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不等式与线性规划重点



不等式与线性规划重点、难点、易错点分析
一、不等式的概念与性质 1、由基本性质比较大小、证明不等式 (1)作差 (2)作商 (3)分析比较 (4)取平方 (5)分子或分母有理化 (6)图像 (7)单调性 2、根据均值不等式比较大小、证明不等式 二、范围问题 1、解方程法 2、待定系数法 3、确定平面区域法 三、利用均值不等式求值域与最值 1、凑项法 2、凑系数法 3、分离系数 4、换元法 5、双勾曲线 6、整体代换 7、取平方 四、解不等式 1、一元二次不等式 2、含参不等式(分类讨论) 3、分式不等式(分式化整式) 4、高次不等式(穿根法) 5、绝对值不等式 (1)分段讨论 (2)数形结合 (3)取平方 五、不等式成立问题 1、恒成立问题 2、能成立问题 3、恰成立问题 六、不等式的实际应用 1、基本不等式在实际应用题中的应用 2、二次不等式解集的简单应用 3、一元二次不等式在实际中的应用 4、均值不等式的应用 七、二元一次方程组与线性规划 1、求线性目标函数的取值范围

2、已知线性约束条件,探求线性目标关系最值问题 3、已知线性约束条件,探求分式目标关系最值问题 4、已知线性约束条件,探求区域面积与周长问题 5、求线性目标函数中所含参数的取值范围 6、已知最优解,探求目标函数参数问题 7、已知最优解,探求约束条件函数参数问题 8、求可行域中整点个数 (1)平移找解法 (2)整点调整法 (3)逐一检验法 9、求非线性目标函数的最值 10、比值问题 八、线性规划实际应用 题型: 一、不等式的概念与性质 1、比较大小 (1)作差法
例 1:已知-1<a<0,A=1+a , B=1-a ,C=
2 2

1 ,是比较 A,B,C 的大小 1? a

(2)作商法
例 1:比较 aabb 与 abba(a,b 为不相等的正数)的大小

(3)均值不等式法
例 1:已知 a,b∈R,则 ab ,

a?b 2ab a 2 ? b2 , , 的大小顺序是 2 a?b 2


例 2:已知 a,b∈R,a≠b,且 a+b=2,则(

a 2 ? b2 ≤1 2 a 2 ? b2 C. ab≤1< 2
A.ab≤

B. 1<ab<

a 2 ? b2 2 2 a ? b2 D. ab<1< 2

2、证明不等式 (1)利用性质证明不等式
≥ a? b b a 1 1 x y 例 2:已知 a,b,x,y 是正整数,且 ? ,x>y,求证: ? a b x?a y?b 例 1:已知 a,b 是正实数,求证:

a

?

b

(2)利用均值不等式证明不等式
例 1.已知 a , b, c 为两两不相等的实数,求证: a
2

? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca

例 2. 正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc

例 3. 已知 a、b、c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 。求证: ?

?

? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ?

分析:不等式右边数字 8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘, 又 1 ? 1 ? 1 ? a ? b ? c ? 2 bc ,可由此变形入手。 a a a a 解: a、b、c ? R , a ? b ? c ? 1 。?
?

1 2 ac 1 1 ? a b ? c 2 bc 。同理 ? 1 ? , ?1 ? ? ? b b a a a a

1 2 ab 。上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得 ?1 ? c c

1 ? 1 ?? 1 ?? 1 ? 2 bc 2 ac 2 ab ? 8 。当且仅当 a ? b ? c ? 时取等号。 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 3 a b c ? a ?? b ?? c ?

二、范围问题
例 1:设 f(x)=ax2+bx 且 1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,求 f(-2)的取值范围。 【分析】此题有三种解法:①利用解方程的思想 ②待定系数法 ③确定平面区域 例 2: (1)已知-π /2≤ɑ<β ≤π /2,求

? -?
2

的取值范围

(2)已知-1<a+b<3,且 2<a-b<4,求 2a+3b 的取值范围

三、利用均值不等式求值域与最值
技巧一:凑项 例 已知 x ?

