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10导数及其应用单元测试卷


导数及其应用单元测试卷(2)
一、 选择题(5′×12=60′) ) 1.函数 y ? (2 x ? 1) 3 的图象在 (0,?1) 处的切线的斜率是。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。( A.3 B.6 C.12 D. ? 1 )

2. 函数 y ? 1 ? 3x ? x 3 有。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。( 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 A.极小值 ? 1 ,极大值 1; C. 极小值 ? 2 ,极大值 2; B. 极小值 ? 2 ,极大值 3; D. 极小值 2,极大值 3

3. 函数 y ? 4 x ? x 4 , [?1,2] 上的最大、 在 最小值分别为。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。 ( A. f (1), f (?1) B. f (1), f (2) C. f (?1), f (2) D. f (2), f (?1)



4.下列结论中正确的是。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 ( )

A.导数为零的点一定是极值点 B.如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值 C. 如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极小值 D. 如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值
3 5.函数 y ? ( x ? 1) 当 x ? ?1 时。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。





A. 有极大值 B. 有极小值 C.即无极大值,也无极小值 D.无法判断 6.已知 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 6) x ? 1有极大值和极小值,则 a 的取值范围为。( 。
3 2



A. ? 1 ? a ? 2
3

B. ? 3 ? a ? 6

C. a ? ?1或a ? 2

D. a ? ?3或a ? 6 )

7.函数 y ? x ? 2ax ? a 在 (0,1) 内有极小值,则实数 a 的取值范围为。。。。。 。。。。( A.(0,3)
3

B. (??,3)
2

C. (0,??)

D. (0, )

3 2

8.函数 y ? x ? 3x ? 9 x ? 5 的极值情况是。。。。。。。。。。。。。。。。( ) 。。。。。。。。。。。。。。。。 A.在 x ? ?1 处取得极大值,但没有最小值 最大值 C.在 x ? ?1 处取得极大值,在 x ? 3 处取得极小值 D.既无极大值也无极小值 B. 在 x ? 3 处取得极小值,但没有

9.下列结论正确的是。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。( ) 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 A. 在区间[a,b]上,函数的极大值就是最大值 B. 在区间[a,b]上,函数的极小值就是最小值 C. 在区间[a,b]上,,函数的最大值、最小值在 x=a 和 x=b 时达到 D. 一般地,在闭区间[a,b]上的连续函数 f (x) 在[a,b]上必有最大值与最小值 10.下列说法正确的是。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。( A. 当 f ' ( x) ? 0 时,则 f ( x0 ) 为 f (x) 的极大值 )

B. 当 f ' ( x) ? 0 时,则 f ( x0 ) 为 f (x) 的极小值 C. D. 当 f ' ( x) ? 0 时,则 f ( x0 ) 为 f (x) 的极值 当 f ( x0 ) 为 f (x) 的极值时。则有 f ' ( x) ? 0 )

11. M, 分别是函数 f (x) 在[a,b]上的最大值和最小值, M ? m , f ' ( x) 。 设 m 若 则 。 ( A.等于 0 B.小于 0 C.等于 1 D.不确定

12. 抛物线 y ? x 2 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的最短距离为。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。 (



A.

2

B。

7 2 8

C。 2 2

D。以上答案都不对

第 II 卷(共 90 分)
二、填空题(4′×4=16′)
3 2 13.已知函数 y ? x ? ax ? bx ? 27 在 x ? ?1 处有极大值,在 x ? 3 处极小值,则

a?

,b ?



14.已知函数 y ? f ( x) ? x 3 ? px2 ? qx 的图象与 x 轴切于非原点的一点,且 y极小 ? ?4 , 那么 p ? ,q ? 时,材料最省。

15.做一个容积为 256 升的方底无盖水箱,则它的高为
3 2

16. 已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 3(a ? 2) x ? 1有极大值又有极小值,则 a 的取值范围是 三、解答题(共 76′) 17.求 f ( x) ? x ? 3x ? 6x ? 2, x ? [?1,1] 的最大值和最小值。 (12′)
3 2

18.已知函数 y ? f ( x) ? ax5 ? bx3 ? c 在 x ? ?1 处有极值,且极大值是 4,极小值是 0, 试求 f (x) 的表达式。 (12′)

19.设函数 y ? f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图象与 y 轴的交点为 P 点,曲线在点 P 处的 切线方程为 12x ? y ? 4 ? 0 。若函数在 x ? 2 处取得极值 0,试求函数的单调区间。 (12′)

