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四川省成都石室中学2014届高三上学期“一诊”模拟数学(理)试题 Word版含答案


石室中学高 2014 届 2013~2014 学年度上期“一诊”模拟考试(一)

数学(理科)试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题 目要求的. 1.设集合 M ? {?1,0,1} , N ? {a, a } 则使 M∩N=N 成立的 a 的值是(
2
<

br />)

A.1 2.复数 1 ?

B.0

C.-1

D.1 或-1 )

1 (i 为虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点的坐标是 ( i3
B. (1, ?1) C. ( ?1,1) D. (?1, ?1)

A. (1,1)

? 1 2 ?x , x ? 0 3.已知函数 f ( x) ? ? , 则 f [ f (?4)] ? ( 1 x ?( ) , x ? 0 ? 2
A. ? 4 4.函数 y ? B. ?



1 4

C. 4 )

D. 6

x ln | x | 的图像可能是( | x|

? x? y?4?0 ? x? y 5.实数 x, y 满足条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 2 的最小值为( ? x ? 0, y ? 0 ?
A. 16 B. 4 ) C. 1



D.

1 2

6.下列说法中正确的是(

A.“ x ? 5 ”是“ x ? 3 ”必要条件 B.命题“ ?x ? R , x 2 ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R , x 2 ? 1 ? 0 ” C. ?m ? R ,使函数 f ( x) ? x ? mx ( x ? R) 是奇函数
2

D.设 p , q 是简单命题,若 p ? q 是真命题,则 p ? q 也是真命题 7.阅读程序框图,若输入 m ? 4 , n ? 6 ,则输出 a, i 分别是( A. a ? 12, i ? 3 B. a ? 12, i ? 4 C. a ? 8, i ? 3 )

D. a ? 8, i ? 4

8.设 函数 f ( x) ? 3 sin(?x ? ? )(? ? 0,? ( )

?
2

?? ?

?
2

) 的图 像关于 直线 x ?

2? 对 称 ,它的周 期是 ? , 则 3

A. f (x) 的图象过点 (0, ) B. f (x) 的一个对称中心是 ( C. f (x) 在 [

1 2

5? ,0 ) 12

? 2?
, 3

12

] 上是减函数

D.将 f (x) 的图象向右平移 | ? | 个单位得到函数 y ? 3sin ?x 的图象 9. 设三位数 n ? 100a ? 10b ? c ,若以 a, b, c ?{1,2,3,4} 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形, 则这样的三位数 n 有( A.12 种 ) B.24 种
x

C.28 种

D.36 种

10. 定义在 R 上的函数 f ( x ) ? e

且 则关于 x ? ? ln x 2 ? 1 , f ( x ? t )>f ( x ) 在 x ? ?? 1, ? ? 上恒成立, ). D.上述情况都有可能

的方程 f (2 x ? 1) ? f (t ) ? e 的根的个数叙述正确的是( A.有两个 B.有一个

C.没有

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知向量 a 、 b 满足 a ? (1,0), b ? (2, 4) ,则 | a ? b |? 12. (1 ? x)(1 ? x) 展开式中x 的系数是
5 4

?

?

?

?

?

?

.

(用数字作答). . .

13. 在数列 { a n } 中, a1 ? 1, a 2 ? 5, a n ? 2 ? a n ?1 ? a n ( n ? N ? ) ,则 a2014 ?

? 14.已知二次函数 f ( x ) ? ax ? 4 x ? c( x ? R ) 的值域为 [0, ?) ,则
2

1 9 ? 的最小值为 c a

15. 已 知 D 是 函 数 y ? f ( x ), x ? [a , b] 图 象 上 的 任 意 一 点 , A, B 该 图 象 的 两 个 端 点 , 点 C 满 足

AC ? ? AB , ? i ? 0 , DC (其中 0 ? ? ? 1, i 是 x 轴上的单位向量) | DC |? T ( T 为常数)在区间 [a , b] ,若
上恒成立,则称 y ? f (x ) 在区间 [a , b] 上具有 “ T 性质”.现有函数: ① y ? 2x ? 1; ②y?

?

?

?

?

?

?

2 ?1; x

③y? x ;
2

④y ? x?

1 . x

则在区间 [1,2] 上具有“

1 性质”的函数为 4

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16. (本小题满分 12 分)设 {an } 是公差大于零的等差数列,已知 a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 10 .
2

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式;
2 (Ⅱ)设 {bn } 是以函数 y ? 4sin ? x 的最小正周期为首项,以 3 为公比的等比数列,求数列 ?an ? bn ? 的

前 n 项和 S n .

17. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边为 a, b, c , m ? (b sin A, a ? a cos B ) ,

??

?? ? ? ? n ? (2,0) ,且 m 与 n 所成角为 . 3
(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)求 sin A ? sin C 的取值范围.学

18. (本小题满分 12 分)某高中为了推进新课程改革,满足不同层次学生的需求,决定从高一年级开始,在 每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座,每位有 兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座,也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。 (规定:各科达到预先设定的人数时称为满座,否则称为不满座)统计数据表明,各学科讲座各天的满座 的概率如下表:

根据上表: (Ⅰ)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率; (Ⅱ)设周三各辅导讲座满座的科目数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望.

19. (本小题满分 12 分)已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的三视图如图所示,且 D 是 BC 的中点. (Ⅰ)求证: A1 B ∥平面 ADC1 ; (Ⅱ)求二面角 C1 ? AD ? C 的余弦值; (Ⅲ)试问线段 A1 B1 上是否存在点 E ,使 AE 与 DC1 成 60 明理由.
?

角?若存在,确定 E 点位置,若不存在,说

20. (本小题满分 13 分)已知 f ( x) ? x | x ? a | ?b, x ? R . (Ⅰ)当 a ? 1, b ? 0 时,判断 f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (Ⅱ)当 a ? 1, b ? 1 时,若 f (2 ) ?
x

5 ,求 x 的值; 4

(Ⅲ)若 b ? 0 ,且对任何 x ? ? 0,1? 不等式 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ln(ax)(a ? 0) (Ⅰ) a ? e 时,求 f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)若 f ' ( x) ? x 2 对任意的 x ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)当 a ? 1 时,设函数 g ( x) ?

f ( x) 1 ,若 x1 , x 2 ? ( ,1), x1 ? x 2 ? 1 ,求证: x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) 4 e x

石室中学高 2014 届一诊模拟考试(一)数学理科答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1 2 3 4 5 6 题号 C A C B D B 答案 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 5 ; 12. -5 ;13. -1 ;14. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设 ? an ? 的公差为 d ,则 ?
3

7 A ; 15.

8 B ①③④

9 C .

10 A

? ?

a1 ? 2
2

?a1 ? 2d ? ? a1 ? d ? ? 10 ?

解得 d ? 2 或 d ? ?4 (舍)?????5 分

所以 an ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ????????????????????????6 分 (Ⅱ)? y ? 4sin 2 ? x ? 4 ? 其最小正周期为

2? ? 1 ,故首项为 1;????????????????????7 分 2?
???????????????????????8 分

1 ? cos 2? x ? ?2cos 2? x ? 2 2

因为公比为 3,从而 bn ? 3n ?1

0 1 n ?1 所以 an ? bn ? 2n ? 3n ?1 ,故 S n ? 2 ? 3 ? 4 ? 3 ? ? ? 2n ? 3

?

? ?

?

?

?

?

? 2 ? 2n ? n ? 1 ? 3n
2
??

1 1 ? n2 ? n ? ? ? 3n ??????????????????12 分 1? 3 2 2
?

17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)? m ? (b sin A, a ? a cos B ) 与向量 n ? (2,0) 所成角为

1 ? cos B ? 1 ? 3 ? 3 sin A ? cos B ? 1 ,? sin(B ? ) ? 6 2 sin B ? ? 7? ? 5? 2? 又? 0 ? B ? ? ,? ? B ? ? …………6 分 ?B? ? ?B ? 3 6 6 6 6 6 2? ? (Ⅱ)由(1)知, B ? ,?A+C= 3 3 1 3 ? ? cos A = sin( ? A) ? sin A ? sin C = sin A ? sin( ? A) = sin A ? 2 2 3 3 ? ? ? 2? ? 0 ? A ? ,? ? A ? ? 3 3 3 3 3 ,1] . ……… …12 分 所以 sin A ? sin C 的范围为 ( 2

? , 3

?

18. (本小题满分 12 分) 解(I)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件 A, 则 P( A) ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ?

