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统计学第六版贾俊平第8章


统计学
第六版

第 8 章 假设检验

作者:中国人民大学统计学院 8-1

贾俊平

统计学
第六版

第 8 章 假设检验

8.1 8.2 8.3 8.4

假设检验的基本问题 一个正态总体参数的检验 两个正态总体参数的检验 假设检验中的其他问题

8-2

统计学
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假设检验在统计方法中的地位

统计方法
描述统计 推断统计

参数估计
8-3

假设检验

统计学
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学习目标

1. 了解假设检验的基本思想 2. 掌握假设检验的步骤 3. 对实际问题作假设检验 4. 利用置信区间进行假设检验 5. 利用P - 值进行假设检验

8-4

统计学
第六版

8.1 假设检验的基本问题

一. 二. 三. 四. 五. 六.
8-5

假设问题的提出 假设的表达式 两类错误 假设检验中的值 假设检验的另一种方法 单侧检验

统计学
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假设检验的概念与思想

8-6

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什么是假设?
(hypothesis)
我认为该地区新生婴儿 的平均体重为3190克!

? 对总体参数的的数值所 作的一种陈述
?

总体参数包括总体均值 、比例、方差等 分析之前必需陈述

?

8-7

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什么是假设检验?
(hypothesis testing)

1. 事先对总体参数或分布形式作出某种假 设,然后利用样本信息来判断原假设是 否成立 2. 有参数假设检验和非参数假设检验 3. 采用逻辑上的反证法,依据统计上的小 概率原理

8-8

统计学
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假设检验的基本思想
抽样分布

这个值不像我 们应该得到的 样本均值 ...

... 因此我们拒 绝假设 ? = 50

... 如果这是总 体的真实均值 20
8-9

? = 50 H0

样本均值

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假设检验的过程
提出假设 作出决策
拒绝假设! 别无选择.
我认为人口的平 均年龄是50岁

总体

?

? ? ? ? ? ? ? ?

抽取随机样本

8 - 10

均值 ? ??X = 20

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假设检验的步骤

? ? ? ? ?
8 - 11

提出假设 确定适当的检验统计量 规定显著性水平? 计算检验统计量的值 作出统计决策

统计学
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提出原假设和备择假设

? 什么是原假设?(null hypothesis) 0 1. 待检验的假设,又称“0假设” 为什么叫 假设? 2. 研究者想收集证据予以反对的假设 3. 总是有等号 ?, ? 或?? 4. 表示为 H0
H0:? ? 某一数值 ? 指定为 = 号,即 ? 或 ?? ? 例如, H0:? ? 3190(克)
?
8 - 12

统计学
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提出原假设和备择假设

? 什么是备择假设?(alternative hypothesis) 1. 与原假设对立的假设,也称“研究假设”

2. 研究者想收集证据予以支持的假设总是有不 等号: ?,?? 或 ? 3. 表示为 H1
? ?

H1:? <某一数值,或? ?某一数值 例如, H1:? < 3910(克),或? ?3910(克)

8 - 13

统计学
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确定适当的检验统计量

? 什么检验统计量?
1. 用于假设检验决策的统计量 2. 选择统计量的方法与参数估计相同,需考虑
? ?

是大样本还是小样本 总体方差已知还是未知

3. 检验统计量的基本形式为 X ? ?0 Z? ? n 8 - 14

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规定显著性水平?
(significant level)

? 什么显著性水平? 1. 是一个概率值
2. 原假设为真时,拒绝原假设的概率
?

被称为抽样分布的拒绝域 常用的 ??值有0.01, 0.05, 0.10

3. 表示为 ??(alpha)
?

4. 由研究者事先确定
8 - 15

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作出统计决策

1. 计算检验的统计量 2. 根据给定的显著性水平?,查表得出相应 的临界值z?或z?/2, t?或t?/2 3. 将检验统计量的值与? 水平的临界值进 行比较 4. 得出接受或拒绝原假设的结论

8 - 16

统计学
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假设检验中的小概率原理

8 - 17

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假设检验中的小概率原理

? 什么小概率? 1. 在一次试验中,一个几乎不可能发生的 事件发生的概率

2. 在一次试验中小概率事件一旦发生,我 们就有理由拒绝原假设
3. 小概率由研究者事先确定
什么是小 概率?

8 - 18

?

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假设检验中的两类错误

(决策风险)

8 - 19

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假设检验中的两类错误

1. 第一类错误(弃真错误)
? ? ?

原假设为真时拒绝原假设 会产生一系列后果 第一类错误的概率为? ? 被称为显著性水平 原假设为假时接受原假设 第二类错误的概率为 ??(Beta)

2. 第二类错误(取伪错误)
? ?

