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【高考聚焦】2014届高三数学(理)一轮复习对点训练 第57讲 椭圆 Word版含解析


第十单元 解析几何 第57讲 椭 圆

x2 y2 1.(2013· 衡水调研)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上任一点到两焦点的距离分别为 d1, 2, d 焦距 a b 为 2c.若 d1,2c,d2 成等差数列,则椭圆的离心率为( A ) 1 2 A. B. 2 2 3 3 C. D. 2 4 c 1 解析:由 d1+d2=2a=4c,所以

e= = ,故选 A. a 2 x2 y2 2.(2012· 福建省宁德市质量检查)已知方程 + =1(k∈R)表示焦点在 x 轴上的 k+1 3-k 椭圆,则 k 的取值范围是( B ) A.k>1 或 k<3 B.1<k<3 C.k>1 D.k<3

?3-k>0 ? x2 y2 解析:因为方程 + =1(k∈R)表示焦点在 x 轴上的椭圆,所以?k+1>0 k+1 3-k ?k+1>3-k ?
解得 1<k<3,故选 B.



x2 y2 3.(2013· 温州五校)椭圆 + =1 的左焦点为 F1,点 P 在椭圆上,若线段 PF1 的中点 25 9 M 在 y 轴上,则|PF1|=( A ) 41 9 A. B. 5 5 C.6 D.7 解析:由条件知 PF2⊥x 轴, b2 9 则|PF2|= = , a 5 9 41 于是|PF1|=2a-|PF2|=2×5- = ,故选 A. 5 5 4.(2012· 海淀二模)已知点 F1,F2 是椭圆 x2+2y2=2 的两个焦点,点 P 是该椭圆上的 → → 一个动点,那么|PF1+PF2|的最小值是( C ) A.0 B.1 C.2 D.2 2 解析:由于 O 为 F1、F2 的中点, → → → 则|PF1+PF2|=2|PO|, → 而当 P 为短轴端点时,|PO|取得最小值 1, → → 所以|PF1+PF2|的最小值为 2,故选 C. 5.(2012· 重庆市第二次七区联考)椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上, 长轴长是短轴长的 1 三倍,则 m 的值为 . 9 1 1 解析:由题意得 =3×1,所以 m= . m 9 x2 y2 6.(2012· 广东省潮州市上学期期末)直线 x-2y+2=0 经过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的 a b

一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率为

2 5 5

.

解析: 由直线方程知椭圆的焦点为(-2,0), 顶点为(0,1), b=1, 则 c=2, 所以 a= 12+22 c 2 5 = 5,所以 e= = . a 5 2 7.(2012· 广东省肇庆第一次模拟)短轴长为 5,离心率 e= 的椭圆的两焦点为 F1,F2, 3 过 F1 作直线交椭圆于 A,B 两点,则△ABF2 的周长为 6 .

?b= 2 ?2b= 5 ? 解析:由题知?c 2 ,即? 2 a -b2 4 ? ?a=3 ? 2 =
5 a 9



?a=2 解得? 5 ?b= 2
3



3 由椭圆的定义知△ABF2 的周长为 4a=4× =6. 2 x2 y2 8.设 F1,F2 分别为椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过 F2 的直线 l 与椭圆 C a b 相交于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60° 1 到直线 l 的距离为 2 3. ,F (1)求椭圆 C 的焦距; → → (2)如果AF2=2F2B,求椭圆 C 的方程. 解析:(1)设椭圆 C 的焦距为 2c. 由已知可得 F1 到直线 l 的距离为 3c=2 3, 故 c=2.所以椭圆 C 的焦距为 4. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2).由题意知 y1<0,y2>0. 直线 l 的方程为 y= 3(x-2).

?y= 3?x-2? ? 联立,得方程组?x2 y2 , ? ?a2+b2=1
消去 x,得(3a2+b2)y2+4 3b2y-3b4=0, - 3b2?2+2a? - 3b2?2-2a? 解得 y1= ,y2= . 2 2 3a +b 3a2+b2 → → 因为AF2=2F2B,所以-y1=2y2, 3b2?2+2a? - 3b2?2-2a? 即 =2× ,得 a=3. 3a2+b2 3a2+b2 而 a2-b2=4,所以 b= 5. x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 9 5 9.(2012· 广东省江门市第一次模拟)已知椭圆 C 的中心在原点,长轴在 x 轴上,经过点 2 A(0,1),离心率 e= . 2 (1)求椭圆 C 的方程; 1 1 (2)设直线 ln:y= (n∈N*)与椭圆 C 在第一象限内相交于点 An(xn , yn),记 an= x2, 2 n n+1 1 试证明:对?n∈N*,a1·2· an> . a …· 2

x2 y2 解析:(1)依题意,设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 1 =1 b2 ?b=1 则 ,解得? , a2-b2 c 2 ?a= 2 e= = = a a 2 x2 所以椭圆 C 的方程为 +y2=1. 2

? ? ?

? 2 +y =1 (2)由? 1 ?y=n+1
2

x2

2n?n+2? ,得 x2= , n ?n+1?2

n?n+2? 1 an= x2= , 2 n ?n+1?2 1×3 2×4 3×5 n?n+2? 1×?n+2? 1 所以 a1·2· an= 2 × 2 × 2 ×…× a …· = > . 2 3 4 ?n+1?2 2?n+1? 2


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