1 2

2 3

2 3

1 ?????????????????????4 分 18

(II) ? 的可能值得为 0,1,2,3,4,5

1 2 1 P(? ? 0) ? (1 ? ) 4 ? ? ) ? , (1 2 3 48 1 1 3 2 1 2 1 1 P(? ? 1) ? C4 ? ? ? ) ? ? ) ? (1 ? ) 4 ? ? , (1 (1 2 2 3 2 3 8 1 2 1 2 7 2 1 1 1 P(? ? 2) ? C4 ? )2 ? ? )2 ? ? ) ? C4 ? (1 ? )3 ? ? , ( (1 (1 2 2 3 2 2 3 24 1 2 1 2 1 3 1 2 1 P(? ? 3) ? C4 ? )3 ? ? )? ? ) ? C4 ? ) 2 ? ? ) 2 ? ? , ( (1 (1 ( (1 2 2 3 2 2 3 3 1 2 1 2 1 3 1 P(? ? 4) ? ( )4 ? ? ) ? C4 ? )3 ? ? )? ? , (1 ( (1 2 3 2 2 3 16 1 4 2 1 P(? ? 5) ? ( ) ? ? , ???????????????????????10 分 2 3 24
所以随机变量 ? 的分布列如下:

?
P

0

1

2

3

4

5

1 7 1 3 1 8 24 3 16 24 1 1 7 1 3 1 8 故 E? ? 0? ? 1? ? 2? ? 3? ? 4? ? 5? ? ?????????12 分 48 8 24 3 16 24 3
19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)证明:根据三视图知:三棱柱 ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱, AB ? BC ? 2 AA1 , ?ABC ? 90
?

1 48

连结 A1C , AC1 于点 O , 交 连结 OD .由 ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱, 四边形 ACC1 A1 为矩形, 为 A1C 得 O 的中点.又 D 为 BC 中点,所以 OD 为 △ A1 BC 中位线,所以 A1 B ∥ OD , 因为 OD ? 平面 ADC1 ,

A1 B ? 平面 ADC1 , 所以 A1 B ∥平面 ADC1 .
?

????4 分

(Ⅱ)解:由 ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱,且 ?ABC ? 90 ,故 BA, BC, BB1 两两垂直. 如图建立空间直角坐标系 B ? xyz . ????5 分

? BA ? 2 ,则 B(0,0,0), C (2,0,0), A(0,2,0), C1 (2,0,1), D(1,0,0) . ???? ? ???? 所以 AD ? (1, ?2, 0) , AC1 ? (2, ?2,1) ???? ?n ? AD ? 0, ? 设平面 ADC1 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ???? ? ?n ? AC1 ? 0. ? ? x ? 2 y ? 0, 所以 ? ? 2 x ? 2 y ? z ? 0. 取 y ? 1 ,得 n ? (2,1,?2) . ???????? ?6 分 易知平面 ADC 的法向量为 v ? (0, 0,1) . ???7 分 | n?v | 2 ? .?????8 分 由二面角 C1 ? AD ? C 是锐角,得 cos? n, v ? ? n v 3

所以二面角 C1 ? AD ? C 的余弦值为

2 . 3

(Ⅲ)解:假设存在满足条件的点 E . 因为 E 在线段 A1 B1 上, A1 (0,2,1) , B1 (0,0,1) ,故可设 E (0, ? ,1) ,其中 0 ? ? ? 2 . 所以 AE ? (0, ? ? 2,1) , DC1 ? (1, 0,1) .

??? ?

???? ?

?????????9 分 ?????????10 分

??? ???? ? ? AE ? DC1 1 ? 因为 AE 与 DC1 成 60 角,所以 ??? ???? ? . ? ? 2 AE DC1


1 (? ? 2) ? 1 ? 2
2

?

1 ,解得 ? ? 1 ,舍去 ? ? 3 . 2
?

????????11 分

所以当点 E 为线段 A1 B1 中点时, AE 与 DC1 成 60 角. 20. (本小题满分 13 分)

?????????12 分

解:(Ⅰ)当 a ? 1, b ? 0 时, f ( x) ? x | x ? 1| 既不是奇函数也不是偶函数 ∵ f (?1) ? ?2, f (1) ? 0 ,∴ f (?1) ? f (1), f (?1) ? ? f (1) 所以 f ( x) 既不是奇函数,也不是偶函数 ??????????????????3 分 (Ⅱ)当 a ? 1, b ? 1 时, f ( x) ? x | x ? 1| ?1 , 由 f (2 ) ?
x