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5
1 不是常数, 所以对 4 x ? 2 4x ? 5

解: 因 4x ? 5 ? 0 , 所以首先要 “调整” 符号, 又 (4 x ? 2)

要进行拆、凑项, 5 1 1 ? ? x ? ,? 5 ? 4 x ? 0 ,? y ? 4 x ? 2 ? ? ? ? 5 ? 4x ? ? ? 3 ? ?2 ? 3 ? 1 4 4x ? 5 5 ? 4x ? ? 当且仅当 5 ? 4 x ?

1 ,即 x ? 1 时,上式等号成立,故当 x ? 1 时, ymax ? 1 。 5 ? 4x

评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 技巧二:凑系数 例 1. 当

时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。

解析:由 知, ,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值, 此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到 2 x ? (8 ? 2 x) ? 8 为定值,故只需将

y ? x(8 ? 2 x) 凑上一个系数即可。

当 ,即 x=2 时取等号 当 x=2 时, y ? x(8 ? 2 x) 的最大值为 8。 评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不 等式求最大值。 变式:设 0 ? x ?

3 ,求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值。 2
2 3 2x ? 3 ? 2x ? 9 ∴ 3 ? 2 x ? 0 ∴ y ? 4 x(3 ? 2 x) ? 2 ? 2 x(3 ? 2 x) ? 2? ? ? ? 2 2 2 ? ?

解: ∵0 ? x ?

当且仅当 2 x ? 3 ? 2 x, 即 x ?

3 ? 3? ? ? 0, ? 时等号成立。 4 ? 2?

技巧三: 分离 例 3. 求 y ?

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 x ?1

解析一:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分 离。



,即

时, y ? 2 (x ? 1) ?

4 ? 5 ? 9 (当且仅当 x=1 时取“=”号)。 x ?1

技巧四:换元 解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令 t=x+1,化简原式在分离求最值。

(t ? 1)2 ? 7(t ? 1 ) +10 t 2 ? 5t ? 4 4 = ? t ? ?5 t t t 4 当 ,即 t= 时, y ? 2 t ? ? 5 ? 9 (当 t=2 即 x=1 时取“=”号)。 t y?
评注: 分式函数求最值, 通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利 用不等式求最值。即化为 y ? mg ( x) ? 然后运用均值不等式来求最值。 技巧五:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,结合函数 f ( x ) ? x ? 调性。 例:求函数 y ?

A ? B( A ? 0, B ? 0) ,g(x)恒正或恒负的形式, g ( x)
a 的单 x

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域。

2 解:令 x2 ? 4 ? t (t ? 2) ,则 y ? x ? 5 ? x2 ? 4

x2 ? 4 ?

1 ? t ? (t ? 2) t x ?4
2

1

因 t ? 0, t ? ? 1 ,但 t ? 解得 t ? ?1 不在区间 ? 2, ?? ? ,故等号不成立,考虑单调性。 因为 y ? t ? 在区间 ?1, ?? ? 单调递增, 所以在其子区间 ? 2, ?? ? 为单调递增函数, 故y?

1 t

1 t

1 t

5 。 2

所以,所求函数的值域为 ? , ?? ? 。 练习.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值. ( 1 )

?5 ?2

? ?

y?

x 2 ? 3x ? 1 , ( x ? 0) x



2



y ? 2x ?

1 ,x ?3 x ?3

(3)

y ? 2sin x ?

1 , x ? (0, ? ) sin x

2.已知 0 ? x ? 1 ,求函数 y ?

x(1? x) 的最大值.;3.0 ? x ?

