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新课标高中数学必修二导学案



目录
第一章 空间几何体 ????????????????1 ???????????????6
1.1 空间几何体的结构 1.1.1 多面体的结构特征

1.1.2 旋转体与简单组合体的结构特征

1.2

空间几何体的三视图和直观图 1.2.1 1.2.2 中心投影与平行投影 空间几何体的三视图 ?????????????????10 ?????????????????15

1.2.3 空间几何体的直观图.
§ 1.3 空间几何体的表面积与体积

第 1 课时 第 2 课时

柱体、锥体、台体的表面积 ????????????? 19 柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积 ???????23
????????????????27

习题课 空间几何体

第二章

点 直线 平面之间的位置关系 面 ????????????????????29

2.1.1 平 2.1.3 2.1.4 2.2.1 2.2.2

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 ?????????????33 空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系 ????????????????37 直线与平面平行的判定 平面与平面平行的判定 ??????????????????40

2.2.3 直线与平面平行的性质 ??????????????????44 2.2.4 平面与平面平行的性质 ??????????????????47 2.3.1 直线与平面垂直的判定 ??????????????????50 2.3.2 平面与平面垂直的判定 ??????????????????53 2. 3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质 ??????????????????57 第二章 复习课 ??????????????????60 第三章 直线与方程 倾斜角与斜率 ???????????????????64

3.1.1 3.2.1

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 ????????????????67 直线的点斜式方程 ????????????????????70 两点式方程 ???????????????????73 3.2.2 直线的 3.3.1

3.2.3 直线的一般式方程 ????????????????????76 两条直线的交点坐标
1

3.3.2 3.3.3 3.3.4

两点间的距离 点到直线的距离

????????????????????79

两条平行直线间的距离 ??????????????????82

第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程 ?????????????????????85 ???????????????????88 ??????????????????91 ???????????????????94 ?????????????????97 ????????????????????100 4.1.2 圆的一般方程 ?? 4.2.1 直线与圆的位置关系 4.2.2 圆与圆的位置关系 4.3.1 空间直角坐标系 4.2.3 直线与圆的方程的应用

4.3.2 空间两点间的距离公式 ????????????????103 章末复习 ??????????????????????????106

2

第一章 空间几何体 § 1.1
【学习目标】 1.认识组成我们的生活世界的各种各样的多面体; 2.认识和把握棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征; 3.了解多面体可按哪些不同的标准分类,可以分成哪些类别. 【知识梳理】 1.空间几何体 (1)概念:如果只考虑物体的_ _和__,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形 就叫做空间几何体. (2)特殊的几何体 ①多面体:一般地,由若干个 多面体的 ;相邻两个面的 围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做 叫做多面体的棱;棱与棱的 叫做多面体的顶点. 叫做旋转体,这条

空间几何体的结构

第 1 课时 多面体的结构特征

②旋转体:由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的 定直线叫做旋转体的 2.多面体的结构特征 (1)棱柱的结构特征:一般地,有两个面 共边都 (2)棱锥的结构特征:一般地,有一个面是 所围成的多面体叫做棱锥. (3)棱台的结构特征:用一个 体叫做棱台. 思考探究 于棱锥底面的平面去截棱锥, ,其余各面都是 ,其余各面都是

,并且每相邻两个四边形的公 ,由这些面 之间的部分,这样的多面

,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.

[情境导学] 在我们周围存在着各种各样的物体, 它们都占据着空间的一部分. 如果我们只考虑这些 物体的形状和大小, 而不考虑其他因素, 那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体. 本 节课我们主要从结构特征方面认识最基本的空间几何体. 探究点一 空间几何体的类型 思考 1 观察下列图片,你知道这图片在几何中分别叫什么名称吗?

1

答: 思考 2 如果将这些几何体进行适当分类,你认为可以分成哪几种类型? 答:

思考 3 观察图(2)(5)(7)(9)(13)(14)(15)(16)中组成几何体的每个面的特点,以及面与面之间的关系, 你能归纳出它们有何共同特点吗? 答:

[小结] 我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体. 围成多面体的各个多边形叫做多面体 的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点. 思考 4 观察图(1)(3)(4)(6)(8)(10)(11)(12)中组成几何体的每个面有何共同特点? 答:

[小结] 由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体. 这条定 直线叫做旋转体的轴. 探究点二 棱柱的结构特征 思考 1 我们把下面的多面体取名为棱柱,据此你能给棱柱下一个定义吗?

图1 答:

图2

思考 2 为了研究方便,我们把棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的侧 面,相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱,侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.你能指出上面棱 柱的底面、侧面、侧棱、顶点吗? 答:

思考 3 棱柱上、下两个底面的形状大小如何?各侧面的形状如何? 答:

思考 4 一个棱柱至少有几个侧面?一个 N 棱柱分别有多少个底面和侧面?有多少条侧棱?有多少 个顶点? 答:
2

思考 5 有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体一定是棱柱吗? 答:

[小结] 在棱柱中, 底面是三角形、 四边形、 五边形??的棱柱分别叫做三棱柱、 四棱柱、 五棱柱??; 思考 1 图 1 中的六棱柱用各顶点字母可表示为棱柱 ABCDEF—A′B′C′D′E′F′. 例 1 试判断下列说法是否正确: (1)棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面; (2)棱柱的侧棱都相等,侧面是平行四边形. 答:

[反思与感悟] 概念辨析题常用方法:(1)利用常见几何体举反例;(2)从底面多边形的形状、侧面形 状及它们之间的位置关系、侧棱与底面的位置关系等角度紧扣定义进行判断. 跟踪训练 1 根据下列关于空间几何体的描述,说出几何体名称: (1)由 6 个平行四边形围成的几何体. (2)由 8 个面围成,其中两个面是平行且全等的六边形,其余 6 个面都是平行四边形. 答:

探究点三 棱锥的结构特征 思考 1 我们把下面的多面体取名为棱锥,据此你能给棱锥下一个定义吗?

答:

思考 2 参照棱柱的说法,棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义?你能作图加以说明吗? 答:

思考 3 类比棱柱的分类,棱锥如何根据底面多边形的边数进行分类?如何用棱锥各顶点的字母表 示思考 1 中的三个棱锥? 答:

思考 4 一个棱锥至少有几个面?一个 N 棱锥分别有多少个底面和侧面?有多少条侧棱?有多少个 顶点? 答:
3

思考 5 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面与底面的形状关系如何? 答:

思考 6 棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质? 答:

例 2 如图,几何体中,四边形 AA1B1B 为边长为 3 的正方形,CC1=2, CC1∥AA1,CC1∥BB1,请你判断这个几何体是棱柱吗?若是棱柱,指出 是几棱柱.若不是棱柱,请你试用一个平面截去一部分,使剩余部分是一 个侧棱长为 2 的三棱柱,并指出截去的几何体的特征.在立体图中画出截面. 答:

[反思与感悟] 认识一个几何体,要看它的结构特征,并且要结合它各面的具体形状,棱与棱之间的 关系,分析它是由哪些几何体组成的组合体,并能用平面分割开. 跟踪训练 2 若三棱锥的底面为正三角形,侧面为等腰三角形,侧棱长为 2,底面周长为 9,求棱锥 的高.(过顶点向底面作垂线,顶点与垂足的距离) 答:

探究点四 棱台的结构特征 思考 1 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分形成另一个多面体,这样 的多面体叫做棱台.那么棱台有哪些结构特征? 答:

思考 2 仿照棱锥中关于底面、侧面、侧棱、顶点的定义,如何定义棱台的底面、侧面、侧棱、顶 点呢? 答:

思考 3 根据三棱锥、四棱锥、五棱锥??的定义,如何定义三棱台、四棱台、五棱台???如何 用字母表示棱台? 答: 思考 4 既然棱柱、棱锥、棱台都是多面体,它们在结构上有哪些相同点和不同点?三者的关系如 何?当底面发生变化时,它们能否相互转化? 答:

4

例 3 有下列三个命题: ①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;②两个底面平行且相似,其余各面都 是梯形的多面体是棱台;③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台. 其中正确的有( A.0 个 C.2 个 体是否为棱台的依据. 跟踪训练 3 答: 已知四棱台的上底面、下底面分别是边长为 4,8 的正方形,各侧棱长均相等,且侧棱 长为 17,求四棱台的高. ) B.1 个 D.3 个

[反思与感悟] 一个棱台的基本特征是上、下底面平行且相似,侧棱延长后交于一点,这是判断几何

【随堂练习】 1.下列说法中正确的是( ) A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行 B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高 D.棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形 2.下列说法中,正确的是( 锥 B.用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C.棱柱的侧面都是平行四边形,而底面不是平行四边形 D.棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形 3.下列说法错误的是( A.多面体至少有四个面 B.九棱柱有 9 条侧棱,9 个侧面,侧面为平行四边形 C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形 4.对棱柱而言,下列说法正确的序号是________. ①有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形.②所有的棱长都相等.③棱柱中至少有 2 个面 的形状完全相同.④相邻两个面的交线叫做侧棱. ) ) A.有一个底面为多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体是棱

【课堂小结】 1.在理解的基础上,要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义,能够根据定义判断几何体的形状. 2.对几何体定义的理解要准确,另外,要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地分析, 多观察实物,提高空间想象能力.
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第 2 课时 旋转体与简单组合体的结构特征
【学习目标】 1.认识组成我们生活的世界的各种各样的旋转体; 2.认识和把握圆柱、圆锥、圆台、球体的几何结构特征. 【知识梳理】 1.圆柱及其有关的概念 以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做 柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的 的 2.圆锥的概念 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做_ 3.圆台的概念 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做 也有轴、底面、侧面、母线. 4.球及其有关的概念 以半圆的直径所在直线为 叫做球的 表示. 5.简单组合体 (1)概念:由 组合而成的几何体叫做简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、 而成,另一种是由简单几何体 或 一部分而成. 台、球等几何结构特征的物体组成的. (2)基本形式:一种是由简单几何体 思考探究 [情境导学] 举世闻名的比萨斜塔是意大利的一个著名景点. 它的构造从外形上看是由八个圆柱组合 成的一个组合体, 我们周围的很多建筑物和它一样, 也都是由一些简单几何体组合而成的组合体. 本 节我们就来学习旋转体与简单组合体的结构特征. 探究点一 圆柱的结构特征 思考 1 如图所示的空间几何体叫做圆柱,那么圆柱是怎样形成的呢?与圆柱有关的几个概念是如 何定义的? ,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做 ,简称球.半圆的圆心 .球常用表示球心的字母 O ,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的 .与圆柱和圆锥一样,圆台 ;无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的 . . 叫做圆 ;平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱

答: 思考 2 如图,平行于圆柱底面的截面,经过圆柱任意两条母线的截面分别是什么图形?

答:
6

探究点二 圆锥的结构特征 思考 1 类比圆柱的定义,结合下图你能给圆锥下个定义吗?

答: 思考 2 类比圆柱的轴、底面、侧面、母线的定义,如何定义圆锥的轴、底面、侧面、母线? 答: 思考 3 经过圆锥的任意两条母线的截面是什么图形?圆锥如何用字母表示? 答: 探究点三 圆台的结构特征 思考 1 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面与底面之间的部分叫做圆台.圆台可以由什 么平面图形旋转而形成? 答: 思考 2 与圆柱和圆锥一样,圆台也有轴、底面、侧面、母线,它们的含义分别如何?圆台如何用 字母表示? 答: 思考 3 圆柱、圆锥、圆台都是旋转体,它们在结构上有哪些相同点和不同点?三者的关系如何? 当底面发生变化时,它们能否互相转化? 答: 例 1 用一个平行于圆锥 SO 底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为 1∶16,截 去的圆锥的母线长是 3 cm,求圆台的母线长. 答:

[反思与感悟] 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体,注意抓住截面的性质(与底面全等或 相似),同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质,利用相似三角形中的相似比, 列出相关几何变量的方程组而解得. 跟踪训练 1 将例 1 中“截去的圆锥的母线长是 3 cm”改为“圆锥 SO 的母线长为 16 cm”其余条件 不变,则结果如何? 答: 探究点四 球的结构特征 思考 类比圆柱、圆锥、圆台的定义,球是如何定义的?球心及球半径是指什么?如何用字母表示 球?
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答: 例 2 判断下列各命题是否正确: (1)三棱柱有 6 个顶点,三棱锥有 4 个顶点; (2)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线; (3)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周,所形成的曲面围成的几何体是圆台; (4)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形; (5)到定点的距离等于定长的点的集合是球. 答:

跟踪训练 2 下列叙述中正确的个数是(

)

①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥; ②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台; ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; ④用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台. A.0 B.1 C.2 D.3 探究点五 简单组合体的结构特征 思考 1 现实生活中的物体多数是由柱体、锥体、台体、球体等简单几何体组合而成的,这些几何 体叫做简单组合体.那么这些组合体是怎样构成的? 答:

思考 2 观察教材图 1.1-11 中(1)、(3)两物体所示的几何体,你能说出它们各由哪些简单几何体组 合而成吗? 答:

例 3 描述下列几何体的结构特征.

答:

跟踪训练 3

数学奥林匹克竞赛中,若你获得第一名,被授予如图所示的奖杯,那么,请你介绍一

下你所得的奖杯是由哪些简单几何体组成的?

答:
8

【随堂练习】 1.下图是由哪个平面图形旋转得到的( )

2.下列说法正确的是( B.圆柱的母线与轴垂直 C.圆台的母线与轴平行 D.球的直径必过球心

)

A.圆锥的母线长等于底面圆直径

3.下面几何体的截面一定是圆面的是( A.圆台 C.圆柱 4.以下说法中: B.球

)

D.棱柱

①圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定小于 1. ②矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱. ③过圆台侧面上每一点的母线都相等. 正确的序号为________. 5.如图所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的?

【课堂小结】 (1)圆台、棱台可以看作是用一平行于底面的平面去截圆锥、棱锥得到的底面与截面之间的部分;圆 台的母线、棱台的侧棱延长后必交于同一点,若不满足该条件,则一定不是圆台或棱台. (2)球面与球是两个不同的概念,球面是半圆以它的直径所在直线为轴旋转一周形成的曲面,也可以 看作与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合.而球体不仅包括球的表面,同时还包括球 面所包围的空间.

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§1.2 空间几何体的三视图和直观图 1.2.1 中心投影与平行投影 1.2.2 空间几何体的三视图
【学习目标】 1.了解投影、中心投影和平行投影的概念; 2.能画出简单几何体的三视图,能识别三视图所表示的立体模型. 【知识梳理】 投影 (1)投影的定义 由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的 我们把光线叫做 (2)投影的分类 ①中心投影:光由 ②平行投影: 在一束 2.三视图 (1)三视图的分类 ①正视图:光线从几何体的前面向后面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的 ②侧视图:光线从几何体的左面向右面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的 ③俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的 (2)三视图的画法要求 ①三视图的正视图、俯视图、侧视图分别是从物体的 正投影围成的平面图形. ②一个物体的三视图的排列规则是:俯视图放在正视图的 图放在正视图的右边,高度与 思考探究 [情境导学] 从不同角度看庐山,有古诗:“横看成岭侧成峰,远近高低各不同;不识庐山真面目, 只缘身在此山中.”对于我们所学几何体,从不同方向看到的形状也各有不同,我们通常用三视图 和直观图来把几何体画在纸上. 探究点一 中心投影与平行投影 导引 在建筑、机械等工程图中,需要用平面图形反映空间几何体的形状和大小,在作图技术上这 也是一个几何问题,要想知道这方面的基础知识,请先阅读教材第 11 页,然后思考下列问题. 思考 1 什么是投影、投影线、投影面吗? 答: 的高度一样,宽度与 ,长度与 的宽度一样. 的长度一样,侧视 、 、 看到的物体轮廓线的 向外散射形成的投影,叫做中心投影.中心投影的投影线交于 光线照射下形成的投影, 叫做平行投影. 平行投影的 ,否则叫做 . . 是平行的. 在 ,把留下物体影子的屏幕叫做 . ,这种现象叫做投影.其中,

平行投影中,投影线正对着投影面时,叫做

③在绘制三视图的时候,分界线和可见轮廓线都用实线画出,被遮挡部分用虚线画出.

思考 2 不同的光源发出的光线是有差异的, 其中灯泡发出的光线与手电筒发出的光线有什么不同? 答:

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[小结] 我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影; 把在一束平行光线照射下形成的投影叫 做平行投影. 思考 3 用灯泡照射物体和用手电筒照射物体形成的投影分别是哪种投影? 答: 思考 4 用灯泡照射一个与投影面平行的不透明物体,在投影面上形成的影子与原物体的形状、大 小有什么关系?当物体与灯泡的距离发生变化时,影子的大小会有什么不同? 答: 思考 5 用手电筒照射一个与投影面平行的不透明物体,在投影面上形成的影子与原物体的形状、 大小有什么关系?当物体与手电筒的距离发生变化时,影子的大小会有变化吗? 答: 思考 6 一个与投影面平行的平面图形,在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化?一个与 投影面不平行的平面图形,在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化? 答: 例 1 如图所示, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E、 F 分别是 AA1、 C1D1 的中点, G 是正方形 BCC1B1 的中心,则四边形 AGFE 在该正方体的各个面上的投影可能是图中的________.(填序号)

[反思与感悟] 画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点, 如顶点等, 画出这 些关键点的投影,再依次连接即可得此图形在该平面上的投影.如果对平行投影理解不充分,做该 类题目容易出现不知所措的情形,避免出现这种情况的方法是依据平行投影的含义,借助于空间想 象来完成. 跟踪训练 1 如图(1)所示, E、 F 分别为正方体面 ADD′A′、 面 BCC′B′的中心, 则四边形 BFD′E 在该正方体的各个面上的投影可能是图(2)中的________.

探究点二 柱、锥、台、球的三视图 导引 把一个空间几何体投影到一个平面上,可以获得一个平面图形.从多个角度进行投影就能较 好地把握几何体的形状和大小,通常选择三种正投影,即正面、侧面和上面. 思考 1 如图,设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c,那么其三视图分别是什么?