20. 已知函数 y ? f ( x) ? ax ? 6ax ? b在[?1,2] 上的最大值为 3, 最小值为 ? 29 , a 、 求
3 2

b 的值。

21.从长 32 cm ,宽 20cm 的矩形薄铁板的四角剪去相等的正方形,做一个无盖的箱子,问 剪去的正方形边长为多少时,箱子的容积最大,最大容积是多少?(12′)

22.已知函数 y ? f ( x) ? 16x 3 ? 20ax2 ? 8a 2 x ? a 3 ,其中 a ? 0 。 (1)求 f (x) 的极大值和极小值; (2)设(1)问中函数取得极大值的点为 P( x, y) ,求 P 点所在的曲线。 (14′)

1.B.2.C.3.B 4.B. 5.C 6.D. 7.D. 8.C 9.D 10.D11.A 12.B 二、填空题 13. ? 3,?9 .解析:由题意y' ? 3x 2 ? 2ax ? b ? 0的两根为? 1和3,?由根与系 数的关系得, ? 1 ? 3 ? ?

2a b ,?1 ? 3 ? ,? a ? ?3, b ? ?9 3 3

14.6,9.解析: y' ? 3x 2 ? 2 px ? q ,令切点 (a,0) ,则 f ( x) ? x( x 2 ? px ? q) ? 0 有两 个相等实根 a ,且 a ? 0 ,∴ x 2 ? px ? q ? ( x ? a) 2 ,? f ( x) ? x( x ? a) 2

f ' ( x) ? ( x ? a)(x ? 3a) ,令 f ' ( x) ? 0, 得 x ? a或x ?
a ? x ? a时, f (a) ? 0 ? ?4,? f ( ) ? y极小 3
∴ x 2 ? px ? q ? ( x ? 3) 2 ,? p ? 6, q ? 9

a 。 3 4 ? ?4 ,即 a 3 ? ?4, a ? ?3 , 27

15。解析:设方底无盖水箱的底面边长为 x 分米,高为 h 分米,则 x h ? 256,全面积
2

S ? x 2 ? 4 xh ? x 2 ?

1024 1024 ,? 令S ' ? 2 x ? 2 ? 0,得 x ? 8,? h ? 4 ,由本题的实际意 x x

义可知当高为 4 分米时,材料最省。 16.解析: f (x) 为三次多项式,从而 f ' ( x) 为二次函数。若 f ' ( x) ? 0 无实数根或有重 根,则 f ' ( x) 为非负或非正。从而 f (x) 是单调函数,不会有极值。故若 f (x) 有极值,则 应是 f ' ( x) ? 0 有不同实根 ? 、 ? (? ? ? ) ,此时 f ' ( x) 在 (? , ? ) 与在 (??, ? ) ? ( ? ,??) 上 符号相反,所以 f (x) 在 ? 、 ? 处取得极值,且一为极大一为极小。综上所述,可知 f (x) 有极大值又有极小值的充分必要条件是 f ' ( x) ? 0 有两个不同实根。

f ' ( x) ? 3x 2 ? 6ax ? 3(a ? 2) ,令 f ' ( x) ? 0 得方程 3x 2 ? 6ax ? 3(a ? 2) ? 0
由 ? ? 0 得 (2a) ? 4(a ? 2) ? 0,即a ? a ? 2 ? 0,? a ? (??,?1) ? (2,??)
2 2

17.解析:? f ' ( x) ? 3x ? 6x ? 6 ? 3( x ? 2x ? 2) ? 3[(x ? 1) ? 1] ? 0
2 2 2

∴函数 f ( x)在[?1,1] 上为单调递增函数,

∴ f ( x) max ? f (1) ? 2, f ( x) min ? f (?1) ? ?12 18.解析: f ' ( x) ? 5ax4 ? 3bx2 ,∵函数 y ? f ( x) ? ax5 ? bx3 ? c 在 x ? ?1 处有极值,

? f ' (?1) ? 0,即5a ? 3b ? 0,? f ' ( x) ? 5ax2 ( x 2 ? 1)
∵当 x ? (?1,0)或x ? (0,1)时,f ' ( x) 的符号不变,∴ x ? 0 不是 f (x) 的极值点。

?a ? ?3 ?a ? 3 ? f (1) ? 4 ? f (1) ? 0 ? ? 由题意得, ? ,解得 ?b ? ?5或?b ? 5 或? ? f (?1) ? 0 ? f (?1) ? 4 ?c ? 2 ?c ? 2 ? ?