2 ,求函数 y ? 3

x(2 ? 3x)

的最大值. 技巧六:整体代换 多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。 1:已知 x ? 0, y ? 0 ,且 错 .解 .:

1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y
1 9 ? ? ? ? 1 , ? x ? y ? ? 1 ? 9 ? ? x ? y ? ? 2 9 2 xy ? 12 x y x y xy ? ?


x ? 0, y ? 0 , 且

? x ? y ?min ? 12



错因:解法中两次连用均值不等式,在 x ? y? 2
1 9 ? ?2 x y 9 等号成立条件是 1 x xy

xy 等 号 成 立 条 件 是 x ? y , 在

?

9 即 y ? 9 x ,取等号的条件的不一致,产生错误。因此, y

在利用均值不等式处理问题时, 列出等号成立条件是解题的必要步骤, 而且是检验转换是否 有误的一种方法。 正解:

? 1 9 ? y 9x 1 9 x ? 0, y ? 0, ? ? 1 ,? x ? y ? ? x ? y ? ? ? ? ? ? ? 10 ? 6 ? 10 ? 16 x y ? x y? x y

当且仅当

1 9 y 9x ? 时, 上式等号成立, 又 ? ? 1, 可得 x ? 4, y ? 12 时, ? x ? y ?min ? 16 。 x y x y
?

变式: (1)若 x, y ? R 且 2 x ? (2)已知 a, b, x, y ? R 技巧七 已知 x,y 为正实数,且 x +
2

y ? 1 ,求 1 ? 1 的最小值
x y

?

且 a ? b ? 1 ,求 x x y

? y 的最小值

y2
2

=1,求 x 1+y

2

的最大值.

分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式 ab≤ 同时还应化简 1+y
2

a 2+b 2
2
2

。 1+y 2· 2
2

中 y 前面的系数为

2

1 , 2

x 1+y

=x

= 2



1 y + 2 2

2

下面将 x,

1 y + 2 2
2

2

分别看成两个因式:
2



1 y + 2 2
2

x +( ≤ 3 4 2

1 y + 2 2 2

2

)

2

y 1 2 x + + 2 2 = 2

2



3 4

即 x 1+y

2

= 2 ·x

1 y + 2 2



技巧八: 已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y= 1

ab

的最小值.

分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问 题,再用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等 式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考 虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行。 30-2b 法一:a= , b+1 由 a>0 得,0<b<15 令 t=b+1,1<t<16,ab= =8 ∴ ab≤18 ∴ y≥ 1 当且仅当 t=4,即 b=3,a=6 时,等号成立。 18 ∴ 30-ab≥2 2 ab -2t +34t-31
2

ab=

30-2b -2 b +30b ·b= b+1 b+1 16 16 =-2(t+ )+34∵t+ ≥2 16

2

t

t

t



t

法二:由已知得:30-ab=a+2b∵ a+2b≥2 2 ab 2 令 u= ab 则 u +2 2 u-30≤0, -5 2 ≤u≤3 2 1 ∴ ab ≤3 2 ,ab≤18,∴y≥ 18 点评:①本题考查不等式

a?b ? ab(a, b ? R ?) 的应用、不等式的解法及运算能力;② 2

如 何 由 已 知 不 等 式 ab ? a ? 2b ? 30 出 发 求 得 ab 的 范 围 , 关 键 是 寻 找 到 (a, b ? R ?)

a ? b与ab 之间的关系,由此想到不等式

a?b ? ab(a, b ? R ?) ,这样将已知条件转换 2

为含 ab 的不等式,进而解得 ab 的范围. 变式:1.已知 a>0,b>0,ab-(a+b)=1,求 a+b 的最小值。 2.若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。

技巧九、取平方 1、已知 x,y 为正实数,3x+2y=10,求函数 W= 3x + 2y 的最值. a+b a 2+b 2 解法一:若利用算术平均与平方平均之间的不等关系, ≤ ,本题很简单 2 2 3x + 2y ≤ 2 ( 3x ) +( 2y ) = 2
2 2

