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(理数)梅州市高三第一次总复习质检试卷


梅州市高三第一次总复习质检试卷 数学(理科)
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号填在 答题卡上。 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。 用 将条形码横贴在答题卡右上 角“条形码粘贴处” 。 2、选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上。 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案:不准使用铅笔和涂 改液。不按以上要求作答的答案无效。 4、作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂先做题的题号(或题组号)对应的信息点,再作 答。漏涂、错涂、多涂的,答案无效。 5、考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:1.相互独立事件 A 与 B 同时发生的概率:P(AB)=P(A)P(B) 2.锥体的体积: V
? 1 3 Sh

,其中 S 为锥体底面面积,h 为锥体的高.

第 I 卷 选择题 (共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共计 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目题意的. 1.设 a 是实数,且 A.
1 2

a 1? i

?

1? i 2

是实数,则 a=( C.
3 2

) D.2

B.1

2.已知全集 U=R,集合 A { |? ? ? } B?{ | x2 ?2 ?0 ,则 A∩(CRB)= ( ) ? x 2 x 2, x x } A.(-2, 0] B.[0, 2) C.[0, 2] D.(-2, 0) 2 3.如图 1,正三棱柱的主视图面积为 2a ,则左视图的面积为( ) 2 2 A.2a B.a C.
3a
2

D.

3 4

a

2

4.在图 2 的程序框图中,输出的 s 的值为( ) A.10 B.12 C.13 D.14 5.命题 P:将函数 y=sin2x 的图象向右平移要个单位得到函数 y
? sin(2 x ?

?
3

) 的图象;命题

? ? sin( ? ) Q:函数 y? x? )cos( x
6 3

的最小正周期是π ,则命题: " P ? Q" , " P ∧ Q " , "?P" 中为真命题 的个数是( ) A.2

B.1

1

C.3 6.若双曲线
x
2

D.0
a2 ? y
2

b2

? 1 的焦点到渐近线的距离等于实轴长,则双

曲线的离心率为( A. C.
5
3

) B.
3

2

D.2
2

7.已知 f(x)=x -5x +3x,若关于 x 的方程 f(x)-b-0 在[0,1]上恰好有两个不同的实数根, 则实数 b 的取值范围是( ) A. ( 0 ,
13 27 ]

B. [ 0 ,

13 27

)

C.[-1,0]
2

D.(-1,0]

8.用投掷随机点模拟的方法计算图 3 中由 y=1 和 y=x 围成 的阴影部分的面积,若落在图中矩形 ABCD 中的随机点有 9000 个,则落在图中阴影部分的随机点大约有( ) A.2000 个 B.4000 个 C.6000 个 D.8000 个 第 II 卷 (非选择题 共 110 分) 二、填空题:本题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~12 题) 9.已知等差数列{an}中,a2=8,a8=26,从{an}中依次取出第 3,6,9,?,3n 项,按原来 的顺序构成一个新数列{bn},则 bn=____. 5 2 10.已知(xcosθ +1) 的展开式中 x 的系数为 5,则 cosθ =____. 11.某厂生产甲产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为 a1、b1 千克,生产乙产品每千克需 用原料 A 和原料 B 分别为 a2、b2 千克,甲、乙产品每千克可获利润分别为 d1、d2 元,月初一 次性购进本月用原料 A、B 各 c1、c2 千克,要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能 使月利润总额达到最大;在这个问题中,设全月生产甲、乙两种产品分别为 x 千克、y 千克, 月利润总额为 z 元,那么用于求使总利润 z=d1x+d2y 最大的数学模型中,约束条件为____. 12.给出定义;若 m ?
1 2 ? x ? m? 1 2
f ( )?x? x |的四个命题: x | {}

(其中 m 为整数) ,则 m 叫做离实数 x 最近的整数,

记作{x}=m.给出下列关于函数

①函数 y=f(x)的定义域为 R,值域为 [ 0 ,
k 2 (k ? Z )

1 2

]

; ②函数 y=f(x)的图像关于直线 x=
1 2 , 1 2 ]

对称;③函数 y=f(x)是周期函数,最小正周期为 1;④函数 y=f(x)在 [ ?



是增函数. 其中正确的命题的序号是______. (二)选做题(13-15 题) 13.(坐标系与参数方程选做题)直线 l 的参数方程为 ?
? x ? 2 ? cos ? ? ? y ? 1 ? sin ? ? x ? 2t ? y ? 1 ? 2t

,圆 C 的参数方程为

,则 l 与 C 的位置关系是________.