? f ( x) ? ?3x 5 ? 5x 3 ? 2或f ( x) ? 3x 5 ? 5x 3 ? 2
19。解析:∵函数 y ? f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图象与 y 轴的交点为 P 点, ∴点 P(0, d ),? y'
x ?0

? c, ∴曲线在 P 点处的切线方程为 y ? cx ? d

由题设知,曲线在点 P 处的切线方程为 12x ? y ? 4 ? 0 ,? c ? 12, d ? ?4 又函数在 x ? 2 处取得极值 0,? f (2) ? 0, f ' (2) ? 0,? a ? 2, b ? ?9

? f ( x) ? 2x 3 ? 9x 2 ? 12x ? 4, f ' ( x) ? 6( x ? 1)(x ? 2)
由 f ' ( x) ? 0,得x ? 2或x ? 1; f ' ( x) ? 0, 得1 ? x ? 2 所以函数 f (x) 的单调递增区间为 (??,1)和(2, ?) ,单调递减区间为 (1,2) 。 20。解析: f ' ( x) ? 3ax ? 12ax ? 3ax( x ? 4) ,令 f ' ( x) ? 0, 得,x ? 0或x ? 4
2

若 a ? 0 ,则由 f ' ( x) ? 0, 得 ? 1 ? x ? 0;f ' ( x) ? 0, 得0 ? x ? 2 ,所以 f (0) ? 3, 从 而

b?3





f (?1) ? ?29,得 a ?

32 491 , 此时 f (2) ? ? ? ?29 7 7







f (2) ? ?29,? a ? 2 ;
若 a ? 0 ,则由 f ' ( x) ? 0, 得 ? 1 ? x ? 0;f ' ( x) ? 0, 得0 ? x ? 2 ,所以 f (0) ? ?29,

b ? ?29 。由 f (?1) ? 3,得 a ? ?
综上所述, ?

32 309 , 此时 f (2) ? ? 3 ,所以 f (2) ? 3,? a ? ?2 7 7

?a ? 2 ?a ? ?2 ,或? ?b ? 3 ?b ? ?29

21。解析:设剪去的正方形的边长为 xcm(0 ? x ? 10) ,则做成的无盖的箱子的底是长、

宽分别为 (32 ? 2 x) 、 (20 ? 2 x)cm 的矩形,而且箱子的高为 xcm ,所以其容积为

V ? (32 ? 2x)(20 ? 2x) ? x ? 4( x 3 ? 26x 2 ? 160x) ,
?V ' ? 12( x ? 4)( x ? 40 ) 。当 0 ? x ? 10 时,V '? 0 仅有 x ? 4 一解。在 x ? 4 附近, 3

V ' 是左正、右负,所以 V 在 x ? 4 处取得极大值即为最大值,所以 x ? 4cm 时 V 有
最大值。 22。解析: (1)? y ? f ( x) ? 16x 3 ? 20ax2 ? 8a 2 x ? a 3 ,其中 a ? 0

? f ' ( x) ? 48 x 2 ? 40 ax ? 8a 2 ? 8(2 x ? a)( 3x ? a),由f ' ( x) ? 0得x ?
① 当 a ? 0时, ? x

a a ,x ? 2 3

a ,见下表 2 a (?? , ) 3
+ 增函数

a 3

a 3
0 极大

a a ( , ) 3 2
- 减函数

a 2
0 极小

a ( , ?) 2
+ 增函数

f ' ( x)
f (x)
∴当 x ? 当x ?

a a a3 时,函数取得极大值, f ( ) ? ; 3 3 27

a a 时,函数取得极小值, f ( ) ? 0 2 2 a a ② 当 a ? 0时, ? ,见下表 2 3 a a (?? , ) x 2 2

a a ( , ) 2 3
- 减函数

a 3
0 极小

a ( , ?) 3
+ 增函数

f ' ( x) f (x)
当x ? 当x ?

+ 增函数

0 极大

a a 时,函数取得极大值, f ( ) ? 0 ; 2 2 a a a3 时,函数取得极小值, f ( ) ? 3 3 27

a ? ?x ? 3 ? 3 (2)当 a ? 0 时, ? ,消去 a 得, y ? x ( x ? 0) ; 3 ?y ? a ? 27 ?

a ? ?x ? 当 a ? 0 时, ? 2 ,消去 a 得, y ? 0( x ? 0) , ?y ? 0 ?
? x 3 ( x ? 0) 所以 P 点的轨迹方程为: y ? ? ?0( x ? 0)


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