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答: 思考 2 三视图,分别反映物体的哪些关系(上下、左右、前后)?哪些数量(长、宽、高)? 答:

[小结] 一般地,一个几何体的正视图、侧视图和俯视图的长度、宽度和高度的关系为:正侧等高, 正俯等长,侧俯等宽. 思考 3 圆柱、圆锥、圆台的三视图分别是什么? 答:

思考 4 球的三视图是什么?下列三视图表示一个什么几何体? 答:

探究点三 简单组合体的三视图 思考 1 在简单组合体中,从正视、侧视、俯视等角度观察,有些轮廓线和棱能看见,有些轮廓线 和棱不能看见,在画三视图时怎样处理?

思考 2 如图所示,将一个长方体截去一部分,这个几何体的三视图如何画出?(标出字母)

答:

例 2 如图,设所给的方向为物体的正前方,试画出它的三视图.(单位:cm) 答:

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[反思与感悟] (1)在画三视图时, 务必做到正(视图)侧(视图)高平齐, 正(视图)俯(视图)长对正, 俯(视 图)侧(视图)宽相等.(2)习惯上将正视图与侧视图画在同一水平位置上,俯视图在正视图的正下方. 跟踪训练 2 某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是( )

探究点四 将三视图还原成几何体 思考 下图是简单组合体的三视图,想象它们表示的组合体的结构特征,并画出其示意图. 答:

例 3 说出下面的三视图表示的几何体的结构特征. 答:

[反思与感悟] 通常要根据俯视图判断几何体是多面体还是旋转体, 再结合正视图和侧视图确定具体 的几何结构特征,最终确定是简单几何体还是简单组合体. 跟踪训练 3 下图是一个物体的三视图,试说出物体的形状.

答:

【随堂练习】 1.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是 BB1,BC 的中点,则图中阴影部分在平 面 ADD1A1 上的正投影是( )
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2.某几何体的三视图如图所示,那么这个几何体是(

)

A.三棱锥 C.四棱台

B.四棱锥 D.三棱台 )

3. 将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥, 得到如图(2)所示的几何体, 则该几何体的侧视图为(

4.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是(

)

5.如图,四棱锥的底面是正方形,顶点在底面上的射影是底面正方形的中心,试画出其三视图.

【课堂小结】 1.三视图的正视图、侧视图、俯视图是分别从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的 轮廓线,画几何体的要求是正视图、俯视图长对正,正视图、侧视图高平齐,俯视图、侧视图宽相 等,前后对应,画出的三视图要检验是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征.
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2.几何体的三视图的画法为:先画出两条互相垂直的辅助 坐标轴,在第二象限画出正视图;根据“正、俯两图长对正”的原则,在第三象限画出俯视图;根 据“正、侧两图高平齐”的原则,在第一象限画出侧视图. 3.看得见部分的轮廓线画实线,看不见部分的轮廓线画虚线.

1.2.3

空间几何体的直观图

目标 1.掌握斜二测画法的作图规则;2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图. 【知识梳理】 1.画平面图形直观图的步骤 (1)在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴,两轴相交于点 O.画直观图时,把它们画成对应的 x′轴 与 y′轴,两轴交于点 O′,且使∠x′O′y′=45° (或 135° ),它们确定的平面表示水平面. (2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′轴的线段. (3)已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中保持原长度 的 . 2.立体图形的直观图的画法 画立体图形的直观图,在画轴时,要多画一条与平面 x′O′y′垂直的轴 O′z′.且平行于 O′z 的 线段长度 思考探究 [情境导学] 空间几何体除了用三视图表示外, 更多的是用直观图来表示. 空间图形能否在平面中画 出来,使得既富有立感,又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系呢?这就是空间几何体 的直观图.本节我们就来研究这个问题. 探究点一 水平放置的平面图形的画法 导引 用来表示空间图形的平面图叫空间图形的直观图,要画空间几何体的直观图,先要学会水平 放置的平面图形的画法. 思考 1 把一个矩形水平放置,从适当的角度观察,给人以平行四边形的感觉,如图.比较两图, 其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化?哪些没有发生变化? .其他同平面图形的画法. ,平行于 y 轴的线段,长度为原来

答:

思考 2 把一个直角梯形水平放置得其直观图如下,比较两图,其中哪些线段之间的位置关系、数 量关系发生了变化?哪些没有发生变化?

答: 思考 3 阅读教材 16 页中的例 1,然后自主作出水平放置的正六边形的直观图. 答:

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[小结] 则:

上述画水平放置的平面图形的直观图的方法叫做斜二测画法,斜二测画法的基本步骤和规

(1)建坐标系,定水平面; (2)与坐标轴平行的线段保持平行; (3)水平线段等长,竖直线段减半. 思考 4 斜二测画法可以画任意多边形水平放置的直观图,如果把一个圆水平放置,看起来像什么 图形?画出水平放置的圆的直观图. 答:

例 1 用斜二测画法画边长为 4 cm 的水平放置的正三角形的直观图.

答:

[反思与感悟] 此类问题的解题步骤是:建系、定点、连线成图.要注意选取恰当的坐标原点,能使 整个作图变得简便. 跟踪训练 1 将例 1 中三角形放置成如图所示,则直观图与例 1 中的还一样吗?

答:

探究点二 空间几何体的直观图的画法 例 2 用斜二测画法画长、宽、高分别为 4 cm、3 cm、2 cm 的长方体 ABCD—A′B′C′D′的直观 图. 答:

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[反思与感悟] 直观图中应遵循的基本原则: (1)用斜二测画法画空间图形的直观图时,图形中平行于 x 轴、y 轴、z 轴的线段在直观图中应分别画 成平行于 x′轴、y′轴、z′轴的线段; 1 (2)平行于 x 轴、z 轴的线段在直观图中长度保持不变,平行于 y 轴的线段长度变为原来的 . 2 跟踪训练 2 如下图,是一个空间几何体的三视图,请用斜二测画法画出它的直观图.

答:

例 3 如图,一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形,它的底角为 45° ,两腰和上 底边长均为 1,求这个平面图形的面积.

答:

[反思与感悟]

解答此类题目的关键是首先要能够将水平放置的平面图形的直观图还原为原来的实

际图形,其依据就是逆用斜二测画法,也就是使平行于 x 轴的线段的长度不变,而平行于 y 轴的线 段长度变为原来的 2 倍. 跟踪训练 3 已知△ABC 的平面直观图△A′B′C′是边长为 a 的正三角形,那么原△ABC 的面积
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为( A. C. 3 2 a 2 6 2 a 2

) B. 3 2 a 4

D. 6a2 【随堂练习】

1.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形,其中有一边长为 4,则此正方形的面积为( A.16 C.16 或 64 B.64 D.无法确定 )

)

2.利用斜二测画法画出边长为 3 cm 的正方形的直观图,正确的是图中的(

3.已知两个圆锥,底面重合在一起(底面平行于水平面),其中一个圆锥顶点到底面的距离为 2 cm, 另一个圆锥顶点到底面的距离为 3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为( A.2 cm C.2.5 cm B.3 cm D.5 cm )

4.如图所示,△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图,将其还原成平面图形.

答:

【课堂小结】 1.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁,可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系;在求直 观图的面积时,可根据斜二测画法,画出直观图,从而确定其高和底边等,而求原图形的面积可把 直观图还原为原图形. 2. 在用斜二测画法画直观图时, 平行线段仍然平行, 所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比,
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但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.

§ 1.3

空间几何体的表面积与体积 柱体、锥体、台体的表面积

第 1 课时

目标 1.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台体的表面积的求法;2.了解柱、锥、台体的表 面积计算公式;能运用柱、锥、台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题; 3.培养空间想象能 力和思维能力. 【知识梳理】 1.棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台是由多个 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 3.旋转体的表面积 名称 圆柱 图形 公式 底面积:S 底= 侧面积:S 侧= 表面积:S= 底面积:S 底= 圆锥 侧面积:S 侧= 表面积:S= 上底面面积:S 上底= 圆台 下底面面积:S 下底= 侧面积:S 侧= 表面积:S= 思考探究 [情境导学] 已知 ABB1A1 是圆柱的轴截面,AA1=a,AB=b,P 是 BB1 的中点;一小虫沿圆柱的侧 面从 A1 爬到 P,如何求小虫爬过的最短路程?要解决这个问题需要将圆柱的侧面展开,本节我们将 借助几何体的侧面展开图来研究几何体的表面积. 探究点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 思考 1 在初中我们已经学过正方体和长方体的表面积,以及它们的展开图,你知道正方体和长方 体的展开图的面积与正方体和长方体的表面积的关系吗? 答: 、 、 . 围成的多面体,它们的表面积就是各个面的面积的 .

思考 2 几何体的表面积等于它的展开图的面积,那么,棱柱,棱锥,棱台的侧面展开图是怎样的? 如何求棱柱,棱锥,棱台的表面积? 答:

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例 1 已知棱长为 a,各面均为等边三角形的四面体 S—ABC,求它的表面积.

[反思与感悟] 在解决棱锥、 棱台的侧面积、 表面积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中 求解,为此在解此类问题时,要注意直角三角形的应用. 跟踪训练 1 已知棱长为 5,底面为正方形,各侧面均为正三角形的四棱锥 S—ABCD,求它的表面 积. 答:

例 2 已知正四棱台(上、 下底是正方形, 上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为 6,高和下底面边长都是 12,求它的侧面积. 答:

[反思与感悟] 解决有关正棱台的问题时, 常用两种解题思路: 一是把基本量转化到直角梯形中去解 决;二是把正棱台还原成正棱锥,利用正棱锥的有关知识来解决. 跟踪训练 2 在本例中,把棱台还原成棱锥,你能利用棱锥的有关知识求解吗?

答:

探究点二 圆柱、圆锥、圆台的表面积的求法 思考 1 如何根据圆柱的展开图,求圆柱的表面积? 答:
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思考 2 如何根据圆锥的展开图,求圆锥的表面积? 答: 思考 3 如何根据圆台的展开图,求圆台的表面积? 答:

思考 4 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系? 答:

例 3 一圆台形花盆,盆口直径 20 cm,盆底直径 15 cm,底部渗水圆孔直径 1.5 cm,盆壁长 15 cm. 为美化外表而涂油漆, 若每平方米用 100 毫升油漆,涂 100 个这样的花盆需要多少油漆?(π 取 3.14, 结果精确到 1 毫升)

答:

[反思与感悟] 解决台体的问题通常要还台为锥,求面积时要注意侧面展开图的应用,上、下底面圆 的周长是展开图的弧长. 跟踪训练 3 圆台的上、下底面半径分别为 10 cm 和 20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为 180° , 那么圆台的表面积是多少?(结果中保留 π) 答:

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【随堂练习】 1.一个几何体的三视图(单位长度:cm)如图所示,则此几何体的表面积是( )

A.(80+16 2)cm2 C.(96+16 2)cm2

B.84 cm2 D.96 cm2 )

2.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是个半圆,则该几何体的表面积为(

3 A. π 2 3 C. π+ 3 2

B.π+ 3 5 D. π+ 3 2

3.一个高为 2 的圆柱,底面周长为 2π.该圆柱的表面积为________. 4.表面积为 3π 的圆锥,它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的底面直径为________. 5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为________.

【课堂小结】 1.多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和.棱柱的表面积等于它的侧面积加底面积;棱 锥的表面积等于它的侧面积加底面积;棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积.
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2. 有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面, 就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解. 而 对于圆台有时需要将它还原成圆锥,再借助相似的相关知识求解. 3.S 圆柱表=2πr(r+l);S 圆锥表=πr(r+l);S 圆台表=π(r2+rl+Rl+R2).

第 2 课时
目标

柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积

1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式,会利用它们求有关几何体的体积; 2.了解球的表面积与体积公式,并能应用它们求球的表面积及体积; 3.会求简单组合体的体积及表面积. 【知识梳理】 1.柱体、锥体、台体的体积 几何体 柱体 锥体 V 柱体= V 圆柱= V 锥体= V 圆锥= 体积 (S 为底面面积,h 为高), (r 为底面半径) S 为底面面积,h 为高), (r 为底面半径)

台体

1 V 台体= (S+ SS′+S′)h(S′, S 分别为上、 下底面面积, h 为高), 3 1 V 圆台= πh(r′2+rr′+r2)(r′,r 分别为上、下底面半径) 3 .

2.球的体积 球的半径为 R,那么它的体积 V= 3.球的表面积 思考探究 [情境导学] 上一节我们学习了几何体的表面积,一般地,面积是相对平面图形来说的,对于空间图 形需要研究它们的体积,本节我们就来研究柱体、锥体、台体、球的体积和球的表面积问题. 探究点一 柱体、锥体、台体的体积 思考 1 我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式,它们的体积公式如何表示? 答: 思考 2 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式,推测柱体的体积计算公式? 答: 思考 3 等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系如何?等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系如 何? 答: S= 球的半径为 R,那么它的表面积 S=

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思考 4 根据圆锥的体积公式,推测锥体的体积计算公式? 答: 思考 5 台体的上底面积 S′,下底面积 S,高 h,则台体的体积是怎样的?圆台的体积公式如何用 上下底面半径及高表示? 答: 例 1 如图所示的三棱锥 P—ABC 的三条侧棱两两垂直, 且 PB=1, PA= 3, PC= 6, 求其体积. (一 直线和一平面内两相交直线垂直,则直线与平面垂直) 答:

[反思与感悟] 三棱锥的任一侧面都可以做为底面来求其体积; 在已知三棱锥的体积时, 可用等体积 法求点到平面的距离.在本例中有 VP-ABC=VA-PBC=VB-PAC=VC-PAB. 跟踪训练 1 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.2π+2 3 2 3 C.2π+ 3 探究点二 球的体积和表面积

B.4π+2 3 2 3 D.4π+ 3

思考 球既没有底面,也无法像柱、锥、台体一样展成平面图形,怎样求球的表面积和体积呢?就 4 目前我们学过的知识还不能解决,我们不妨先记住公式.设球的半径为 R,那么它的体积:V= πR3, 3 它的表面积 S=4πR2,现在请大家观察这两个公式,思考它们都有什么特点? 答: 例 2 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证:

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2 (1)球的体积等于圆柱体积的 ; 3 (2)球的表面积等于圆柱的侧面积. 答:

[反思与感悟] (1)球与正方体的六个面均相切,则球的直径等于正方体的棱长. (2)球与正方体的 12 条棱均相切,则球的直径是正方体的面对角线. (3)球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的直径. (4)球与圆台的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆台的高. 跟踪训练 2 球与圆台的上、下底面及侧面都相切,且球面面积与圆台的侧面积之比为 3∶4,则球 的体积与圆台的体积之比为( A.6∶13 C.3∶4 ) B.5∶14 D.7∶15

探究点三 简单组合体的表面积和体积 例 3 如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90° ,AD=a,BC=2a,∠DCB=60° ,在平面 ABCD 内过点 C 作 l⊥CB,以 l 为轴旋转一周.求旋转体的表面积和体积.

答:

[反思与感悟] 求组合体的表面积或体积,首先应弄清它的组成,其表面有哪些底面和侧面,各个面 应该怎样求,然后再根据公式求出各面的面积,最后再相加或相减.求体积时也要先弄清组成,求 出各简单几何体的体积,然后再相加或相减. 跟踪训练 3 如图所示,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF∥AB,EF 3 = ,EF 与面 ABCD 的距离为 2,求该多面体的体积. 2 答:

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【随堂练习】 1.已知高为 3 的棱柱 ABC—A1B1C1 的底面是边长为 1 的正三角形(如图),则三棱锥 B1—ABC 的体 积为( )

1 A. 4 C. 3 6 C.2 3 D.2

1 B. 2 D. 3 4 )

2.设正六棱锥的底面边长为 1,侧棱长为 5,那么它的体积为( A.6 3 B. 3

3.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π 的半圆面,则该圆锥的体积为________. 4.如图,在三棱柱 A1B1C1-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC,AA1 的中点,设三棱锥 F-ADE 的 体积为 V1,三棱柱 A1B1C1-ABC 的体积为 V2,则 V1∶V2=________.

【课堂小结】 1.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为 1 1 S′=S S′=0 V 柱体=Sh― ― →V 台体= h(S+ SS′+S′)― ― →V 锥体= Sh. 3 3 2.在三棱锥 A-BCD 中,若求点 A 到平面 BCD 的距离 h,可以先求 VA-BCD,h= 3V S△BCD .

这种方法就是用等体积法求点到平面的距离,其中 V 一般用换顶点法求解,即 VA-BCD=VB-ACD=VC
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-ABD

=VD-ABC,求解的原则是 V 易求,且△BCD 的面积易求.

3.求几何体的体积,要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何 体求解. 4.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形,进行相关计算. 5.解决球与其他几何体的切接问题,通常先作截面,将球与几何体的各量体现在平面图形中,再进 行相关计算.

习题课 结构图

空间几何体

类型题
题型一 三视图与直观图 三视图是从三个不同的方向看同一个物体而得到的三个视图,从三视图可以看出,俯视图反映物体 的长和宽,正视图反映它的长和高,侧视图反映它的宽和高. 例 1 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( 8π 10π A. B.3π C. D.6π 3 3 )

跟踪训练 1 一几何体的三视图如图所示. (1)说出该几何体的结构特征并画出直观图; (2)计算该几何体的体积与表面积. 答:

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题型二 柱体、锥体、台体的表面积和体积 几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题,在计算中应注意各数量之间的关 系及各元素之间的位置关系,特别是特殊的柱、锥、台体,要注意其中矩形、梯形及直角三角形等 重要的平面图形的应用. 例 2 圆柱有一个内接长方体 AC1,长方体对角线长是 10 2cm,圆柱的侧面展开平面图为矩形,此 矩形的面积是 100π cm2,求圆柱的体积. 答:

跟踪训练 2 正四棱柱的对角线长为 3 cm,它的表面积为 16 cm2,求它的体积. 答:

题型三 几何体中的有关最值问题 有关旋转体中某两点表面上的长度最小问题,一般是利用展开图中两点的直线距离最小来求解;有 关面积和体积的最值问题,往往把面积或体积表示为某一变量的二次函数的形式,然后利用二次函 数的知识求最值. 例 3 如图,在底面半径为 1,高为 2 的圆柱上 A 点处有一只蚂蚁,它要围绕圆柱由 A 点爬到 B 点,问蚂蚁爬行的最短距离是多少? 答:

跟踪训练 3 答:

有一根长为 3π cm,底面半径为 1 cm 的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕 2 圈,

并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,求铁丝的最短长度.

