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概率与统计高考题教师版


概率统计
1.【2015 高考新课标 1,文 4】如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数,从

1, 2,3, 4,5 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( )
(A)

3 10

(B)

1 5

(C)

1 10

(D)

1 20

【解析】从 1, 2,3, 4,5 中任取 3 个不同的数共有 10 种不同的取法,其中的勾股数只有 3,4,5,故 3 个数构成一组勾股数 的取法只有 1 种,故所求概率为

1 ,故选 C. 10

2.【2015 高考重庆,文 4】重庆市 2013 年各月的平均气温(° C)数据的茎叶图如下

0 1 2 3

8 2 0 1

9 5 0 2
) (C ) 21.5 (D )23

8 3 3 8

则这组数据中的中位数是( (A) 19 (B) 20

【解析】由茎叶图可知总共 12 个数据,处在正中间的两个数是第六和第七个数,它们都是 20,由中位数的定义可知: 其中位数就是 20,故选 B. 4.【2015 高考陕西,文 2】某中学初中部共有 110 名教师,高中部共有 150 名教师,其性别比例如图所示,则该校女 教师的人数为( A.93 B.123 ) C.137 D.167

70% 女





60% 男

(初中部)

(高中部)

【解析】由图可知该校女教师的人数为 110 ? 70% ? 150 ? (1 ? 60%) ? 77 ? 60 ? 137 ,故答案选 C . 5.【2015 高考湖南,文 2】在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)如图 I 所示;

1

若将运动员按成绩由好到差编为 1~35 号,再用系统抽样方法从中抽取 7 人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人 数为( A、3 ) B、4 C、5 D、6

【解析】根据茎叶图中的数据,得;成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 20,用系统抽样方法从 35 人中抽取 7 人, 成绩在区间[139,151]上的运动员应抽取 7 ?

20 ? 4 (人),故选 B. 35

6.【2015 高考山东,文 6】为比较甲、乙两地某月 14 时的气温状况,随机选取该月中的 5 天,将这 5 天中 14 时的气温 数据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论:

①甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温; ②甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温; ③甲地该月 14 时的平均气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差; ④甲地该月 14 时的平均气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为( (A)①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④ )

【解析】甲地数据为: 26, 28, 29,31,31 ;乙地数据为: 28, 29,30,31,32 ; 所以, x甲 ?

26 ? 28 ? 29 ? 31 ? 31 28 ? 29 ? 30 ? 31 ? 32 ? 29, x乙 ? ? 30, 5 5

1 s 2甲 ? [(26 ? 29) 2 ? (28 ? 29) 2 ? (29 ? 29) 2 ? (31 ? 29) 2 ? (31 ? 29) 2 ] ? 3.6, 5 1 即正确的有①④,故选 B . s 2乙 ? [(28 ? 30) 2 ? (29 ? 30) 2 ? (30 ? 30) 2 ? (31 ? 30) 2 ? (32 ? 30) 2 ] ? 2, 5
7.【2015 高考湖北,文 2】我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1534 石,验 得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为( A.134 石 B.169 石 C.338 石 D.1365 石 )

【解析】设这批米内夹谷的个数为 x ,则由题意并结合简单随机抽样可知, 故应选 B .

28 x 28 ,即 x ? ? ? 1534 ? 169 , 254 1534 254

8.【2015 高考山东,文 7】在区间 ? 0, 2? 上随机地取一个数 x ,则事件“ -1 ? log( ? 1 ”发生的概率为( 1 x? )
2

1 2

)

(A)

3 4

(B)

2 3

(C)

1 3

(D)

1 4
2

【解析】由 -1 ? log( ? 1 得, log 1 2 ? log( ? log 1 1 x? ) 1 x? )
2 2 2 2

1 2

1 2

1 1 1 3 , ? x ? ? 2, 0 ? x ? ,所以,由几何概型概率 2 2 2 2

3 ?0 3 2 的计算公式得, P ? ? ,故选 A . 2?0 4
10.【2015 高考湖北,文 8】在区间 [0, 1] 上随机取两个数 x, y ,记 p1 为事件“ x ? y ? 概率,则( )
1 2
1 1 ”的概率, p2 为事件“ xy ? ”的 2 2

