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2017优化方案高考总复习·数学·理(北师大版)第六章第6讲


第六章 不等式、推理与证明 第6讲 数学归纳法 第六章 不等式、推理与证明 数学归纳法是用来证明某些与正整数 n 有关的数学命题的 一种方法.它的基本步骤是: (1)(归纳奠基)验证:当 n 取第一个值 n0(n0∈N+)时,命题成 立; (2)(归纳递推)假设当 n=k(k≥n0, k∈N+)时命题成立的前提 下,推出当 n=k+1 时,命题成立. 根据(1)(2)可

以断定命题对从 n0 开始的所有正整数都成立. 栏目 导引 第六章 不等式、推理与证明 1.辨明两个易误点 (1)数学归纳法证题时,误把第一个值 n0 认为是 1,如证明 多边形内角和定理 (n- 2)π 时,初始值 n0= 3. (2)数学归纳法证题的关键是第二步,证题时应注意: ①必须利用归纳假设作基础;②证明中可利用综合法、分析 法、反证法等方法;③解题时要搞清从 n= k 到 n= k+1 增 加了哪些项或减少了哪些项. 栏目 导引 第六章 不等式、推理与证明 2.明确数学归纳法的两步证明 数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方 法,它们的表述严格而且规范,两个步骤缺一不可.第一步 是递推的基础,第二步是递推的依据,第二步中,归纳假设 起着“已知条件”的作用,在 n= k+1 时一定要运用它,否 则就不是数学归纳法.第二步的关键是“一凑假设,二凑结 论”. 栏目 导引 第六章 不等式、推理与证明 1 1.在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n- 3)条 2 时,第一步检验 n 等于 ( C ) A. 1 C. 3 B. 2 D. 0 栏目 导引 第六章 不等式、推理与证明 2.用数学归纳法证明 1+ 2+ 3+?+ (2n+ 1)=(n+ 1)(2n+ 1)时,从 n= k 到 n= k+ 1,左边需增添的代数式是 ( D ) A. 2k+ 2 B. 2k+ 3 C. 2k+ 1 D. (2k+ 2)+(2k+ 3) 栏目 导引 第六章 不等式、推理与证明 考点一 用数学归纳法证明等式 用数学归纳法证明: n 1 1 1 1 + + +?+ = 2× 4 4× 6 6× 8 2n( 2n+ 2) 4( n+ 1) (n∈ N ). * 1 1 [证明] (1)当 n=1 时,左边= = , 2×1×(2×1+2) 8 1 1 右边= = . 4×(1+1) 8 左边=右边,所以等式成立. 栏目 导引 第六章 不等式、推理与证明 (2)假设 n= k(k∈ N*且 k≥ 1)时等式成立,即有 k 1 1 1 1 + + +?+ = , 2× 4 4× 6 6× 8 2k( 2k+ 2) 4( k+ 1) 则当 n= k+1 时, 1 1 1 1 + + + ? + + 2× 4 4× 6 6× 8 2k( 2k+ 2) 1 2( k+ 1) [2( k+ 1)+ 2] k k( k+ 2)+ 1 1 = + = 4( k+ 1) 4( k+ 1)( k+ 2) 4( k+ 1)( k+ 2) 栏目 导引 第六章 不等式、推理与证明 ( k+ 1) 2 = 4( k+ 1)( k+ 2) k+ 1 = 4( k+ 2) k+ 1 = . 4( k+ 1+ 1) 所以当 n= k+1 时,等式也成立, 由 (1)、 (2)可知,对于一切 n∈ N*等式都成立. 栏目 导引 第六章 不等式、推理与证明 用数学归纳法证明恒等式的注意事项 (1)明确初始值 n0 的取值并验证 n=n0 时等式

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