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【课堂小结】 研究空间几何体,需在平面上画出几何体的直观图或三视图,由几何体的直观图可画它的三视图, 由三视图可得到其直观图,同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决. 另外,圆柱、圆锥、圆台的表面积公式,我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的,求球 的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决

第二章
目标

点 直线 平面之间的位置关系 2.1.1 平 面

1.掌握平面的表示法,点、直线与平面的关系; 2.掌握有关平面的三个公理; 3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的关系.

【知识梳理】 1.平面的概念 (1)几何里的平面是从呈平面形的物体中抽象出来的. (2)几何里的平面是 2.平面的画法 (1)通常把水平的平面画成一个 ,并且其锐角画成 45° ,且横边长等于其邻边长的 倍. 画出来. (2)如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强立体感,被遮挡部分用 3.点、直线、平面的位置关系的符号表示 A 是点,l,m 是直线,α,β 是平面. 文字语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 l在α内 l在α外 l,m 相交于 A l,α 相交于 A α,β 相交于 l 4.平面的基本性质 公理 公理 1 文字语言 如果一条直线上的 在 公理 2 过不在一条直线上的三点, 有且只有一个平面
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的.

符号语言

图形语言

图形语言 在

符号语言 A∈l,B∈l,且 A∈α,B∈α ? A,B,C 三点不共线?存在 惟一的平面 α 使 A,B,C∈α

一个平面内,那么这条直线

如果两个不重合的平面有一 公理 3 思考探究 个公共点,那么它们有且只 有一条过该点的

P∈α 且 P∈β? 且



[情境导学] 在《西游记》中,如来佛祖对孙悟空说:“你一个跟头虽有十万八千里,但不会跑出我 的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛祖的手掌心,如果把孙悟空看作是一个点,他的运动成 为一条线,大家说如来佛祖的手掌像什么? 探究点一 平面的概念 思考 1 观察长方体,你能发现长方体的顶点,棱所在的直线,以及侧面、底面之间的位置关系吗? 答 思考 2 生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等,都给我们以平面的印象,你 们能举出更多例子吗?那么,平面的含义是什么呢? 答 思考 3 如何用字母表示平面,如何表示点在平面内或点不在平面内? 答 例 1 下列四个选项中的图形表示两个相交平面,其中画法正确的是( )

跟踪训练 1 下列命题: (1)书桌面是平面;(2)8 个平面重叠起来要比 6 个平面重叠起来厚;(3)有一个平面的长是 50 m,宽是 20 m;(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念.其中正确命题的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 探究点二 平面的基本性质 导引 如果直线 l 与平面 α 有一个公共点 P,直线 l 是否在平面 α 内?如果直线 l 与平面 α 有两个公 共点,直线 l 是否在平面 α 内? 思考 1 实际生活中, 我们有这样的经验: 把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上, 可以看到, 直 尺的整个边缘就落在了桌面上.从经验中我们能得到什么结论呢? 答 思考 2 如何用符号语言表示公理 1?公理 1 有怎样的用途? 答 例 2 如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系. )

(1)

(2) )

跟踪训练 2 若点 M 在直线 a 上,a 在平面 α 内,则 M,a,α 之间的关系可记为(
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A.M∈a,a∈α C.M?a,a?α

B.M∈a,a?α D.M?a,a∈α

思考 3 生活中经常看到用三角架支撑照相机;测量员用三角架支撑测量用的平板仪;有的自行车 后轮旁只安装一只撑脚.上述事实和类似经验可以归纳为怎样的公理? 答 思考 4 如何用符号语言表示公理 2?公理 2 有怎样的用途? 答 例 3 已知 a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C. 求证:a,b,c 和 l 共面.

跟踪训练 3 已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C. 求证:直线 l1、l2、l3 在同一平面内.

思考 5 把三角板的一个角立在课桌面上,三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点?为 什么?

思考 6 如何用符号语言表示公理 3?公理 3 有怎样的用途? 答 例 4 已知△ABC 在平面 α 外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q. 求证:P、Q、R 三点共线.

跟踪训练 4 如图所示, 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, E 为 AB 的中点, F 为 AA1 的中点.求证:CE、D1F、DA 三线交于一点.

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课堂练习
1.若 A∈平面 α,B∈平面 α,C∈直线 AB,则( A.C∈α C.AB?α A.3 B.4 C.5 D.6 3.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成________部分. 4.如图,已知 D,E 是△ABC 的边 AC,BC 上的点,平面 α 经过 D,E 两点,若直线 AB 与平面 α 的交点是 P,则点 P 与直线 DE 的位置关系是________. B.C?α D.AB∩α=C ) )

2.平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,既与 AB 共面也与 CC1 共面的棱的条数为(

5.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,对角线 A1C 与平面 BDC1 交于点 O,AC、BD 交于点 M, E 为 AB 的中点,F 为 AA1 的中点. 求证:(1)C1、O、M 三点共线; (2)E、C、D1、F 四点共面; (3)CE、D1F、DA 三线共点.

【课堂小结】
1.三个公理的作用:公理 1——判定直线在平面内的依据; 公理 2——判定点共面、线共面的依据; 公理 3——判定点共线、线共点的依据.
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2.证明几点共线的方法:先考虑两个平面的交线,再证有关的点都是这两个平面的公共点.或先由 某两点作一直线,再证明其他点也在这条直线上. 3.证明点线共面的方法:先由有关元素确定一个基本平面,再证其他的点(或线)在这个平面内;或 先由部分点线确定平面,再由其他点线确定平面,然后证明这些平面重合.注意对诸如“两平行直 线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用. 4.证明几线共点的方法:先证两线共点,再证这个点在其他直线上,而“其他”直线往往归结为平 面与平面的交线

2.1.2

空间中直线与直线之间的位置关系

目标 1.了解空间中两条直线的位置关系; 2.理解异面直线的概念、画法; 3.理解并掌握公理 4 及等角定理; 4.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念,能求出一些较特殊的异面直线所成的 角. 【知识梳理】 1.空间中两条直线的位置关系 位置关系 共面 直线 2.公理 4 (1)文字表述: (2)符号表述: (3)含义:揭示了空间平行线的 3.等角定理 (1)研究对象:在空间中的两个角. (2)条件:两边分别 (3)结论:这两个角 4.异面直线所成的角 前提 定义 范围 特殊 情况 思考探究 [情境导学] 在平面中没有公共点的两条直线一定平行,但在空间中就不一定成立.例如:在十字路 口立交桥中,两条路线 AB,CD 既不相交,又不平行.今天我们就来研究空间中直线与直线之间的 位置关系. 探究点一 空间两直线的位置关系 思考 1 在同一平面内,两条直线有几种位置关系? 答
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共面情况 同一平面内 同一平面内 不同在 的两条直线互相平行. .

公共点个数 公共点 公共点 公共点

相交直线 平行直线 异面直线

两条异面直线 a,b 经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b 我们把 a′与 b′所成的 叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角) 记异面直线 a 与 b 所成的角为 θ,则 当 θ= 时,a 与 b 互相垂直,记作

作法 结论

思考 2 观察下面两个图形,你能找出既不平行又不相交的两条直线吗?

答 思考 3 如何判断两条直线是异面直线?分别在两个平面内的两条直线是否一定异面? 答 思考 4 为了体现异面直线不共面的特点,如何借助平面衬托来画异面直线呢? 答 思考 5 下图是一个正方体的展开图,如果将它还原成正方体,那么 AB,CD,EF,GH 这四条线段 所在直线是异面直线的有几对?

答 探究点二 公理 4 思考 1 在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行.在空间中, 是否有类似的规律?现在请大家看一看我们的教室,找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平 行的. 答 思考 2 公理 4 有什么作用?如何用符号语言表示公理 4? 答 例 1 如图所示,空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、 DA 的中点.求证:四边形 EFGH 是平行四边形.

跟踪训练 1 在例 1 中,如果再加上条件 AC=BD,那么四边形 EFGH 是 探究点三 等角定理 导引 在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两个角相 等或互补”,在空间中,结论是否仍然成立呢? 思考 1 观察图, 在长方体 ABCD—A′B′C′D′中, ∠ADC 与∠A′D′C′, ∠ADC 与∠D′A′B′的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何? 答
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思考 2 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么由等角定理能推出什么结论? 答 探究点四 异面直线所成的角 思考 1 在平面内,两条直线相交成四个角,其中不大于 90 度的角称为它们的夹 角,用以刻画两直线的错开程度,如图在正方体 ABCD-EFGH 中,异面直线 AB 与 HF 的错开程度怎样来刻画?这种刻画应用的是什么数学思想? 答 思考 2 异面直线所成的角的大小与 O 点的位置有关吗?即 O 点位置不同时,这一角的大小是否改 变? 答 思考 3 异面直线所成角的范围如何?什么是异面直线垂直? 答 思考 4 如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么另一条直线也与这条直线垂直吗?为 什么? 答 思考 5 垂直于同一条直线的两条直线是否平行? 答 例 2 如右图,已知正方体 ABCD—A′B′C′D′. (1)哪些棱所在直线与直线 BA′是异面直线? (2)直线 BA′和 CC′的夹角是多少?

跟踪训练 2 如图,在三棱锥 A-BCD 中,E,F,G 分别是 AB,BC,AD 的中点, ∠GEF=120° ,则 BD 和 AC 所成角的度数为________.

例3

如图所示,正方体 AC1 中,E、F 分别是 A1B1、B1C1 的中点,求异面直线 DB1 与 EF 所成角的 大小.

跟踪训练 3 如图,在四棱锥 O-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2
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的 正 方

形,OA⊥底面 ABCD,OA=2,M 为 OA 的中点. (1)求四棱锥 O-ABCD 的体积; (2)求异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值的大小.

【随堂练习】 1.分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是( A.异面 C.相交 A.异面或平行 C.异面 3.下列四个结论中假命题的个数是( ②平行于同一直线的两直线平行; ③若直线 a,b,c 满足 a∥b,b⊥c,则 a⊥c; ④若直线 l1,l2 是异面直线,则与 l1,l2 都相交的两条直线是异面直线. A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图,已知长方体 ABCD—A′B′C′D′中,AB=2 3,AD=2 3,AA′=2. B.平行 D.以上都有可能 ) B.异面或相交 D.相交、平行或异面 ) )

2.若 a 和 b 是异面直线,b 和 c 是异面直线,则 a 和 c 的位置关系是(

①垂直于同一直线的两条直线互相平行;

(1)BC 和 A′C′所成的角是多少度? (2)AA′和 BC′所成的角是多少度?

【课堂小结】 1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下,定义就是一
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种常用的判定方法. 2. 在研究异面直线所成角的大小时, 通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角. 将 空间问题向平面问题转化,这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是,两条异 面直线所成角的范围为(0° ,90° ],解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小. 作异面直线所成的角.可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:①直接平移法(可利用图中已有 的平行线);②中位线平移法;③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行 线).

2.1.3 2.1.4
目标

空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系

1.掌握直线与平面的三种位置关系,会判断直线与平面的位置关系; 2.学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系; 3.掌握空间中平面与平面的位置关系.

【知识梳理】 1.直线与平面的位置关系 直线与平面的 位置关系 直线在平面内 直线与平面相 交 直线与平面平 行 2.平面与平面的位置关系 位置关系 两平面平行 图示 表示法 公共点个数 无 有一条公共 直线 有一条公共 直线 定义 图形语言 符号语言

斜交 两平面相交 垂直 思考探究 [情境导学]

一支笔所在的直线和一个作业本所在的平面有几种位置关系?即一条直线与一个平面

有几种位置关系?今天我们就来研究这个问题. 探究点一 空间中直线与平面之间的位置关系 思考 1 如下图,线段 A′B 所在直线与长方体 ABCD—A′B′C′D′的六个面所在平面有几种位 置关系? 答 思考 2 如何用图形表示直线与平面的位置关系?这种位置关系如何用符号语言表示?
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答 例 1 下列命题中正确的个数是( )

①若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内,则 l∥α; ②若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 内的任意一条直线都平行; ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行; ④若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 内的任意一条直线都没有公共点. A.0 B.1 C.2 D.3 跟踪训练 1 已知直线 a 在平面 α 外,则( A.a∥α B.直线 a 与平面 α 至少有一个公共点 C.a∩α=A D.直线 a 与平面 α 至多有一个公共点 探究点二 平面与平面之间的位置关系 思考 1 拿出两本书,看作两个平面,上下、左右移动和翻转,它们之间的位置关系有几种? 答 )

思考 2 如图所示, 围成长方体 ABCD—A′B′C′D′的六个面, 两两之间的位 置关系有几种? 答

思考 3 平面与平面平行的符号语言和图形语言分别怎样表达? 答

例2

α、β 是两个不重合的平面,下面说法中,正确的是(

)

A.平面 α 内有两条直线 a、b 都与平面 β 平行,那么 α∥β B.平面 α 内有无数条直线平行于平面 β,那么 α∥β C.若直线 a 与平面 α 和平面 β 都平行,那么 α∥β D.平面 α 内所有的直线都与平面 β 平行,那么 α∥β 跟踪训练 2 两平面 α、β 平行,a?α,下列四个命题: ①a 与 β 内的所有直线平行;②a 与 β 内无数条直线平行; ③直线 a 与 β 内任何一条直线都不垂直;④a 与 β 无公共点. 其中正确命题的个数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 例3 下列说法中正确的个数是( )

(1)平面 α 与平面 β,γ 都相交,则这三个平面有 2 条或 3 条交线. (2)如果 a,b 是两条直线,a∥b,那么 a 平行于经过 b 的任何一个平面.
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(3)直线 a 不平行于平面 α,则 a 不平行于 α 内任何一条直线. (4)如果 α∥β,a∥α,那么 a∥β. A.0 个 C.2 个 A.0 个 C.0 个或 1 个 B.1 个 D.3 个 ) B.1 个 D.1 个或 2 个 【随堂练习】 1.若 M∈平面 α,M∈平面 β,则 α 与 β 的位置关系是( A.平行 C.异面 A.l 与 β 相交 C.l 在 β 内 A.平行 C.相交 B.相交 D.不确定 ) B.l 与 β 平行 D.无法判定 ) B.异面 D.平行或异面 )

跟踪训练 3 过平面外两点作该平面的平行平面,可以作(

2.若平面 α∥平面 β,l?α,则 l 与 β 的位置关系是(

3.若两个平面互相平行,则分别在这两个平行平面内的直线(

4.下列说法中正确的序号为________. ①若直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线,则 l∥α; ②若 α∥β,a?α,b?β,则 a 与 b 是异面直线; ③若 α∥β,a?α,则 a∥β; ④若 α∩β=b,a?α,则 a 与 β 一定相交.

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【课堂小结】 1. 解决本节问题首先要搞清直线与平面各种位置关系的特征, 利用其定义作出判断, 要有画图意识, 并借助于空间想象能力进行细致的分析. 2.正方体是一个特殊的图形,当点、线、面关系比较复杂时,可以寻找正方体作为载体,将它们置 于其中,立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映.因而人们给它以“百宝 箱”之称.

2.2.1 2.2.2

直线与平面平行的判定 平面与平面平行的判定

目标 1.掌握直线与平面平行的判定定理; 2.会用直线与平面平行的判定定理证明直线与平面平行; 3.理解并掌握两平面平行的判定定理; 4.会用两平面平行的判定定理证明两个平面平行. 【知识梳理】 1.直线与平面平行的判定定理 (1)定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. (2)符号语言: 2.平面与平面平行的判定定理 (1)定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. (2)符号语言: (3)定理的推论(拓展) 由两个平面平行的判定定理可以得出推论:如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面 内的两条直线,那么这两个平面平行. 思考探究 探究点一 直线与平面平行的判定定理 思考 1 直线与平面有几种位置关系?分别是什么? 答

思考 2 将课本的一边紧贴桌面,转动课本,课本的上边缘与桌面的关系如何呢? 答 思考 3 我们知道门扇的两边是平行的,当门扇绕着一边转动时,此时门扇转动的一边与门框所在 的平面有怎样的关系?为什么? 答

思考 4 如图,平面 α 外的直线 a 平行于平面 α 内的直线 b.这两条直线共面吗?直线 a 与平面 α 相 交吗?

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思考 5 如何用符号语言表达直线与平面平行的判定定理? 答

探究点二 直线与平面平行的判定定理的应用 思考 直线与平面平行的判定方法有哪些? 答 例 1 如图,空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB,AD 的中点. 求证:EF∥平面 BCD.

跟踪训练 1 如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 BC、C1D1 的中点,求证:EF∥平面 BDD1B1.

探究点三 平面与平面平行的判定 思考 1 平面与平面有几种位置关系?分别是什么? 答 思考 2 生活中有哪些平面与平面平行的例子?请举出. 答 思考 3 三角板或课本的一条边所在直线与桌面平行,这个三角板或课本所在平面与桌面平行吗? 答 思考 4 三角板的两条边所在直线分别与桌面平行,情况又如何呢? 答 思考 5 如何用符号及图形表达平面与平面平行的判定定理? 答 思考 6 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平 行吗?为什么? 答 探究点四 平面与平面平行的判定定理的应用 思考 平面与平面平行的判定方法有哪些? 答
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例 2 如图,已知正方体 ABCD—A1B1C1D1,求证:平面 AB1D1∥平面 C1BD.