A. p1 ? p2 ? C. p2 ?

B. p1 ? D.

1 ? p2 2

1 ? p1 2

1 ? p2 ? p1 2

1 1 1 ? ? S 1 1 1 【解析】由题意知,事件“ x ? y ? ”的概率为 p1 ? 2 2 2 ? ,事件“ xy ? ”的概率 p2 ? 0 ,其中 1?1 8 2 2 S

1 1 1 S0 2 (1 ? ln 2) 1 1 1 1 S0 ? ? 1 ? ?1 dx ? (1 ? ln 2) , S ? 1 ? 1 ? 1 ,所以 p2 ? ? ? (1 ? ln 2) ? ,故应选 B . 2 2 S 1?1 2 2 2 2x

11.【2015 高考广东,文 7】已知 5 件产品中有 2 件次品,其余为合格品.现从这 5 件产品中任取 2 件,恰有一件次品 的概率为( A. 0.4 ) B. 0.6 C. 0.8 D.1

12.【2015 高考湖北,文 4】已知变量 x 和 y 满足关系 y ? ? 0.1x ? 1 ,变量 y 与 z 正相关. 下列结论中正确的是( A. x 与 y 负相关, x 与 z 负相关 C. x 与 y 正相关, x 与 z 负相关 B. x 与 y 正相关, x 与 z 正相关 D. x 与 y 负相关, x 与 z 正相关



【解析】因为变量 x 和 y 满足关系 y ? ? 0.1x ? 1 ,其中 ? 0.1 ? 0 ,所以 x 与 y 成负相关;又因为变量 y 与 z 正相关,不妨
3

设 z ? ky ? b (k ? 0) ,则将 y ? ? 0.1x ? 1 代入即可得到: z ? k (? 0.1x ? 1) ? b ? ? 0.1kx ? (k ? b) ,所以 ? 0.1k ? 0 ,所以 x 与
z 负相关,综上可知,应选 A .

13.【2015 高考福建,文 8】如图,矩形 ABCD 中,点 A 在 x 轴上,点 B 的坐标为 (1, 0) .且点 C 与点

? x ? 1, x ? 0 ? 的图像上. 若在矩形 ABCD 内随机取一点, 则该点取自阴影部分的概率等于 ( D 在函数 f ( x) ? ? 1 ? x ? 1, x ? 0 ? ? 2
y D F O C x B



A
A.

1 6

B.

1 4

C.

3 8

D.

1 2

【解析】由已知得 B (1, 0) , C (1, 2) , D (?2, 2) , F (0,1) .则矩形 ABCD 面积为 3 ? 2 ? 6 ,阴影部分面积为

3 1 1 3 ? 3 ?1 ? ,故该点取自阴影部分的概率等于 2 ? . 6 4 2 2
15.【2015 高考重庆,文 15】在区间 [0,5] 上随机地选择一个数 p,则方程 x + 2 px + 3 p - 2 = 0 有两个负根的概率为 ________.
2

?? ? 4 p 2 ? 4(3 p ? 2) ? 0 2 ? 2 【解析】 方程 x + 2 px + 3 p - 2 = 0 有两个负根的充要条件是 ? x1 ? x2 ? ?2 p ? 0 即 ? p ? 1, 或 p ? 2 ,又因为 3 ? x x ? 3p ? 2 ? 0 1 2 ?
2 p ? [0,5] ,所以使方程 x 2 + 2 px + 3 p - 2 = 0 有两个负根的 p 的取值范围为 ( ,1] ? [2,5] ,故所求的概率 3 2 (1 ? ) ? (5 ? 2) 2 2 3 ? ,故填: . 5?0 3 3
16.【2015 高考湖北, 文 14】某电子商务公司对 10000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行统计,发现消费金额 (单 位:万元)都在区间 [0.3, 0.9] 内,其频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)直方图中的 a ? _________; (Ⅱ)在这些购物者中,消费金额在区间 [0.5, 0.9] 内的购物者的人数为_________.