3x+2y =2 5

解法二:条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形 式,再向“和为定值”条件靠拢。 W>0,W =3x+2y+2 3x · 2y =10+2 3x · 2y ≤10+( 3x ) ·( 2y ) =10+(3x +2y)=20 ∴ W≤ 20 =2 5 变式: 求函数 y ? 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( 1 ? x ? 5 ) 的最大值。 解析:注意到 2 x ? 1 与 5 ? 2 x 的和为定值。
2 2
2 2 2

y2 ? ( 2x ?1 ? 5 ? 2x )2 ? 4 ? 2 (2x ?1)(5 ? 2x) ? 4 ? (2x ?1) ? (5 ? 2 x) ? 8
又 y ? 0 ,所以 0 ? y ? 2 2 当且仅当 2 x ? 1 = 5 ? 2 x ,即 x ?

3 时取等号。 2

故 ymax ? 2 2 。

评注:本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用均值不等式创造了条件。 总之,我们利用均值不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意一些 变形技巧,积极创造条件利用均值不等式。

四、解不等式 1、一元二次不等式
例 1:求解下列不等式 (1)2x +4x+3>0
2 2

(2)-3x2-2x+8≥0
2

(3)

x 2 ? 2x ? 9 ?3 x2 - x ?1

例 2:解不等式 3/2(-x +5/3)≥1/2(x -9)-3x

2、含参不等式 2 例 1:若 log a ? 1 ,则 a 的取值范围是__________ 3 2 (答: a ? 1 或 0 ? a ? ) ; 3 ax 2 ? x(a ? R) 例 2:解不等式 ax ? 1
(答:a ? 0 时,{ x | x ? 0} ;a ? 0 时,{x | x ?

或 x ? 0} ) 提醒: (1)解不等式是求不等式的解集,最后务必有集合的形式表示; (2)不等式解集 的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于 x 的不等式

1 1 或 x ? 0} ;a ? 0 时,{x | ? x ? 0} a a

ax ? b ? 0 的解集为 (??,1) ,则不等式
2

x?2 ? 0 的解集为__________(答: (-1,2) ) ax ? b

例 3:解关于 x 的不等式 ax -(2a+1)x+2<0 例 4:已知不等式

ax - 1 ? 0 (a∈R) x ?1

(1)解这给关于 x 的不等式; (2)若 x=-a 时不等式成立,求 a 的取值范围。

3、分式不等式
例 1:解不等式

5? x ? ?1 x ? 2x ? 3
2

(答: (?1,1)

(2,3) ) ;

例 2: 关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集为 (1,??) , 则关于 x 的不等式 集为____________

ax ? b ? 0 的解 x?2

(答: (??,?1) ? (2,??) ).

4、高次不等式
例 1:不等式(x+2) (x2-x-12)>0 的解集为? 例 2:解下列不等式: (1)2x3-x2-15x>0 (2) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0 (3)

3x - 5 ≤2 x ? 2x - 3
2

5、绝对值不等式 (1)分段讨论 3 1 例 1:解不等式 | 2 ? x |? 2? | x ? | 4 2 (答: x ? R ) (2)数形结合 例 2:解不等式 | x | ? | x ? 1|? 3 (答: (??, ?1) (2, ??) ) (3)取平方 例 3:若不等式 | 3x ? 2 |?| 2 x ? a | 对 x ? R 恒成立,则实数 a 的取值范围为______。 4 (答: { } ) 3 五、不等式成立问题 1、恒成立问题 2 2 例 1:设实数 x , y 满足 x ? ( y ?1) ? 1 ,当 x ? y ? c ? 0 时, c 的取值范围是______
?
例 2:不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围_____

(答: ? 2 ? 1, ?? ) ; (答: a ? 1 ) ; 例 3:若不等式 2 x ?1 ? m( x ?1) 对满足 m ? 2 的所有 m 都成立,则 x 的取值范围_____
2

?