2

14.(不等式选讲选做题)不等式 |x 1 4 |x 2的解 ?| ? ? | ? 集是______. 15.(几何证明选讲选做题)如图 4,圆 O 的割线 PBA 过圆 心 O,弦 CD 交 PA 于点 F,且△COF∽△PDF,PB=OA=2,则 PF=________. 三、解答题:本大题有 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,把答 案做在答题卡相应题号的位置上,不能做在本卷内. 16. (本小题满分 13 分) 已知函数 4]. (1)求 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)的单调减区间. 17. (本小题满分 13 分) 甲、乙两个亚运会主办城市之间有 7 条网线并联,这 7 条网线能通过的信息量分别为 1,1,2,2,2,3,3,现从中任选三条网线,设可通过的信息量为 X,当可通过的信息量 X ≥6,则可保证信息通畅. (1)求线路信息通畅的概率; (2)求线路可通过的信息量 X 的分布列; (3)求线路可通过的信息量 X 的数学期望. 18.(本小题满分 14 分) 2 如图 5,已知抛物线 C:x =4y,点 B 与抛物线 C 的焦点 F 关 于直线 4x-2y-3=0 对称,过 x 轴上的一点 A 的直线 l 与抛物线 C 相切于点 P(2,1). (1)求 A,B 两点的坐标;
? ? (2)若动点 M 满足 AB BM 2 AM 0 ,求点 ?

fx 2 ( ? sin 3 x xn ?的定义域为 [ 0 , ) m x2m cos ? sin ? ( 0 m )
2

?
2

]

,值域为[-5,

M 的轨迹

方程,并说明它表示什么曲线. 19.(本小题满分 14 分) 如图 6,四棱锥 P-ABCD 的底面是菱形,且 ∠ABC=120 , PA⊥底面 ABCD,AB=1,PA=
0

6



E 为 CP 的中点. (1)证明:PA//平面 DBE; (2)求直线 DE 与平面 PAC 所成角的正切值; (3)在线段 PC 上是否存在一点 M,使 PC⊥平面 MBD 成立?如果存在,求出 MC 的长;如果不存在,请说明理由. 20. (本小题满分 12 分) 数列{an},a1=1, a 1?a ? 2?n ?*) 2n n 3 n N . ( n ?
2 (1)设 b ? n? n ? n ?*) a ? ? n N ,若数列{bn}是等比数列,求常数λ 、μ 的值; ( n

3

(2)设 c ? n ? 2 ? ( ? *) a n nn N ,数列{cn}的前 n 项和为 Sn,是否存在常数 c,使得 n
lg( c lg( ? ? lg( ? ? )成立?并证明你的结论. S? ? S2 c 2 S 1 c ) ) n n ? n

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1. (1)求函数 f(x)的极值点; (2)若 f(x)≤0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (3)证明:
ln 2 3 ? ln 3 8 ? ln 4 15 ? ln 5 24
??? ln n n
2

?1

?

(n ? 4)(n ? 1) 6

(n∈N 且 n>1).

*

4

参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 1.B 2.D 3.C 4.B 5.A 6.C 7.B 8.C 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9—12 题)
?a1x ? a 2 y ? c1 ? ? b x ? b .2 y ? c 2 11. ? 1 ?x?0 ? y ? 0 ?

9. 9n+2.

10. ?

2 2

12.①②③.

(二)选做题(13-15 题) 13.相离. 14. ( ?
5 2 , 3 2 )



15.3.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 解;(1)
x m n m2 m x ? n? m 2 f (x ?? 3 sin x ? cos ?? 2 sin( ? )? ? ,???(3 ) m 2 6 ? x ? [0,

?

分)

?
2

] ,? x ? 2

?
6

? [

? 7 ?
, 6

? 1 ] ,? 2 ? )?? , ],???(5 sin( x [ 1 6 6 2
f( ) ? mn ? x ? ? ?5 min

分)

又 m>0,?x ?mn 4 f ) ( max ? ? , 2 ∴m=3,n=-2. 即
x f (x ?? s?( x? ) ? , ) 6 m2 1 6

????(8 分)

................... (10 分)
?

? (2)? ( )? 6 2 ? )? ,?2k? f x ? sin( x 1
6

?
2

? 2x ?

?
6

2 ?? k

?
2

(k? ),?(11 Z

分)

得 k? ? 又 x ? [0,
?
2 ]

?
3

? x ? k? ?

?
6

, (k ? Z ) ,

,故取 k=0,得 f(x)的单调减区间为 [ 0 ,

?
6

]

............. (13 分)

17. (本大题满分 13 分) 解:(1) P(X ?8) ?
C2C3 C
3 7 2 1

?

3 35

, P(X ?7) ?

C3 C2 ? C2 C2
3 C7

2

1

2

1

?

8 35

, ???(4 分)

P (X ?6 ? )

C2 C3C2 ? C3
3 C7

1

1

1

3

?

