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2014届高三数学一轮复习《两直线的位置关系》理 新人教B版


[第 46 讲

两直线的位置关系]

(时间:35 分钟 分值:80 分)

(

基础热身 1.[2013?北京东城区二模] “a=3”是“直线 ax+3y=0 与直线 2x+2y=3 平行”的 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.[2013?泰安模拟] 点 P(m-n,-m)到直线 + =1 的距离等于( A. m +n B. m -n 2 2 2 2 C. n -m D. m ±n 3.直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则 l 的方程是( A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0 C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0 4.过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0
2 2 2 2

x y m n

)

)

能力提升 5.直线( 3- 2)x+y=3 和直线 x+( 2- 3)y=2 的位置关系是( ) A.相交不垂直 B.垂直 C.平行 D.重合 6.[2013?宁波模拟] 直线 x-2y+1=0 关于直线 x=1 对称的直线方程是( A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0 7.[2 013?银川模拟] 若直线 + =1 通过点 M(cosα ,sinα ),则( A.a +b ≤1 B.a +b ≥1 1 1 1 1 C. 2+ 2≤1 D. 2+ 2≥1
2 2 2 2

)

x y a b

)

a

b

a

b

8.已知 0<k<4,直线 l1:kx-2y-2k+8=0 和直线 l2:2x+k y-4k -4=0 与两坐标 轴围成 一个四边形,则使得这个四边形面积最小的 k 值为( ) 1 1 1 A. B. C. D.2 8 4 2 9.对任意实数 a,直线 y=ax-3a+2 所经过的定点是________. 10.点 A(2,3),点 B 在 x 轴上,点 C 在 y 轴上,则△ABC 周长的最小值是________.

2

2

11.若直线 m 被两平行线 l1:x-y+1=0 与 l2:x-y+3=0 所截得的线段的长为 2 2, 则 m 的倾斜角可以是:①15°;②30°;③45°;④60°;⑤75°. 其中正确答案的序号是________.(写出所有正确答案的序号) 12.(13 分)已知三条直线 l1:4x+y=4,l2:mx+y=0,l3:2x-3my=4,试判断这三 条直线能否构成一个三角形?若不能,求出对应的实数 m 的值,并指出原因.

难点突破 13.(12 分)[2013?安徽卷] 设直 线 l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数 k1,k2 满足 k1k2+2=0. (1)证明 l1 与 l2 相交; 2 2 (2)证明 l1 与 l2 的交点在椭圆 2x +y =1 上.

课时作业(四十六) 【基础热身】 1.C [解析] 两直线平行的充要条件是 a?2=3?2 且 a?3≠2?0,即 a=3. 2 . A [ 解析 ] 把直线方程化为 nx + my - mn = 0 ,根据点到直线的距离公式得 d = 2 2 |n(m-n)+m(-m)-mn| m +n 2 2 = 2 = m +n . 2 2 2 m +n m +n 3 3 3.A [解析] 可得 l 斜率为- ,∴l:y-2=- (x+1),即 3x+2y-1=0,选 A. 2 2 4.A [解析] 设直线方程为 x-2y+c=0,又经过点(1,0),故 c=-1,所求直线方 程为 x-2y-1=0. 【能力提升】 5.B [解析] 直线( 3- 2)x+y=3 的斜率 k1= 2- 3, 直线 x+( 2- 3)y=2 的斜率 k2= 3+ 2,∴k1?k2=( 2- 3)( 3+ 2)=-1. 6.D [解析] 方法一:设所求直线上任一点为(x,y),则它关于 x=1 的对称点(2-x, y)在直线 x-2y+1=0 上,∴2-x-2y+1=0,化简得 x+2y-3=0. 方法二:根据直线 x-2y+1=0 关于直线 x=1 对称的直线斜率是互为相反数得答案 A 或 D,再根据两直线交点在直线 x=1 上知选 D. x y 1 2 2 7.D [解析] 方法一:由题意知直线 + =1 与圆 x +y =1 有交点,则 ≤1, a b 1 1 2+ 2

a

b

1

a

2

1 + 2≥1.

b

cosα sinα ?1 1? 方法二:设向量 m=(cosα ,sinα ),n=? , ?,由题意知 + =1,

?a b?
1

a

b

cosα sinα 由 m?n≤|m||n|可得 1= + ≤

a

b

a2 b2

1 + .