(答: (

7 ?1 3 ?1 , ) ) ; 2 2

2、能成立问题
例 1: 已知不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 在实数集 R 上的解集不是空集, 求实数 a 的取值范围____ (答: a ? 1 )

3、恰成立问题
例:已知 x ? 0, y ? 0 且

1 9 ? ? 1 ,求使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范围。 x y 1 9 x ? y 9x ? 9 y 10 y 9 x ? ? 1 ,? ? ? 1. ? ? ? ?1 x y kx ky k kx ky

解:令 x ? y ? k , x ? 0, y ? 0,

10 3 ? 2 ? 。? k ? 16 , m ? ? ??,16? k k 六、实际应用 1、基本不等式在实际应用题中的应用 ?1 ?
例 1:动物园要围城相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网 围城。 (1)现有可围成 36m 长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面 积最大? (2)若使每间虎笼面积为 24m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎 笼的钢筋网总长最小?

例 2:某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200 平方米的二级污水处理池,池的深度 一定,池的外四周壁建造单价为每米 400 元,中间一条隔壁建造单价为每米 100 元,池底建 造单价每平方米 60 元(池壁厚忽略不计) (1)污水处理池的长设计为多少米时,可使总造价最低; (2)如果受地形限制,污水处理池的长,宽都不能超过 14.5 米,那么此时污水处理池 的长设计为多少米时,可使总造价最低。

2、二次不等式解集的简单应用
例 1:已知不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|-1/2<x<1/3},求不等式 cx2+bx+a<0 的解集。 例 2:已知关于 x 的不等式 x2+ax+b<0 的解集为(1,2) 。试求关于 x 的不等式 bx2+ax+1>0

3、一元二次不等式在实际中的应用
例 1:政府收购某种农产品的原价格是 100 元/担,其中征税标准为每 100 元征 10 元(叫税 率为 10 个百分点,即 10%) ,计划收购 a 万担,为了减轻农民负担,现决定将税率降低 x 个百分点,预计收购量可增加 2x 个百分点。要使此项税收在税率调节后不低于原计划的 83.2%,试确定 x 的范围。 例 2:一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量 x (辆)与创造的价值 y(元)之间有如下关系:y=-2x2+220x 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 6000 元以上,那么它在一个星期内 大约应该生产多少辆摩托车?

4、均值不等式在实际问题中的应用
例 1:某小区欲建一面积为 640 平方米的矩形绿地,四周有小路,绿地长边外小路宽 5m,短 边外小路宽 8m。求怎样设计绿地的长宽使绿地和小路总占地面积最小?

例 2:某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800m ,深为 3m,如果池底每平方米 的造价为 150 元, 池壁每平方米造价为 120 元, 怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价 是多少?

3

八、二元一次方程组与线性规划 1、 求 线 性 目 标 函 数 的 取 值 范 围
?x ? 2 ? 例 1、 若 x、 y 满 足 约 束 条 件 ? y ? 2 , 则 z=x+2y 的 取 值 范 围 是 ?x ? y ? 2 ?
A、 [2,6] B、 [2,5] C、 [3,6] D、 ( 3,5] ( )

y
解 : 如 图 , 作 出 可 行 域 , 作 直 线 l: x+2y= 0, 将 l 向 右 上 方 平 移 , 过 点 A( 2,0) 时 , 有 最 小 值 2, 过 点 B( 2,2) 时 , 有 最 大 值 6, 故 选 A

B 2 A

y =2 x x + y =2

O

2 x=2

2、已知线性约束条件,探求线性目标关系最值问题
?2 x ? y ? 2 ? 例 1、设变量 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为 ? x ? y ?1 ?