8 - 20

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假设检验中的两类错误
(决策结果)
假设检验就好像一场审判过程

H0: 无罪

统计检验过程

陪审团审判 实际情况 裁决 无罪 无罪 有罪
8 - 21

H0 检验 决策 有罪 错误 正确 接受H0 拒绝H0 实际情况

H0为真

H0为假

正确 错误

正确决策 第二类错 误(?) (1 – ?) 第一类错 正确决策 误(?) (1-?)

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? 错误和 ? 错误的关系
?和?的关系就像 翘翘板,?小?就 大, ?大?就小

你不能同时减 少两类错误!

?
?
8 - 22

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影响 ? 错误的因素

1. 总体参数的真值
?

随着假设的总体参数的减少而增大

2. 显著性水平 ?
?

当 ? 减少时增大
当 ? 增大时增大 当 n 减少时增大

3. 总体标准差 ?
?

4. 样本容量 n
?

8 - 23

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假设检验中的 P 值

8 - 24

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什么是P 值?
(P-value)

1. 是一个概率值 2. 如果原假设为真,P-值是抽样分布中大于 或小于样本统计量的概率
?

?

左侧检验时,P-值为曲线上方小于等于检 验统计量部分的面积 右侧检验时,P-值为曲线上方大于等于检 验统计量部分的面积
H0 能被拒绝的?的最小值

3. 被称为观察到的(或实测的)显著性水平
?

8 - 25

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双侧检验的P 值
?/ 2 ?/ 2 拒绝
1/2 P 值

拒绝
1/2 P 值

临界值
计算出的样本统计量
8 - 26

H0值

临界值

Z

计算出的样本统计量

统计学
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左侧检验的P 值
置信水平

抽样分布
拒绝域

?
1-?
P值

临界值 计算出的样本统计量 8 - 27

H0值

样本统计量

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右侧检验的P 值
置信水平 拒绝域 1-?

抽样分布

?
P值

H0值
8 - 28

临界值 计算出的样本统计量

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利用 P 值进行检验
(决策准则)
若p-值 ? ?,不能拒绝 H0 若p-值 < ?, 拒绝 H0 若p-值 ? ?/2, 不能拒绝 H0 若p-值 < ?/2, 拒绝 H0

1. 单侧检验
? ?

2. 双侧检验
? ?

8 - 29

统计学
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双侧检验和单侧检验

8 - 30

统计学
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双侧检验与单侧检验
(假设的形式)

研究的问题
假设 双侧检验
H0 H1
8 - 31

左侧检验

右侧检验

??= ?0 ??≠?0

??? ?0 ??< ?0

??? ?0 ??> ?0

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双侧检验
(原假设与备择假设的确定)

1. 属于决策中的假设检验 2. 不论是拒绝 H0 还是不能拒绝 H0 ,都必需采 取相应的行动措施 3. 例如,某种零件的尺寸,要求其平均长度为 10cm,大于或小于10cm均属于不合格
?

我们想要证明(检验)大于或小于这两种可能性 中的任何一种是否成立

4. 建立的原假设与备择假设应为 H0: ? ? 10 H1: ? ? 10
8 - 32

统计学
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双侧检验
(显著性水平与拒绝域 )
置信水平 拒绝域 1-? ?/2

抽样分布
拒绝域 ?/2

临界值
8 - 33

H0值

临界值

样本统计量

统计学
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双侧检验
(显著性水平与拒绝域)
置信水平

抽样分布
拒绝域 ?/2

拒绝域 1-? ?/2

临界值
8 - 34

H0值

临界值

样本统计量

统计学
第六版

双侧检验
(显著性水平与拒绝域)
置信水平 拒绝域 1-?

抽样分布
拒绝域 ?/2

?/2

临界值
8 - 35

H0值

临界值

样本统计量

统计学
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双侧检验
(显著性水平与拒绝域)
置信水平 拒绝域 ?/2

抽样分布
拒绝域 ?/2 1-?

临界值
8 - 36

H0值

临界值

样本统计量

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单侧检验
(原假设与备择假设的确定)

1. 将研究者想收集证据予以支持的假设作为备择 假设H1
? ? ? 例如,一个研究者总是想证明自己的研究结论是正 确的 一个销售商总是想正确供货商的说法是不正确的 备择假设的方向与想要证明其正确性的方向一致

2. 将研究者想收集证据证明其不正确的假设作为 原假设H0 3. 先确立备择假设H1
8 - 37

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单侧检验
(原假设与备择假设的确定)

? 一项研究表明,采用新技术生产后,将 会使产品的使用寿命明显延长到 1500 小 时以上。检验这一结论是否成立
?