跟踪训练 2 如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,E,F,G,H 分别是 AB,AC,A1B1,A1C1 的中点, 求证:(1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.

例 3 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,S 是 B1D1 的中点,E、F、G 分别是 BC、DC、SC 的中 点,求证: (1)直线 EG∥平面 BDD1B1; (2)平面 EFG∥平面 BDD1B1.

跟踪训练 3 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,P 是 DD1 的中点, 设 Q 是 CC1 上的点,问:当点 Q 在什么位置时,平面 D1BQ∥平面 PAO?

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课堂练习
1.若 A 是直线 m 外一点,过 A 且与 m 平行的平面( A.存在无数个 C.存在但只有一个 A.有且只有一个 C.至多一个 3.下列说法中正确的是( ) B.不存在 D.只存在两个 ) B.有无数多个 D.不存在 )

2.直线 a,b 为异面直线,过直线 a 与直线 b 平行的平面(

①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行; ②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行; ③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行; ④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行. A.①③ C.②③④ 求证:AF∥平面 PCE. B.②④ D.③④

4.如图,P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,E、F 分别是 AB、PD 的中点.

【课堂小结】
1.判定直线与平面平行的方法: (1)定义法:直线与平面没有公共点则线面平行; (2)判定定理:(线线平行?线面平行), a?α ? ? b?α??a∥α. a∥b? ?

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2.用定理证明线面平行时,在寻找平行直线可以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平行线的判 定等来完成. 3.证明面面平行的方法: (1)面面平行的定义; (2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平 行; (3)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行.

2.2.3

直线与平面平行的性质

目标 1.掌握直线与平面平行的性质定理,明确由线面平行可推出线线平行; 2.结合具体问题体会化归与转化的数学思想. 【知识梳理】 直线与平面平行的性质定理: 一条直线与一个平面平行,则 (1)符号语言描述:a∥α,a?β,β∩α=b?a∥b. (2)性质定理的作用:可以作为 思考探究 [情境导学] 直线与平面平行的判定定理解决了直线与平面平行的条件问题, 反之, 在直线与平面平 行的条件下,可以得到什么结论呢?本节我们就来研究这个问题. 探究点一 直线与平面平行的性质定理 思考 1 如果直线和平面平行,那么这条直线与这个平面内的直线的位置关系是怎样的? 答 思考 2 若直线 a 与平面 α 平行,那么在平面 α 内与直线 a 平行的直线有多少条?这些直线的位置 关系如何? 答 思考 3 如果直线与平面平行,那么经过直线的平面与平面有哪几种位置关系? 答 思考 4 如果直线 a 与平面 α 平行,经过直线 a 的平面 α 与平面相交于直线 b,那么直线 a,b 的位 置关系如何? 答 思考 5 线面平行性质定理用符号语言如何表述? 答 例 1 如图,a∥α,a?β,α∩β=b.求证:a∥b. 平行的判定方法,也提供了一种作 的重要方法. .

跟踪训练 1 如图,平面 α、β、γ 两两相交,a,b,c 为三条交线,且 a∥b.那么,a 与 c,b 与 c 有 什么关系?为什么?
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探究点二 线面平行的性质定理的应用 思考 1 如果直线 a 与平面 α 平行, 那么经过平面内一点 P 且与直线 a 平行的直 线怎样定位? 答 思考 2 教室内的日光灯管所在的直线与地面平行,如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平 行? 答 例 2 如图所示的一块木料中,棱 BC 平行于面 A′C′. (1)要经过面 A′C′内的一点 P 和棱 BC 将木料锯开,应怎样画线? (2)所画的线与平面 AC 是什么位置关系?

跟踪训练 2 如图,已知 E,F 分别是菱形 ABCD 边 BC,CD 的中点,EF 与 AC 交于点 O,点 P 在 平面 ABCD 之外,M 是线段 PA 上一动点,若 PC∥平面 MEF,试求 PM∶MA 的值.

例 3 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,求证:另一条也平行于这个平面. 已知 如图,直线 a、b,平面 α,且 a∥b,a∥α,a、b 都在平面 α 外. 求证 b∥α.

跟踪训练 3 如图, 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E, H 分别为棱 A1B1, D1C1 上的点, 且 EH∥A1D1, 过 EH 的平面与棱 BB1,CC1 相交,交点分别为 F,G,求证:FG∥平面 ADD1A1.
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【随堂练习】 1.已知直线 l∥平面 α,l?平面 β,α∩β=m,则直线 l,m 的位置关系是( A.相交 C.异面 A.0 条 C.0 条或 1 条 B.平行 D.相交或异面 ) B.1 条 D.无数条 )

2.直线 a∥平面 α,α 内有 n 条直线交于一点,则这 n 条直线中与直线 a 平行的直线有(

3.已知直线 a∥平面 α,直线 b∥平面 α,则直线 a,b 的位置关系是:①平行;②垂直不相交;③ 垂直相交;④不垂直不相交.其中可能成立的有________. 4.如图所示,直线 a∥平面 α,A?α,并且 a 和 A 位于平面 α 两侧,点 B,C∈a,AB,AC 分别交平 面 α 于点 E,F,若 BC=4,CF=5,AF=3,则 EF=________.

【课堂小结】 1.求二面角的步骤

简称为“一作二证三求”. 2.作二面角的三种常用方法 (1)定义法: 在二面角的棱上找一个特殊点, 在两个半平面内分别作垂直于棱的射线. 如图①, 则∠AOB 为二面角 α-l-β 的平面角. (2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成 的角,即为二面角的平面角.如图②,∠AOB 为二面角 α-l-β 的平面角. (3)垂线法:过二面角的一个面内异于棱上的 A 点向另一个平面作垂线,垂足为 B,由点 B 向二面角 的棱作垂线,垂足为 O,连接 AO,则∠AOB 为二面角的平面角或其补角.如图③,∠AOB 为二面 角 α-l-β 的平面角.

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3.证明两个平面垂直的主要途径 (1)利用面面垂直的定义; (2)利用面面垂直的判定定理,即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂 直.

2.2.4

平面与平面平行的性质

目标 1.掌握平面与平面平行的性质,并会应用性质解决问题; 2.知道直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化. 【知识梳理】 1.平面与平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交, (1)符号表示为: (2)性质定理的作用:利用性质定理可证 2.面面平行的其他性质 (1)两平面平行,其中一个平面内的任一直线平行于 (2)夹在两个平行平面间的平行线段 (3)平行于同一平面的两个平面 思考探究 [情境导学] 两平面平行的判定定理解决了两平面平行的条件;反之,在两平面平行的条件下,会得 到什么结论呢?本节我们共同探讨这个问题. 探究点一 平面与平面平行的性质 思考 1 如何判断平面和平面平行? 答 思考 2 如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系? 答 思考 3 如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线有什么位置关系? 答 思考 4 在长方体 ABCD—A′B′C′D′中,平面 AC 内哪些直线与 B′D′平行呢? 答 思考 5 当第三个平面和两个平行平面都相交时,两条交线有什么关系?如何证明它们的关系? 答 ; ,即 ?a∥β. ,也可用来作空间中的平行线.

已知 如图,平面 α,β,γ 满足 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b. 求证 a∥b.
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思考 6 如何用符号语言表示平面与平面平行的性质定理?这个定理的作用是什么? 答 探究点二 平面与平面平行的性质定理的应用 例 1 求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等. 已知 如图,α∥β,AB∥CD,且 A∈α,C∈α,B∈β,D∈β. 求证 AB=CD.

跟踪训练 1 证明:如果一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么它与另一个也相交. 已知 如图,α∥β,l∩α=A, 求证 l 与 β 相交.

例 2 如图所示,平面 α∥平面 β,点 A∈α,C∈α,点 B∈β,D∈β,点 E、F 分别在线段 AB、CD 上,且 AE∶EB=CF∶FD.求证:EF∥β,EF∥α.

跟踪训练 2 如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,侧面对角线 AB1、BC1 上分别有两点 E、F,且 B1E =C1F.求证:EF∥平面 ABCD.
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【随堂练习】 1.平面 α∥平面 β,直线 a?α,直线 b?β,下面四种情形: ①a∥b.②a⊥b.③a 与 b 异面.④a 与 b 相交.其中可能出现的情形有( A.1 种 C.3 种 A.不一定存在与 a 平行的直线 B.只有两条与 a 平行的直线 C.存在无数条与 a 平行的直线 D.存在唯一一条与 a 平行的直线 3.过正方体 ABCD—A1B1C1D1 的三顶点 A1、C1、B 的平面与底面 ABCD 所在平面的交线为 l,则 l 与 A1C1 的位置关系是________. 4.已知直线 a∥平面 α,平面 α∥平面 β,则 a 与 β 的位置关系为________. B.2 种 D.4 种 ) )

2.已知 α∥β,a?α,B∈β,则在 β 内过点 B 的所有直线中(

【课堂小结】 1.常用的面面平行的其他几个性质 (1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. (2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等. (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例. (5)如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行. 2.空间中各种平行关系相互转化关系的示意图
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2.3.1
目标 1.理解直线与平面垂直的定义;

直线与平面垂直的判定

2.掌握直线与平面垂直的判定定理的内容及其应用; 3.应用直线与平面垂直的判定定理解决问题. 【知识梳理】 1.直线与平面垂直 (1)定义:如果直线 l 与平面 α 内的 (2)判定定理:一条直线与一个平面内的 2.直线与平面所成的角 (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的 所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角. ;直线与平面所成的角 θ 的范围: (2)当直线与平面垂直时,它们所成的角的度数是 90° ; 当直线与平面平行或在平面内时,它们所成的角的度数是 思考探究 [情境导学] 生活中处处都有直线和平面垂直的例子,如旗杆和地面、路灯与地面等等.在判断线面 平行时我们有判定定理,那么判断线面垂直又有什么好办法呢?本节我们就来研究这一问题. 探究点一 直线与平面垂直的定义 思考 1 如图,阳光下直立于地面的旗杆 AB 与它在地面上的影子 BC 的位置关系是什么?随着太阳 的移动,旗杆 AB 与影子 BC 所成的角度会发生改变吗? 答 思考 2 旗杆 AB 与地面上任意一条不过旗杆底部 B 的直线 B′C′(如思考 1 的 图)的位置关系又是什么?依据是什么?由此得到什么结论? 答 思考 3 观察圆锥的轴与底面内哪些直线垂直?为什么? 答 思考 4 若直线与平面内的无数条直线垂直,则直线垂直于平面吗?如不是,直线 与平面的位置关系如何? 答. 探究点二 直线与平面垂直的判定定理 导引 定义通常可以作为判定的依据,用线面垂直的定义判定直线与平面垂直就要验证直线垂直平
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直线都垂直,就说直线 l 与平面 α 互相垂直,记作 都垂直,则该直线与此平面垂直.

.直线

l 叫做平面 α 的垂线,平面 α 叫做直线 l 的

面内所有的直线,这实际上是很困难的.那么怎样判断直线与平面垂直比较方便呢? 思考 1 请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起来做如图所示的试验:过△ABC 的顶点 A 翻折 纸片,得到折痕 AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC 与桌面接触),问:折痕 AD 与桌 面垂直吗?如何翻折才能保证折痕 AD 与桌面所在平面 α 垂直?

答 思考 2 由折痕 AD⊥BC,翻折之后垂直关系不变,即 AD⊥CD,AD⊥BD.由此你能得到什么结论? 答 思考 3 如图,把 AD、BD、CD 抽象为直线 l、m、n,把桌面抽象为平面 α,l 与 α 垂直的条件是什 么? 答 思考 4 如何用符号语言表示直线与平面垂直的判定定理? 例 1 如图,已知 a∥b,a⊥α. 求证:b⊥α.

跟踪训练 1 一旗杆高 8 m,在它的顶点处系两条长 10 m 的绳子,拉紧绳子并把它们的下端固定在 地面上的两点(与旗杆脚不在同一条直线上). 如果这两点与旗杆脚距离 6 m, 那么旗杆就与地面垂直, 为什么?

思考 5 如图在直四棱柱 A′B′C′D′—ABCD(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中,底面四边 形满足什么条件时,A′C⊥B′D′?为什么? 答

探究点三 直线与平面所成的角 导引 我们知道,当直线和平面垂直时,该直线叫做平面的垂线.如果直线和平面不垂直,是不是 也该给它取个名字呢?此时又该如何刻画直线和平面的这种关系呢? 思考 1 平面的斜线、斜足是怎样定义的?斜线在平面上的射影是如何定义的? 答 思考 2 直线与平面所成的角 θ 的取值范围是什么? 答 例 2 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 求①直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角. ②直线 A1B 和平面 BCC1B1 所成的角.
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【随堂练习】 1.空间中直线 l 和三角形的两边 AC,BC 同时垂直,则这条直线和三角形的第三边 AB 的位置关系 是( ) B.垂直 C.相交 ) D.不确定 A.平行

2.下列命题中正确的个数是(

①如果直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直,则 l⊥α; ②如果直线 l 与平面 α 内的一条直线垂直,则 l⊥α; ③如果直线 l 不垂直于 α,则 α 内没有与 l 垂直的直线; ④如果直线 l 不垂直于 α,则 α 内也可以有无数条直线与 l 垂直. A.0 B.1 C.2 D.3 3.直线 l⊥平面 α,直线 m?α,则 l 与 m 不可能( A.平行 C.异面 BC,E 是 PC 的中点. (1)证明:CD⊥AE. (2)证明:PD⊥平面 ABE. B.相交 D.垂直 )

4.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60° 且 PA=AB=

【课堂小结】 1.线线垂直和线面垂直的相互转化

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2.证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义. (2)线面垂直的判定定理. (3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面. (4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.

2.3.2

平面与平面垂直的判定

目标 1.理解二面角及其平面角的概念,能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角; 2.掌握二面角的平面角的一般作法,会求简单的二面角的平面角; 3.掌握两个平面互相垂直的概念,能用定义和定理判定面面垂直. 【知识梳理】 1.二面角的概念 从一条直线出发的 的面. 2.二面角的平面角的定义 如图:在二面角 α-l-β 的棱 l 上任取一点 O,以点 O 为垂足,在半平面 α 和 β 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB,则射线 OA 和 OB 构成的 叫做二面角的平面角. 所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做 ,这 叫做二面角

3.平面与平面的垂直的定义 如果两个平面相交,且它们所成的二面角是 4.面面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的 思考探究 [情境导学] 在学习了异面直线所成的角、 直线和平面所成的角后我们自然而然就提出: 两个平面所 成的角该怎么定义?如何衡量它的大小?为此,我们需要引入二面角的概念,研究两个平面所成的 角. 探究点一 二面角的概念 思考 1 平面几何中“角”是怎样定义的? 答 思考 2 在立体几何中,“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的?它们 有什么共同的特征? 答 思考 3 在生产实践中,有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形,你能举出这个问题的 一些例子吗?
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,就说这两个平面互相垂直.

,则这两个平面垂直.即______

答 思考 4 如何用字母来记作二面角? 答 思考 5 二面角的大小反映了两个平面相交的位置关系,那我们应如何度量二面角的大小呢? 答 探究点二 两个平面垂直的概念 思考 1 教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角?分别指出是哪些二面角?这些二面角各 是多少度? 答 思考 2 如何定义两个平面互相垂直? 答 思考 3 如何画两个相互垂直的平面?平面 α 与平面 β 垂直,记作什么? 答 探究点三 两个平面垂直的判定 思考 1 判定两个平面互相垂直,除了定义外,还有其它的判定定理吗? 答

思考 2 如何用符号语言表达面面垂直的判定定理? 答

例1

如图,AB 是⊙O 的直径,PA 垂直于⊙O 所在的平面,C 是圆周上不同于 A、B 的任意一点,

求证:平面 PAC⊥平面 PBC.

跟踪训练 1 如图,在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥BD,且 E、F 分别是 AB、BD 的中点. 求证:(1)EF∥面 ACD; (2)面 EFC⊥面 BCD.
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例 2 如图,在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1 中,AB=4,AC=BC=3,D 为 AB 的中点. (1)求点 C 到平面 A1ABB1 的距离; (2)若 AB1⊥A1C,求二面角 A1-CD-C1 的平面角的余弦值.

跟踪训练 2 如图所示,已知 Rt△ABC,斜边 BC?α,点 A?α,AO⊥α,O 为垂足,∠ABO=30° , ∠ACO=45° ,求二面角 A-BC-O 的大小.

【随堂练习】
55

1.以下角:①异面直线所成角;②直线和平面所成角;③二面角的平面角.可能为钝角的有( A.0 个 C.2 个 B.1 个 D.3 个 )

)

2.直线 l⊥平面 α,l?平面 β,则 α 与 β 的位置关系是( A.平行 C.相交且垂直 3.下列命题: ①两个相交平面组成的图形叫做二面角; B.可能重合 D.相交不垂直

②异面直线 a、b 分别和一个二面角的两个面垂直,则 a、b 组成的角与这个二面角的平面角相等或 互补; ③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角; ④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. 其中正确的是( ) A.①③ B.②④ C.③④ D.①② 3 ,则二面 2

4.如图所示,在三棱锥 S-ABC 中,△SBC,△ABC 都是等边三角形,且 BC=1,SA= 角 S-BC-A 的大小为________.

【课堂小结】 1.求二面角的步骤

简称为“一作二证三求”. 2.作二面角的三种常用方法 (1)定义法: 在二面角的棱上找一个特殊点, 在两个半平面内分别作垂直于棱的射线. 如图①, 则∠AOB 为二面角 α-l-β 的平面角. (2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成 的角,即为二面角的平面角.如图②,∠AOB 为二面角 α-l-β 的平面角. (3)垂线法:过二面角的一个面内异于棱上的 A 点向另一个平面作垂线,垂足为 B,由点 B 向二面角
56

的棱作垂线,垂足为 O,连接 AO,则∠AOB 为二面角的平面角或其补角.如图③,∠AOB 为二面 角 α-l-β 的平面角.

3.证明两个平面垂直的主要途径 (1)利用面面垂直的定义; (2)利用面面垂直的判定定理,即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂 直.