解析:如图 1,画出可行域,得在直线 2x-y=2 与直线 x-y=-1 的交点 A(3,4)处,目标函数 z 最大值为 18 点评:本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大 值.,是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。

3、已知线性约束条件,探求分式目标关系最值问题 2x ? 1 例.求 z ? 的取值范围. y ?1 4、已知线性约束条件,探求区域面积与周长问题
?2 x ? y ? 6 ? 0 ? 例 、 不 等 式 组 ?x ? y ? 3 ? 0 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为 ?y ? 2 ?
( ) A、 4 B、 1 C、 5 D、 无 穷 大

y

x+y – 3 = 0
解 :如 图 ,作 出 可 行 域 ,△ A B C 的 面 积 即 为 所 求 ,由 梯 形 O M B C 的 面 积 减 去 梯 形 OMAC 的 面 积 即 可 , 选 B

M A O

B

y =2

C x 2x + y – 6= 0 =5

5、 求 线 性 目 标 函 数 中 参 数 的 取 值 范 围
?x ? y ? 5 ? 例、 已 知 x、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ?x ? y ? 5 ? 0 , 使 z=x+ay(a>0) ?x ? 3 ?
取得最小值的最优解有无数个,则 a 的值为 A、 - 3 B、 3 C、 - 1 D、 1 ( )

y x+y=5

x–y+5=0

O

x=3 x

解 : 如 图 , 作 出 可 行 域 , 作 直 线 l: x+ay= 0, 要 使 目 标 函 数 z=x+ay(a>0) 取 得 最 小 值 的 最 优 解 有 无 数 个 ,则 将 l 向 右 上 方 平 移 后 与 直 线 x+y= 5 重 合 , 故 a=1, 选 D

6、已知最优解,探求目标函数参数问题 例.已知目标函数 z ? ax ? y (其中 a ? 0 )仅在(3,4)取得最大值,求 a 的取值范围.

7、已知最优解,探求约束条件参数问题

?2 x ? y ? 2 ? 例 1.设变量 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? m ,目标函数 z ? 2 x ? 3 y 在(4,6)取得最大值, ? x ? y ?1 ? 求m.
例 2.已 知 |2x- y+ m|< 3 表 示 的 平 面 区 域 包 含 点 ( 0,0) 和 ( - 1,1) ,则 m 的取值范围是 ( ) y A、 ( -3,6) B、 ( 0,6) C、 ( 0,3) D、 ( -3,3)

2x – y + 3 = 0 2x – y = 0

解 : |2x- y+ m|< 3 等 价 于 ?

?2 x ? y ? m ?3 ?0 ?2 x ? y ? m ?3 ?0

O

由右图可知 ?

?m ? 3 ? 3 ,故 0< m< 3, 选 C ?m ? 3 ? 0

8、 求 可 行 域 中 整 点 个 数 (1)平移找解法
例 1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品,现有两种木料,第一种有 72m ,第二种有
3

56m ,假设生产每种产品都需要用两种木料,生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表 所示.每生产一只圆桌可获利 6 元,生产一个衣柜可获利 10 元.木器厂在现有木料条件下,圆 桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多? 产 品 圆 桌 衣 柜 木料(单位 m ) 第 一 种 0.18 0.09 第 二 种 0.08 0.28
3

3

?0.18x ? 0.09y ? 72 ?0.08x ? 0.28y ? 56 ? 解: 设生产圆桌 x 只,生产衣柜 y 个,利润总额为 z 元,那么 ? ?x ? 0 ? ?y ? 0



z=6x+10y.如图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域. 作直线 l:6x+10y=0,即 l:3x+5y=0,把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时,直线经过可行
域上点 M,且与原点距离最大,此时 z=6x+10y 取最大值。解方程组 ?

?0.18x ? 0.09y ? 72 ,得 ?0.08x ? 0.28y ? 56

M 点坐标(350,100). 答:应生产圆桌 350 只,生产衣柜 100 个,能使利润总额达到最大. 点评:本题的最优点恰为直线 0.18x+0.09y=72 和 0.08x+0.28y=56 的交点 M。

(2)整点调整法
?2 x ? y ? 3 ? 0 ? 例 3.已知 x, y 满足不等式组 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,求使 x ? y 取最大值 ?3 x ? 5 y ? 15 ? 0 ?