研究者总是想证明自己的研究结论(寿命延 长)是正确的

? ?

备择假设的方向为“>”(寿命延长) 建立的原假设与备择假设应为

H0: ? ? 1500
8 - 38

H1: ? ? 1500

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单侧检验
(原假设与备择假设的确定)

? 一项研究表明,改进生产工艺后,会使 产品的废品率降低到2%以下。检验这一 结论是否成立
?

研究者总是想证明自己的研究结论(废品率 降低)是正确的

? ?

备择假设的方向为“<”(废品率降低) 建立的原假设与备择假设应为 H0: ? ? 2% H1: ? ? 2%

8 - 39

统计学
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单侧检验
(原假设与备择假设的确定)

? 某灯泡制造商声称,该企业所生产的灯泡 的平均使用寿命在 1000 小时以上。如果 你准备进一批货,怎样进行检验
? 检验权在销售商一方 ? 作为销售商,你总是想收集证据证明生产商 的说法(寿命在1000小时以上)是不是正确的 ? 备择假设的方向为“ <”( 寿命不足 1000 小 时) ? 建立的原假设与备择假设应为 H0: ? ? 1000 H1: ? ? 1000 8 - 40

统计学
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单侧检验
(显著性水平与拒绝域)
置信水平

抽样分布
拒绝域

?

1-?

临界值
8 - 41

H0值

样本统计量

统计学
第六版

左侧检验
(显著性水平与拒绝域)
置信水平

抽样分布
拒绝域

?

1-?

临界值
8 - 42

H0值

样本统计量

观察到的样本统计量

统计学
第六版

左侧检验
(显著性水平与拒绝域)
置信水平

抽样分布
拒绝域

?
1-?

临界值
8 - 43

H0值

样本统计量

统计学
第六版

右侧检验
(显著性水平与拒绝域)
置信水平 拒绝域 1-?

抽样分布

?

H0值
观察到的样本统计量
8 - 44

临界值

样本统计量

统计学
第六版

右侧检验
(显著性水平与拒绝域)
置信水平 拒绝域

抽样分布

?
1-?

H0值
8 - 45

临界值

样本统计量

统计学
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8.2 一个正态总体参数的检验

一. 二. 三. 四.

检验统计量的确定 总体均值的检验 总体比例的检验 总体方差的检验

8 - 46

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一个总体参数的检验
一个总体

均值

比例

方差

Z 检验
(单尾和双尾)

t 检验
(单尾和双尾)

Z 检验
(单尾和双尾)

?2检验
(单尾和双尾)

8 - 47

统计学
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总体均值检验

8 - 48

统计学
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总体均值的检验
(检验统计量)

小 样本容量 n
用样本标 准差S代替



总体? 是否已知 ?



z 检验

z 检验

t 检验

Z?
8 - 49

X ? ?0

?

n

Z?

X ? ?0 S n

t?

X ? ?0 S n

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总体均值的检验
(?2 已知或?2未知大样本)

1. 假定条件
? ?

总体服从正态分布 若不服从正态分布, 可用正态分布来近似 (n?30)

2. 使用Z-统计量
?

?2
?2

已知: Z ?
未知: Z ?

X ? ?0

?

?

X ? ?0 S n

n

~ N (0,1) ~ N (0,1)

8 - 50

统计学
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?2 已知均值的检验
(例题分析)
双侧检验

【例】某机床厂加工一种零件,根 据经验知道,该厂加工零件的椭圆 度近似服从正态分布,其总体均值 为 ? 0=0.081mm ,总体标准差为 ? = 0.025 。今换一种新机床进行加工, 抽取n=200个零件进行检验,得到的 椭圆度为 0.076mm 。试问新机床加 工零件的椭圆度的均值与以前有无 显著差异?(?=0.05)
8 - 51

统计学
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?2 已知均值的检验
(例题分析)
检验统计量:

H0: ? = 0.081 H1: ? ? 0.081 ? = 0.05 n = 200

z?

x ? ?0

?

n

?

0.076 ? 0.081 0.025 200

? ?2.83

临界值(s):
拒绝 H0
.025

决策:
在 ? = 0.05的水平上拒绝H0

拒绝 H0
.025

结论:
有证据表明新机床加工的零件 的椭圆度与以前有显著差异

8 - 52

-1.96

0

1.96

Z

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?2 已知均值的检验
(P 值的计算与应用)

第1步:进入Excel表格界面,选择“插入”下拉菜 单 第2步:选择“函数”点击 第 3 步:在函数分类中点击“统计”,在函数名的 菜 单下选择字符“NORMSDIST”然后确定 第4步:将Z的绝对值2.83录入,得到的函数值为 0.997672537 P值=2(1-0.997672537)=0.004654 8 - 53 P值远远小于?/2,故拒绝H0

