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新课标高中数学必修二导学案



目录
第一章 空间几何体 ????????????????1 ???????????????6
1.1 空间几何体的结构 1.1.1 多面体的结构特征

1.1.2 旋转体与简单组合体的结构特征

1.2

空间几何体的三视图和直观图 1.2.1 1.2.2 中心投影与平行投影 空间几何体的三视图 ?????????????????10 ?????????????????15

1.2.3 空间几何体的直观图.
§ 1.3 空间几何体的表面积与体积

第 1 课时 第 2 课时

柱体、锥体、台体的表面积 ????????????? 19 柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积 ???????23
????????????????27

习题课 空间几何体

第二章

点 直线 平面之间的位置关系 面 ????????????????????29

2.1.1 平 2.1.3 2.1.4 2.2.1 2.2.2

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 ?????????????33 空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系 ????????????????37 直线与平面平行的判定 平面与平面平行的判定 ??????????????????40

2.2.3 直线与平面平行的性质 ??????????????????44 2.2.4 平面与平面平行的性质 ??????????????????47 2.3.1 直线与平面垂直的判定 ??????????????????50 2.3.2 平面与平面垂直的判定 ??????????????????53 2. 3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质 ??????????????????57 第二章 复习课 ??????????????????60 第三章 直线与方程 倾斜角与斜率 ???????????????????64

3.1.1 3.2.1

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 ????????????????67 直线的点斜式方程 ????????????????????70 两点式方程 ???????????????????73 3.2.2 直线的 3.3.1

3.2.3 直线的一般式方程 ????????????????????76 两条直线的交点坐标
1

3.3.2 3.3.3 3.3.4

两点间的距离 点到直线的距离

????????????????????79

两条平行直线间的距离 ??????????????????82

第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程 ?????????????????????85 ???????????????????88 ??????????????????91 ???????????????????94 ?????????????????97 ????????????????????100 4.1.2 圆的一般方程 ?? 4.2.1 直线与圆的位置关系 4.2.2 圆与圆的位置关系 4.3.1 空间直角坐标系 4.2.3 直线与圆的方程的应用

4.3.2 空间两点间的距离公式 ????????????????103 章末复习 ??????????????????????????106

2

第一章 空间几何体 § 1.1
【学习目标】 1.认识组成我们的生活世界的各种各样的多面体; 2.认识和把握棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征; 3.了解多面体可按哪些不同的标准分类,可以分成哪些类别. 【知识梳理】 1.空间几何体 (1)概念:如果只考虑物体的_ _和__,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形 就叫做空间几何体. (2)特殊的几何体 ①多面体:一般地,由若干个 多面体的 ;相邻两个面的 围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做 叫做多面体的棱;棱与棱的 叫做多面体的顶点. 叫做旋转体,这条

空间几何体的结构

第 1 课时 多面体的结构特征

②旋转体:由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的 定直线叫做旋转体的 2.多面体的结构特征 (1)棱柱的结构特征:一般地,有两个面 共边都 (2)棱锥的结构特征:一般地,有一个面是 所围成的多面体叫做棱锥. (3)棱台的结构特征:用一个 体叫做棱台. 思考探究 于棱锥底面的平面去截棱锥, ,其余各面都是 ,其余各面都是

,并且每相邻两个四边形的公 ,由这些面 之间的部分,这样的多面

,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.

[情境导学] 在我们周围存在着各种各样的物体, 它们都占据着空间的一部分. 如果我们只考虑这些 物体的形状和大小, 而不考虑其他因素, 那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体. 本 节课我们主要从结构特征方面认识最基本的空间几何体. 探究点一 空间几何体的类型 思考 1 观察下列图片,你知道这图片在几何中分别叫什么名称吗?

1

答: 思考 2 如果将这些几何体进行适当分类,你认为可以分成哪几种类型? 答:

思考 3 观察图(2)(5)(7)(9)(13)(14)(15)(16)中组成几何体的每个面的特点,以及面与面之间的关系, 你能归纳出它们有何共同特点吗? 答:

[小结] 我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体. 围成多面体的各个多边形叫做多面体 的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点. 思考 4 观察图(1)(3)(4)(6)(8)(10)(11)(12)中组成几何体的每个面有何共同特点? 答:

[小结] 由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体. 这条定 直线叫做旋转体的轴. 探究点二 棱柱的结构特征 思考 1 我们把下面的多面体取名为棱柱,据此你能给棱柱下一个定义吗?