y
A
O

l1
l3
C

的整数 x, y .
解: 不等式组的解集为三直线 l1 :2 x ? y ? 3 ? 0 ,l2 :2 x ? 3 y ? 6 ? 0 , ,设 l1 与 l2 , l1 与 l3 , l3 : 3x ? 5 y ? 15 ? 0 所围成的三角形内部(不含边界)

x
l2

B

l2 与 l3 交点分别为 A, B, C ,则 A, B, C 坐标分别为 A(

15 3 75 12 , ) , B(0, ?3) , C ( , ? ) , 8 4 19 19

作一组平行线 l : x ? y ? t 平行于 l0 : x ? y ? 0 ,当 l 往 l0 右上方移动时, t 随之增大, ∴当 l 过 C 点时 x ? y 最大为

63 75 ,但不是整数解,又由 0 ? x ? 知 x 可取1, 2,3 , 19 19

当 x ? 1 时,代入原不等式组得 y ? ?2 , ∴ x ? y ? ?1 ;当 x ? 2 时,得 y ? 0 或 ?1, ∴ x ? y ? 2 或 1;

当 x ? 3 时, y ? ?1 , ∴ x ? y ? 2 ,故 x ? y 的最大整数解为

?x ? 2 ?x ? 3 或? . ? ? y ? 0 ? y ? ?1
(3)逐一检验法
例 1: 一批长 4000mm 的条形钢材,需要将其截成长分别为 518mm 与 698mm 的甲、乙两 种毛坯,求钢材的最大利用率. 解:设甲种毛坯截 x 根,乙种毛坯截 y 根,钢材的利

用率为 P ,则

①,目标函数为

②,线性约束条件①表示的可 行域是图中阴影部分的整点.②表示与直线 518x+698y=4000 平行的直线系。所以使 P 取得最大值的 最优解是阴影内最靠近直线 518x+698y=4000 的整点坐 标.如图看到(0,5),(1,4),(2,4),(3,3),(4, 2),(5,2),(6,1),(7,0)都有可能是最优解,将它 们的坐标逐一代入②进行校验,可知当 x=5,y=2 时, .

答:当甲种毛坯截 5 根,乙种毛坯截 2 根,钢材的利用率最大,为 99.65%. 解线性规划问题的关键步骤是在图(可行域)上完成的,所以作图时应尽可能精确,图 上操作尽可能规范, 但考虑到作图时必然会有误差, 假如图上的最优点并不十分明显易辨时, 不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来,然后逐一进行校验,以确定整点最优解

9、求线性目标函数的最值
?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 例 1、 已 知 x、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?
则 z=x +y 的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 是 ( A、 13, 1 B、 13, 2 C、 13,
2 2



y A



4 5

D、

13 ,

2 5 5

O x – 2y + 4 = 0 3x – y – 3 = 0

x 2x + y - 2= 0 =5

解 : 如 图 , 作 出 可 行 域 ,x +y 是 点 ( x, y) 到 原 点 的 距 离 的 平 方 , 故 最 大 2 值 为 点 A( 2,3) 到 原 点 的 距 离 的 平 方 , 即 |AO| =13, 最 小 值 为 原 点 到 直 线 2x+ y- 2=0 的 距 离 的 平 方 , 即 为

2

2

4 ,选 C 5
.

? x ? 1, ? 2 2 例 2、已知 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 x ? y 的最小值是 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

图2

解析:如图 2,只要画出满足约束条件的可行域,而 x 2 ? y 2 表示可行域内一点到原点的距 离的平方。由图易知 A(1,2)是满足条件的最优解。 x 2 ? y 2 的最小值是为 5。

10、比值问题


? ?x-y+2≤0, y 已知变量 x,y 满足约束条件?x≥1, 则 的取值范围是( x ? ?x+y-7≤0,
9 (B) (-∞, ]∪[6,+∞) 5 (D)[3,6]

).