2. 3.3 2.3.4
2.能运用性质定理解决一些简单问题;

直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质

目标 1.掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质定理; 3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系. 【知识梳理】 1.直线与平面垂直的性质定理 文字语言 符号语言 图形语言 2.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 符号语言 图形语言 3.平面与平面垂直的其他性质 (1)如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. (2)如果两个平面垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面. (3)如果两个平面垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内. 思考探究 [情境导学] 直线与平面垂直及平面与平面垂直的判定定理, 解决了直线与平面垂直及平面与平面垂 直的条件问题;反之,在直线与平面垂直及平面与平面垂直的条件下,能得到哪些结论?本节就来 研究这个问题. 探究点一 线面垂直的性质定理 思考 1 若一条直线与一个平面垂直,则可得到什么结论?若两条直线与同一个平面垂直呢? 答 思考 2 已知直线 a⊥α、b⊥α,那么直线 a、b 一定平行吗?我们能否证明这一事实的正确性呢? 答 .
57

垂直于同一个平面的两条直线平行

两个平面垂直,则

垂直于交线的直线与另一个平面

已知:a⊥α,b⊥α, 求证:b∥a.

例 1 把直角三角板 ABC 的直角边 BC 放置桌面,另一条直角边 AC 与桌面所在的平面 α 垂直,a 是 α 内一条直线,若斜边 AB 与 a 垂直,则 BC 是否与 a 垂直? 跟踪训练 1 如图,α∩β=l,PA⊥α,PB⊥β,垂足分别为 A、B,a?α,a⊥AB. 求证:a∥l.

探究点二 平面与平面垂直的性质定理 思考 黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能否在黑板上画一条直线与地面垂直? 答 例 2 设 α⊥β,α∩β=CD,AB?α,AB⊥CD,AB∩CD=B,求证:AB⊥β.

跟踪训练 2 如图,已知平面 α,β,α⊥β,直线 a 满足 a⊥β,a?α,试判断直线 a 与平面 α 的位置 关系.

例 3 设平面 α⊥平面 β,点 P 在平面 α 内,过点 P 作平面 β 的垂线 a,试判断直线 a 与平面 α 的位 置关系.

跟踪训练 3 如图所示,P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点,ABCD 是∠DAB=60° 且边长为 a 的 菱形.侧面 PAD 为正三角形,其所在平面垂直于底面 ABCD.G 为 AD 边的中点. 求证: (1)BG⊥平面 PAD; (2)AD⊥PB.
58

【随堂练习】 1.△ABC 所在的平面为 α,直线 l⊥AB,l⊥AC,直线 m⊥BC,m⊥AC,则直线 l,m 的位置关系是 ( ) B.异面 C.平行 B.l?γ D.l⊥γ D.不确定 ) A.相交 A.l∥γ C.l 与 γ 斜交 ______________. 4.如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,平面 PAB⊥平面 PBC. 求证:BC⊥AB.

2.平面 α∩平面 β=l,平面 γ⊥α,γ⊥β,则(

3.在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90° ,BC1⊥AC,则点 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在

【课堂小结】 1.垂直关系之间的相互转化

2.平行关系与垂直关系之间的相互转化

59

3.判定线面垂直的方法主要有以下五种 ①线面垂直的定义;②线面垂直的判定定理;③面面垂直的性质定理;④如果两条平行线中的一条 垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一平面,
? a∥b? ??b⊥α;⑤如果一条直线垂直于两个平行 a⊥α? ?

平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面,

α∥β? ? ??a⊥β. ? a⊥α?

第二章
知识结构

复习课

知识探究 题型一 几何中共点、共线、共面问题 1.证明共面问题 证明共面问题,一般有两种证法:一是由某些元素确定一个平面,再证明其余元素在这个平面内; 二是分别由不同元素确定若干个平面,再证明这些平面重合. 2.证明三点共线问题 证明空间三点共线问题,通常证明这些点都在两个面的交线上,即先确定出某两点在某两个平面的 交线上,再证明第三个点是两个平面的公共点,当然必在两个平面的交线上. 3.证明三线共点问题 证明空间三线共点问题,先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题转化为证明
60

点在直线上的问题. 例 1 如图所示,空间四边形 ABCD 中,E,F 分别为 AB,AD 的中点,G,H 分别在 BC,CD 上, 且 BG∶GC=DH∶HC=1∶2. 求证:(1)E、F、G、H 四点共面; (2)GE 与 HF 的交点在直线 AC 上.

跟踪训练 1

如图,O 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 上底面 ABCD 的中心,M 是正方体对角线 AC1 和

截面 A1BD 的交点. 求证:O、M、A1 三点共线.

题型二 空间中的平行问题 1.判断或证明线面平行的常用方法:(1)利用线面平行的定义(无公共点);(2)利用线面平行的判定定 理(a?α,b?α,a∥b?a∥α);(3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a?α?a∥β);(4)利用面面平行的 性质(α∥β,a?β,a∥α?a∥β). 2.证明面面平行的方法:(1)利用面面平行的定义;(2)利用面面平行的判定定理:如果一个平面内 有两条相交直线都平行于另一个平面, 那么这两个平面平行; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行;(5)利用“线线平行”、“线面平行”、 “面面平行”的相互转化. 例2 如图, E、 F、 G、 H 分别是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 BC、 CC1、 C1D1、 AA1 的中点, 求证:(1)GE∥平面 BB1D1D; (2)平面 BDF∥平面 B1D1H.

61

跟踪训练 2 如图,△ABC 为正三角形,EC⊥平面 ABC,DB⊥平面 ABC,CE=CA=2BD,M 是 EA 的中点,N 是 EC 的中点,求证:平面 DMN∥平面 ABC.

题型三 空间中的垂直关系 空间垂直关系的判定方法: (1)判定线线垂直的方法: ①计算所成的角为 90° (包括平面角和异面直线所成的角); ②线面垂直的性质(若 a⊥α,b?α,则 a⊥b). (2)判定线面垂直的方法: ①线面垂直定义(一般不易验证任意性); ②线面垂直的判定定理(a⊥b,a⊥c,b?α,c?α,b∩c=M?a⊥α); ③平行线垂直平面的传递性质(a∥b,b⊥α?a⊥α); ④面面垂直的性质(α⊥β,α∩β=l,a?β,a⊥l?a⊥α); ⑤面面平行的性质(a⊥α,α∥β?a⊥β); ⑥面面垂直的性质(α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ?l⊥γ). (3)面面垂直的判定方法: ①根据定义(作两平面构成二面角的平面角,计算其为 90° ); ②面面垂直的判定定理(a⊥β,a?α?α⊥β). 例3 如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60° ,PA =AB=BC,E 是 PC 的中点.

跟踪训练 3 如图,A,B,C,D 为空间四点.在△ABC 中,AB=2,AC=BC= 2,等边△ADB 以 AB 为轴运动. (1)当平面 ADB⊥平面 ABC 时,求 CD; (2)当△ADB 转动时,是否总有 AB⊥CD?证明你的结论.
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题型四 空间角问题 1.求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角). 2.求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影). 3.二面角的平面角的作法常有三种:(1)定义法;(2)垂线法;(3)垂面法. 例4 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60° ,PA=AB =BC,E 是 PC 的中点. (1)求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小; (2)证明:AE⊥平面 PCD; (3)求二面角 A—PD—C 的正弦值.

跟踪训练 4 如图,正方体的棱长为 1,B′C∩BC′=O,求: (1)AO 与 A′C′所成角的度数; (2)AO 与平面 ABCD 所成角的正切值; (3)平面 AOB 与平面 AOC 所成角的度数.

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【课堂小结】 1.平行问题的转化关系

2.直线与平面平行的主要判定方法 (1)定义法;(2)判定定理;(3)面与面平行的性质. 3.平面与平面平行的主要判定方法 (1)定义法;(2)判定定理;(3)推论;(4)a⊥α,a⊥β?α∥β.

第三章 3.1.1
目标 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念;

直线与方程 倾斜角与斜率

2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性; 3.了解斜率公式的推导过程,会应用斜率公式求直线的斜率. 【知识梳理】 1.倾斜角的概念和范围 当直线 l 与 x 轴相交时,我们取 x 轴作为基准,x 轴-------与直线 l 向上方向之间所成的角 α 叫做 直线 l 的倾斜角. 当直线 l 与 x 轴 是 2.斜率的概念及斜率公式 定义 取值范围 过两点的 直线的斜 率公式 知识探究 探究点一 直线的倾斜角及斜率的概念 思考 1 我们知道,经过两点有且只有(确定)一条直线,过一点 P 可以作无数条直线,它们都经过点 P,这些直线区别在哪里呢? 答 思考 2 怎样描述直线的倾斜程度呢? 答 倾斜角不是 90° 的直线,它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,记为 k,即 k= 当 α=0° 时,k=0;当 0° <α<90° 时,k>0;当 90° <α<180° 时,k<0;当 α=90° 时, 斜率 y2-y1 直线经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),其斜率 k= (x ≠x ) x2-x1 1 2 -时,我们规定它的倾斜角为 0° . 直线的倾斜角 α 的范围

64

思考 3 依据倾斜角的定义,你能得出倾斜角 α 的取值范围吗? 答 思考 4 任何一条直线都有倾斜角吗?不同的直线其倾斜角一定不相同吗?只有倾斜角能确定直线 的位置吗?你认为确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么? 答 思考 5 日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量? 答 思考 6 如果我们使用“倾斜角”这个概念表示“坡度(比)”,那么“坡度(比)”等于什么呢? 答 例 1 已知直线 l 向上方向与 y 轴正向所在的角为 30° ,则直线 l 的倾斜角为________. 跟踪训练 1 已知直线 l 的倾斜角为 β-15° ,则下列结论中正确的是( A.0° ≤β<180° C.15° ≤β<180° 探究点二 直线的斜率公式 思考 1 如下图 1、图 2,任给直线上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中 x1≠x2),过点 P1 作 x 轴的平行 线,过点 P2 作 y 轴的平行线,两线相交于 Q,那么 Q 点的坐标是什么? B.15° <β<180° D.15° ≤β<195° )

图1 答

图2

思考 2 设直线 P1P2 的倾斜角为 α(α≠90° ),那么 Rt△P1P2Q 中,哪一个角等于 α? 答 思考 3 根据斜率的定义,通过构造直角三角形推算出斜率公式是什么? 答 y2-y1 思考 4 当 P2P1 的方向向上时,tan α= 成立吗?为什么? x2-x1 答 思考 5 当直线 P1P2 与 x 轴平行或重合时,上述式子还成立吗?为什么? 答 y2-y1 [小结] 经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式 k= . x2-x1 例 2 如图,已知 A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线 AB,BC,CA 的斜率,并判断这些直线的倾 斜角是锐角还是钝角.
65

跟踪训练 2

经过 A(m,3),B(1,2)两点的直线的倾斜角 α 的范围是________(其中 m≥1).

例 3 在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为 1,-1,2 及-3 的直线 l1,l2,l3 及 l4.

[反思与感悟] 已知直线过定点且斜率为定值,那么直线的位置就确定了,要画出直线,需通过斜率 求出另一定点. 跟踪训练 3 已知点 P(- 3, 1), 点 Q 在 y 轴上, 直线 PQ 的倾斜角为 120° , 则点 Q 的坐标为________.

【随堂练习】 1.对于下列命题: ①若 α 是直线 l 的倾斜角,则 0° ≤α<180° ; ②若 k 是直线的斜率,则 k∈R; ③任一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率; ④任一条直线都有斜率,但不一定有倾斜角. 其中正确命题的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 2.若经过 P(-2,m)和 Q(m,4)的直线的斜率为 1,则 m 等于( A.1 C.1 或 3 B.4 D.1 或 4 ) )

3.若直线斜率的绝对值等于 1,则直线的倾斜角为_________. 4.求经过下列两点直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角还是钝角. (1)(1,1),(2,4);(2)(-3,5),(0,2); (3)(2,3),(2,5);(4)(3,-2),(6,-2).

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【课堂小结】 1.求过两点的直线的斜率及倾斜角的方法 (1)已知两点坐标求直线的斜率时,首先应检验其横坐标是否相等,若相等,其斜率不存在;若不相 等,可用公式来求. (2)α=0° ?k=0;0° <α<90° ?k>0;90° <α<180° ?k<0;α=90° ?斜率不存在;若求 α 的具体值,可用 公式 k=tan α 求解. 2.用斜率公式解决三点共线问题

3.1.2
目标

两条直线平行与垂直的判定

1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件; 2.能根据已知条件判断两直线的平行与垂直; 3.能应用两条直线平行或垂直进行实际应用. 【知识梳理】 1.两条直线平行与斜率之间的关系 类型 前提条件 对应关系 图示 2.两条直线垂直与斜率之间的关系 斜率存在 α1=α2≠90° l1∥l2?k1=k2 斜率不存在 α1=α2=90° l1∥l2?两直线斜率都不存在

图示

对应关系 思考探究

l1⊥l2(两直线斜率都存在)?

l1 的斜率不存在,l2 的斜率为 0?

探究点一 两条直线平行的判定 思考 1 如图,设对于两条不重合的直线 l1 与 l2,其倾斜角分别为 α1 与 α2,斜率分别为 k1、k2,若 l1∥l2,α1 与 α2 之间有什么关系?k1 与 k2 之间有什么关系?

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答 思考 2 对于两条不重合的直线 l1 与 l2,若 k1=k2,是否一定有 l1∥l2?为什么? 答 [小结] 对于两条不重合的直线 l1、l2,其斜率分别为 k1、k2,有 l1∥l2?k1=k2.若直线 l1 和 l2 可能重 合时,我们得到 k1=k2?l1∥l2 或 l1 与 l2 重合. 例1 已知 A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2),试判断直线 BA 与 PQ 的位置关系,并证明你的 结论.

[反思与感悟] 判定两条直线的位置关系时, 一定要考虑特殊情况, 如两直线重合、 斜率不存在等. 一 般情况都成立,只有一种特殊情况不成立,则该命题就是假命题. 跟踪训练 1 (1)l1 的倾斜角为 60° , l2 经过点 M(1, 3), N(-2, -2 3), 则 l1 与 l2 的关系是________. (2)经过两点 A(2,3), B(-1, x)的直线 l1 与经过点 P(2,0)且斜率为 1 的直线 l2 平行, 则 x 的值为________. 例2 已知四边形 ABCD 的四个顶点分别为 A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形 ABCD 的形状,并给出证明.

[反思与感悟] 熟记斜率公式:k=

y2-y1 ,该公式与两点的顺序无关,已知两点坐标(x1≠x2)时,根 x2-x1

据该公式可求出经过两点的直线的斜率.当 x1=x2,y1≠y2 时,直线的斜率不存在,此时直线的倾斜 角为 90° . 7 跟踪训练 2 求证:顺次连接 A(2,-3),B(5,- ),C(2,3),D(-4,4)四点所得的四边形是梯形. 2

探究点二 两条直线垂直的判定 思考 1 如图,设直线 l1 与 l2 的倾斜角分别为 α1 与 α2,斜率分别为 k1、k2,且 α1<α2,若 l1⊥l2,α1 与 α2 之间有什么关系?为什么?

答 1 思考 2 已知 tan(90° +α)=- ,据此,如何推出思考 1 中两直线的斜率 k1、k2 之间的关系? tan α 答
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思考 3 如果两直线的斜率存在且满足 k1· k2=-1,是否一定有 l1⊥l2?为什么? 答 思考 4 对任意两条直线,如果 l1⊥l2,一定有 k1· k2=-1 吗?为什么? 答 [小结] 如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于-1;反之,如果它们 的斜率之积等于-1,那么它们互相垂直,即 k1k2=-1?l1⊥l2. 例3 已知长方形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点 D 的坐标.

[反思与感悟] 在应用斜率解决与两条直线的平行或垂直有关的问题时, 应考虑到斜率存在与不存在 的情况,避免出现漏解.两条直线垂直与斜率之间的关系:l1⊥l2?k1· k2=-1 或一条直线斜率为零, 另一条斜率不存在. 跟踪训练 3 已知△ABC 的三个顶点分别是 A(2,2+2 2)、B(0,2-2 2),C(4,2),试判断△ABC 是否 是直角三角形.

【随堂练习】 1.已知 A(2,0),B(3,3),直线 l∥AB,则直线 l 的斜率 k=( 1 1 A.-3 B.3 C.- D. 3 3 )

1 2.若经过点(3,a)、(-2,0)的直线与经过点(3,-4)且斜率为 的直线垂直,则 a 的值为( 2 5 A. 2 2 B. C.10 D.-10 5

)

3. 若不同两点 P、 Q 的坐标分别为(a, b), (3-b,3-a), 则线段 PQ 的垂直平分线的斜率为________. 4.试确定 m 的值,使过点 A(m+1,0),B(-5,m)的直线与过点 C(-4,3),D(0,5)的直线平行.

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【课堂小结】 1.代数方法判定两直线平行或垂直的结论:若直线 l1、l2 存在斜率 k1、k2,则 l1∥l2?k1=k2(其中 l1, l2 不重合);若 l1、l2 可能重合,则 k1=k2?l1∥l2 或 l1 与 l2 重合.l1⊥l2?k1· k2=-1. 2.判定两条直线是平行还是垂直要“三看”:一看斜率是否存在,若两直线的斜率都不存在,则两 直线平行,若一条直线的斜率为 0,另一条直线的斜率不存在,则两直线垂直;斜率都存在时,二 看斜率是否相等或斜率乘积是否为-1;三看两直线是否重合,若不重合,则两直线平行.