4

【解析】由频率分布直方图及频率和等于 1 可得 0.2 ? 0.1 ? 0.8 ? 0.1 ? 1.5 ? 0.1 ? 2 ? 0.1 ? 2.5 ? 0.1 ? a ? 0.1 ? 1 , 解之得 a ? 3 .于是消费金额在区间 [0.5, 0.9] 内频率为 0.2 ? 0.1 ? 0.8 ? 0.1 ? 2 ? 0.1 ? 3 ? 0.1 ? 0.6 ,所以消费金额在区间
[0.5, 0.9] 内的购物者的人数为: 0.6 ? 10000 ? 6000 ,故应填 3;6000.

17.【2015 高考广东,文 12】已知样本数据 x1 , x2 ,??? , xn 的均值 x ? 5 ,则样本数据 2 x1 ? 1 ,2 x2 ? 1 ,??? ,2 xn ? 1 的均值为 .

【解析】因为样本数据 x1 , x2 , ??? , xn 的均值 x ? 5 ,所以样本数据 2 x1 ? 1 , 2 x2 ? 1 , ??? , 2 xn ? 1 的均值为

2 x ? 1 ? 2 ? 5 ? 1 ? 11 ,所以答案应填: 11 .
【名师点晴】本题主要考查的是均值的性质,属于容易题.解本题需要掌握的知识点是均值和方差的性质,即数据 x1 , (2)数 x2 ,? , xn 的均值为 x ,方差为 s 2 ,则(1)数据 x1 ? a , x2 ? a ,? , xn ? a 的均值为 x ? a ,方差为 s 2 ; 据 kx1 , kx2 , ? , kxn 的均值为 kx ,方差为 k 2 s 2 ; (3)数据 kx1 ? a , kx2 ? a , ? , kxn ? a 的均值为 kx ? a ,方 差为 k 2 s 2 . 18.【2015 高考北京,文 14】高三年级 267 位学生参加期末考试,某班 37 位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全 年级中的排名情况如下图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.

从这次考试成绩看, ①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ②在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是 ; .

【解析】①由图可知,甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后;而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前,故填乙.②由图 可知,比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多;而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少,所以丙的数学成绩的 排名更靠前,故填数学. 19.【2015 高考福建,文 13】某校高一年级有 900 名学生,其中女生 400 名,按男女比例用分层抽样的方法,从该年级 学生中抽取一个容量为 45 的样本,则应抽取的男生人数为_______. 【解析】由题意得抽样比例为

45 1 1 ,故应抽取的男生人数为 500 ? ? ? 25 . 900 20 20

20.【2015 高考安徽,文 17】某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问 50 名职工,根据这 50 名职 工对该部门的评分, 绘制频率分布直方图 (如图所示) , 其中样本数据分组区间为 [40,50],[50, 60],? ? ? ,[80,90],[90,100]
5

(Ⅰ)求频率分布图中 a 的值; (Ⅱ)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率; (Ⅲ)从评分在 [40, 60] 的受访职工中,随机抽取 2 人,求此 2 人评分都在 [40,50] 的概率.

【解析】 (Ⅰ)因为 (0.004 ? a ? 0.0018 ? 0.022 ? 2 ? 0.028) ? 10 ? 1 ,所以 a ? 0.006 (Ⅱ)由所给频率分布直方图知,50 名受访职工评分不低于 80 的频率为 (0.022 ? 0.018) ? 10 ? 0.4 , 所以该企业职工对该部门评分不低于 80 的概率的估计值为 0.4 . (Ⅲ)受访职工评分在[50,60)的有:50× 0.006× 10=3(人) ,即为 A1 , A2 , A3 ; 受访职工评分在[40,50)的有: 50× 0.004× 40=2(人) ,即为 B1 , B2 . 从这 5 名受访职工中随机抽取 2 人,所有可能的结果共有 10 种,它们是 ?A1 , A2 ?, ?A1 , A3 ?, ?A1 , B1 ?, ?A1 , B2 ?,

?A2 , A31 ?, ?A2 , B1 ?, ?A2 , B2 ?, ?A3 , B1 ?, ?A3 , B2 ?, ?B1 , B2 ?, 又因为所抽取 2 人的评分都在[40,50)的结果有 1 种, 即 ?B1 , B2 ? ,
故所求的概率为 p ?

