选修课椭圆2学生

1. 2010· （ 福建高考文科· Ｔ１1） 若点 O 和点 F 分别为椭圆 的最大值为（ A.2 ） B.3 C.6

??? ??? ? ? x2 y 2 ? ? 1 的中心和左焦点， P 为椭圆上的任意一点， OP ? FP 点 则 4 3
D.8

2.（2010·海南高考理科·T20）设 F1 , F2 分别是椭圆 E

: 相交于 A, B 两点，且 AF2 , AB , BF2 成等差数列. （Ⅰ)求 E 的离心率； （Ⅱ）设点 P（0,-1）满足 PA ? PB ,求 E 的方程.

x y2 ? 2 ? 1 （a>b>0）的左、右焦点，过 F1 斜率为 1 的直线 l 与 E a2 b

2

x2 y 2 3.（2010·辽宁高考文理科·Ｔ20）设椭圆 C： 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F，过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A， a b ??? ? ??? ? o B 两点，直线 l 的倾斜角为 60 , AF ? 2 FB .
(I) (II) 求椭圆 C 的离心率； 如果|AB|=

15 ，求椭圆 C 的方程. 4

??? ??? ? ? x2 y 2 ? ? 1 的中心和左焦点， P 为椭圆上的任意一点， OP ? FP 1. 2010· （ 福建高考文科· Ｔ１1） 若点 O 和点 F 分别为椭圆 点 则 4 3
的最大值为（ A.2 ） B.3 C.6
2

D.8

x y2 2.（2010·海南高考理科·T20）设 F1 , F2 分别是椭圆 E: 2 ? 2 ? 1 （a>b>0）的左、右焦点，过 F 斜率为 1 的直线 l 与 E 1 a b 相交于 A, B 两点，且 AF2 , AB , BF2 成等差数列.
（Ⅰ)求 E 的离心率； （Ⅱ）设点 P（0,-1）满足 PA ? PB ,求 E 的方程. 3.（2010·辽宁高考文理科·Ｔ20）设椭圆 C： B 两点，直线 l 的倾斜角为 60 , AF ? 2 FB . (III) 求椭圆 C 的离心率；
o

??? ?

??? ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F，过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A， a 2 b2

(IV)

如果|AB|=

15 ，求椭圆 C 的方程. 4

1

2. 2010· （ 福建高考文科· Ｔ１1） 若点 O 和点 F 分别为椭圆 的最大值为（ A.2 ） B.3 C.6
2 2

??? ??? ? ? x2 y 2 ? ? 1 的中心和左焦点， P 为椭圆上的任意一点， OP ? FP 点 则 4 3
D.8

【规范解答】选 C，设 P ? x0 , y0 ? ，则

x0 y 3x 2 ? 0 ? 1即y0 2 ? 3 ? 0 ，又因为 F ? ?1,0? 4 3 4 ??? ??? ? ??? ??? ? 1 1 2 ?OP ? FP ? x0 ? ? x0 ?1? ? y02 ? x 0 2 ? x 0 ? 3 ? ? x 0 ? 2 ? ? 2 ，又 x0 ???2,2? ， ? OP ? FP ? ? 2, 6? ，所以 4 4 ??? ??? ? ? ?OP ? FP ? ? 6 .

?

?

max

3.（2010·海南高考理科·T20）设 F1 , F2 分别是椭圆 E: 相交于 A, B 两点，且 AF2 , AB , BF2 成等差数列. （Ⅰ)求 E 的离心率； （Ⅱ）设点 P（0,-1）满足 PA ? PB ,求 E 的方程.

x2 y 2 ? ? 1 （a>b>0）的左、右焦点，过 F1 斜率为 1 的直线 l 与 E a 2 b2

【规范解答】 （Ⅰ)由椭圆的定义知， AF2 ? BF2 ? AB ? 4a ，又 2 AB ? AF2 ? BF2 得

AB ?

设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ，则 A, B 两点坐标满足方程组

4 a l 的方程为 y ? x ? c ，其中 c ? a2 ? b2 3 ，

?y ? x ? c ? 2 ?x y2 ? 2 ? 2 ?1 ?a b
则

化简得， (a2 ? b2 ) x2 ? 2a2cx ? a2 (c2 ? b2 ) ? 0

x1 ? x2 ?

?2a 2c a 2 (c 2 ? b2 ) ， x1 x2 ? . a 2 ? b2 a 2 ? b2

因为直线 AB 斜率为 1，所以 AB ? 得

2 x2 ? x1 ? 2 ?( x1 ? x2 ) 2 ? 4x1x2 ? ? ?

4a 4ab2 c a 2 ? b2 2 2 2 ? 2 ，故 a ? 2b ,所以 E 的离心率 e ? ? . ? 2 3 a ?b a a 2 c x ? x2 ?a 2 c 2 ? 2 ? ? c ， y0 ? x0 ? c ? . （Ⅱ）设 A, B 两点的中点为 N ? x0 , y0 ? ，由（Ⅰ)知 x0 ? 1 2 3 2 a ?b 3 y0 ? 1 由 PA ? PB ，可知 kPN ? ?1 .即 ? ?1 ，得 c ? 3 ，从而 a ? 3 2, b ? 3 . x0
椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 18 9
??? ? ??? ?

5.（2010·辽宁高考文理科·Ｔ20）设椭圆 C： B 两点，直线 l 的倾斜角为 60 , AF ? 2 FB . (I) 求椭圆 C 的离心率；
o

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F，过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A， a 2 b2

(II)

如果|AB|=

15 ，求椭圆 C 的方程. 4

2

设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ( y1 ? 0 y2 ? 0) (I)直线l的方程为 y ? 3( x ? c), 其中c ? a 2 ? b 2 ? y ? 3( x ? c) ? 联立 ? x 2 y 2 消去x得(3a 2 ? b 2 ) y 2 ? 2 3b 2 cy ? 3b 4 ? 0 ? 2 ? 2 ?1 b ?a ? 3b 2 (c ? 2a ) ? 3b 2 (c ? 2a ) 解得y1 ? , y2 ? , 3a 2 ? b 2 3a 2 ? b 2 ??? ? ??? ? 因为 AF ? 2 FB, 所以 ? y1 ? 2 y2 即 3b 2 (c ? 2a ) ? 3b 2 (c ? 2a) ＝2? 3a 2 ? b 2 3a 2 ? b 2 c 2 得离心率e ? ? a 3 1 2 4 3ab 2 15 (II)因为|AB|＝ 1+ |y 2 -y1|,所以 ? 2 ? 。 2 3 4 3 3a ? b c 2 5 5 15 由 ? 得b ? a。所以 a＝ ，得a ? 3, b ? 5。 a 3 3 4 4 2 2 x y 所以椭圆C的方程为 ? ?1 9 5

3