3.2.1 目标

直线的点斜式方程

1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程; 2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程; 3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题. 【知识梳理】 直线的点斜式方程和斜截式方程 类别 适用范围 已知条件 点 P(x0,y0)和斜率 k 点斜式 斜率存在 斜率 k 和在 y 轴上的截距 b 斜截式

图示

方程 截距 思考探究 探究点一 直线的点斜式方程 思考 1 求直线的方程指的是求什么? 答 思考 2 如图,直线 l 经过点 P0(x0,y0),且斜率为 k,设点 P(x,y)是直线 l 上不同于点 P0 的任意一 点,怎样建立 x,y 之间的关系? 直线 l 与 y 轴交点(0,b)的 叫做直线 l 在 y 轴上的截距

70

答 思考 3 过点 P0(x0, y0), 斜率是 k 的直线 l 上的点, 其坐标都满足思考 2 中得出的方程吗?为什么? 答 思考 4 坐标满足方程 y-y0=k(x-x0)的点都在过点 P0(x0,y0)且斜率为 k 的直线上吗?为什么? 答 [小结] 由上述思考 2 和思考 3 的讨论可知,方程 y-y0=k(x-x0)就是过点 P0(x0,y0)且斜率为 k 的 直线的方程.方程 y-y0=k(x-x0)由直线上一点及其斜率确定,把这个方程叫做直线的点斜式方程, 简称点斜式. 思考 5 如何求 x 轴所在的直线方程?如何求出经过点 P0(x0,y0)且平行于 x 轴的直线方程? 答 思考 6 y 轴所在的直线方程是什么?如何求过点 P0(x0,y0)且平行于 y 轴的直线方程? 答 例 1 直线 l 经过点 P0(-2,3),且倾斜角 α=45° ,求直线 l 的点斜式方程,并画出直线 l.

[反思与感悟] 由点斜式写直线方程时,由于过 P(x0,y0)的直线有无数条,大致可分为两类:(1)斜 率存在时方程为 y-y0=k(x-x0);(2)斜率不存在时,直线方程为 x=x0. 跟踪训练 1 一条直线经过点 P(-2,3),斜率为 2,求这条直线的方程.

探究点二 直线的斜截式方程 思考 1 已知直线 l 的斜率为 k,且与 y 轴的交点为(0,b),得到的直线 l 的方程是什么? 答 [小结] 我们称 b 为直线 l 在 y 轴上的截距.方程 y=kx+b 由直线的斜率 k 与它在 y 轴上的截距 b 确定,所以这个方程也叫做直线的斜截式方程. 思考 2 直线 y=kx+b 在 y 轴上的截距 b 是直线与 y 轴交点到原点的距离吗?它的取值范围是什么? 答 思考 3 一次函数的解析式 y=kx+b 与直线的斜截式方程 y=kx+b 有什么不同? 答 例 2 已知直线 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2, 试讨论:(1)l1∥l2 的条件是什么? (2)l1⊥l2 的条件是什么?

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[反思与感悟] 已知 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则 l1∥l2?k1=k2,且 b1≠b2;l1⊥l2?k1k2=- 1. 1 跟踪训练 2 已知直线 l 的斜率为 ,且和两坐标轴围成面积为 3 的三角形,求 l 的方程. 6

【随堂练习】 1.方程 y=k(x-2)表示( B.通过点(2,0)的所有直线 C.通过点(2,0)且不垂直于 x 轴的所有直线 D.通过点(2,0)且除去 x 轴的所有直线 2.已知直线 l 过点 P(2,1),且直线 l 的斜率为直线 x-4y+3=0 的斜率的 2 倍,则直线 l 的方程为 ________. 3.已知直线 l1:y=2x+3a,l2:y=(a2+1)x+3,若 l1∥l2,则 a=________. 4.写出下列直线的点斜式方程: (1)经过点 A(2,5),且与直线 y=2x+7 平行; (2)经过点 C(-1,-1),且与 x 轴平行. ) A.通过点(-2,0)的所有直线

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【课堂小结】 1.求直线的点斜式方程的方法步骤

2.直线的斜截式方程的求解策略 (1)用斜截式求直线方程,只要确定直线的斜率和截距即可,同时要特别注意截距和距离的区别. (2)直线的斜截式方程 y=kx+b 不仅形式简单,而且特点明显,k 是直线的斜率,b 是直线在 y 轴上 的截距,只要确定了 k 和 b 的值,直线的图象就一目了然.因此,在解决直线的图象问题时,常通 过把直线方程化为斜截式方程,利用 k,b 的几何意义进行判断.

3.2.2
目标

直线的两点式方程

1.掌握直线方程的两点式的形式、特点及适用范围 2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围. 3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标. 【知识梳理】 1.直线的两点式方程和截距式方程 名称 条件 方程 2.线段的中点坐标公式 若点 P1、P2 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则线段 P1P2 的中点坐标公式为. 思考探究 探究点一 直线的两点式方程 导引 已知直线上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中 x1≠x2,y1≠y2),如何求出过这两点的直线方程? 思考 1 经过一点,且已知斜率的直线,如何求它的方程? 答 思考 2 能不能把上述问题转化成已经解决的问题?怎样转化? 答 y-y1 x-x1 [小结] 经过直线上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中 x1≠x2,y1≠y2)的直线方程 = 叫做直 y2-y1 x2-x1 线的两点式方程,简称两点式. 思考 3 从两点式方程的形式上看,直线方程的两点式适合求什么样的直线方程? 答
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两点式 两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)

截距式 A(a,0),B(0,b)(a≠0,b≠0)

例 1 已知直线 l 与 x 轴的交点为 A(a,0),与 y 轴的交点为 B(0,b),其中 a≠0,b≠0,求 l 的方程. 答

[反思与感悟] 我们把直线与 x 轴交点(a,0)的横坐标 a 叫做直线在 x 轴上的截距, 此时直线在 y 轴上 x y 的截距是 b, 方程 + =1 由直线 l 在两个坐标轴上的截距 a 与 b 确定, 所以叫做直线的截距式方程. a b 跟踪训练 1 三角形的顶点是 A(-4,0),B(3,-3),C(0,3),求这个三角形三边所在的直线的方程.

探究点二 中点坐标公式 思考 如图所示,已知 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)是线段 AB 的中点,如何用 A,B 点的坐标表 示 M 点的坐标? 答

[反思与感悟] 已知 P1,P2 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),且线段 P1P2 的中点 M 的坐标为(x,y), x , ?x=x + 2 则? y +y ?y= 2 ,
2 1 2 1

这个公式称为线段的中点坐标公式.

探究点三 两点式、截距式方程的应用 例2 已知三角形的三个顶点 A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求 BC 边所在直线的方程,以及该边上 中线所在直线的方程.

[反思与感悟] 当已知两点坐标, 求过这两点的直线方程时, 首先要判断是否满足两点式方程的适用 条件,若满足即可考虑用两点式求方程.在斜率存在的情况下,也可以选用斜率公式求出斜率,再 用点斜式写方程. 跟踪训练 2 已知△ABC 的三个顶点坐标为 A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求: (1)BC 边所在直线的方程; (2)BC 边上的高 AD 所在直线的方程; (3)BC 边上的中线 AE 所在直线的方程.

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例 3 求过定点 P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线 l 的方程.

[反思与感悟]

(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交,则可考虑选用截距式直线方程,用待定系数

法确定其系数即可. (2)选用截距式直线方程时,必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直. 跟踪训练 3 求过点(4,-3)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线 l 的方程.

【随堂练习】 1.过两点(-2,1)和(1,4)的直线方程为( A.y=x+3 C.y=x+2 ) B.y=-x+1 D.y=-x-2 )

2.经过 P(4,0),Q(0,-3)两点的直线方程是( x y x y A. + =1 B. + =1 4 3 3 4 x y C. - =1 4 3 A.x=2 C.x=3 x y D. - =1 3 4 ) B.y=2 D.x=6

3.经过 M(3,2)与 N(6,2)两点的直线方程为(

4.过点 M(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是________. 5.直线 l 过定点 A(-2,3),且与两坐标轴围成的三角形面积为 4,求直线 l 的方程.

【课堂小结】 1.求直线的两点式方程的策略以及注意点
75

(1)当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式方程的适用条件:两点 的连线不垂直于坐标轴,若满足,则考虑用两点式求方程. (2)由于减法的顺序性,一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误.在记 忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系. 2.截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交,则可考虑选用截距式直线方程,用待定系数法确定其系数即 可. (2)选用截距式直线方程时,必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直. (3)要注意截距式直线方程的逆向应用. 3.对称问题的解决 (1)点关于点对称,可用线段的中点坐标公式. (2)线关于点对称,可设线上任一点及其对称点化为点关于点对称,结合代入法解决. (3)点关于线对称,运用对称点的中点在对称轴直线上、对称点连线与对称轴垂直这两个条件,通过 解方程组求解. (4)线关于线对称,转化为点关于线对称,结合代入法解决. 3.2.3 直线的一般式方程 目标 1.掌握直线的一般式方程; 2.理解关于 x,y 的二元一次方程 Ax+By+C=0(A,B 不同时为 0)都表示直线; 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化. 【知识梳理】 1.关于 x,y 的二元一次方程 式. 2.比较直线方程的五种形式 形式 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 思考探究 探究点一 直线的一般式方程 思考 1 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于 x,y 的二元一次方程表示吗?为什么? 答 [小结] 任何一条直线的方程都是关于 x,y 的二元一次方程. 思考 2 每一个关于 x,y 的二元一次方程 Ax+By+C=0(A,B 不同时为零)都表示一条直线吗?为 什么? 答 [小结] 直线方程都是关于 x,y 的二元一次方程;关于 x,y 的二元一次图象又都是一条直线.我们 把关于 x,y 的二元一次方程 Ax+By+C=0(A,B 不同时为零)叫做直线的一般式方程,简称一般式.
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(其中 A,B 不同时为 0)叫做直线的一般式方程,简称一般

方程

局限 不能表示斜率不存在的直线 不能表示斜率不存在的直线 x1≠x2,y1≠y2 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 无

思考 3 直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比,它有什么优点? 答 思考 4 在方程 Ax+By+C=0(A,B 不同时为零)中,A,B,C 为何值时,方程表示的直线(1)平行 于 x 轴;(2)平行于 y 轴;(3)与 x 轴重合;(4)与 y 轴重合. 答 4 例 1 已知直线经过点 A(6,-4),斜率为- ,求直线的点斜式和一般式方程. 3

[反思与感悟] 对于直线方程的一般式, 一般做如下约定: 一般按含 x 项、 含 y 项、 常数项顺序排列; x 项的系数为正;x,y 的系数和常数项一般不出现分数;无特殊要求时,求直线方程的结果写成一 般式. 跟踪训练 1 直线 l 与两直线 y=1,x-y-7=0 分别交于 P、Q 两点,线段 PQ 中点是(1,-1),则 l 的斜率是________. 探究点二 直线方程五种表达形式的转化 例 2 把直线 l 的一般式方程 x-2y+6=0 化成斜截式,求出直线 l 的斜率和它在 x 轴与 y 轴上的截 距,并画出图形.

[反思与感悟] 任何形式的方程都可以化成一般式方程, 化为一般式方程以后原方程的限制条件就消 失了.由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的,而两点式和点斜式不唯一,因此,通常情况下, 一般式不化为两点式和点斜式. 跟踪训练 2 设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围.

探究点三 直线方程的综合应用 例 3 已知直线 l 的方程 3x+4y-12=0,求满足下列条件的直线 l′的方程: (1)过点(-1,3),且与 l 平行; (2)过点(-1,3),且与 l 垂直.

77

[反思与感悟] 一般地,直线 Ax+By+C=0 中系数 A、B 确定直线的斜率,因此,与直线 Ax+By +C=0 平行的直线方程可设为 Ax+By+m=0,与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线方程可设为 Bx- Ay+n=0.这是经常采用的解题技巧. 跟踪训练 3 已知 A(2,2)和直线 l:3x+4y-20=0. 求:(1)过点 A 和直线 l 平行的直线方程; (2)过点 A 和直线 l 垂直的直线方程.

【随堂练习】 1.若方程 Ax+By+C=0 表示直线,则 A、B 应满足的条件为( A.A≠0 C.A· B≠0 A.第一、二、三象限 C.第一、三、四象限 A.30° C.150° A.-6 4 C.- 5 B.B≠0 D.A2+B2≠0 ) B.第一、二、四象限 D.第二、三、四象限 ) B.60° D.120° ) B.6 4 D. 5 )

2.已知 ab<0,bc<0,则直线 ax+by=c 通过(

3.在直角坐标系中,直线 x+ 3y-3=0 的倾斜角是(

4.已知直线(a-2)x+ay-1=0 与直线 2x+3y+5=0 平行,则 a 的值为(

78

【课堂小结】 1.根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法 (1)判定斜率是否存在,若存在,化成斜截式后,则 k1=k2 且 b1≠b2;若都不存在,则还要判定不重 合. (2)可直接采用如下方法: 一般地, 设直线 l1: A1x+B1y+C1=0, l2: A2x+B2y+C2=0.l1∥l2?A1B2-A2B1=0, 且 B1C2-B2C1≠0, 或 A1C2-A2C1≠0. 这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论, 可以减小因考虑不周而造成失误的可能性. 2.根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法 (1)若一个斜率为零,另一个不存在,则垂直;若两个都存在斜率,化成斜截式后,则 k1k2=-1. (2)一般地,设 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1⊥l2?A1A2+B1B2=0. 第二种方法可避免讨论,减小失误.

3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离 目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系. 3.掌握两点间距离公式并会应用. 【知识梳理】 1.两直线的交点坐标 已知直线:l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0.点 A(a,b). (1)若点 A 在直线 l:Ax+By+C=0 上,则有: (2)若点 A 是直线 l1 与 l2 的交点,则有: 2.两直线的位置关系.
? ?A1x+B1y+C1=0 方程组? 的解 ?A2x+B2y+C2=0 ?

. .

一组 一个

无数组

无解 零个

直线 l1 与 l2 的公共点的个数 直线 l1 与 l2 的位置关系 3.两点间的距离公式 (1)条件:点 P1(x1,y1),P2(x2,y2). (2)结论:|P1P2|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2. (3)特例:点 P(x,y)到原点 O(0,0)的距离|OP|= x2+y2. 思考探究 探究点一 直线的交点与直线的方程组解的关系

重合

思考 1 直线上的点与其方程 Ax+By+C=0 的解有什么样的关系? 答 思考 2 已知两条直线 l1 与 l2 相交,如何用代数方法求它们的交点的坐标?
79

答 思考 3 由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系? 答 例 1 判定下列各对直线的位置关系,如果相交,求出交点的坐标. (1)l1:x-y=0,l2:3x+3y-10=0; (2)l1:3x-y+4=0,l2:6x-2y-1=0; (3)l1:3x+4y-5=0,l2:6x+8y-10=0.

[反思与感悟] 判定两条直线的位置关系有两种方法:(1)通过解两直线对应方程组成的方程组,若 方程组有一解两直线相交,无解两直线平行,两方程能化成同一个方程两直线重合;(2)利用两直线 方程的对应系数的比判断两直线的位置关系. 跟踪训练 1 求下列两条直线的交点坐标:l1:3x+4y-2=0;l2:2x+y+2=0.

探究点二 两点间的距离 导引 已知平面上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),如何求 P1,P2 的距离|P1P2|呢? 思考 1 当 x1≠x2,y1=y2 时,|P1P2|=? 答 思考 2 当 x1=x2,y1≠y2 时,|P1P2|=? 答 思考 3 当 x1≠x2,y1≠y2 时,|P1P2|=?请简单说明理由. 答 [小结] 两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式|P1P2|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. 例 2 已知点 A(-1,2),B(2, 7),在 x 轴上求一点 P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.

[反思与感悟] 坐标平面内两点间的距离公式, 是解析几何中的最基本最重要的公式之一, 利用它可 以求平面上任意两个已知点间的距离.反过来,已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的 坐标. 跟踪训练 2 已知点 A(3,6),在 x 轴上的点 P 与点 A 的距离等于 10,求点 P 的坐标.

探究点三 坐标法证明几何问题
80

例3

证明:平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.

[反思与感悟] 用解析法证几何题的注意事项:(1)用解析法证明几何题时,首先要根据题设条件建 立适当的直角坐标系,然后根据题中所给的条件,设出已知点的坐标;(2)再根据题设条件及几何性 质推出未知点的坐标;(3)另外,在证题过程中要不失一般性. 跟踪训练 3 证明:直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等.

探究点四 最值问题 例4 某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为 A(1,2),B(4,0),一条河所在直线方程为 l:x +2y-10=0,若在河边 l 上建一座供水站 P 使之到 A,B 两镇的管道最省,问供水站 P 应建在什么 地方?此时|PA|+|PB|为多少?

[反思与感悟] 这是一道数学实际应用题,先建立数学模型,转化为数学问题.求路程最小值问题, 利用点关于直线的对称来解决,即在直线 l 上找一点 P,使|PA|+|PB|最小. 跟踪训练 4 函数 y= x2-8x+20+ x2+1的最小值.

【随堂练习】 1.已知直线 l1:3x+4y-5=0 与 l2:3x+5y-6=0 相交,则它们的交点是( 1 1 A.(-1, ) B.( ,1) 3 3 1 1 C.(1, ) D.(-1,- ) 3 3 )

2.经过直线 2x-y+4=0 与 x-y+5=0 的交点,且垂直于直线 x-2y=0 的直线的方程是( A.2x+y-8=0 C.2x+y+8=0 B.2x-y-8=0 D.2x-y+8=0
81

)

|AC| 3.已知 A(-1,0),B(5,6),C(3,4),则 的值为( |CB| 1 A. 3 C.3 1 B. 2 D.2

)

4.设点 A 在 x 轴上,点 B 在 y 轴上,AB 的中点是 P(2,-1),则|AB|等于________. 5.当 a 取不同实数时,直线(2+a)x+(a-1)y+3a=0 恒过一个定点,这个定点的坐标为________. 【课堂小结】 1.过两条直线交点的直线系方程:过两条直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0 交点的 直线系方程是 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但此方程中不含 l2;一般形式是 m(A1x+ B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(m2+n2≠0),是过 l1 与 l2 交点的所有直线方程. 2.坐标平面内两点间的距离公式,是解析几何中的最基本最重要的公式之一,利用它可以求平面上 任意两个已知点间的距离.反过来,已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标. 3.平面几何中与线段长有关的定理和重要结论,可以用解析法来证明.用解析法解题时,由于平面 图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的,但不同的平面直角坐标系会使计算有 繁简之分,因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”.