图1 答:

图2

思考 2 为了研究方便,我们把棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的侧 面,相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱,侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.你能指出上面棱 柱的底面、侧面、侧棱、顶点吗? 答:

思考 3 棱柱上、下两个底面的形状大小如何?各侧面的形状如何? 答:

思考 4 一个棱柱至少有几个侧面?一个 N 棱柱分别有多少个底面和侧面?有多少条侧棱?有多少 个顶点? 答:
2

思考 5 有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体一定是棱柱吗? 答:

[小结] 在棱柱中, 底面是三角形、 四边形、 五边形??的棱柱分别叫做三棱柱、 四棱柱、 五棱柱??; 思考 1 图 1 中的六棱柱用各顶点字母可表示为棱柱 ABCDEF—A′B′C′D′E′F′. 例 1 试判断下列说法是否正确: (1)棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面; (2)棱柱的侧棱都相等,侧面是平行四边形. 答:

[反思与感悟] 概念辨析题常用方法:(1)利用常见几何体举反例;(2)从底面多边形的形状、侧面形 状及它们之间的位置关系、侧棱与底面的位置关系等角度紧扣定义进行判断. 跟踪训练 1 根据下列关于空间几何体的描述,说出几何体名称: (1)由 6 个平行四边形围成的几何体. (2)由 8 个面围成,其中两个面是平行且全等的六边形,其余 6 个面都是平行四边形. 答:

探究点三 棱锥的结构特征 思考 1 我们把下面的多面体取名为棱锥,据此你能给棱锥下一个定义吗?

答:

思考 2 参照棱柱的说法,棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义?你能作图加以说明吗? 答:

思考 3 类比棱柱的分类,棱锥如何根据底面多边形的边数进行分类?如何用棱锥各顶点的字母表 示思考 1 中的三个棱锥? 答:

思考 4 一个棱锥至少有几个面?一个 N 棱锥分别有多少个底面和侧面?有多少条侧棱?有多少个 顶点? 答:
3

思考 5 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面与底面的形状关系如何? 答:

思考 6 棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质? 答:

例 2 如图,几何体中,四边形 AA1B1B 为边长为 3 的正方形,CC1=2, CC1∥AA1,CC1∥BB1,请你判断这个几何体是棱柱吗?若是棱柱,指出 是几棱柱.若不是棱柱,请你试用一个平面截去一部分,使剩余部分是一 个侧棱长为 2 的三棱柱,并指出截去的几何体的特征.在立体图中画出截面. 答:

[反思与感悟] 认识一个几何体,要看它的结构特征,并且要结合它各面的具体形状,棱与棱之间的 关系,分析它是由哪些几何体组成的组合体,并能用平面分割开. 跟踪训练 2 若三棱锥的底面为正三角形,侧面为等腰三角形,侧棱长为 2,底面周长为 9,求棱锥 的高.(过顶点向底面作垂线,顶点与垂足的距离) 答:

探究点四 棱台的结构特征 思考 1 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分形成另一个多面体,这样 的多面体叫做棱台.那么棱台有哪些结构特征? 答:

思考 2 仿照棱锥中关于底面、侧面、侧棱、顶点的定义,如何定义棱台的底面、侧面、侧棱、顶 点呢? 答:

思考 3 根据三棱锥、四棱锥、五棱锥??的定义,如何定义三棱台、四棱台、五棱台???如何 用字母表示棱台? 答: 思考 4 既然棱柱、棱锥、棱台都是多面体,它们在结构上有哪些相同点和不同点?三者的关系如 何?当底面发生变化时,它们能否相互转化? 答:

4

例 3 有下列三个命题: ①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;②两个底面平行且相似,其余各面都 是梯形的多面体是棱台;③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台. 其中正确的有( A.0 个 C.2 个 体是否为棱台的依据. 跟踪训练 3 答: 已知四棱台的上底面、下底面分别是边长为 4,8 的正方形,各侧棱长均相等,且侧棱 长为 17,求四棱台的高. ) B.1 个 D.3 个