9 (A)[ ,6] 5 (C) (-∞,3]∪[6,+∞) 解析

y 是可行域内的点 M(x,y)与原点 O x

5 9 y (0,0)连线的斜率,当直线 OM 过点( , )时, 取得 2 2 x 9 y 最小值 ;当直线 OM 过点(1,6)时, 取得最大值 6. 答案 A 5 x

九、线性规划实际应用
例 1、 某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品, 现有两种木料, 第一种有 72m , 第二种有 56m , 假设生产每种产品都需要用两种木料,生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示. 每生产一只圆桌可获利 6 元,生产一个衣柜可获利 10 元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣 柜各生产多少,才使获得利润最多? 木料(单位 m ) 产 品 圆 桌 衣 柜 第 种 0.18 0.09 一 第 二 种 0.08 0.28
3 3 3

?0.18x ? 0.09y ? 72 ?0.08x ? 0.28y ? 56 ? 解: 设生产圆桌 x 只,生产衣柜 y 个,利润总额为 z 元,那么 ? ?x ? 0 ? ?y ? 0
z=6x+10y.



如上图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域. 作直线 l:6x+10y=0,即 l:3x+5y=0,把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时,直线经过可行域上 点 M,且与原点距离最大,此时 z=6x+10y 取最大值解方程组 ?

?0.18x ? 0.09y ? 72 ,得 M 点坐 0 . 08 x ? 0 . 28 y ? 56 ?

标(350,100).答:应生产圆桌 350 只,生产衣柜 100 个,能使利润总额达到最大.

指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之 一 例 2、某养鸡场有 1 万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲 料 0.5kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的

1 .动物饲料每千克 0.9 元,谷物饲料每千克 5

0.28 元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料 50000kg,问饲料怎样混合,才使成本最低. 解 : 设每周需用谷物饲料 x kg, 动物饲料 y kg, 每周总的饲料费用为 z 元 , 那么

?x ? y ? 3 5 0 0 0 ? 1 ? ?y ? x ,而 z=0.28x+0.9y 5 ? ?0 ? x ? 5 0 0 0 0 ? ? ?y ? 0
如下图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域. 作一组平行直线 0.28x+0.9y =t,其中经过可行域内的点且和原点最近的直线,经过直线

x+y=35000 和直线 y ?

1 87500 17500 87500 17500 x 的交点 A( , ) ,即 x ? ,y? 时,饲料费 5 3 3 3 3

用最低. 所以,谷物饲料和动物饲料应按 5:1 的比例混合,此时成本最低. 指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线 性规划中最常见的问题之一.

(例 3 图) (例 4 图) 例 3、下表给出甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 的含量及成本: 甲 维 生 素 A( 单 位 / 千 克) 维 生 素 B( 单 位 / 千 克) 成本(元/千克) 营养师想购这三种食物共 10 千克,使之所含维生素 A 不少于 4400 单位,维生素 B 不少于 4800 单位,问三种食物各购多少时,成本最低?最低成本是多少? 解:设所购甲、乙两种食物分别为 x 千克、y 千克,则丙种食物为(10?x?y)千克.x、y 应 满足线性条件为 400 800 7 600 200 6 400 400 5 乙 丙

?y ? 2 ?400x ? 600y ? 400(10 ? x ? y) ? 4400 ,化简得 ? ? ?2 x ? y ? 4 ?800x ? 200y ? 400(10 ? x ? y) ? 4800
作出可行域如上图中阴影部分

目标函数为 z=7x+6y+5(10?x?y)=2x+y+50,令 m=2x+y,作直线 l:2x+y=0,则直线 2x+y=m 经过可行域中 A(3,2)时,m 最小,即 mmin=2?3+2=8,∴zmin=mmin+50=58 答: 甲、乙、丙三种食物 各购 3 千克、2 千克、5 千克时成本最低,最低成本为 58 元. 指 出 : 本 题 可 以 不 用 图 解 法 来 解 , 比 如 , 由 ?

?y ? 2 得 ?2 x ? y ? 4

z=2x+y+50=(2x?y)+2y+50?4+2?2+50=58,当且仅当 y=2,x=3 时取等号


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