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第六章 第二节 一元二次不等式及其解法


第六章

第二节 一元二次不等式及其解法
题组一 一元二次不等式的解法 ( 1 B.[- ,3] .- 2 1 D.[- ,1)∪(1,3] .- ∪ 2 )

x+5 + 1.不等式 不等式 ≥2 的解集是 (x-1)2 - 1 A.[-3, ] .- , 2 1 C.[ ,1)∪(1,3] . ∪ 2

解析: 法一: 首先 x≠1, 在这个条件下根据不等式的性质原不等式可以化为 + ≥ 解析: 法一: ≠ , 在这个条件下根据不等式的性质原不等式可以化为 x+5≥2(x 1 -1)2,即 2x2-5x-3≤0,即(2x+1)(x-3)≤0,解得-2≤x≤3,故原不等式的解集 - ≤ , + - ≤ ,解得- ≤ , 1 是[-2,1)∪(1,3]. - ∪ . 法二:特殊值检验法. 法二:特殊值检验法.首先 x≠1,排除 B,显然 x=0,x=2 是不等式的解,排除 A、 ≠ , , = , = 是不等式的解, 、 C. 答案: 答案:D 2.解关于 x 的不等式 12x2-ax>a2(a∈R). . ∈ . 解:由 12x2-ax-a2>0?(4x+a)(3x-a)>0 - ? + - a a ?(x+4)(x-3)>0, + - , a a ①a>0 时,-4<3, a a 解集为{x|x<- 或 x> }; - 解集为 4 3; ②a=0 时,x2>0,解集为 = ,解集为{x|x∈R 且 x≠0}; ∈ ≠ ; a a ③a<0 时,-4>3, a a 解集为{x|x< 或 x>- }. 解集为 -4 . 3

题组二

一元二次不等式的实际应用

3.某产品的总成本 y(万元 与产量 x(台)之间的函数关系是 y=3 000+20x-0.1x2(0<x< 某产品的总成本 万元 万元)与产量 台 之间的函数关系是 = + - < < 240),若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本 销售收入不小于总成本 时的最 , 则生产者不亏本(销售收入不小于总成本 销售收入不小于总成本)时的最 低产量是 A.100 台 . C.150 台 . B.120 台 . D.180 台 . ( )

2 解析: 解析:依题意得 25x≥3 000+20x-0.1x , ≥ + -

2 整理得 x +50x-30 000≥0,解得 x≥150 或 x≤-200, - ≥ , ≥ ≤ ,

因为 0<x<240,所以 150≤x<240,即最低产量是 150 台. < < , ≤ < , 答案: 答案:C 4.某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆,出厂价为 1.2 万元/辆,年销 . 万元 辆 万元 辆 本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本. 售量为 1000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若 每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1),则出厂价相应地提高比例为 0.75x,同时 < < , , 出厂价- 预计年销售量增加的比例为 0.6x,已知年利润=(出厂价-投入成本 ×年销售量. ,已知年利润= 出厂价 投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式; 写出本年度预计的年利润 的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例 x 应在什么范围 为使本年度的年利润比上年度有所增加, 为使本年度的年利润比上年度有所增加 内? 解:(1)由题意得 y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1000(1+0.6x)(0<x<1), 由题意得 = + - + × + < < , =-60x 整理得 y=- 2+20x+200(0<x<1). =- + < < .
? - - × > , ?y-(1.2-1)×1000>0, (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,必须有? 要保证本年度的年利润比上年度有所增加, 要保证本年度的年利润比上年度有所增加 ? < < , ?0<x<1,
2 ? > , ?-60x +20x>0, 即? ?0<x<1. ? < <

1 解得 0<x< . < < 3 1 ∴投入成本增加的比例应在(0, )范围内. 投入成本增加的比例应在 , 范围内 3 范围

题组三

不等式的恒成立问题

5.若不等式 ax2+4x+a>1-2x2 对任意实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围是 若不等式 均成立, 的取值范围是( + > - A.a≥2 或 a≤-3 . ≥ ≤ C.a>2 . >
2

)

B.a>2 或 a≤-3 . > ≤ D.- <a<2 .-2< < .-

解析:原不等式可化为 + =-2 解析:原不等式可化为(a+2)x +4x+a-1>0,显然 a=- 时不等式不恒成立,所 + - > , =- 时不等式不恒成立, 以要使不等式对于任意的 x 均成立,必须有 a+2>0,且 ?<0,即
?a+2>0, ? + > , ? ? - + - < , ?16-4(a+2)(a-1)<0,

解得 a>2. > 答案: 答案:C 6. . (2010·宁波模拟 设奇函数 f(x)在[-1,1]上是单调函数, f(-1)=- , 宁波模拟)设奇函数 上是单调函数, =-1, 宁波模拟 在- 上是单调函数 且 - =- 若函数 f(x)≤t2 ≤ 都成立, 的取值范围是________. -2at+1 对所有的 x∈[-1,1]都成立,当 a∈[-1,1]时,则 t 的取值范围是 + ∈- 都成立 ∈- 时 . 解析: 为奇函数, - =- =-1, 解析:∵f(x)为奇函数,f(-1)=- , 为奇函数

=-f(- = ∴f(1)=- -1)=1. =- 上是单调函数, 又∵f(x)在[-1,1]上是单调函数, 在- 上是单调函数 ∴-1≤f(x)≤1, ≤ ≤ , + ≥ 恒成立, ∴当 a∈[-1,1]时,t2-2at+1≥1 恒成立, ∈- 时
2 即 t -2at≥0 恒成立, ≥ 恒成立,

令 g(a)=t2-2at,a∈[-1,1], = , ∈- ,
2 ?t -2t≥0, ≥ , ? ?2 ∴ ?t +2t≥0, ≥ , ?

