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高一数学必修四 2.2.2向量的减法


2.2.2向量的减法

温故知新
1、向量加法的三角形法则

A
a a a a a a a a a a b b b

a+b

b b

B

注意:

b

b

b

>
b O

各向量“首尾相连”,和向量由第一个向 量的起点指向最后一个向量的终点.

2、向量加法的平行四边形法则
a a a a a a a a a a

D
a+b b

b a

C

b

b

b

b

A

B

作法:(1)在平面内任取一点A; (2)以点A为起点以向量a、b为邻边作平行 四边形ABCD.即AD=BC=a,AB=DC=b ; (3)则以点A为起点的对角线AC=a+b. 注意起点相同.共线向量不适用

?? ? ?? ? 已知:两个力的合力为 F 其中一个力为 F 1 ?? ? 求:另一个力 F2

走进新课

F
F2

F

1

减去一个向量等于加上这个向量的相反向量

a ? b ? a ? (?b)

定义:求两个向量差的运算叫向量的减法。 ? ? ? ? 表示: a ? b ? a ? (?b),
说明: ?
1、与

b 长度相等、方向相反的向量, ? 叫做 b 的相反向量

2、零向量的相反向量仍是零向量

3、任一向量和它相反向量的和是零向量

练习

? ? () 1 ? (?a ) ? ______ a ?

? ? (2)a ? (?a ) ? _____ 0 ? ? (3)如果a , b 互为相反的向量,那么 ? ? ? ? ? ? ? ? a 0 ?b b ? ______, a ? b ? ______ a ? ______,

? ? ? 0 (?a ) ? a ? ______

已知a, b,根据减法的定义,如何 作出a ? b呢?

a
B
b

b
a ?b

?b O
C

a

A
D

? ? 方法:平移向量a, b, 使它们起点相同,那么 ? ? ? ? b 的终点指向a 的终点的向量就是a ? b.

二、向量减法的三角形法则

?1? 在平面内任取一点O
???? ? ??? ? ? ? 2? 作OA ? a,OB ? b

A

?? ? ? ? ?3? 则向量BA ? a ? b
注意:

O

.

a b

a ?b
B

1、两个向量相减,则表示两个向量起点的字母必须相同 2、差向量的终点指向被减向量的终点

向量的减法
?特殊情况
1.共线同向 2.共线反向 ? a

a

? ? a ?b
A C

? b
B B

b
C

? ? a ?b
A

例1:
?

如图,已知向量 a,b,c,d, 求作向量 a-b,c-d.
b a d

c

? ? a ?b

B b d

D

A a

? ? ? c?d
C

c
O

例2:选择题
??? ? ??? ? ???? (1) AB ? BC ? AD ? ?D? ???? ??? ? ??? ? ( A) AD ( B)CD (C ) DB ???? ( D) DC

??? ? ???? ??? ? (2) AB ? AC ? DB ? ?C? ???? ???? ??? ? ( A) AD ( B) AC (C )CD

???? ( D) DC

例3:如图,平行四边形ABCD,AB=a, AD=b,用a、b表示向量AC、DB。 D C

b
A a B 注意向量的方向,向量 AC=a+b,向量DB=a-b

??? ? ? 例3:如图平行四边形ABCD, AB ? a, ??? ? ? ???? ? D DA ? b, OC ? c, ? ? ? ??? ? c 证明: b ? c ? a ? OA b
O

C

A

a

B

? ? ??? ? ???? ???? ??? ? ??? ? 证明: b ? c ? DA ? OC ? OC ? CB ? OB ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? b ? c ? a ? OB ? AB ? OB ? BA ? OA

练习1
1.如图,已知 a, b, 求作a ? b.
(1) (2)

a
b

a a
b
(4)

b

(3)

a
b

练习2
(1)化简AB ? AC ? BD ? CD
解 : 原式 ? CB ? BD ? CD ? CD ? CD ? 0

(2)化简OA ? OC ? BO ? CO
解 : 原式 ? (OA ? BO) ? (OC ? CO ) ? (OA ? OB) ? 0 ? BA

小结:
(一)知识

1.理解相反向量的概念 2. 理解向量减法的定义, 3. 正确熟练地掌握向量减法的三角形法则
(二)重点

重点:向量减法的定义、向量减法 的三角形法则


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