3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离 目标 1.了解点到直线距离公式的推导方法; 2.掌握点到直线距离公式,并能灵活应用于求平行线间的距离等问题; 3.初步掌握用解析法研究几何问题的方法. 【知识梳理】 1.点到直线的距离 (1)定义:点到直线的 2.两平行线间的距离 (1)定义:两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间 (2)求法:两平行线间的距离可转化为 三.思考探究 探究点一 点到直线的距离 思考 1 两点间的距离公式是什么? 答 思考 2 什么是平面上点到直线的距离? 答 思考 3 你能说出求点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 距离的一个解题思路吗? 答 思考 4 用代数的方法求点 P0 到直线 l 距离的思路十分自然,但不易得出点到直线的距离公式,如 下图,如何利用三角形面积公式求出点到直线的距离 d 呢?
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的长度.

(2)公式:点 P(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d=. 的长.



(3)结论:两平行直线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0(C1≠C2)的距离为 d=



|Ax0+By0+C| [小结] 点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d= . A2+B2 例 1 已知点 A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求三角形 ABC 的面积.

[反思与感悟] (1)若给出的直线方程不是一般式, 则应先把方程化为一般式, 再利用公式求距离. (2) 若点 P 在直线上,点 P 到直线的距离为零,距离公式仍然适用. 跟踪训练 1 求过点 M(-2,1)且与 A(-1,2),B(3,0)两点距离相等的直线的方程.

探究点二 两条平行直线间的距离 导引 设直线 l1∥l2,如何求 l1 与 l2 间的距离? 思考 1 两条平行直线间的距离是指什么线段的长? 答

思考 2 答

能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离,如何转化?

思考 3 已知 l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,如何推导出 l1 与 l2 的距离公式呢? 答

[小结] 若两条平行直线 l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2),则 l1,l2 间的距离为 d= |C2-C1| A2+B2 离. .

例 2 已知直线 l1:2x-7y-8=0,l2:6x-21y-1=0,l1 与 l2 是否平行?若平行,求 l1 与 l2 间的距

83

[反思与感悟] (1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离,也可以应用公式. (2)应用两平行线间的距离公式 d= 相等. 跟踪训练 2 两平行直线 3x+4y-1=0 与 6x+8y+3=0 关于直线 l 对称,求 l 的方程. |C2-C1| A2+B2 时,两直线方程必须是一般形式,而且 x,y 的系数对应

探究点三 两距离公式的应用 例3 已知直线 l 经过直线 l1:2x+y-5=0 与 l2:x-2y=0 的交点. (1)若点 A(5,0)到 l 的距离为 3,求 l 的方程; (2)求点 A(5,0)到 l 的距离的最大值.

[反思与感悟] 与直线 Ax+By+C=0 平行的直线可设为 Ax+By+m=0(m∈R 且 m≠C);与直线 Ax +By+C=0 垂直的直线系方程是 Bx-Ay+m=0(m∈R);过直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+ B2y+C2=0 的交点的直线系方程为 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括 l2. 跟踪训练 3 已知点 P(2,-1). (1)求过 P 点且与原点距离为 2 的直线 l 的方程; (2)是否存在过 P 点且与原点距离为 6 的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.

【随堂练习】 1.点(1,-1)到直线 x-y+1=0 的距离是( 3 2 A. 2 B. 2 2
84

)

3 C. 2

1 D. 2 )

2.两条平行线 l1:3x+4y-2=0,l2:9x+12y-10=0 间的距离等于( 7 7 A. B. 5 15 4 2 C. D. 15 3

3.分别过点 A(-2,1)和点 B(3,-5)的两条直线均垂直于 x 轴,则这两条直线间的距离是________. 4.两平行直线 3x+4y+5=0 与 6x+ay+30=0 间的距离为 d,则 a+d=________. 【课堂小结】 1.点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值,利用点到直线的距离公式,解题时要注 意把直线方程化为一般式.当直线与坐标轴垂直时可直接求之. 2.利用点到直线的距离公式可求直线的方程,有时需结合图形,数形结合,使问题更清晰. 3.已知两平行直线间的距离,即可利用公式 d= 点到直线的距离. |C1-C2| A2+B2 求解,也可在已知直线上取一点,转化为

第四章 圆与方程 4.1.1
目标 1.掌握圆的定义及标准方程; 2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程,会用待定系数法求圆的标准方程. 【知识梳理】 1.圆的标准方程 圆 圆心 半径 标准方程 备注 确定圆的标准方程的关键是确定圆心和 半径 点在圆上? ;点在圆外? 特殊情况 (0,0) r(r>0) 一般情况 (a,b) r(r>0)

圆的标准方程

2.点与圆的位置关系 设点 P 到圆心的距离为 d,半径为 r,则点在圆内? 思考探究 [情境导学] 在平面直角坐标系中, 已知两点能确定一条直线, 已知一点及倾斜角也能确定一条直线, 那么在什么条件下可以确定一个圆呢?直线能用二元一次方程表示,圆也能用一个方程表示吗?这 些就是本节我们要探讨的问题. 探究点一 圆的标准方程 思考 1 圆是怎样定义的? 答 思考 2 圆作为平面几何中的基本图形,确定它的要素又是什么呢?各要素与圆有怎样的关系? 答 思考 3 设圆的圆心坐标为 A(a,b),半径为 r(其中 a、b、r 都是常数,r>0).设 M(x,y)为这个圆
85

上任意一点,那么点 M 满足的条件是什么? 答 思考 4 如果把圆看成是点的集合,M(x,y)为这个圆上任意一点,那么圆心为 A 的圆如何表示? 答 思考 5 用坐标表示点 M 适合的条件并化简将得到什么等式? 答 思考 6 如何说明(x-a)2+(y-b)2=r2 就是圆心坐标为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程? 答 思考 7 点 M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的关系如何判断? 答 探究点二 圆的标准方程的应用 思考 从圆的标准方程所含的参数上,你能分析出求圆的标准方程需要几个条件吗? 答 例 1 写出圆心为 A(2,-3),半径长等于 5 的圆的方程,并判断点 M1(5,-7),M2(- 5,-1)是 否在这个圆上.

跟踪训练 1 已知点 A(1,2)在圆 C:(x+a)2+(y-a)2=2a2 的内部,求 a 的取值范围.

例 2 △ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8).求它的外接圆的方程.

跟踪训练 2 已知三点 A(3,2),B(5,-3),C(-1,3),以 P(2,-1)为圆心作一个圆,使 A、B、C 三 点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,求这个圆的方程.

86

例 3 已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1)和 B(2,-2),且圆心 C 在直线 l:x-y+1=0 上,求圆心为 C 的圆的标准方程.

跟踪训练 3 用待定系数法求例 3 中的圆的标准方程.

【随堂练习】 1.圆心是 O(-3,4),半径长为 5 的圆的方程为( A.(x-3) +(y+4) =5 C.(x+3)2+(y-4)2=5 A.在圆上 C.在圆内
2 2 2

)

B.(x-3) +(y+4)2=25 D.(x+3)2+(y-4)2=25 ) B.在圆外 D.以上都不对 )

2.点 P(-2,-2)和圆 x2+y2=4 的位置关系是(

3.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4 的内部,则实数 a 的取值范围是( A.-1<a<1 C.a>1 或 a<-1 B.0<a<1 D.a=± 1

4.已知圆 C 经过 A(5,1),B(1,3)两点,圆心在 x 轴上,则圆 C 的方程为______________.

【课堂小结】 1.判断点与圆位置关系的两种方法 (1)几何法:主要利用点到圆心的距离与半径比较大小. (2)代数法:主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断: 点 P(x0,y0)在圆 C 上?(x0-a)2+(y0-b)2=r2;
87

点 P(x0,y0)在圆 C 内?(x0-a)2+(y0-b)2<r2; 点 P(x0,y0)在圆 C 外?(x0-a)2+(y0-b)2>r2. 2.求圆的标准方程时常用的几何性质 求圆的标准方程,关键是确定圆心坐标和半径,为此常用到圆的以下几何性质: (1)弦的垂直平分线必过圆心. (2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心. (3)圆心与切点的连线长是半径长. (4)圆心与切点的连线必与切线垂直. 3.求圆的标准方程常用方法:(1)利用待定系数法确定 a,b,r.(2)利用几何条件确定圆心坐标与半 径.

4.1.2
目标 1. 掌握圆的一般方程及其特点;

圆的一般方程

2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程,并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小; 3.能根据某些具体条件,运用待定系数法确定圆的方程. 【知识梳理】 1.圆的一般方程的定义 (1)当 径为 (2)当 (3)当 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程,其圆心为 . 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示点 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 不表示 ,半

2.点与圆的位置关系 已知点 M(x0,y0)和圆的方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则其位置关系如下表: 位置关系 点 M 在圆外 点 M 在圆上 点 M 在圆内 思考探究 [情境导学] 把圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 展开并整理, 得 x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0, 取 D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,得 x2+y2+Dx+Ey+F=0,显然这个方程也是圆的方程.反 过来给出一个形如 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的方程, 它表示的曲线一定是圆吗?本节就来探讨这个问 题. 探究点一 圆的一般方程 思考 1 方程 x2+y2-2x+4y+1=0 表示什么图形?x2+y2-2x+4y+6=0 表示什么图形? 答
88

代数关系 x2 0+y2 0+Dx0+Ey0+F>0 x2 0+y2 0+Dx0+Ey0+F=0 x2 0+y2 0+Dx0+Ey0+F<0

思考 2 把 x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方后,将得到怎样的方程?这个方程是不是表示圆? 答 思考 3 观察圆的一般方程,你能归纳出圆的一般方程的特点吗? 答 例 1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的圆心及半径. (1)4x2+4y2-4x+12y+9=0; (2)4x2+4y2-4x+12y+11=0.

跟踪训练 1 判断下列方程是否表示圆,若是,化成标准方程. (1)x2+y2+2x+1=0;(2)x2+y2+20x+121=0; (3)x2+y2+2ax=0.

探究点二 待定系数法求圆的方程 思考 1 求圆的一般方程实质上是求圆的一般方程中的哪些量? 答 思考 2 求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是怎样的? 答 例2 求过三点 A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标.

跟踪训练 2

已知圆 C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线 x+y-1=0 上,且圆心在第二象限,

半径为 2,求圆的一般方程.
89

探究点三 与圆有关的轨迹问题 例3 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3),端点 A 在圆(x+1)2+y2=4 上运动,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.

跟踪训练 3 设圆的方程为 x2+y2=4,过点 M(0,1)的直线 l 交圆于点 A、B,O 是坐标原点,点 P 为 AB 的中点,当 l 绕点 M 旋转时,求动点 P 的轨迹方程.

【随堂练习】 1.圆 x +y -2x+4y=0 的圆心坐标为( A.(1,2) C.(-1,2)
2 2

)

B.(1,-2) D.(-1,-2) )

2.将圆 x2+y2-2x-4y+1=0 平分的直线是( A.x+y-1=0 C.x-y+1=0

B.x+y+3=0 D.x-y+3=0 )

3.方程 x2+y2-x+y+m=0 表示一个圆,则 m 的取值范围是( 1 A.m≤2 B.m< 2 C.m<2 1 D.m≤ 2

4.过原点 O 作圆 x2+y2-8x=0 的弦 OA,求弦 OA 中点 M 的轨迹方程.

90

【课堂小结】 1.判断二元二次方程表示圆的“两看” 一看方程是否具备圆的一般方程的特征,当它具备圆的一般方程的特征时,二看它能否表示圆.此 时有两种途径:一是看 D2+E2-4F 是否大于 0;二是直接配方变形,看方程等号右边是否为大于零 的常数. 2.求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当坐标系,设出动点 M 的坐标(x,y). (2)列出点 M 满足条件的集合. (3)用坐标表示上述条件,列出方程 f(x,y)=0. (4)将上述方程化简. (5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.

4.2.1

直线与圆的位置关系

目标 1.掌握直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相离; 2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系; 3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题. 【知识梳理】 直线 Ax+By+C=0 与圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系及判断 位置关系 公共点个数 几何法:设圆心到直线的距离 d= |Aa+Bb+C| 判定 方法 A2+B2
?Ax+By+C=0 ? 代数法:由? 2 2 2 ? ??x-a? +?y-b? =r

相交 个

相切 个

相离 个

消元得到一元二次方程的判别式 Δ 思考探究 [情境导学] 在初中我们判断直线与圆的位置关系时, 是通过图形看直线与圆有几个公共点, 当它们 有两个共公点时,直线与圆相交;有一个公共点时相切;没有公共点时相离.现在我们学习了直线 与圆的方程后,如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系?本节我们就来探讨这个问题. 探究点一 判定直线与圆的位置关系的方法 问题 一个小岛的周围有环岛暗礁, 暗礁分布在以小岛的中心为圆心, 半径为 30 km 的圆形区域. 已 知小岛中心位于轮船正西 70 km 处,港口位于小岛中心正北 40 km 处.如果这艘轮船沿直线返港, 那么它是否会有触礁危险? 思考 1 通过怎样的方法把这个实际问题转化为数学问题? 答 思考 2 如何表示问题中的圆的方程及轮船沿直线返港时的直线的方程?
91

答 思考 3 轮船沿直线返港是否会有触礁危险的问题归结为怎样的数学问题? 答 思考 4 怎样用几何法判断直线与圆的位置关系? 答 思考 5 如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系? 答 例 1 已知直线 l:3x+y-6=0 和圆心为 C 的圆 x2+y2-2y-4=0,判断直线 l 与圆的位置关系;如 果相交,求它们交点的坐标.

跟踪训练 1 已知圆的方程 x2+y2=2,直线 y=x+b,当 b 为何值时: (1)圆与直线有两个公共点; (2)圆与直线只有一个公共点; (3)圆与直线没有公共点.

探究点二 圆的切线问题 思考 1 过平面一点 P 可作几条圆的切线?

思考 2 过圆 C 外一点 P 的两条切线与圆 C 相切于 A、B 两点,则 P、A、C、B 四点共圆吗? 答

例2

过点 A(4,-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1 的切线,求此切线的方程.

92

跟踪训练 2 由直线 y=x+1 上的一点向圆 x2-6x+y2+8=0 引切线,则切线长的最小值为( A.1 C. 7 探究点三 圆的弦长问题 B.2 2 D.3

)

例 3 已知过点 M(-3, -3)的直线 l 被圆 x2+y2+4y-21=0 所截得的弦长为 4 5, 求直线 l 的方程.

跟踪训练 3 直线 x+2y-5+ 5=0 被圆 x2+y2-2x-4y=0 截得的弦长为( A.1 B.2 C.4 D.4 6

)

【随堂练习】 1.直线 y=x+1 与圆 x +y =1 的位置关系是( A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 2.已知 P={(x,y)|x+y=2},Q={(x,y)|x2+y2=2},那么 P∩Q 为( A.? C.{(1,1)} B.(1,1) D.{(-1,-1)} )
2 2

)

3. 直线 y=kx+3 与圆(x-1)2+(y-2)2=4 相交于 M, N 两点, |MN|≥2 3, 则 k 的取值范围是________. 4.已知圆 C 和直线 x-6y-10=0 相切于点(4,-1),且经过点(9,6),求圆 C 的方程.

93

【课堂小结】 1.直线与圆位置关系的两种判断方法比较 (1)若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法较为简单. (2)若直线或圆的方程中含有参数,且圆心到直线的距离较复杂,则用代数法较简单. 2.过一点的圆的切线方程的求法 (1)当点在圆上时,圆心与该点的连线与切线垂直,从而求得切线的斜率,用直线的点斜式方程可求 得圆的切线方程. (2)若点在圆外时,过这点的切线将有两条,但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条,这是 因为有一条过这点的切线的斜率不存在. 3.与圆相关的弦长问题的两种解决方法 (1)由于半径长 r,弦心距 d,弦长 l 的一半构成直角三角形,利用勾股定理可求出弦长,这是常用解 法. (2)联立直线与圆的方程,消元得到关于 x(或 y)的一元二次方程,利用根与系数的关系得到两交点的 横坐标(或纵坐标)之间的关系,代入两点间的距离公式求解,此法是通法.

4.2.2
目标 1.理解圆与圆的位置关系的种类;

圆与圆的位置关系

2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法,能够利用上述方法判定两圆的位 置关系; 3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性. 【知识梳理】 1.圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种,分别为: 、 、 、 2.圆与圆的位置关系的判定 (1)几何法:若两圆的半径分别为 r1,r2(r1≠r2),两圆的圆心距为 d,则两圆的位置关系的判断方法 如下: 位置关系 图示 d 与 r1、r2 的 关系 3.代数法判定圆与圆的位置关系:通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断. 圆C1方程? ? 消元 ?― ― →一元二次方程. 圆C2方程? ? 当 Δ>0 时,两圆 思考探究 [情境导学] 同学们一定观看过“日食”现象, 那么月亮与太阳的圆形轮廓有哪几种位置关系?又如 何判断它们的位置关系呢?本节就来探讨这个问题. 探究点一 圆与圆的位置关系 思考 1 圆与圆的位置关系有几类? 答
94



外离

外切

相交

内切

内含

;当 Δ=0 时,两圆

;当 Δ<0 时,两圆

思考 2 如何利用几何设性质判断圆与圆的位置关系? 答 思考 3 判断两圆位置关系的步骤如何? 答 思考 4 已知两圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,如何通过代数的 方法判断两圆的位置关系? 答 例 1 已知圆 C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆 C2:x2+y2-4x-4y-2=0,试判断圆 C1 与圆 C2 的位 置关系. 解

跟踪训练 1 圆 A:x2+y2+4x+2y+1=0 与圆 B:x2+y2-2x-6y+1=0 的位置关系是( A.相交 C.外切 探究点二 与两圆相切有关的问题 例 2 求与圆 x2+y2-2x=0 外切且与直线 x+ 3y=0 切于点(3,- 3)的圆的方程. B.外离 D.内含

)

跟踪训练 2 已知圆 C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆 C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所 在的直线方程及公共弦长.