统计学
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?2 已知均值的检验
(小样本例题分析)
单侧检验

【例】 根据过去大量资料,
某厂生产的灯泡的使用寿命 服 从 正 态 分 布 N~(1020 , 1002) 。现从最近生产的一批 产品中随机抽取 16 只,测得 样本平均寿命为 1080 小时。 试在 0.05 的显著性水平下判 断这批产品的使用寿命是否 有显著提高?(?=0.05)
8 - 54

统计学
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?2 已知均值的检验
(小样本例题分析)
检验统计量:

H0: ? ? 1020 H1: ? > 1020 ? = 0.05 n = 16 临界值(s):
拒绝域 0.05

z?

x ? ?0

?

n

?

1080 ? 1020 100 14

? 2.4

决策:
在 ? = 0.05的水平上拒绝H0

结论:
有证据表明这批灯泡的使用 寿命有显著提高

8 - 55

0

1.645

Z

统计学
第六版

?2 未知大样本均值的检验
(例题分析)
单侧检验

【例】某电子元件批量生产的 质量标准为平均使用寿命 1200 小时。某厂宣称他们采用一种 新工艺生产的元件质量大大超 过规定标准。为了进行验证, 随机抽取了 100 件作为样本, 测得平均使用寿命 1245 小时, 标准差 300 小时。能否说该厂 生产的电子元件质量显著地高 于规定标准? (?=0.05)
8 - 56

统计学
第六版

?2 未知大样本均值的检验
(例题分析)
检验统计量:

H0: ? ? 1200 H1: ? >1200 ? = 0.05 n = 100 临界值(s):
拒绝域 0.05

z?

x ? ?0

?

n

?

1245 ? 1200 300 100

? 1. 5

决策:
在 ? = 0.05的水平上不能拒绝H0

结论:
不能认为该厂生产的元件寿命 显著地高于1200小时

8 - 57

0

1.645

Z

统计学
第六版

总体均值的检验
(?2未知小样本)

1. 假定条件
? ?

总体为正态分布 ?2未知,且小样本

2. 使用t 统计量

t?

X ? ?0 S n

~ t (n ? 1)

8 - 58

统计学
第六版

?2 未知小样本均值的检验
(例题分析)
双侧检验

【例】 某机器制造出的肥
皂厚度为5cm,今欲了解机 器性能是否良好,随机抽 取 10 块肥皂为样本,测得 平均厚度为5.3cm,标准差 为 0.3cm ,试以 0.05 的显著 性水平检验机器性能良好 的假设。
8 - 59

统计学
第六版

?2 未知小样本均值的检验
(例题分析)
检验统计量:

H0: ? = 5 H1: ? ? 5 ? = 0.05 df = 10 - 1 = 9 临界值(s):
拒绝 H0
.025

t?

x ? ?0 s n

?

5. 3 ? 5 0.6 10

? 3.16

决策:
在 ? = 0.05的水平上拒绝H0
.025

拒绝 H0

结论:
说明该机器的性能不好

-2.262

0

2.262

8 - 60

t

统计学
第六版

?2 未知小样本均值的检验
(P 值的计算与应用)

第1步:进入Excel表格界面,选择“插入”下拉菜 单 第 2 步:选择“函数”点击,并在函数分类中点击 “统 计” ,然后,在函数名的菜单中选择字符 “TDIST”,确定 第3步:在弹出的X栏中录入计算出的t值3.16 在自由度(Deg-freedom)栏中录入9 在Tails栏中录入2,表明是双侧检验(单测 检验则在该栏内录入1) 8 - 61 P值的结果为0.01155<0.025,拒绝H0

统计学
第六版

?2 未知小样本均值的检验
(例题分析)
【例】一个汽车轮胎制造商声称
,某一等级的轮胎的平均寿命在 一定的汽车重量和正常行驶条件 下大于 40000 公里,对一个由 20 个轮胎组成的随机样本作了试验 ,测得平均值为 41000 公里,标 准差为 5000 公里。已知轮胎寿命 的公里数服从正态分布,我们能 否根据这些数据作出结论,该制 造商的产品同他所说的标准相符 ?(? = 0.05)

单侧检验!

8 - 62

统计学
第六版

均值的单尾 t 检验
(计算结果)
检验统计量:
t? ? x ? ?0 s n 5000 20 ? 0.894 41000 ? 40000

H0: ? ? 40000 H1: ? < 40000 ? = 0.05 df = 20 - 1 = 19 临界值(s):
拒绝域 .05

决策:
在? = 0.05的水平上不能拒绝H0

结论:
t
有证据表明轮胎使用寿命显著 地大于40000公里

-1.7291 0 8 - 63

统计学
第六版

总体比例的检验
(Z 检验)

8 - 64

统计学
第六版

适用的数据类型
数 据
品质数据

数值型数据

离散数据
8 - 65

连续数据

统计学
第六版

一个总体比例检验

1. 假定条件
? ?

