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13.3第一课时:等腰三角形的性质


让我们一起 走进美丽的数学世界

细心观察 积极探索 在观察中发现特点 在探索中提高能力
仪封乡第一初级中学 秦兴龙

等腰三角形的性质
? ?

教学目标

知识与技能:理解和掌握等腰三角形、“三 线合一”。 ? 过程与方法:经历观察、实验、推理、归纳 等活动,探索等腰三角形、“三线合一”。 ? 情感、态度与价值观:在探索过程中体会数 学在现实生活中的广泛应用。

教学重点、难点
教学重点:等腰三角形性质 ? 教学难点:“三线合一”
?

活动(一):细心观察

活动(一):细心观察

活动(一):细心观察

活动(一):细心观察

活动(一):细心观察

共 同 特 点

回顾
等腰三角形: 有两条边相等的三角形, 叫做等腰三角形.
相等的两条边叫做腰, 另一条边叫做底边, 两腰所夹的角叫做顶角, A 顶角 腰 腰

底边

B
底角

C

底边与腰的夹角叫做底角.

活动(二):动手操作

如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折, 并剪去绿色部分, 再把它展 开,得到的△ABC有什么特点 ? B A

AB=AC 等腰三角形
C

活动(三):细心观察 大胆猜想
上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗? 把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折,找出 其中重合的线段和角,填入下表:
重合的线段 重合的角

B

AB=AC

∠B=∠C

A

BD=CD ∠ADB=∠ADC AD=AD ∠BAD=∠CAD 等腰三角形除了两腰相等以外,你还能 发现它的其他性质吗?

D

C

活动(四):小组讨论
性质1 等腰三角形的两个底角相等。(等边对等角)
A

已知:△ABC中,AB=AC 求证:∠B=?C

想一想:1.如何证明两个角相等?
议一议:2.如何构造两个全等的三
角形?
B D C

方法一:作底边上的中线
性质1.等腰三角形的两个底角相等。
A

已知: 如图,在△ABC中, AB=AC. 求证: 证明: ∠B= ∠C. 作底边的中线AD,则BD=CD 在△BAD和△CAD中 B D AB=AC ( 已知 ) BD=CD ( 已作 ) AD=AD (公共边) ∴ △BAD ≌ △CAD (S.S.S.). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).

C

方法二:作顶角的平分线
性质1:等腰三角形的两个底角相等。
A

已知: 如图,在△ABC中, 12 AB=AC. 求证: 证明: ∠B= ∠C. 作顶角的平分线AD,则∠1=∠2 在△BAD和△CAD中 B D AB=AC ( 已知 ) ∠1=∠2 ( 已作 ) AD=AD (公共边) ∴ △BAD ≌ △CAD (S.A.S). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).

C

方法三:作底边的高线
性质1:等腰三角形的两个底角相等。 已知: 如图,在△ABC中, AB=AC. 求证: 证明: ∠B= ∠C. 作底边BC的高AD,则 ∠BDA=∠CDA=90° B 在Rt△BAD和Rt△CAD中
AB=AC ( 已知 ) AD=AD (公共边) ∴ Rt△BAD ≌ Rt△CAD (H.L.). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
A

D

C

例1:
已知:在△ABC中 ,AB=AC, ∠B=80。。 ? 求∠C和∠A的大小。
?

活动(五):小组讨论
性质2 等腰三角形的顶角平分线与底边上的 中线,底边上的高互相重合 (简称“三线合一”)
A

B

C D

性质3 等腰三角形是轴对称图形,其顶角的平分 线(底边上的中线、底边上的高)所在的直线就是 等腰三角形的对称轴。

1. 根据等腰三角形性质2填空,
在△ABC中, AB=AC,
(1) ∵AD⊥BC,∴∠_____ = ∠_____,____= CD ____. BAD CAD BD

CAD AD BC (2) ∵AD是中线,∴____⊥____ ,∠_____ =∠_____. BAD
(3) ∵AD是角平分线,∴____ ⊥____ ,_____ =_____. AD BC BD CD 知一线得二线 “三线合一”可以帮助我 们解决线段的垂直、相等 以及角的相等问题。
B

A

D

C

2、等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______. 40 ° 3、等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 __________________. 70°,40° 或 55°,55° 4、等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为___________. 35 °,35 °

结论:

在等腰三角形中, ① 顶角度数+2×底角度数=180°

② 0°<顶角度数<180° ③ 0°<底角度数<90°

例2、如图,在△ABC中 ,AB=AC,点D在 AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数。
A ⌒

x
D

1、图中有哪几个等腰三角形? △ABC △ABD △BDC 2、有哪些相等的角? ∠ABC=∠C=∠BDC ∠ A=∠ABD 3、这两组相等的角之间还有什 么关系? ∠BDC=2∠ A
C

2x
2x B

∠ABC+∠C+∠ A=180 °

已知:如图,房屋的顶角∠BAC=100 ? 过屋顶A的立柱 , AD ? BC , 屋椽AB=AC. 求顶架上∠B、∠C、∠BAD、 ∠CAD的度数. A 解:在△ABC中 ∵AB=AC, ∴∠B=∠C(等边对等角) 又∵∠BAC=100 ?

B

D

C

∴∠B=∠C= 180°-∠BAC=40°(三角形内角和定理) 又∵AD⊥BC, ∴∠BAD=∠CAD(等腰三角形顶角的平分线与底 边上的高互相重合). ∴∠BAD=∠CAD=50°

活动(六):拓展提高
(1)猜想一下,等腰三角形底边中点到两腰的距离 相等吗?如图将等腰三角形ABC沿对称轴折叠,观察 DE与DF的关系,并证明你的结论。 A

已知:在△ABC中,AB=AC.点D
是BC的中点,DE⊥AB于E, DF⊥AC于F F 求证:DE=DF C

E B D

(2)如果DE、DF分别是AB,AC上的中线或∠ADB,
∠ADC的平分线,它们还相等吗?由等腰三角形是轴对 称图形,利用类似的方法,还可以得到等腰三角形中哪 些相等的线段?

作业: 习题13.3 84页第1、2题


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