[反思与感悟] 一个棱台的基本特征是上、下底面平行且相似,侧棱延长后交于一点,这是判断几何

【随堂练习】 1.下列说法中正确的是( ) A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行 B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高 D.棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形 2.下列说法中,正确的是( 锥 B.用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C.棱柱的侧面都是平行四边形,而底面不是平行四边形 D.棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形 3.下列说法错误的是( A.多面体至少有四个面 B.九棱柱有 9 条侧棱,9 个侧面,侧面为平行四边形 C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形 4.对棱柱而言,下列说法正确的序号是________. ①有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形.②所有的棱长都相等.③棱柱中至少有 2 个面 的形状完全相同.④相邻两个面的交线叫做侧棱. ) ) A.有一个底面为多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体是棱

【课堂小结】 1.在理解的基础上,要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义,能够根据定义判断几何体的形状. 2.对几何体定义的理解要准确,另外,要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地分析, 多观察实物,提高空间想象能力.
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第 2 课时 旋转体与简单组合体的结构特征
【学习目标】 1.认识组成我们生活的世界的各种各样的旋转体; 2.认识和把握圆柱、圆锥、圆台、球体的几何结构特征. 【知识梳理】 1.圆柱及其有关的概念 以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做 柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的 的 2.圆锥的概念 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做_ 3.圆台的概念 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做 也有轴、底面、侧面、母线. 4.球及其有关的概念 以半圆的直径所在直线为 叫做球的 表示. 5.简单组合体 (1)概念:由 组合而成的几何体叫做简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、 而成,另一种是由简单几何体 或 一部分而成. 台、球等几何结构特征的物体组成的. (2)基本形式:一种是由简单几何体 思考探究 [情境导学] 举世闻名的比萨斜塔是意大利的一个著名景点. 它的构造从外形上看是由八个圆柱组合 成的一个组合体, 我们周围的很多建筑物和它一样, 也都是由一些简单几何体组合而成的组合体. 本 节我们就来学习旋转体与简单组合体的结构特征. 探究点一 圆柱的结构特征 思考 1 如图所示的空间几何体叫做圆柱,那么圆柱是怎样形成的呢?与圆柱有关的几个概念是如 何定义的? ,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做 ,简称球.半圆的圆心 .球常用表示球心的字母 O ,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的 .与圆柱和圆锥一样,圆台 ;无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的 . . 叫做圆 ;平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱

答: 思考 2 如图,平行于圆柱底面的截面,经过圆柱任意两条母线的截面分别是什么图形?

答:
6

探究点二 圆锥的结构特征 思考 1 类比圆柱的定义,结合下图你能给圆锥下个定义吗?

答: 思考 2 类比圆柱的轴、底面、侧面、母线的定义,如何定义圆锥的轴、底面、侧面、母线? 答: 思考 3 经过圆锥的任意两条母线的截面是什么图形?圆锥如何用字母表示? 答: 探究点三 圆台的结构特征 思考 1 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面与底面之间的部分叫做圆台.圆台可以由什 么平面图形旋转而形成? 答: 思考 2 与圆柱和圆锥一样,圆台也有轴、底面、侧面、母线,它们的含义分别如何?圆台如何用 字母表示? 答: 思考 3 圆柱、圆锥、圆台都是旋转体,它们在结构上有哪些相同点和不同点?三者的关系如何? 当底面发生变化时,它们能否互相转化? 答: 例 1 用一个平行于圆锥 SO 底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为 1∶16,截 去的圆锥的母线长是 3 cm,求圆台的母线长. 答:

[反思与感悟] 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体,注意抓住截面的性质(与底面全等或 相似),同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质,利用相似三角形中的相似比, 列出相关几何变量的方程组而解得. 跟踪训练 1 将例 1 中“截去的圆锥的母线长是 3 cm”改为“圆锥 SO 的母线长为 16 cm”其余条件 不变,则结果如何? 答: 探究点四 球的结构特征 思考 类比圆柱、圆锥、圆台的定义,球是如何定义的?球心及球半径是指什么?如何用字母表示 球?
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答: 例 2 判断下列各命题是否正确: (1)三棱柱有 6 个顶点,三棱锥有 4 个顶点; (2)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线; (3)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周,所形成的曲面围成的几何体是圆台; (4)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形; (5)到定点的距离等于定长的点的集合是球. 答:

跟踪训练 2 下列叙述中正确的个数是(

)

①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥; ②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台; ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; ④用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台. A.0 B.1 C.2 D.3 探究点五 简单组合体的结构特征 思考 1 现实生活中的物体多数是由柱体、锥体、台体、球体等简单几何体组合而成的,这些几何 体叫做简单组合体.那么这些组合体是怎样构成的? 答:

思考 2 观察教材图 1.1-11 中(1)、(3)两物体所示的几何体,你能说出它们各由哪些简单几何体组 合而成吗? 答:

例 3 描述下列几何体的结构特征.

答:

跟踪训练 3

数学奥林匹克竞赛中,若你获得第一名,被授予如图所示的奖杯,那么,请你介绍一

下你所得的奖杯是由哪些简单几何体组成的?

答:
8

【随堂练习】 1.下图是由哪个平面图形旋转得到的( )

2.下列说法正确的是( B.圆柱的母线与轴垂直 C.圆台的母线与轴平行 D.球的直径必过球心

)

A.圆锥的母线长等于底面圆直径

3.下面几何体的截面一定是圆面的是( A.圆台 C.圆柱 4.以下说法中: B.球

)

D.棱柱

①圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定小于 1. ②矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱. ③过圆台侧面上每一点的母线都相等. 正确的序号为________. 5.如图所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的?

【课堂小结】 (1)圆台、棱台可以看作是用一平行于底面的平面去截圆锥、棱锥得到的底面与截面之间的部分;圆 台的母线、棱台的侧棱延长后必交于同一点,若不满足该条件,则一定不是圆台或棱台. (2)球面与球是两个不同的概念,球面是半圆以它的直径所在直线为轴旋转一周形成的曲面,也可以 看作与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合.而球体不仅包括球的表面,同时还包括球 面所包围的空间.

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§1.2 空间几何体的三视图和直观图 1.2.1 中心投影与平行投影 1.2.2 空间几何体的三视图
【学习目标】 1.了解投影、中心投影和平行投影的概念; 2.能画出简单几何体的三视图,能识别三视图所表示的立体模型. 【知识梳理】 投影 (1)投影的定义 由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的 我们把光线叫做 (2)投影的分类 ①中心投影:光由 ②平行投影: 在一束 2.三视图 (1)三视图的分类 ①正视图:光线从几何体的前面向后面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的 ②侧视图:光线从几何体的左面向右面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的 ③俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的 (2)三视图的画法要求 ①三视图的正视图、俯视图、侧视图分别是从物体的 正投影围成的平面图形. ②一个物体的三视图的排列规则是:俯视图放在正视图的 图放在正视图的右边,高度与 思考探究 [情境导学] 从不同角度看庐山,有古诗:“横看成岭侧成峰,远近高低各不同;不识庐山真面目, 只缘身在此山中.”对于我们所学几何体,从不同方向看到的形状也各有不同,我们通常用三视图 和直观图来把几何体画在纸上. 探究点一 中心投影与平行投影 导引 在建筑、机械等工程图中,需要用平面图形反映空间几何体的形状和大小,在作图技术上这 也是一个几何问题,要想知道这方面的基础知识,请先阅读教材第 11 页,然后思考下列问题. 思考 1 什么是投影、投影线、投影面吗? 答: 的高度一样,宽度与 ,长度与 的宽度一样. 的长度一样,侧视 、 、 看到的物体轮廓线的 向外散射形成的投影,叫做中心投影.中心投影的投影线交于 光线照射下形成的投影, 叫做平行投影. 平行投影的 ,否则叫做 . . 是平行的. 在 ,把留下物体影子的屏幕叫做 . ,这种现象叫做投影.其中,

平行投影中,投影线正对着投影面时,叫做

③在绘制三视图的时候,分界线和可见轮廓线都用实线画出,被遮挡部分用虚线画出.