1 . 10

21.【2015 高考北京,文 17】 (本小题满分 13 分)某超市随机选取 1000 位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种 商品的情况, 整理成如下统计表,其中“√”表示购买, “×”表示未购买. 商 顾 客 品 人 数 √ × √ √ 甲 乙 丙 丁

100

6

217 200
300

× √ √ √ ×

√ √ × × √

× √ √ × ×

√ × × × ×

85 98

(I)估计顾客同时购买乙和丙的概率; (II)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 中商品的概率; (III)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大? 【解析】 本题主要考查统计表、概率等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.(I) 由统计表读出顾客同时购买乙和丙的人数 200 ,计算出概率; (II)先由统计表读出顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买

3 中商品的人数 100 ? 200 ,再计算概率; (III)由统计表读出顾客同时购买甲和乙的人数为 200 ,顾客同时购买甲和
丙的人数为 100 ? 200 ? 300 ,顾客同时购买甲和丁的人数为 100 ,分别计算出概率,再通过比较大小得出结论. 试题解析: (Ⅰ)从统计表可以看出,在这 1000 位顾客中,有 200 位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和 丙的概率可以估计为

200 ? 0.2 . 1000

(Ⅱ)从统计表可以看出,在在这 1000 位顾客中,有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有 200 位顾客同时购买了 甲、乙、丙,其他顾客最多购买了 2 种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为

100 ? 200 ? 0.3 . 1000
(Ⅲ)与(Ⅰ)同理,可得:

200 ? 0.2 , 1000 100 ? 200 ? 300 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 ? 0.6 , 1000 100 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 ? 0.1 , 1000
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大. 22.【2015 高考福建,文 18】全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标.根据相关报道提供 的全网传播 2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据,对名列前 20 名的“省级卫视新闻台” 的融合指数进行分组统计,结果如表所示. 组号 1 2 3 分组 频数 2 8 7
7

[4,5)

[5, 6)
[6, 7)

4

[7,8]

3

(Ⅰ) 现从融合指数在 [4,5) 和 ? 7,8? 内的 “省级卫视新闻台” 中随机抽取 2 家进行调研, 求至少有 1 家的融合指数在 ? 7,8? 的概率; (Ⅱ)根据分组统计表求这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数. 【解析】解法一: (I)融合指数在 ? 7,8? 内的“省级卫视新闻台”记为 ?1 , ? 2 , ?3 ;融合指数在 ? 4,5 ? 内的“省级卫 视新闻台”记为 ?1 , ? 2 .从融合指数在 ? 4,5 ? 和 ? 7,8? 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家的所有基本事件是:

??1 , ?2 ? , ??1 , ?3? , ??2 , ?3? , ??1 , ?1? , ??1 , ?2 ? , ??2 , ?1? , ??2 , ?2 ? , ??3 , ?1? , ??3 , ?2 ? , ??1 , ?2 ? ,
共 10 个. 其中, 至少有 1 家融合指数在 ? 7,8? 内的基本事件是: ??1 , ?2 ? ,??1 , ?3? ,??2 , ?3? ,??1 , ?1? ,??1 , ?2 ? ,??2 , ?1? ,

??2 , ?2 ? , ??3 , ?1? , ??3 , ?2 ? ,共 9 个.
所以所求的概率 ? ?

9 . 10 2 8 7 3 ? 5.5 ? ? 6.5 ? ? 7.5 ? ? 6.05 . 20 20 20 20

(II)这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于 4.5 ?