?

有两类结果 总体服从二项分布 可用正态分布来近似

2. 比例检验的 Z 统计量 P ??0 Z? ~ N (0,1) ? 0 (1 ? ? 0 )
n
8 - 66

?0为假设的总体比例

统计学
第六版

一个总体比例的检验
(例题分析)
双侧检验

【例】 一项统计结果声称,
某市老年人口(年龄在65岁以 上)的比重为 14.7% ,该市老 年人口研究会为了检验该项统 计是否可靠,随机抽选了 400 名居民,发现其中有57人年龄 在65岁以上。调查结果是否支 持该市老年人口比重为 14.7% 的看法?(?= 0.05)
8 - 67

统计学
第六版

一个总体比例的检验
(例题分析)
检验统计量:
z? 0.1425 ? 0.147 0.147 ? (1 ? 0.147) 400 ? ?0.254

H0: ? = 14.7% H1: ? ? 14.7% ? = 0.05 n = 400 临界值(s):
拒绝 H0
.025

拒绝 H0
.025

决策:
在? = 0.05的水平上不能拒绝H0

结论:
-1.96

0

1.96

Z

该市老年人口比重为14.7%

8 - 68

统计学
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总体方差的检验 2 (? 检验)

8 - 69

统计学
第六版

方差的卡方 (?2) 检验

1. 检验一个总体的方差或标准差 2. 假设总体近似服从正态分布 3. 检验统计量
2 ( n ? 1 ) S 2 2 ? ? ~ ? (n ? 1) 2 ?0

样本方差

假设的总体方差
8 - 70

统计学
第六版

方差的卡方 (?2) 检验
(例题分析)
1.4 -0.9 -0.5 -0.2 -0.6 -0.6 1.3 0 -1.9 1.1

【例】某厂商生产出一种新型 0.3 -0.4 -0.7 的饮料装瓶机器,按设计要求 , 该 机 器 装 一 瓶 一 升 -0.3 -1.5 0.6 1 (1000cm3) 的 饮 料 误 差 上 下 不 -1.3 0.7 超过1cm3。如果达到设计要求 -0.6 0.7 -1.5 ,表明机器的稳定性非常好。 -0.5 1 -0.2 现从该机器装完的产品中随机 抽取25瓶,分别进行测定(用样 本减1000cm3),得到如下结果 绿色 。检验该机器的性能是否达到 健康饮品 设计要求 (?=0.05) 双侧检验 8 - 71

绿色
健康饮品

统计学
第六版

方差的卡方 (?2) 检验
(例题分析)
统计量: 2 ( n ? 1 ) s ?2 ? 2 ?0
决策: 结论:
(25 ? 1)0.866 ? ? 20.8 01

H0: ?2 = 1 H1: ?2 ? 1 ? = 0.05 df = 25 - 1 = 24 临界值(s):
? /2 =.05

在 ? = 0.05的水平上不能拒绝H0 可以认为该机器的性能达到设 计要求

0 12.40
8 - 72

39.36

?2

统计学
第六版

8.3 两个正态总体参数的检验

一. 二. 三. 四. 五.

检验统计量的确定 两个总体均值之差的检验 两个总体比例之差的检验 两个总体方差比的检验 检验中的匹配样本

8 - 73

统计学
第六版

两个正态总体参数的检验
两个总体的检验 均值 比例 方差

独立样本

配对样本

Z 检验
(大样本)
8 - 74

t 检验
(小样本)

t 检验
(小样本)

Z 检验

F 检验

统计学
第六版

独立样本总体均值之差的检验

8 - 75

统计学
第六版

两个独立样本之差的抽样分布
?1
?1 ?2 ?2
计算每一对样本 的X1-X2 抽取简单随机样 样本容量 n2 计算X2 总体2

总体1

抽取简单随机样 样本容量 n1 计算X1

所有可能样本 的X1-X2

抽样分布

8 - 76

?1? ?2

统计学
第六版

两个总体均值之差的检验 (?12、 ?22 已知)
两个样本是独立的随机样本 两个总体都是正态分布 若不是正态分布, 可以用正态分布来近似(n1?30 和 n2?30)

1. 假定条件
? ? ?

2. 检验统计量为

Z?
8 - 77

( X 1 ? X 2 ) ? ( ?1 ? ? 2 )

? 12
n1

?