思考 2 不同的光源发出的光线是有差异的, 其中灯泡发出的光线与手电筒发出的光线有什么不同? 答:

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[小结] 我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影; 把在一束平行光线照射下形成的投影叫 做平行投影. 思考 3 用灯泡照射物体和用手电筒照射物体形成的投影分别是哪种投影? 答: 思考 4 用灯泡照射一个与投影面平行的不透明物体,在投影面上形成的影子与原物体的形状、大 小有什么关系?当物体与灯泡的距离发生变化时,影子的大小会有什么不同? 答: 思考 5 用手电筒照射一个与投影面平行的不透明物体,在投影面上形成的影子与原物体的形状、 大小有什么关系?当物体与手电筒的距离发生变化时,影子的大小会有变化吗? 答: 思考 6 一个与投影面平行的平面图形,在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化?一个与 投影面不平行的平面图形,在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化? 答: 例 1 如图所示, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E、 F 分别是 AA1、 C1D1 的中点, G 是正方形 BCC1B1 的中心,则四边形 AGFE 在该正方体的各个面上的投影可能是图中的________.(填序号)

[反思与感悟] 画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点, 如顶点等, 画出这 些关键点的投影,再依次连接即可得此图形在该平面上的投影.如果对平行投影理解不充分,做该 类题目容易出现不知所措的情形,避免出现这种情况的方法是依据平行投影的含义,借助于空间想 象来完成. 跟踪训练 1 如图(1)所示, E、 F 分别为正方体面 ADD′A′、 面 BCC′B′的中心, 则四边形 BFD′E 在该正方体的各个面上的投影可能是图(2)中的________.

探究点二 柱、锥、台、球的三视图 导引 把一个空间几何体投影到一个平面上,可以获得一个平面图形.从多个角度进行投影就能较 好地把握几何体的形状和大小,通常选择三种正投影,即正面、侧面和上面. 思考 1 如图,设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c,那么其三视图分别是什么?

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答: 思考 2 三视图,分别反映物体的哪些关系(上下、左右、前后)?哪些数量(长、宽、高)? 答:

[小结] 一般地,一个几何体的正视图、侧视图和俯视图的长度、宽度和高度的关系为:正侧等高, 正俯等长,侧俯等宽. 思考 3 圆柱、圆锥、圆台的三视图分别是什么? 答:

思考 4 球的三视图是什么?下列三视图表示一个什么几何体? 答:

探究点三 简单组合体的三视图 思考 1 在简单组合体中,从正视、侧视、俯视等角度观察,有些轮廓线和棱能看见,有些轮廓线 和棱不能看见,在画三视图时怎样处理?

思考 2 如图所示,将一个长方体截去一部分,这个几何体的三视图如何画出?(标出字母)

答:

例 2 如图,设所给的方向为物体的正前方,试画出它的三视图.(单位:cm) 答:

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[反思与感悟] (1)在画三视图时, 务必做到正(视图)侧(视图)高平齐, 正(视图)俯(视图)长对正, 俯(视 图)侧(视图)宽相等.(2)习惯上将正视图与侧视图画在同一水平位置上,俯视图在正视图的正下方. 跟踪训练 2 某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是( )

探究点四 将三视图还原成几何体 思考 下图是简单组合体的三视图,想象它们表示的组合体的结构特征,并画出其示意图. 答:

例 3 说出下面的三视图表示的几何体的结构特征. 答:

[反思与感悟] 通常要根据俯视图判断几何体是多面体还是旋转体, 再结合正视图和侧视图确定具体 的几何结构特征,最终确定是简单几何体还是简单组合体. 跟踪训练 3 下图是一个物体的三视图,试说出物体的形状.

答:

【随堂练习】 1.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是 BB1,BC 的中点,则图中阴影部分在平 面 ADD1A1 上的正投影是( )
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2.某几何体的三视图如图所示,那么这个几何体是(

)

A.三棱锥 C.四棱台

B.四棱锥 D.三棱台 )

3. 将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥, 得到如图(2)所示的几何体, 则该几何体的侧视图为(

4.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是(

)

5.如图,四棱锥的底面是正方形,顶点在底面上的射影是底面正方形的中心,试画出其三视图.