解法二: (I)融合指数在 ? 7,8? 内的“省级卫视新闻台”记为 ?1 , ? 2 , ?3 ;融合指数在 ? 4,5 ? 内的“省级卫视新闻台” 记为 ?1 , ? 2 .从融合指数在 ? 4,5 ? 和 ? 7,8? 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家的所有基本事件是: ??1 , ? 2 ? ,

??1 , ?3? , ??2 , ?3? , ??1 , ?1? , ??1 , ?2 ? , ??2 , ?1? , ??2 , ?2 ? , ??3 , ?1? , ??3 , ?2 ? , ??1 , ?2 ? ,共10 个.
其中,没有 1 家融合指数在 ? 7,8? 内的基本事件是: ??1 , ? 2 ? ,共 1 个. 所以所求的概率 ? ? 1 ? (II)同解法一. 23. 【2015 高考广东, 文 17( 】本小题满分 12 分) 某城市 100 户居民的月平均用电量 (单位: 度) , 以 ?160,180 ? , ?180, 200 ? ,

1 9 ? . 10 10

? 200, 220 ? , ? 220, 240 ? , ? 240, 260 ? , ? 260, 280 ? , ? 280,300? 分组的频率分布直方图如图 2 .

8

(1)求直方图中 x 的值; (2)求月平均用电量的众数和中位数; (3)在月平均用电量为 ? 220, 240 ? , ? 240, 260 ? , ? 260, 280 ? , ? 280,300? 的四组用户中,用分层抽样的 方法抽取 11 户居民,则月平均用电量在 ? 220, 240 ? 的用户中应抽取多少户? 【解析】 (1)由频率之和等于 1 可得 x 的值; (2)由最高矩形的横坐标中点可得众数,由频率之和等于 0.5 可得中位数; (3)先计算出月平均用电量为 ? 220, 240 ? , ? 240, 260 ? , ? 260, 280 ? , ? 280,300? 的用户的户数,再计算抽取比例, 进而可得月平均用电量在 ? 220, 240 ? 的用户中应抽取的户数. 试题解析: (1)由 ? 0.002 ? 0.0095 ? 0.011 ? 0.0125 ? x ? 0.005 ? 0.0025 ? ? 20 ? 1 得: x ? 0.0075 ,所以直方图中 x 的值是 0.0075 (2)月平均用电量的众数是

220 ? 240 ? 230 2

因为 ? 0.002 ? 0.0095 ? 0.011? ? 20 ? 0.45 ? 0.5 ,所以月平均用电量的中位数在 ? 220, 240 ? 内,设中位数为 a ,由

? 0.002 ? 0.0095 ? 0.011? ? 20 ? 0.0125 ? ? a ? 220? ? 0.5 得: a ? 224 ,所以月平均用电量的中位数是 224
( 3 ) 月 平 均 用 电 量 为 ? 220, 240 ? 的 用 户 有 0.0125 ? 20 ? 100 ? 25 户 , 月 平 均 用 电 量 为 ? 240, 260 ? 的 用 户 有

0.0075 ? 20 ?100 ? 15 户,月平均用电量为 ? 260, 280 ? 的用户有 0.005 ? 20 ?100 ? 10 户,月平均用电量为 ? 280,300?
的用户有 0.0025 ? 20 ? 100 ? 5 户,抽取比例 ?

11 1 ? ,所以月平均用电量在 ? 220, 240 ? 的用户中应抽取 25 ? 15 ? 10 ? 5 5

1 25 ? ? 5 户 5
24.【2015 高考湖南,文 16】 (本小题满分 12 分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,抽 奖方法是: 从装有 2 个红球 A1 , A2 和 1 个白球 B 的甲箱与装有 2 个红球 a1 , a2 和 2 个白球 b1 , b2 的乙箱中,各随机摸出 1 个球,若摸出的 2 个球都是红球则中奖,否则不中奖。 (I)用球的标号列出所有可能的摸出结果;
9

(II)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由。 【解析】 (I)利用列举法列出所有可能的结果即可;(II)在(I)中摸出的 2 个球都是红球的结果数,然后利用古典概率 公式计算即可得到其对应的概率,中奖概率大于不中奖概率是错误的; 试题解析: (I)所有可能的摸出结果是: { A1 , a1},{ A1 , a2 },{ A1 , b1},{ A1 , b2 },{ A2 , a1},{ A2 , a2 },