探究点三 求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程 思考 1 若两圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 相交,M(x0,y0)为一 个交点,则点 M(x0,y0)在直线(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0 上吗?为什么?

95

思考 2 若两圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 相交,它们的交点弦 所在的直线方程是什么?为什么?

例 3 求过直线 x+y+4=0 与圆 x2+y2+4x-2y-4=0 的交点且与 y=x 相切的圆的方程.

跟踪训练 3 求过两圆 x2+y2+6x-4=0 和 x2+y2+6y-28=0 的交点,且圆心在直线 x-y-4=0 上的圆的方程.

【随堂练习】 1.两圆 x +y -1=0 和 x +y -4x+2y-4=0 的位置关系是( A.内切 C.外切 B.相交 D.外离 )
2 2 2 2

)

2.圆 C1:x2+y2=1 与圆 C2:x2+(y-3)2=1 的内公切线有且仅有( A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条
96

3.若圆 C1:x2+y2=16 与圆 C2:(x-a)2+y2=1 相切,则 a 的值为( A.± 3 B .± 5 C.3 或 5 D.± 3 或± 5

)

4.圆 x2+y2=1 与圆(x-1)2+y2=1 的公共弦所在的直线方程为________.

【课堂小结】 1.判断两圆的位置关系的方法: (1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定,这种方法计算量比较大,一般不用. (2)依据连心线的长与两圆半径长的和或两半径的差的绝对值的大小关系. 2.若两圆相交时,把两圆的方程作差消去 x2 和 y2 就得到两圆的公共弦所在的直线方程. 3.求弦长时,常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距,再结合勾股定理求弦长.

4.2.3
目标

直线与圆的方程的应用

1.理解直线与圆的位置关系的几何性质; 2. 会建立平面直角坐标系利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问 题; 3.会用“数形结合”的数学思想解决问题.

【知识梳理】 1.用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”:

2.建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则: (1)若曲线是轴对称图形,则可选它的对称轴为坐标轴. (2)常选特殊点作为直角坐标系的原点. (3)尽量使已知点位于坐标轴上. 建立适当的直角坐标系,会简化运算过程. 思考探究 [情境导学] 直线与圆的方程的应用非常广泛, 对于生产、 生活实践以及平面几何中与直线和圆有关 的问题,我们可以建立直角坐标系,通过直线与圆的方程,将其转化为代数问题来解决.本节我们 通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用. 题型一 直线与圆的方程在实际生活中的应用 例 1 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度 AB=20 m,拱高 OP=4 m,建造时 每间隔 4 m 需要用一根支柱支撑,求支柱 A2P2 的高度(精确到 0.01 m).
97

跟踪训练 1

一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西

60 km 处,受影响的范围是半径长为 20 km 的圆形区域.已知港口位于台风中心正北 30 km 处,如 果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?

题型二 用代数法证明几何问题 例 2 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证:圆心到一边的距离等于这条边所对边长的 一半.

跟踪训练 2 证明在圆中直径所对的圆周角是直角.

98

题型三 直线与圆中的最值问题 例 3 某圆拱桥的水面跨度 20 m,拱高 4 m.现有一船,宽 10 m,水面以上高 3 m,这条船能否从 桥下通过?

跟踪训练 3 设半径为 3 km 的圆形村落,A、B 两人同时从村落中心出发,A 向东,B 向北,A 出村 后不久改变前进方向,斜着沿切于村落圆周的方向前进,后来恰好与 B 相遇,设 A、B 两人的速度 一定,其比为 3∶1,问 A、B 两人在何处相遇? 处.

【随堂练习】 1.在圆 x +y -2x-6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的 面积为( A.5 2 C.15 2 ) B.10 2 D.20 2
2 2

2.若⊙O:x2+y2=5 与⊙O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于 A、B 两点,且两圆在点 A 处的切线互 相垂直,则线段 AB 的长度是__________. 3.如图所示,A,B 是直线 l 上的两点,且 AB=2.两个半径相等的动圆分别与 l 相切于 A,B 点,C 是两个圆的公共点,则圆弧 AC,CB 与线段 AB 围成的图形面积 S 的取值范围是________.

99

4.已知集合 A={(x,y)|x-y+m≥0},集合 B={(x,y)|x2+y2≤1}.若 A∩B=?,则实数 m 的取值 范围是________.

【课堂小结】 1.利用坐标法解决平面几何问题,是将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题,应用的是 数学中最基本的思想方法:转化与化归的思想方法,事实上,数学中一切问题的解决都离不开转化 与化归. 所谓转化与化归思想是指把待解决的问题(或未解决的问题)转化化归为已有知识范围内可解 决的问题的一种数学意识. 2.利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义,然后利用 直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题.

4.3.1
目标 1.了解空间直角坐标系的建系方式 2.掌握空间中任意一点的表示方法.

空间直角坐标系

3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标. 【知识梳理】 1.空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系:从空间某一定点引三条两两垂直,且有相同单位长度的数轴: 样就建立了空间直角坐标系 ②相关概念:点 O 叫做坐标原点,x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴.通过 面,分别称为 平面、 平面、 平面. (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 x 轴的正方向,食指指向 y 轴的正方向,如果中指指向 z 轴 的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系. 2.空间一点的坐标 空间一点 M 的坐标可用有序实数组(x,y,z)来表示,有序实数组(x,y,z)叫做点 M 在此空间直角坐 标系中的坐标,记作 M(x,y,z),其中 x 叫做点 M 的 思考探究 [情境导学] 数轴上的点 M 可用一个实数 x 表示,它是一维坐标;平面上的点 M 可用一对有序实数 (x,y)表示,它是二维坐标.对于空间中的点能不能也用有序实数表示?如何表示?本节我们就来探 讨这个问题. 探究点一 空间直角坐标系 思考 1 如图怎样确切地表示室内灯泡的位置? 答 思考 2 平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴组成,设想空间直角坐标系由几条数轴组成?其相 对位置关系如何?
100

,这

的平面叫做坐标平

,y 叫做点 M 的

,z 叫做点 M 的



思考 3 在平面上如何画空间直角坐标系?空间中的点 M 用代数的方法怎样表示? 答 思考 4 建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点 M 对应的三个有序实数如何找到呢? 答

思考 5 x 轴、y 轴、z 轴上的点的坐标有何特点?xOy 平面、yOz 平面、xOz 平面上的点的坐标有何 特点? 答

例 1 如图,在长方体 OABC—D′A′B′C′中,|OA|=3,|OC|=4, |OD′|=2.写出 D′,C,A′,B′四点的坐标.

跟踪训练 1 在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 D1D、BD 的中点,G 在棱 CD 1 上,且 CG= CD,H 为 C1G 的中点,试建立适当的坐标系,写出 E、F、G、H 的坐标. 4

探究点二 已知点的坐标确定点的位置 例 2 在空间直角坐标系 Oxyz 中,作出点 P(5,4,6).

跟踪训练 2 在空间直角坐标系 Oxyz 中,点 P(-2,0,3)位于( A.xOz 平面内 C.y 轴上 探究点三 空间中点的对称问题
101

)

B.yOz 平面内 D.z 轴上

思考 1 平面中,两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的中点坐标是什么? 答

思考 2 类比平面中两点的中点坐标,空间中两点 P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)的中点坐标是什么? 答

例 3 求点 A(1,2,-1)关于坐标平面 xOy 及 x 轴对称的点的坐标.

跟踪训练 3 已知点 P(2,3,-1),求: (1)点 P 关于各坐标平面对称的点的坐标; (2)点 P 关于各坐标轴对称的点的坐标; (3)点 P 关于坐标原点对称的点的坐标.

【随堂练习】 1.点 P(a,b,c)到坐标平面 xOy 的距离是( A. a +b
2 2

)

B.|a| C.|b| D.|c| )

2.点 P(1,4,-3)与点 Q(3,-2,5)的中点坐标是( A.(4,2,2) C.(2,1,1) B.(2,-1,2) D.(4,-1,2)

3.在空间直角坐标系中,已知点 A(-1,2,-3),则点 A 在 yOz 平面内射影的点的坐标是________. 4.如图,正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1(底面为正方形的直棱柱)中,AA1=2AB=4,点 E 在 CC1 上且 C1E=3EC.试建立适当的坐标系,写出点 B,C,E,A1 的坐标.

102

【课堂小结】 1.空间中确定点 M 坐标的三种方法: (1)过点 M 作 MM1 垂直于平面 xOy,垂足为 M1,求出 M1 的 x 坐标和 y 坐标,再由射线 M1M 的指向 和线段 MM1 的长度确定 z 的坐标. (2)构造以 OM 为体对角线的长方体,由长方体的三个棱长结合点 M 的位置,可以确定点 M 的坐标. (3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面, 或点 M 在坐标轴或坐标平面上, 则利用这一条件, 再作轴的垂线即可确定点 M 的坐标. 2.求空间对称点的规律方法 (1)空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题,要掌握对称点的变化规律,才能准确求 解. (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”这个结论.

4.3.2

空间两点间的距离公式

目标 1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程; 2.会应用空间两点间的距离公式求空间中两点间的距离. 【知识梳理】 空间两点间的距离公式 (1)在空间中,点 P(x,y,z)到坐标原点 O 的距离|OP|= x2+y2+z2. (2)在空间中,P1(x1,y1,z1)与 P2(x2,y2,z2)的距离|P1P2|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2+?z1-z2?2. (3)若点 P1(x1,y1,0),P2(x2,y2,0), 则|P1P2|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2. (4)若点 P1(x1,0,0),P2(x2,0,0), 则|P1P2|=|x1-x2|. 思考探究 [情境导学]
2

我 们 已 经 学 习 了 平 面 上 任 意 两 点 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) 之 间 的 距 离 公 式 |AB| =

?x1-x2? +?y1-y2?2.那么空间中任意两点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)之间距离的公式是怎样的?本 节我们就来探讨这个问题. 探究点一 空间中点与坐标原点的距离公式 思考 1 在空间直角坐标系中,坐标轴上的点 A(x,0,0),B(0,y,0),C(0,0,z),与坐标原点 O 的距离 分别是什么? 答 思考 2 在空间直角坐标系中,坐标平面上的点 A(x,y,0),B(0,y,z),C(x,0,z),与坐标原点 O 的 距离分别是什么? 答 思考 3 如图,在空间直角坐标系中,设点 P(x,y,z)在 xOy 平面上的射影为 M,则点 M 的坐标是 什么?|PM|,|OM|的值分别是什么? 答

103

思考 4 基于上述分析,你能求出点 P(x,y,z)与坐标原点 O 的距离公式吗?



探究点二 空间两点间的距离公式 问题 在空间中,设点 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),如何求点 P1、P2 之间的距离|P1P2|? 思考 1 设点 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)在 xOy 平面上的射影分别为 M,N.那么 M,N 的坐标是 什么?点 M、N 之间的距离如何? 答 .

思考 2 若直线 P1P2 垂直于 xOy 平面, 则点 P1, P2 之间的距离如何?若直线 P1P2 平行于 xOy 平面 . 答

思考 3 若直线 P1P2 是 xOy 平面的一条斜线,则点 P1,P2 的距离如何计算? 答 . 例 1 如图,正方体 OABC-D′A′B′C′的棱长为 a,|AN|=2|CN|,|BM|=2|MC′|.求 MN 的长. 解

跟踪训练 1 解

如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,|C1C|=|CB|=|CA|=2,AC⊥CB,D,E 分别

是棱 AB,B1C1 的中点,F 是 AC 的中点,求 DE,EF 的长度.

探究点三 求空间点的坐标 例 2 设点 P 在 x 轴上,它到 P1(0, 2,3)的距离为到点 P2(0,1,-1)的距离的 2 倍,求点 P 的坐标.

104

跟踪训练 2 已知点 P1,P2 的坐标分别为(3,1,-1),(2,-2,-3),分别在 x,y,z 轴上取点 A, B,C,使它们与 P1,P2 两点距离相等,求 A,B,C 的坐标.

探究点四 空间两点间距离公式的应用 例 3 已知正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1,且平面 ABCD⊥平面 ABEF,点 M 在 AC 上移动, 点 N 在 BF 上移动,若 CM=BN=a(0<a< (1)求 MN 的长; (2)当 a 为何值时,MN 的长最小. 2).

跟踪训练 3 在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,1),B(1,0,-3).在 y 轴上是否存在点 M,使△MAB 为等边三角形?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由.

【随堂练习】 1.点 P(1, 2, 3)到原点 O 的距离是( A. 6 B. 5 C.2 D. 3 ) )

2.点 P(1,2,2)是空间直角坐标系中的一点,设它关于 y 轴的对称点为 Q,则 PQ 的长为( A.2 5 B.5 2 C.3 2 D.2 3 3.若 A(4,-7,1),B(6,2,z),|AB|=11,则 z=________.
105

4.求证:以 A(10,-1,6),B(4,1,9),C(2,4,3)三点为顶点的三角形是等腰直角三角形. 形.

【课堂小结】 1.空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广,它可以求空间直角坐标系下任意两点间 的距离,其推导过程体现了化空间为平面的转化思想. 2.若已知两点坐标求距离,则直接代入公式即可;若已知两点间距离求参数或点的坐标时,应利用 公式建立相应方程求解.

章末复习 知识结构

思考探究 题型一 求圆的方程 求圆的方程需要三个独立条件.待定系数法是求圆的方程的基本方法,当题设中圆心的条件明确时, 常设标准方程;当题设中圆与圆心、半径关系不密切,或更突出方程的二次形式时,常设圆的一般 方程. 例 1 根据条件求下列圆的方程: (1)求经过 A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心在直线 3x+10y+9=0 上的圆的方程; (2)求半径为 10,圆心在直线 y=2x 上,被直线 x-y=0 截得的弦长为 4 2的圆的方程.

106

跟踪训练 1 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2,在 y 轴上截得线段 长为 2 3. (1)求圆心 P 的轨迹方程; (2)若 P 点到直线 y=x 的距离为 2 ,求圆 P 的方程. 2

题型二 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种:相交、相离、相切,其判断方法有两种:代数法(通过解直线方程与圆 的方程组成的方程组,根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离 d 与半径长 r 的大小关系 来判断). (1)当直线与圆相离时,圆上的点到直线的最大距离为 d+r,最小距离为 d-r,其中 d 为圆心到直线 的距离. (2)当直线与圆相交时,圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形; (3)当直线与圆相切时,经常涉及圆的切线,求过点(x0,y0)的圆的切线方程时,要判断点(x0,y0)在圆 上还是在圆外,若点(x0,y0)在圆外,则切线有两条,要注意斜率不存在的情况也可能符合题意.若 点(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上,则切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. 例 2 已知点 M(3,1),直线 ax-y+4=0 及圆(x-1)2+(y-2)2=4. (1)求过 M 点的圆的切线方程; (2)若直线 ax-y+4=0 与圆相切,求 a 的值; (3)若直线 ax-y+4=0 与圆相交于 A,B 两点,且弦 AB 的长为 2 3,求 a 的值.

跟踪训练 2 已知点 P(0,5)及圆 C:x2+y2+4x-12y+24=0. (1)若直线 l 过点 P,且被圆 C 截得的线段长为 4 3,求 l 的方程; (2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程.

题型三 与圆有关的最值问题
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y 与圆有关的最值问题,往往是已知圆的方程 f(x,y)=0,求 ,y-x,x2+y2 等量的最值或范围.解决 x y 的方法是:设(x,y)是圆上任意一点,分别把给定的式子 ,y-x,x2+y2 赋予一定的几何意义,这样 x 就把有关最值问题转化成点、直线与圆的位置关系问题,再根据圆的几何性质确定最值. 例 3 已知实数 x、y 满足方程 x2+y2-4x+1=0.求: y (1) 的最大值和最小值; x (2)y-x 的最小值; (3)x2+y2 的最大值和最小值.

跟踪训练 3 如果实数 x,y 满足方程(x-3)2+(y-3)2=6,求: y (1) 的最大值与最小值; x (2)x+y 的最大值与最小值.

题型四 数形结合思想的应用 数形结合思想是解答数学问题的常用思想方法,在做选择、填空题时,有时常能收到奇效.数形结 合思想在解决圆的问题时有时非常简便,把条件中的数量关系问题转化为图形的性质问题去讨论, 或者把图形的性质问题用数量关系表示出来,数形结合既是一种重要的数学思想,又是一种常用的 数学方法. 例 4 曲线 y=1+ 4-x2与直线 y=k(x-2)+4 有两个交点,则实数 k 的取值范围是( 5 ? 5 ,+∞? 0, ? A.? B. 12 ? ? ?12 ? 1 3? C.? ?3,4? A.|b|= 2 B.-1<b≤1 或 b=- 2 C.-1≤b≤1 D.非 A、B、C 的结论 5 3? D.? ?12,4? ) )

跟踪训练 4 直线 y=x+b 与曲线 x= 1-y2有且仅有一个公共点,则 b 的取值范围是(

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【课堂小结】 初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题,本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性 质,如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题,将在处理圆的有关问题时收到意想不到的 效果. 圆是非常特殊的几何图形,它既是中心对称图形又是轴对称图形,它的许多几何性质在解决圆的问 题时往往起到事半功倍的作用,所以在实际解题中常用几何法,充分结合圆的平面几何性质.那么, 经常使用的几何性质有: (1)圆的切线的性质:圆心到切线的距离等于半径;切点与圆心的连线垂直于切线;切线在切点处的 垂线一定经过圆心;圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等. (2)直线与圆相交的弦的有关性质:相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线;弦的垂直平分线 (中垂线)一定经过圆心;弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边,满足勾股定理. (3)与直径有关的几何性质:直径是圆的最长的弦;圆的对称轴一定经过圆心;直径所对的圆周角是 直角.

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