【课堂小结】 1.三视图的正视图、侧视图、俯视图是分别从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的 轮廓线,画几何体的要求是正视图、俯视图长对正,正视图、侧视图高平齐,俯视图、侧视图宽相 等,前后对应,画出的三视图要检验是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征.
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2.几何体的三视图的画法为:先画出两条互相垂直的辅助 坐标轴,在第二象限画出正视图;根据“正、俯两图长对正”的原则,在第三象限画出俯视图;根 据“正、侧两图高平齐”的原则,在第一象限画出侧视图. 3.看得见部分的轮廓线画实线,看不见部分的轮廓线画虚线.

1.2.3

空间几何体的直观图

目标 1.掌握斜二测画法的作图规则;2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图. 【知识梳理】 1.画平面图形直观图的步骤 (1)在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴,两轴相交于点 O.画直观图时,把它们画成对应的 x′轴 与 y′轴,两轴交于点 O′,且使∠x′O′y′=45° (或 135° ),它们确定的平面表示水平面. (2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′轴的线段. (3)已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中保持原长度 的 . 2.立体图形的直观图的画法 画立体图形的直观图,在画轴时,要多画一条与平面 x′O′y′垂直的轴 O′z′.且平行于 O′z 的 线段长度 思考探究 [情境导学] 空间几何体除了用三视图表示外, 更多的是用直观图来表示. 空间图形能否在平面中画 出来,使得既富有立感,又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系呢?这就是空间几何体 的直观图.本节我们就来研究这个问题. 探究点一 水平放置的平面图形的画法 导引 用来表示空间图形的平面图叫空间图形的直观图,要画空间几何体的直观图,先要学会水平 放置的平面图形的画法. 思考 1 把一个矩形水平放置,从适当的角度观察,给人以平行四边形的感觉,如图.比较两图, 其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化?哪些没有发生变化? .其他同平面图形的画法. ,平行于 y 轴的线段,长度为原来

答:

思考 2 把一个直角梯形水平放置得其直观图如下,比较两图,其中哪些线段之间的位置关系、数 量关系发生了变化?哪些没有发生变化?

答: 思考 3 阅读教材 16 页中的例 1,然后自主作出水平放置的正六边形的直观图. 答:

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[小结] 则:

上述画水平放置的平面图形的直观图的方法叫做斜二测画法,斜二测画法的基本步骤和规

(1)建坐标系,定水平面; (2)与坐标轴平行的线段保持平行; (3)水平线段等长,竖直线段减半. 思考 4 斜二测画法可以画任意多边形水平放置的直观图,如果把一个圆水平放置,看起来像什么 图形?画出水平放置的圆的直观图. 答:

例 1 用斜二测画法画边长为 4 cm 的水平放置的正三角形的直观图.

答:

[反思与感悟] 此类问题的解题步骤是:建系、定点、连线成图.要注意选取恰当的坐标原点,能使 整个作图变得简便. 跟踪训练 1 将例 1 中三角形放置成如图所示,则直观图与例 1 中的还一样吗?

答:

探究点二 空间几何体的直观图的画法 例 2 用斜二测画法画长、宽、高分别为 4 cm、3 cm、2 cm 的长方体 ABCD—A′B′C′D′的直观 图. 答:

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[反思与感悟] 直观图中应遵循的基本原则: (1)用斜二测画法画空间图形的直观图时,图形中平行于 x 轴、y 轴、z 轴的线段在直观图中应分别画 成平行于 x′轴、y′轴、z′轴的线段; 1 (2)平行于 x 轴、z 轴的线段在直观图中长度保持不变,平行于 y 轴的线段长度变为原来的 . 2 跟踪训练 2 如下图,是一个空间几何体的三视图,请用斜二测画法画出它的直观图.

答:

例 3 如图,一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形,它的底角为 45° ,两腰和上 底边长均为 1,求这个平面图形的面积.

