ). 11.(2014·课标全国Ⅱ)如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm),图中粗线 画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3 cm,高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得 到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )
3 2

17 A. 27 10 C. 27 [答案] C

5 B. 9 1 D. 3

[解析] 由零件的三视图可知,该几何体为两个圆柱组合而成,如图所示.

4

切削掉部分的体积 V1=π ×3 ×6-π ×2 ×4-π ×3 ×2=20π (cm ), 原来毛坯体积 V2=π ×3 ×6=54π (cm ). 故所求比值为 =
2 3

2

2

2

3

V1 20π 10 = . V2 54π 27

12.(2013·全国Ⅰ·理科)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如 果不计容器的厚度,则球的体积为( )

500π 3 A. cm 3 1372π 3 C. cm 3 [答案] A

866π 3 B. cm 3 2048π 3 D. cm 3

[解析] 设球的半径为 R,则由题知球被正方体上面截得圆的半径为 4,球心到截面圆 4π ×5 500 3 2 2 2 的距离为 R-2,则 R =(R-2) +4 ,解得 R=5.∴球的体积为 = cm . 3 3 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.在几何体①圆锥;②正方体;③圆柱;④球;⑤正四面体中,三视图完全一样的是 __________ ________. [答案] ②④ 14. 用斜二测画法画边长为 2 的正三角形的直观图时, 如果在已知图形中取的 x 轴和正 三角形的一边平行,则这个正三角形的直观图的面积是__________ ________. [答案] 6 4
3

15.棱锥的高为 16,底面积为 512,平行于底面的截面面积为 50,则截得的棱台的高 为__________ ________. [答案] 11 16-x 2 50 [解析] 设棱台的高为 x,则有( ) = ,解之,得 x=11. 16 512
5

16.如图是一个组合几何体的三视图,则该几何体的体积是__________ ________.

[答案] 36+128π [解析] 由三视图可知该组合几何体下面是一个圆柱, 上面是一个三棱柱, 故所求体积 1 为 V= ×3×4×6+16π ×8=36+128π . 2 三、 解答题(本大题共 6 个大题, 共 70 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)把一个圆锥截成圆台, 已知圆台的上、 下底面半径的比是 1?4, 母线长为 10 cm.求圆锥的母线长. [解析] 如图,设圆锥母线长为 l,则

l-10 1 40 = ,所以 l= cm. l 4 3

18.(本小题满分 12 分)如图是一个几何体的正视图和俯视图.

6

(1)试判断该几何体是什么几何体? (2)画出其侧视图,并求该平面图形的面积; (3)求出该几何体的体积. [解析] 棱锥. (2)该几何体的侧视图如图.其中 AB=AC,AD⊥BC,且 BC 的长是俯 视图正六边形对边的距离,即 BC= 3a,AD 是正六棱锥的高,即 AD= 3 (1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六

a,所以该平面图形的面积为 · 3a· 3a= a2.
(3)设这个正六棱锥的底面积是 S,体积为 V, 则 S=6× 3 2 3 3 2 a= a, 4 2

1 2

3 2

1 3 3 2 3 所以 V= × a × 3a= a3. 3 2 2 19.(本小题满分 12 分)如下图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋, 如果冰淇淋融化了,会溢出杯子吗?请用你的计算数据说明理由.

1 4 3 1 4 3 3 [解析] 因为 V 半球= × π R = × ×π ×4 ≈134(cm ), 2 3 2 3

V 圆锥= π r2h= π ×42×12≈201(cm3),
134<201, 所以 V 半球<V 圆锥, 所以,冰淇淋融化了,不会溢出杯子. 20.(本小题满分 12 分)(2015·湖南常德上学期期末) 已知某几何体的侧视图与其正视图相同,相关的尺寸如图所示,求这个几何体的体积.

1 3

1 3

7

[解析] 由三视图可知,该几何体是大圆柱内挖掉了小圆柱,两个圆柱高均为 1,底面 3 3 2 7π 是半径为 2 和 的同心圆,故该几何体的体积为 4π ×1-π ( ) ×1= . 2 2 4 21.(本题满分 12 分)如图所示,设计一个四棱锥形冷水塔塔顶,四棱锥的底面是正方 形,侧面是全等的等腰三角形,已知底面边长为 2 m,高为 7 m,制造这个塔顶需要多少铁 板?

[解析]如图所示,连接 AC 和 BD 交于 O,连接 SO.作 SP⊥AB,连接 OP.

1 在 Rt△SOP 中,SO= 7(m),OP= BC=1(m), 2 所以 SP=2 2(m), 1 2 则△SAB 的面积是 ×2×2 2=2 2(m ). 2 所以四棱锥的侧面积是 4×2 2=8 2(m ), 即制造这个塔顶需要 8 2m 铁板. 22.(本小题满分 12 分)如图,正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 a,连接 A′C′,
2 2

A′D,A′B,BD,BC′,C′D,得到一个三棱锥.求:
(1)三棱锥 A′-BC′D 的表面积与正方体表面积的比值; (2)三棱锥 A′-BC′D 的体积.

[解析] (1)∵ABCD-A′B′C′D′是正方体, ∴A′B=A′C′=A′D=BC′=BD=C′D= 2a, ∴三棱锥 A′-BC′D 的表面积为

8

1 3 2 4× × 2a× × 2a=2 3a . 2 2 而正方体的表面积为 6a ,故三棱锥 A′-BC′D 的表面积与正方体表面积的比值为 2 3a 3 . 2 = 6a 3 (2)三棱锥 A′-ABD,C′-BCD,D-A′D′C′,B-A′B′C′是完全一样的. 故 V 三棱锥 A′-BC′D=V 正方体-4V 三棱锥 A′-ABD 1 1 2 a 3 =a -4× × a ×a= . 3 2 3
3 2 2

9


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