{ A2 , b1},{ A2 , b2 },{B, a1},{B, a2 },{B, b1},{B, b2 },
(II)不正确,理由如下: 由(I)知,所有可能的摸出结果共 12 种,其中摸出的 2 个球都是红球的结果为 { A1 , a1},{ A1 , a2 },{ A2 , a1},{ A2 , a2 }, 共 4 种,所以中奖的概率为

4 1 1 2 1 ? ,不中奖的概率为 1 ? ? ? ,故这种说法不正确。 12 3 3 3 3

25.【2015 高考山东,文 16】某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表: (单位: 人) 参加书法社团 参加演讲社团 未参加演讲社团 未参加书法社团

8
2

5
30

(1)从该班随机选 1 名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率; (2)在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中,有 5 名男同学 A1,A2,A3,A4,A5 , 3 名女同学 B1,B2,B3 . 现 从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人,求 A1 被选中且 B1 未被选中的概率. 【解析】 (1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有 30 人,故至少参加上述一个社团的共有 45 ? 30 ? 15 人,所以从该班级随机选 1 名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为 P ?

15 1 ? . 45 3

(2)从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人,其一切可能的结果组成的基本事件有:

{ A1 , B1},{ A1 , B2 },{ A1 , B3},{ A2 , B1},{ A2 , B2 },{ A2 , B3},{ A3 , B1},{ A3 , B2 },{ A3 , B3}, { A4 , B1},{ A4 , B2 },{ A4 , B3},{ A5 , B1},{ A5 , B2 },{ A5 , B3} ,共 15 个.
根据题意,这些基本事件的出现是等可能的. 事件“ A1 被选中且 B1 未被选中”所包含的基本事件有: { A1 , B2 },{ A1 , B3 } ,共 2 个. 因此 A1 被选中且 B1 未被选中的概率为 P ?

2 . 15

26.【2015 高考陕西,文 19】随机抽取一个年份,对西安市该年 4 月份的天气情况进行统计,结果如下: 日期 天气 1 晴 2 雨 3 阴 4 阴 5 阴 6 雨 7 阴 8 晴 9 晴 10 晴 11 阴 12 晴
10

13 晴

14 晴

15 晴

日期 天气

16 晴

17 阴

18 雨

19 阴

20 阴

21 晴

22 阴

23 晴

24 晴

25 晴

26 阴

27 晴

28 晴

29 晴

30 雨

(I)在 4 月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率; (II)西安市某学校拟从 4 月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.

27.【2015 高考四川,文 17】一辆小客车上有 5 个座位,其座位号为 1,2,3,4,5,乘客 P1,P2,P3,P4,P5 的座位 号分别为 1,2,3,4,5,他们按照座位号顺序先后上车,乘客 P1 因身体原因没有坐自己号座位,这时司机要求余下 的乘客按以下规则就坐:如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就坐,就在这 5 个座位 的剩余空位中选择座位. (Ⅰ)若乘客 P1 坐到了 3 号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有 4 种坐法.下表给出其中两种坐法,请填入余下两种 坐法(将乘客就坐的座位号填入表中空格处) 乘客 P1 3 3 座位号 P2 2 2 P3 1 4 P4 4 5 P5 5 1

(Ⅱ)若乘客 P1 坐到了 2 号座位,其他乘客按规则就坐,求乘客 P1 坐到 5 号座位的概率. 【解析】(Ⅰ)余下两种坐法如下表所示
11

乘客 座位号

P1 3 3

P2 2 2

P3 4 5

P4 1 4

P5 5 1

(Ⅱ)若乘客 P1 做到了 2 号座位,其他乘客按规则就坐 则所有可能坐法可用下表表示为 乘客 P1 2 2 2 2 座位号 2 2 2 2 于是,所有可能的坐法共 8 种 设“乘客 P5 坐到 5 号座位”为事件 A,则事件 A 中的基本事件的个数为 4 所以 P(A)= 3 4 4 5 5 3 3 3 4 1 5 4 1 5 1 1 P2 1 3 3 3 P3 3 1 4 4 P4 4 4 1 5 P5 5 5 5 1