2 ?2

~ N (0,1)

n2

统计学
第六版

两个总体均值之差的检验 (假设的形式)
研究的问题

假设

没有差异 有差异

均值1 ? 均值2 均值1 < 均值2

均值1 ? 均值2 均值1 > 均值2

H0 H1

? 1 – ?2 = 0 ? 1 – ?2?0

? 1 – ?2 ? 0 ? 1 – ?2 < 0

? 1 – ?2 ? 0 ? 1 – ?2 > 0

8 - 78

统计学
第六版

两个总体均值之差的检验
(例题分析)
双侧检验!

【例】有两种方法可用于制造某种以 抗拉强度为重要特征的产品。根据以 往的资料得知,第一种方法生产出的 产品其抗拉强度的标准差为 8 公斤, 第二种方法的标准差为 10公斤。从两 种方法生产的产品中各抽取一个随机 样本,样本容量分别为n1=32,n2=40 ,测得?x2= 50公斤,?x1= 44公斤。问 这两种方法生产的产品平均抗拉强度 是否有显著差别? (? = 0.05)
8 - 79

统计学
第六版

两个总体均值之差的检验
(例题分析)
检验统计量:
z? ( x1 ? x 2 ) ? ( ?1 ? ? 2 ) ? 50 ? 40 ? 0 64 100 ? 32 40 ? 2.83

H0: ?1- ?2 = 0 H1: ?1- ?2 ? 0 ? = 0.05 n1 = 32,n2 = 40 临界值(s):
拒绝 H0
.025

? 12 ? 22 ? n1 n2

决策:
在 ? = 0.05的水平上拒绝H0

拒绝 H0
.025

结论:
有证据表明两种方法生产的产 品其抗拉强度有显著差异

-1.96

0

1.96

Z

8 - 80

统计学
第六版

两个总体均值之差的检验
(?12、 ?22 未知且不相等,小样本)

1. 检验具有不等方差的两个总体的均值 2. 假定条件
? ? ?

两个样本是独立的随机样本 两个总体都是正态分布 两个总体方差未知且不相等?12?? ?22

3. 检验统计量
t? ( X 1 ? X 2 ) ? ( ?1 ? ? 2 ) Sp
8 - 81

1 1 ? n1 n2

2 2 ( n ? 1 ) S ? ( n ? 1 ) S 2 1 1 2 2 S ? 其中: p n1 ? n2 ? 2

统计学
第六版

两个总体均值之差的检验
(?12、 ?22 未知但相等,小样本)

1. 检验具有等方差的两个总体的均值 2. 假定条件
? ? ?

两个样本是独立的随机样本 两个总体都是正态分布 两个总体方差未知但相等?12????22

3. 检验统计量 ( X 1 ? X 2 ) ? ( ?1 ? ? 2 ) t? 2 2 S1 S2 ? n1 n2
8 - 82

统计学
第六版

两个总体均值之差的检验
(例题分析)
单侧检验

【例】 “多吃谷物,将有助于减 肥。”为了验证这个假设,随机 抽取了35人,询问他们早餐和午 餐的通常食谱,根据他们的食谱 ,将其分为二类,一类为经常的 谷类食用者(总体1),一类为非经 常谷类食用者(总体2)。然后测度 每人午餐的大卡摄取量。经过一 段时间的实验,得到如下结果: 检验该假设 (? = 0.05)
8 - 83

统计学
第六版

两个总体均值之差的检验
(例题分析—用统计量进行检验)
检验统计量:
t? 583 ? 629.25 2431.429 3675.461 ? 15 20 ? ?2.4869

H0: ?1- ?2 ? 0 H1: ?1- ?2 < 0 ? = 0.05 n1 = 15,n2 = 20 临界值(s):
拒绝域 .05

决策:
在 ? = 0.05的水平上拒绝H0

结论:
0 t
没有证据表明多吃谷物将有助 于减肥

-1.694 8 - 84

统计学
第六版

两个总体均值之差的检验
(例题分析—用Excel进行检验)

第1步:选择“工具”下拉菜单,并选择“数据分析” 选项 第2步:选择“t检验,双样本异方差假设” 第3步:当出现对话框后 在“变量1的区域”方框内键入数据区域 在“变量2的区域”方框内键入数据区域 在“假设平均差”的方框内键入0 在“”框内键入0.05 在“输出选项”中选择输出区域 选择确定 用 Excel进行检验
8 - 85

统计学
第六版

两个匹配(或配对)样本的均值检验

8 - 86

统计学
第六版

两个总体均值之差的检验
(匹配样本的 t 检验)

1. 检验两个总体的均值
? ?