?t≥2或t≤0, ?≥ 或≤ , ∴? ?≤ 或≥ , ?t≤-2或t≥0,

∴t≥2 或 t=0 或 t≤-2. ≥ = ≤ 答案:(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞) 答案: - ,- ∪ ∪ ,+∞ ,+ 7.已知函数 f(x)=x2+ax+3. . = + (1)当 x∈R 时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的范围. 当 ∈ 的范围. ≥ 恒成立, (2)当 x∈[-2,2]时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的范围. 当 ∈- 的范围. 时 ≥ 恒成立, 解:(1)f(x)≥a 恒成立,即 x2+ax+3-a≥0 恒成立,必须且只需 ?=a2-4(3-a)≤0, ≥ 恒成立, + - ≥ 恒成立, = - ≤ , 即 a2+4a-12≤0, - ≤ , ∴-6≤a≤2. ≤ ≤ a a2 (2)f(x)=x2+ax+3=(x+ )2+3- . = + = +2 -4 a <-2, =-2a+ , ①当-2<- ,即 a>4 时,f(x)min=f(-2)=- +7, > - =- 7 由-2a+7≥a 得 a≤3,∴a∈?. + ≥ ≤ ∈ a a2 ②当-2≤-2≤2,即-4≤a≤4 时,f(x)min=3- 4 , ≤ , ≤ ≤ - a2 由 3- 4 ≥a,得-6≤a≤2.∴-4≤a≤2. - , ≤ ≤ ∴ ≤ ≤ a <-4 ③当-2>2,即 a<- 时,f(x)min=f(2)=2a+7, , <- = + , <-4. 由 2a+7≥a,得 a≥-7,∴-7≤a<- + ≥ , ≥ , ≤ <- 综上得 a∈[-7,2]. ∈- .

题组四 8.不等式 x2-|x|-2<0 的解集是 不等式 - A.{x|-2<x<2} . - C.{x|-1<x<1} . -

一元二次不等式的综合应用 ( B.{x|x<-2 或 x>2} . - D.{x|x<-1 或 x>1} . - )

解析:原不等式? 2 解析:原不等式?|x| -|x|-2<0?(|x|-2)(|x|+1)<0?|x|-2<0?-2<x<2. - ? - + ? - ? 答案: 答案:A
2 ? + < , ?x -4x+3<0, 2 9.已知不等式组? 2 + < 的解集的子集, . 的解集是不等式 2x -9x+a<0 的解集的子集,则实 ? + < ?x -6x+8<0

的取值范围是________. 数 a 的取值范围是 .
2 ? + < , ?x -4x+3<0, ? 2 解析: 的解集是{x|2<x<3},设 f(x)=2x2-9x+a, 解析:因为不等式组 的解集是 < < , = + , ?x -6x+8<0 + < ?

?f(2)≤0, ≤ , ? 则由题意得? 解得 a≤9. ≤ ? ≤ , ?f(3)≤0,

答案: ≤ 答案:a≤9 10.已知不等式 ax2-3x+6>4 的解集为 . 的解集为{x|x<1 或 x>b}, + , (1)求 a,b; 求 , ; (2)解不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0. 解不等式 + + 的解集为{x|x<1 或 x>b}, + , 所以 x1=1 与 x2=b 是方 解:(1)因为不等式 ax2-3x+6>4 的解集为 因为不等式 由根与系数的关系, 程 ax2-3x+2=0 的两个实数根,且 b>1.由根与系数的关系,得 + = 的两个实数根, 由根与系数的关系 + = ?1+b=a, ? 2 × = ?1×b=a. 3
?a=1, ?a=1, ? = , ? = , 解得? 所以? ? = ? = ?b=2. ?b=2.

(2)所以不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0, 所以不等式 + + , 即 x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0. + + , - - 不等式(x- 的解集为{x|2<x<c}; ①当 c>2 时,不等式 -2)(x-c)<0 的解集为 - ; 不等式(x- 的解集为{x|c<x<2}; ②当 c<2 时,不等式 -2)(x-c)<0 的解集为 - ; 等式(x- 的解集为? ③当 c=2 时,不等式 -2)(x-c)<0 的解集为?. = - 综上所述: 的解集为{x|2<x<c}; 综上所述:当 c>2 时,不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集为 + + ; 的解集为{x|c<x<2}; 当 c<2 时,不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集为 + + ; 的解集为? 当 c=2 时,不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集为?. = + +


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