13 35
24 35



??????(6 分)

所以线路信息通畅的概率为
C C ?C C 2 2 3 2
3 C 7 2 1 2 1

???(8 分)
.2 1

( ) (2) P X?5 ?

C C 8 3 ? , P(X ? 4) ? 2 3 3 ? ,..............(10 C 35 35 7

分)

5

X 的分布列为

??(11 分) (3)由分布列知 E(X ) ?
4?3 35 ? 5?8 35 ? 6 ? 13 35 ? 7?8 35 ? 8?3 35 ?6

???(13 分)

18.(本小题满分 14 分) 解:(1)由 x =4y 得 y
y' | x?2 ? 1
2

?

1 4

x

2

,?

y'?

1 2

x

. ∴直线 l 的斜率为

............ (2 分)

故 l 的方程为 y=x-1, ∴点 A 的坐标为(1,0)?(4 分) 由已知可得 F(0,1),设 B(x0,y0),依题意有
x0 ? 0 y0 ? 1 ? ? 2? ?3?0 ?4 ? 2 2 ? ; ? y ?1 1 ? 0 ?? ? x0 2 ?

解得 ?

?x ? y

0 0

? 2 ? 0

所以 B(2,0).??????(7 分)

(2)设 M(x,y),则 AB 由 AB? BM ? 整理,得
x
2

? (1, 0 ) , BM? (x ? 2 y) , AM ? (x ?1 y) , ,

????(10 分)

1 0 2 | AM |? 0 ,得 ( ? )?y?0 x 2 ? 2? (x? ) ?y ? ,
2 2

2

? y

2

?1

............... (12 分)
2

∴动点 M 的轨迹是以原点为中心,焦点在 x 轴上,长轴长为 2 ????(14 分) 19.(本大题满分 14 分) 解法 1:(1)证明:连结 AC、BD 交于点 D,连接 EO. ∵E、O 分别为 PC、AC 的中点,∴OE∥PA, ??????????????(2 分) PA ? 平面 DBE, OE ? 平面 DBE,∴PA//平 ?

,短轴长为 2 的椭圆.

面 DBE.???????????(4 分) (2)如图,连结 AC、BD 交于点 O. ∵PA⊥底面 ABCD,∴平面 PAC⊥平面 ABCD,????????????(5 分) 又∵底面 ABCD 是菱形,∴BD⊥AC,∴DO⊥平面 PAC.??????(7 分) 连结 OE,则∠DEO 为 DE 与平面 PAC 所成的角,?????????(8 分) ∵OE//PA,? OE
? 1 2 PA ?
6 2

, tan?DEO?

6 6

................... (10 分)

6

(3)过点 O 作 OM⊥PC 于 M,由△COM∽△CPA,得 CM

?

1 2

????(11 分)

∵PC 在底面 ABCD 上的射影为 AC,且 AC⊥BD,∴PC⊥BD. ???(12 分) 又 PC 上 OM,∴PC⊥平面 MBD. ????????????????(13 分) ∴所求 M 存在,且使 CM
? 1 2

?????(14 分)

解法 2:(1)同解法 1 相同。?????(4 分) (2)连结 AC、BD 交于点 O,∵底面 ABCD 是菱形,∴BD⊥AC,连结 EO,∵E 是 PC 的中点,则 EO⊥平 面 ABCD.以 O 为原点,OA、OB、 OE 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空 间直角坐标系.
A ( 3 2 ,0 0 B 0 , ), ( , 1 2 ,0 )



C? (

3 2 .

1 ,00 D0? ,0 , , ), ( , ) 2

P(

3 2

,0 ,

6)

, E ( 0 ,0 ,
6 2

6 2

)

..... (6 分)
1 2
1

?DE ? (0,

1 2

,

) ,向量 OB ? (0,

,0) 为平面

PAC 的一个法向量.

cos( DE OB ? , )

DE ? OB | DE | ? | OB |

?

4 7 2 ? 1 2

?

7 7?



.

∴直线 DE 与平面 PAC 所成角的正弦值为 设直线与平面所成的角为θ ,? sin ?
cos ? 1 sin? ? 1 ? ? ?
2

7 7

................. (8 分) ,
sin? cos?
6 6

?

7 7

1 7

?

42 7

,? tan?

?

??

?????(10 分)

(3)假设在线段 PC 上存在一点 M,使 PC⊥平面 MBD 成立,则 PC⊥BD, PC⊥BM,而 PC (? ?
3 0? 6 , BD ? (0,?1 0) , BC ? (? , , ) ,

3 2

,?

1 2

, 0).

? BC CM ? CP? ? BC ? ?( 设 CM=λ CP,则 BM ? PC? BD? 0 , PC ?BM ?
3 2 ? 3? ? 6? ? 0 ,? ? ?

1 ?? 3? ,? 6 ,??(12 , ) 2 2
1 6

3

分)

,?MC?