8.A [解析] 直线 l1 的方程可以化为 k(x-2)-2y+8=0,该直线过定点 M(2,4), ?2k-8,0?,B(0,4-k);直线 l 的方程可以化为(2x-4)+k2(y 与两坐标轴的交点坐标是 A? ? 2

? k

?

4? ? 2 -4)=0,该 直线系过定点 M(2,4),与两坐标轴的交点坐标是 C(2k +2,0),D?0,4+ 2?.

?

k?

结合 0<k<4 可以知道这个四边形是 OBMC, 如图所示. 连接 OM, 则四边形 OBMC 的面积是△OB M, 1 1 2 2 △OCM 的面积之和,故四边形 OBMC 的面积为 ?(4-k)?2+ ( 2k +2)?4=4k -k+8,故 2 2 1 当 k= 时,两直线所围成的四边形面积最小. 8

9.(3,2) [解析] 直线系恒过定点,说明对任意的实数 a,这个点的坐标都能使方程 成立,只要按照实数 a,把这个方程进行整理,确定无论实数 a 取何值,方程都能成立的条 件即可.直线方程即 y-2=a(x-3),因此当 x-3=0 且 y-2=0 时,这个方程恒成立,故 直线系恒过定点(3,2). 10.2 13 [解析] 由于三角形是折线围成的,直接求△ABC 周长的最小值,需要求三 个含有变量 的二次根式和的最小值,显然不好办,根据关于直线对称的两点到直线上任意

一点的距离相等,把三角形的周长转化为点 A 关于两条坐标轴的对称点和 点 B,C 所连折线 的长度,根据两点之间线段最短可解.点 A 关于 x,y 轴的对称点分别是 A1(2,-3),A2(- 2,3),根据对称性 A1B=AB,A2C=AC, 故 AB+BC+CA=A1B+BC+CA2≥A1A2=2 13. |3-1| 11.①⑤ [解析] 两平行线间的距离为 d= = 2,如图,可知直线 m 与 l1,l2 1+1 的夹角为 30°, l1, l2 的倾斜角为 45°, 所以直线 m 的倾斜角等于 30°+45°=75°或 45° -30°=15°.故填写①⑤.

12.解:(1)当有两条直线平行时,三直线不能构成三角形,由于 l2∥l3 不可能; ∴①若 l1∥l2,则 =1,∴m=4; 4 2 3m 1 或②若 l1∥l3,则 =- ,∴m= - . 4 1 6 (2)当三直线过同一点时,不能构成三角形, ? ?4x+y=4, ? 4 ,-4m?(m≠4), 此时, 由? 得两直线的交点是 A? 代入第三条直线方程解 ? ?4-m 4-m? ?mx+y=0, ? 2 得 m= ,或 m=-1. 3 1 2 综(1)(2)所述,当 m=-1,m=- ,m= 或 m=4 时,三直线不能构成三角形, 6 3 而在其余情况下,三直线总能构成三角形. 【难点突破】 13.解:(1)反证法,假设是 l1 与 l2 不相交,则 l1 与 l2 平 行,有 k1=k2,代入 k1k2+2 =0,得 k2 1+2=0. 此与 k1 为实数的事实相矛盾.从而 k1≠k2,即 l1 与 l2 相交. ? ?y=k1x+1, (2)方法一:由方程组? ?y=k2x-1, ? 2 x= , k2-k1 解得交点 P 的坐标(x,y)为 k2+k1 y= , k2-k1 2 2 2 ?2 ?k2+k1?2 8+k2 k2 2+k1+2k1k2 1+k2+4 ? 2 2 而 2x +y =2? ? +? ? = k2+k2-2k k =k2+k2+4=1. ?k2-k1? ?k2-k1? 2 1 1 2 1 2 2 2 此即表明交点 P(x,y)在椭圆 2x +y =1 上. 方法二:交点 P 的坐标(x,y)满足 ? ?y-1=k1x,

m

? ? ? ? ?

? ?y+1=k2x, ?

y-1 k= ? ? x , 故知 x≠0.从而? y+1 k= ? ? x .
1 2

代入 k 1k2+2=0,得
2 2

y-1 y+1 ? +2=0. x x

整理后,得 2x +y =1, 2 2 所以交点 P 在椭圆 2x +y =1 上.


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