答:

[反思与感悟]

解答此类题目的关键是首先要能够将水平放置的平面图形的直观图还原为原来的实

际图形,其依据就是逆用斜二测画法,也就是使平行于 x 轴的线段的长度不变,而平行于 y 轴的线 段长度变为原来的 2 倍. 跟踪训练 3 已知△ABC 的平面直观图△A′B′C′是边长为 a 的正三角形,那么原△ABC 的面积
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为( A. C. 3 2 a 2 6 2 a 2

) B. 3 2 a 4

D. 6a2 【随堂练习】

1.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形,其中有一边长为 4,则此正方形的面积为( A.16 C.16 或 64 B.64 D.无法确定 )

)

2.利用斜二测画法画出边长为 3 cm 的正方形的直观图,正确的是图中的(

3.已知两个圆锥,底面重合在一起(底面平行于水平面),其中一个圆锥顶点到底面的距离为 2 cm, 另一个圆锥顶点到底面的距离为 3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为( A.2 cm C.2.5 cm B.3 cm D.5 cm )

4.如图所示,△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图,将其还原成平面图形.

答:

【课堂小结】 1.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁,可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系;在求直 观图的面积时,可根据斜二测画法,画出直观图,从而确定其高和底边等,而求原图形的面积可把 直观图还原为原图形. 2. 在用斜二测画法画直观图时, 平行线段仍然平行, 所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比,
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但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.

§ 1.3

空间几何体的表面积与体积 柱体、锥体、台体的表面积

第 1 课时

目标 1.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台体的表面积的求法;2.了解柱、锥、台体的表 面积计算公式;能运用柱、锥、台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题; 3.培养空间想象能 力和思维能力. 【知识梳理】 1.棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台是由多个 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 3.旋转体的表面积 名称 圆柱 图形 公式 底面积:S 底= 侧面积:S 侧= 表面积:S= 底面积:S 底= 圆锥 侧面积:S 侧= 表面积:S= 上底面面积:S 上底= 圆台 下底面面积:S 下底= 侧面积:S 侧= 表面积:S= 思考探究 [情境导学] 已知 ABB1A1 是圆柱的轴截面,AA1=a,AB=b,P 是 BB1 的中点;一小虫沿圆柱的侧 面从 A1 爬到 P,如何求小虫爬过的最短路程?要解决这个问题需要将圆柱的侧面展开,本节我们将 借助几何体的侧面展开图来研究几何体的表面积. 探究点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 思考 1 在初中我们已经学过正方体和长方体的表面积,以及它们的展开图,你知道正方体和长方 体的展开图的面积与正方体和长方体的表面积的关系吗? 答: 、 、 . 围成的多面体,它们的表面积就是各个面的面积的 .

思考 2 几何体的表面积等于它的展开图的面积,那么,棱柱,棱锥,棱台的侧面展开图是怎样的? 如何求棱柱,棱锥,棱台的表面积? 答:

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例 1 已知棱长为 a,各面均为等边三角形的四面体 S—ABC,求它的表面积.

[反思与感悟] 在解决棱锥、 棱台的侧面积、 表面积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中 求解,为此在解此类问题时,要注意直角三角形的应用. 跟踪训练 1 已知棱长为 5,底面为正方形,各侧面均为正三角形的四棱锥 S—ABCD,求它的表面 积. 答:

例 2 已知正四棱台(上、 下底是正方形, 上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为 6,高和下底面边长都是 12,求它的侧面积. 答:

[反思与感悟] 解决有关正棱台的问题时, 常用两种解题思路: 一是把基本量转化到直角梯形中去解 决;二是把正棱台还原成正棱锥,利用正棱锥的有关知识来解决. 跟踪训练 2 在本例中,把棱台还原成棱锥,你能利用棱锥的有关知识求解吗?

答:

探究点二 圆柱、圆锥、圆台的表面积的求法 思考 1 如何根据圆柱的展开图,求圆柱的表面积? 答:
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思考 2 如何根据圆锥的展开图,求圆锥的表面积? 答: 思考 3 如何根据圆台的展开图,求圆台的表面积? 答:

思考 4 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系? 答:

例 3 一圆台形花盆,盆口直径 20 cm,盆底直径 15 cm,底部渗水圆孔直径 1.5 cm,盆壁长 15 cm. 为美化外表而涂油漆, 若每平方米用 100 毫升油漆,涂 100 个这样的花盆需要多少油漆?(π 取 3.14, 结果精确到 1 毫升)

答:

[反思与感悟] 解决台体的问题通常要还台为锥,求面积时要注意侧面展开图的应用,上、下底面圆 的周长是展开图的弧长. 跟踪训练 3 圆台的上、下底面半径分别为 10 cm 和 20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为 180° , 那么圆台的表面积是多少?(结果中保留 π) 答:

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【随堂练习】 1.一个几何体的三视图(单位长度:cm)如图所示,则此几何体的表面积是( )

A.(80+16 2)cm2 C.(96+16 2)cm2

B.84 cm2 D.96 cm2 )

2.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是个半圆,则该几何体的表面积为(

3 A. π 2 3 C. π+ 3 2

B.π+ 3 5 D. π+ 3 2

3.一个高为 2 的圆柱,底面周长为 2π.该圆柱的表面积为________. 4.表面积为 3π 的圆锥,它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的底面直径为________. 5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为________.

【课堂小结】 1.多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和.棱柱的表面积等于它的侧面积加底面积;棱 锥的表面积等于它的侧面积加底面积;棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积.
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2. 有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面, 就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解. 而 对于圆台有时需要将它还原成圆锥,再借助相似的相关知识求解. 3.S 圆柱表=2πr(r+l);S 圆锥表=πr(r+l);S 圆台表=π(r2+rl+Rl+R2).

第 2 课时
目标

柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积

1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式,会利用它们求有关几何体的体积; 2.了解球的表面积与体积公式,并能应用它们求球的表面积及体积; 3.会求简单组合体的体积及表面积. 【知识梳理】 1.柱体、锥体、台体的体积 几何体 柱体 锥体 V 柱体= V 圆柱= V 锥体= V 圆锥= 体积 (S 为底面面积,h 为高), (r 为底面半径) S 为底面面积,h 为高), (r 为底面半径)

台体

1 V 台体= (S+ SS′+S′)h(S′, S 分别为上、 下底面面积, h 为高), 3 1 V 圆台= πh(r′2+rr′+r2)(r′,r 分别为上、下底面半径) 3 .

2.球的体积 球的半径为 R,那么它的体积 V= 3.球的表面积 思考探究 [情境导学] 上一节我们学习了几何体的表面积,一般地,面积是相对平面图形来说的,对于空间图 形需要研究它们的体积,本节我们就来研究柱体、锥体、台体、球的体积和球的表面积问题. 探究点一 柱体、锥体、台体的体积 思考 1 我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式,它们的体积公式如何表示? 答: 思考 2 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式,推测柱体的体积计算公式? 答: 思考 3 等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系如何?等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系如 何? 答: S= 球的半径为 R,那么它的表面积 S=

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思考 4 根据圆锥的体积公式,推测锥体的体积计算公式? 答: 思考 5 台体的上底面积 S′,下底面积 S,高 h,则台体的体积是怎样的?圆台的体积公式如何用 上下底面半径及高表示? 答: 例 1 如图所示的三棱锥 P—ABC 的三条侧棱两两垂直, 且 PB=1, PA= 3, PC= 6, 求其体积. (一 直线和一平面内两相交直线垂直,则直线与平面垂直) 答:

[反思与感悟] 三棱锥的任一侧面都可以做为底面来求其体积; 在已知三棱锥的体积时, 可用等体积 法求点到平面的距离.在本例中有 VP-ABC=VA-PBC=VB-PAC=VC-PAB. 跟踪训练 1 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.2π+2 3 2 3 C.2π+ 3 探究点二 球的体积和表面积

B.4π+2 3 2 3 D.4π+ 3

思考 球既没有底面,也无法像柱、锥、台体一样展成平面图形,怎样求球的表面积和体积呢?就 4 目前我们学过的知识还不能解决,我们不妨先记住公式.设球的半径为 R,那么它的体积:V= πR3, 3 它的表面积 S=4πR2,现在请大家观察这两个公式,思考它们都有什么特点? 答: 例 2 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证:

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2 (1)球的体积等于圆柱体积的 ; 3 (2)球的表面积等于圆柱的侧面积. 答:

[反思与感悟] (1)球与正方体的六个面均相切,则球的直径等于正方体的棱长. (2)球与正方体的 12 条棱均相切,则球的直径是正方体的面对角线. (3)球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的直径. (4)球与圆台的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆台的