4 1 ? 8 2 1 . 2

答:乘客 P5 坐到 5 号座位的概率为

28.【2015 高考天津,文 15】 (本小题满分 13 分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27,9,18,先采用分 层抽样的方法从这三个协会中抽取 6 名运动员参加比赛. (I)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数; (II)将抽取的 6 名运动员进行编号,编号分别为 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 ,从这 6 名运动员中随机抽取 2 名参加双打比赛. (i)用所给编号列出所有可能的结果; (ii)设 A 为事件“编号为 A5 , A6 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件 A 发生的概率. 【解析】 (I)由分层抽样方法可知应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为 3,1,2;(II) (i)一一列举,共 15 种;(ii)符合条件的结果有 9 种,所以 P ? A ? ?

9 3 ? .. 15 5
12

试题解析:(I)应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为 3,1,2;

(II) (i)从这 6 名运动员中随机抽取 2 名参加双打比赛,所有可能的结果为 ? A1 , A2 ? ,

? A1 , A3? , ? A1 , A4 ? , ? A1 , A5 ? , ? A1 , A6 ? , ? A2 , A3? , ? A2 , A4 ? , ? A2 , A5 ? , ? A2 , A6 ? , ? A3 , A4 ? , ? A3 , A5 ? , ? A3 , A6 ? , ? A4 , A5 ? , ? A4 , A6 ? , ? A5 , A6 ? ,共 15 种.
( ii ) 编 号 为 A5 , A6 的 两 名 运 动 员 至 少 有 一 人 被 抽 到 的 结 果 为 ? A1 , A5 ? , ? A1 , A6 ? ,

? A2 , A5 ? , ? A2 , A6 ? ,

? A3 , A5 ? , ? A3 , A6 ? , ? A4 , A5 ? , ? A4 , A6 ? , ? A5 , A6 ? ,共 9 种,所以事件 A 发生的概率 P ? A? ?
底余额)如下表: 年份 时间代号 t 储蓄存款 y (千亿元) 2010 1 5
^ ^

9 3 ? . 15 5

30.【2015 高考重庆,文 17】随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年

2011 2 6

2012 3 7

2013 4 8

2014 5 10

(Ⅰ)求 y 关于 t 的回归方程

y ? bt ? a

^

(Ⅱ)用所求回归方程预测该地区 2015 年( t ? 6 )的人民币储蓄存款. 附:回归方程

y ? bt ? a 中
n i i i i

^

^

^

? ? ? ?b ? ? ? ? ? ?

? ( x ? x)( y ? y) ? x y ? nx y
i ?1

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

?

2

i ?1 n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

,

a ? y ? bx.

lnt = 【解析】 (Ⅰ) 列表分别计算出 x, y ,

ti - nt , lny = 邋
i =1

n

2

?, ? = lny 求得 b ? ? = y - bt ti yi - nt y. 的值, 然后代入 b 再代入 a lnt i =1
n

? 值,从而就可得到回归方程 y ? = 1.2t + 3.6 , 求出 a
? = 1.2t + 3.6 可预测该地区 2015 年的人民币储蓄存款. (Ⅱ)将 t = 6 代入回归方程 y
试题解析: (1)列表计算如下 I 1 2 3 4 5

ti
1 2 3 4 5

yi
5 6 7 8 10

ti2
1 4 9 16 25
13

ti yi
5 12 21 32 50

?

15 这里 n = 5, t =

36

55
n i =1

120

1 n 15 1 ti = = 3, y = 邋 n i =1 5 n
2

yi =
n i =1

36 = 7.2. 5

又 l nt =

ti - nt = 55 - 5? 32 10, lny = 邋
i =1

n

ti yi - nt y = 120 - 5创 3 7.2 = 12.

?= 从而 b

lny lnt

=

12 ? = 7.2 - 1.2? 3 3.6 . ? = y - bt = 1.2, a 10

? = 1.2t + 3.6 . 故所求回归方程为 y

? = 1.2? 6 3.6 = 10.8(千亿元). (2)将 t = 6 代入回归方程可预测该地区 2015 年的人民币储蓄存款为 y

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