1 6

CP?

1 2

.

∴所求 M 存在,且使 CM

?

1 2

?????(14 分)

7

20.(本小题满分 l2 分)
2 2 (1)解:设 a? ? a ? 2 ? n ( 1 2 n ) a ? ?, ) 2 n n 3 可化为 a ? ?? n? ) ?? ? ?( n?n ?n ( 1 n1 n1

即 a ? ?2 n ?? 2 ?? 2 ) ? ? ( ?? n ? ? a n n1
?? ? ?1 ? 故? ? ? 2? ? 3 ? ?? ? ? ? ? 0
2

????(2 分)

, 解得 ?

?? ? ?1 ?? ? 1

?????(4 分)

( ? ?( ) a n n.???(5 ?? ? a ? ?n a 1 2 n n 3 可化为 an? ?(n ?1 ?n 1 2 n? ? ) ) n 1
2
2

分)

又 a ?12 ?1?0 .故λ =-1,μ =1.????????????(6 分) ? 1
n1 ? (2)由(1)得 an ? n2 ? n ? ( 1 ? 2 ? )?2 ? ,?n ? n 1 ? 2 ? ?????(7 分) a 1 1 a 2 n n

? 所以 c ? n? 2? ? n1 a n n 2 n

????(8 分)

要使 lg( c lg( ? ? lg( ? ? )成立,则有 S? ? S2 c 2 S 1 c ) ) n n ? n
?S ? )( n 2 ? )? S ? ? )2 ( c ( n1 c ? n c S? ? S c0 ? n? ? . ?

..................... (10 分)
1? 2
n

则 (n cS2 c (n ? 2 ( S? n ? ? ? c ? )( ) S1 ) ?
? ? ( ? c) ? 0,得 2 1
n

1?2

? c) (

1? 2

n?2

1?2

1? 2 ? c) ? ( 1 2 ?

n?1

? c)

2

c=-1.

所以存在常数 c=-1,使得 lg(Sn-c)+lg(Sn+2-c)=2lg(Sn+1-c)成立.??(12 分) 21. (本小题满分 14 分) 解:(1)f(x)的定义域为(1,+∞), 当 k≤0 时,∵x-1>0,?
1 x ?1 ? 0 f ' ( x) ? 1 x ?1 ?k,

.................. (1 分)

,f'(x)>0,则 f(x)在(1,+∞)上是增函数, ??????????(2 分)
? k ? 0 ,? x ? 1 ?
1 k

f(x)在(1,+∞)上无极值点; 当 k>0 时,令 f'(x)=0,即 当 x ? (1,1 ?
1 k )
1 x ?1

............... ,

(3 分)

时,

f ' (x) ?

1 x ?1

?k ?
1?

1 1 k ?1

? k ? 0

所以 f(x)在 (1 ,1 当 x ? (1 ?
1 k

?

1 k

)

上是增函数,
1 x ?1 ?k ?
1? 1 1 k ?1 ? k ? 0,

,??) 时, f ' ( x) ?

8

∴f(x)在 (1 ?
? x ?1? 1 k

1 k

, ?? )

上是减函数.

时,f(x)取得极大值.
?1? 1 k

综上可知,当 k≤0 时,f(x)无极值点;当 k>0 时,f(x)有唯一极值点 x

.

???(6 分) (2)由(1)知,当 k≤0 时,f(2)=1-k>0,f(x)≤0 不成立, 故只需考虑 k>0 的情况 ??????????????(8 分) 又由(1)知
1 f( ) x max f ( ? )? ln , ? 1 ? k k

要使 f(x)≤0 恒成立,只要 f(x)max≤0 即可, 由-lnk≤0 得 k≥1,故 k 的取值范围为[1,+∞) . ??????????(10 分) (3)由(2)知当 k=1 时,有 f(x)≤0 在(1,+∞)内恒成立;又 f(x)在[2,+∞)内是减函 数,f(2)=0,∴x∈(2,+∞)时,有 f(x)<0 恒成立,即 ln(x-1)<x-2 在(2,十∞) 内恒成立. ?????????????????(11 分)
2 令 x-1=n (n∈N 且 n>1) ,则 ln 3 ? 3 ? ? n? ) ( 2? ?) ( ?)(?) ,....(12 分) n n 1 ( 1 n n 1 n 1n 1 ?

3

*

?

ln n ( n ? 1)( n ? 1)

?

n ? 1 3

(n∈N 且 n>1) .

*

ln5 lnn ln2 ln3 ln4 4 5 6 n 1 ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? 1 ... 2 24 3 8 15 3 3 3 3 n ?1
) 3 n 1 ( ? ) (n ? 4)(n ?1 1 ( ? ? )? n 1 ? ? ? 6 3 2 ?

..... (14 分)

9


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