5 5 x x 得 2 | 2 ? 1| ?1 ? 4 4

? ? 2x ? 1 2x ? 1 ? ? 即? x 2 或? x 2 1 1 x x ?(2 ) ? 2 ? ? 0 ?(2 ) ? 2 ? ? 0 ? 4 ? 4
解得 2 ?
x

1? 2 1? 2 1 或2 x ? (舍),或2 x ? 2 2 2
1? 2 ? log 2 (1 ? 2) ? 1 或 x ? ?1 ??????????????????8 分 2

所以 x ? log 2

(Ⅲ)当 x ? 0 时, a 取任意实数,不等式 f ( x) ? 0 恒成立, 故只需考虑 x ? ? 0,1? ,此时原不等式变为 | x ? a |? 故 ( x ? )max ? a ? ( x ? )min , x ? ? 0,1?

?b b b ;即 x ? ? a ? x ? x x x

b x

b x

b b 在 ? 0,1? 上单调递增,所以 ( x ? ) max ? g (1) ? 1 ? b ; x x b 对于函数 h( x) ? x ? , x ? ? 0,1? x b ①当 b ? ?1 时,在 ? 0,1? 上 h( x ) 单调递减, ( x ? ) min ? h(1) ? 1 ? b ,又 1 ? b ? 1 ? b , x
又函数 g ( x ) ? x ? 所以,此时 a 的取值范围是 (1 ? b,1 ? b)

②当 ?1 ? b ? 0 ,在 ? 0,1? 上, h( x) ? x ? 当x?

b ? 2 ?b , x

b ?b 时, ( x ? )min ? 2 ?b ,此时要使 a 存在, x

必须有 ?

?1 ? b ? 2 ?b ? ? ?1 ? b ? 0 ?

即 ?1 ? b ? 2 2 ? 3 ,此时 a 的取值范围是 (1 ? b, 2 ?b )

综上,当 b ? ?1 时, a 的取值范围是 (1 ? b,1 ? b) ; 当 ?1 ? b ? 2 2 ? 3 时, a 的取值范围是 (1 ? b, 2 ?b ) ; 当 2 2 ? 3 ? b ? 0 时, a 的取值范围是 ? 21. (本小题满分 14 分) 解(Ⅰ) y ? 3x ? 2 ??????????????????3分 (Ⅱ) f ' ( x) ? 2 x ln(ax ) ? x , f ' ( x) ? 2 x ln(ax ) ? x ? x 2 ,即 2 ln ax ? 1 ? x 在 x ? 0 上恒成立 ??????????????????13 分

2 ? 1 ? 0, x ? 2 , x ? 2 时,单调减, x ? 2 单调增, x 所以 x ? 2 时, u (x) 有最大值. u ( 2) ? 0,2 ln 2a ? 1 ? 2 , e 所以 0 ? a ? . ??????????????????8分 2 f ( x) ? x ln x , (Ⅲ)当 a ? 1 时, g ( x) ? x 1 1 1 g ( x) ? 1 ? ln x ? 0, x ? ,所以在 ( ,??) 上 g (x) 是增函数, (0, ) 上是减函数. e e e 1 因为 ? x1 ? x1 ? x 2 ? 1 ,所以 g ( x1 ? x 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) ln( x1 ? x 2 ) ? g ( x1 ) ? x1 ln x1 e x1 ? x 2 x ? x2 ln( x1 ? x 2 ) 同理 ln x 2 ? 1 ln( x1 ? x 2 ) . 即 ln x1 ? x1 x2 , x1 ? x 2 x1 ? x 2 x x ? ) ln( x1 ? x 2 ) ? (2 ? 1 ? 2 ) ln( x1 ? x 2 ) 所以 ln x1 ? ln x 2 ? ( x2 x1 x 2 x1 x1 x 2 ? ? 4, 当且仅当“ x 1 ? x 2 ”时,取等号. 又因为 2 ? x 2 x1 1 又 x1 , x 2 ? ( ,1), x1 ? x 2 ? 1 , ln( x1 ?x 2 ) ? 0 , e x1 x 2 ? ) ln( x1 ? x 2 ) ? 4 ln( x1 ? x 2 ) 所以 ln x1 ? ln x 2 ? 4 ln( x1 ? x 2 ) 所以 ( 2 ? , x 2 x1 , 所以: x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) 4 . ??????????????????14分
设 u ( x) ? 2 ln ax ? 1 ? x , u ' ( x) ?


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