配对或匹配 重复测量 (前/后) 两个总体都服从正态分布 如果不服从正态分布,可用正态分布来近 似 (n1 ? 30 , n2 ? 30 )

3. 假定条件
? ?

8 - 87

统计学
第六版

匹配样本的 t 检验 (假设的形式)
研究的问题
没有差异 有差异 总体1 ? 总体2 总体1 < 总体2 总体1 ? 总体2 总体1 > 总体2

假设

H0

?D = 0

?D ? 0

?D ? 0

H1

?D ? 0

?D< 0

?D > 0

注:Di = X1i - X2i ,对第 i 对观察值
8 - 88

统计学
第六版

匹配样本的 t 检验
(数据形式)
样本1 样本2 差值

观察序号

1 2 M i M n
8 - 89

x 11
x 12 M x 1i M x 1n

x 21
x 22 M x 2i M x 2n

D1 = x 11 - x 21
D1 = x 12 - x 22 M D1 = x 1i - x 2i M D1 = x 1n- x 2n

统计学
第六版

匹配样本的 t 检验
(检验统计量)

统计量

t?

X D ? D0 SD
n

D0:假设的差值

nD

自由度df =nD - 1

样本差值均值
XD ?
8 - 90

样本差值标准差
2 ( D ? X ) ? i D i ?1 n

?D
i ?1

i

nD

SD ?

nD ? 1

统计学
第六版

匹配样本的 t 检验
(例题分析)

【例】一个以减肥为主要目标的健美俱乐部声称, 参加其训练班至少可以使减肥者平均体重减重 8.5kg 以上。为了验证该宣称是否可信,调查人员随机抽 取了10名参加者,得到他们的体重记录如下表:
训练前 训练后 94.5 85 101 110 103.5 96 97 86 88.5 80.5 96.5 87 101 93.5 104 93 116.5 102

89.5 101.5

在 ? = 0.05的显著性水平下,调查结果是否支持该 俱乐部的声称?
单侧检验
8 - 91

统计学
第六版

配对样本的 t 检验
(例题分析)
样本差值计算表
训练后 85 89.5 101.5 96 86 80.5 87 93.5 93 102 — 差值Di 9.5 11.5 8.5 7.5 11 8 9.5 7.5 11 14.5 98.5

训练前 94.5 101 110 103.5 97 88.5 96.5 101 104 116.5 合计

8 - 92

统计学
第六版

配对样本的 t 检验
(例题分析)

差值均值

xD ?

?D
i ?1

n

i

nD
n

98.5 ? ? 9.85 10

差值标准差 s ? D
8 - 93

2 ( D ? x ) ? i D i ?1

nD ? 1

43.525 ? ? 2.199 10 ? 1

统计学
第六版

配对样本的 t 检验
(例题分析)
检验统计量:

H0: ?1 – ?2 ? 8.5 H1: ?1 – ?2 < 8.5 ? = 0.05 df = 10 - 1 = 9 临界值(s):
拒绝域 .05

t?

x D ? D0 sD nD

?

9.85 ? 8.5 2.199 10

? 1.9413

决策:
在 ? = 0.05的水平上不能拒绝H0

结论:
0 t
有证据表明该俱乐部的宣称是 可信的

-1.833 8 - 94

统计学
第六版

配对样本的 t 检验
(例题分析—用Excel进行检验)

第1步:选择“工具” 第2步:选择“数据分析”选项 第3步:在分析工具中选择“t检验:平均值的成对二样本分析 ” 第4步:当出现对话框后 在“变量1的区域”方框内键入数据区域 在“变量2的区域”方框内键入数据区域 在“假设平均差”方框内键入8.5 显著性水平保持默认值

用Excel进行检验
8 - 95

统计学
第六版

两个总体比例之差的检验

8 - 96

统计学
第六版

两个总体比例之差的Z检验

1. 假定条件
? ? ?

两个总体是独立的 两个总体都服从二项分布 可以用正态分布来近似

2. 检验统计量
Z? ( P1 ? P2 ) ? (? 1 ? ? 2 ) P1 (1 ? P1 ) P2 (1 ? P2 ) ? n1 n2 ~ N (0,1)

8 - 97

统计学
第六版

两个总体比例之差的检验
(假设的形式)
研究的问题

假设

没有差异 有差异

比例1 ≥比例2 比例1 < 比例2

总体1 ≤比例2 总体1 > 比例2

H0
H1

P1–P2 = 0
P1–P2?0

P1–P2?0
P1–P2<0

P1–P2?0
P1–P2 >0

8 - 98

统计学
第六版

两个总体比例之差的Z检验
(例题分析)
单侧检验

【例】对两个大型企业青年 工人参加技术培训的情况进 行调查,调查结果如下:甲 厂:调查 60 人, 18 人参加技 术培训。乙厂调查 40 人, 14 人参加技术培训。能否根据 以上调查结果认为乙厂工人 参加技术培训的人数比例高 于甲厂?(? = 0.05)
8 - 99

统计学
第六版

两个总体比例之差的Z检验
(例题分析)
检验统计量:
z? 0.30 ? .035 ? 0 0.30(1 ? 030) 0.35(1 ? 0.35) ? 60 40 ? ?0.52

H0: ?1- ? 2 ? 0 H1: ?1- ? 2 < 0 ? = 0.05 n1 = 60,n2 = 40 临界值(s):
拒绝域 ?

决策:
在 ? = 0.05的水平上不能拒绝H0

结论:
没有证据表明乙厂工人参加技 术培训的人数比例高于甲厂

-1.645 8 - 100

0

Z

统计学
第六版

两个总体方差比的检验

8 - 101

统计学
第六版

两个总体方差比的检验
(F 检验)
两个总体都服从正态分布,且方差相等 两个独立的随机样本 H0:?12 = ?22 H1:?12 ? ?22 或 H0:?12 ? ?22 (或 ? ) H1:?12 ???22 (或 >)

1. 假定条件
? ?

2. 假定形式
?

3. 检验统计量
?

F = S12 /S22~F(n1 – 1 , n2 – 1)

8 - 102

统计学
第六版

两个总体方差的 F 检验
(临界值)
拒绝H0 拒绝 H0

?/2
0

不能拒绝H0

?/2
F
F1?? 2 (n1 ? 1, n2 ? 1)

1 F? 2 (n1 ? 1, n2 ? 1) ? F1?? 2 (n1 ? 1, n2 ? 1)
8 - 103

统计学
第六版

两个总体方差的 F 检验
(例题分析)
检验统计量:
s12 2431.429 F? 2 ? ? 0.6615 s 2 3675.461

H0: ?12?= ?22 H1: ?12?? ?22 ? = 0.05 n1 = 15,n2 = 20 临界值(s):
拒绝 H0

决策:
在 ? = 0.05的水平上不能拒绝H0

拒绝 H0

结论:
可以认为这两个总体的方差没 有显著差异

.025

.025

0

F0.0975 =0.352 F0.025 =2.62

F

8 - 104

统计学
第六版

8.4 假设检验中的其他问题

一. 用置信区间进行检验 二. 单侧检验中假设的建立

8 - 105

统计学
第六版

用置信区间进行检验

8 - 106

统计学
第六版

用置信区间进行检验
(双侧检验)

1.

求出双侧检验均值的置信区间
? 2 ? 已知时: ? X ? ? ? z?

?
2

n

, X ? z?

? ?
2

? ? n?

? 2 ? 未知时:

? ? X ? t? ?

S
2

n

, X ? t?

2

S ? ? ? n?

2.

若总体的假设值?0在置信区间外,拒绝H0

8 - 107

统计学
第六版

用置信区间进行检验
(单侧检验)

1. 左侧检验:求出单边置信下限 ? S X ? z? 或X ? t ? n n
2. 若总体的假设值?0小于单边置信下限,拒绝H0

3. 右侧检验:求出单边置信上限 ? S X ? z? 或X ? t ? n n
4. 若总体的假设值?0大于单边置信上限,拒绝H0
8 - 108

统计学
第六版

用置信区间进行检验
(例题分析)

【例】一种袋装食品每包的标
准重量应为1000克。现从生产 的一批产品中随机抽取 16 袋, 测得其平均重量为 991 克。已 知这种产品重量服从标准差为 50 克的正态分布。试确定这批 产品的包装重量是否合格? (? = 0.05)
8 - 109

双侧检验!

香脆 蛋卷

统计学
第六版

用置信区间进行检验
(例题分析)
置信区间为
? ? ? ? ? x ? z , x ? z ? ? 2 ? 2 ? ? n n? ? ? 50 50 ? ?? 991 ? 1 . 96 , 991 ? 1 . 96 ? ? ? 16 16 ? ? ? (966.5,1015.5)

H0: ? = 1000 H1: ? ? 1000 ? = 0.05 n = 49
临界值(s):
拒绝 H0
.025

拒绝 H0
.025

决策:
结论:
假设的?0?=1000在置信区 间内,不能拒绝H0

-1.96

0

1.96

Z

表明这批产品的包装重量合格

8 - 110

统计学
第六版

本章小节

1. 假设检验的概念和类型 2. 假设检验的过程 3. 基于一个样本的假设检验问题 4. 基于两个样本的假设检验问题 5. 用置信区间进行检验 6. 利用p - 值进行检验
8 - 111






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