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广东省惠阳高级中学2014-2015学年高二上学期第一次段考数学(文)试题含答案


广东惠阳高级中学 2014-2015 学年度 第一学期月考高二年级(文科)数学试题
2014-10-6

1 Sh ,其中 S 为底面积, h 为锥体的高 3 一:选择题(每小题 5 分,共 50 分)
参考公式 锥体体积公式 V ? 1. 已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5,6? , 集合 A ? ?1,3,5? , B ? ?1, 2? , CU ( A ? B) 等于( A. ?4? 2.函数 y ? A. ( ??, 2] B. ?6? C. ?4,6? ) C. (0, 2] ) D. [2, ??) D. ?5,6? )

2? x ?

1 的定义域是( x

B. (??,0) ? (0, 2]

?3x , x ? 1, 3.已知函数 f ( x) ? ? 则 f ( f (2)) ? ( ?? x, x ? 1,

A. 1 B. 1 C.2 D.-2 3 9 4.设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是( A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? , ? / / ? ,则 l ? ?



B.若 l / /? , ? / / ? ,则 l ? ? D.若 l / /? , ? ? ? ,则 l ? ?
' '

5.在空间直角坐标系中,点 A(0, 2,1), 点 A 关于平面 xoy 对称的点为 A ,则 A , A 两点间的 距离 | A A | 为(
'



A. 2

B. 2 5

C.4

D.2 ) D.720 否 输出 p 结束

6.执行如下图的程序框图,如果输入的 N 的值是 6,那么输出的 p 的值是( A.15 开始 输入 N B.105 C.120

k ? 1, p ? 1

p ? p?k

k ? N?


k ?k?2
7.一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是一个圆,则这个几 何体的体积为 ( ) A.

? 4

B.

? 3

C.

? 2

D.

?

-1-

8.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查 了 10000 人,并根据所得数据画了样本的频率 分布直方图(如右图) .为了分析居民的收入与 年龄、学历、职业等方面的关系,要从这 10 000 人 中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查,则 在[2500,3000) (元)月收入段应抽出( )人. A.18 B.20 C.22 D.25

频率/组距 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 月收入(元) 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

第8题 2 2 9.当点 P 在圆 x +y =1 上变动时,它与定点 Q(3,0) 连线段 PQ 中点的轨迹方程是( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 A.(x+3) +y =4 B.(x-3) +y =1 C.(2x-3) +4y =1 D.(2x+3) +4y =1 10.某学校在校学生 2000 人,为了迎接“2010 年广州亚运会” ,学校举行了“迎亚会”跑步 和爬山比赛活动,每人都参加而且只参与其中一项比赛,各年级与比赛人数情况如下表: 高一级 爬山 跑步 高二级 高三级

a x

b y

c z

其中 a : b : c ? 2 : 5 : 3 ,全校参与爬山的人数占总人数的

1 .为了了解学生对本次活动的满 4


意程度,从中抽取一个 200 人的样本进行调查,则高三级参与爬山的学生中应抽取( A.15 人 B.30 人 C.40 人 D. 45 人

二:填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)
11. 已知流程图如右图所示, 该程序运行后, 为使输出的 b 值为 16 , 则循环体的判断框内①处应填 。 a=1,b=1 12. 某单位 200 名职工的年龄分布情况如下图,现要从中抽取 40 名职工作样本,用系统抽样法,将全体职工随机按 1-200 编号, 并按编号顺序平均分为 40 组 (1-5 号, 6-10 号?, 196-200 号) . 若第 5 组抽出的号码为 22,则第 8 组抽出的号码应是 若用分层抽样方法,则 40 岁以下年龄段应抽取 人。 ; a≤ ① 是 b=2b 输出 b 否 开始

a=a+1

结束

13 . 经 过 圆 x + 2x + y = 0 的 圆 心 C , 且 与 直 线 x + y = 0 垂 直 的 直 线 方 程 是 ____________________ 14.圆心在 y 轴上,且与直线 y ? x 相切于点(1,1)的圆的方程为____________________
-2-

2

2

三:解答题(本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分为 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? (1)求 f (

5? ) 的值; 4

1 3

?
6

), x ? R.

(2)设 ? , ? ? ?0,

? 10 6 ? ?? , f (3a ? ) ? , f (3? ? 2? ) ? , 求 cos(? ? ? ) 的值. ? 2 13 5 ? 2?

16. (本小题满分 12 分) 某高校在某年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩分组,得到 的频率分布表如下左图所示. (1)先求出频率分布表中①、②位置相应数据,再在答题纸上完成下列频率分布直方图; (2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试,求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 合计 分组 频数 5 ① 30 20 10 100 频率 0.050 0.350 ② 0.200 0.100 1.00

?160,165? ?165,170? ?170,175? ?175,180?
[180,185]

17. (本小题满分 14 分) 已知直线 l 经过 A(4,0)、B(0,3) ,求直线 l1 的一般 方程,使得: .. (1) l1 ∥ l ,且经过两直线 3x+y=0 与 x+y=2 交点; (2) l1 ? l ,且与两坐标轴围成的三角形的面积为 6.

-3-

18. (本小题满分 14 分) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是直角梯形, 且 ?DAB ? 90?, ?ABC ? 45?, CB ?

2, AB ? 2, PA ? 1

(1)求证: AB // 平面 PCD (2)求证: BC ? 面 PAC (3)若 M 是 PC 的中点,求三棱锥 C ? MAD 的体积。
P M

A

B

D

C

19. (本小题满分 14 分) 已知圆 O 以原点为圆心,且过 A(2 2,1) (1)求圆 O 的方程; (2) 经过点 P(3,1) 且与圆 O 相切的直线方程

(3)求直线 x ? 2 y ? c ? 0 与圆 O 相交所截得的弦长是

12 5 ,求 c . 5

20. (本小题满分 14 分) 设平面直角坐标系 xoy 中,设二次函数 f ? x ? ? x ? 2x ? b ? x ? R ? 的图象与两坐标轴有
2

三个交点,经过这三个交点的圆记为 C. (1)求实数 b 的取值范围; (2)求圆 C 的方程; (3)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论

-4-

原班级_____________________________试室____________________________姓名___________________________考试座位号_____________________

广东惠阳高级中学 2014-2015 学年度
第一学期月考高二年级(文科)数学试题(答卷)
题号 得分 一 选择题 二 填空题 三 解答题 15 16 17 18 19 20 总分

一:选择题(每小题 5 分,共 50 分)
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二:填空题(每小题 5 分,共 20 分)
11______________________. 12____________________,___________________________ 13_____________________________.14_____________________________.

三:解答题(共 80 分)
15(本小题满分 12 分)

-5-

16(本小题满分 12 分) 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 合计 分组 频数 5 ① 30 20 10 100 频率 0.050 0.350 ② 0.200 0.100 1.00

?160,165? ?165,170? ?170,175? ?175,180?
[180,185]

17(本小题满分 14 分)

-6-

18(本小题满分 14 分)
P M

A

B

D

C

19(本小题满分 14 分)

-7-

20(本小题满分 14 分)

-8-

第一学期月考高二年级(文科)数学试题(答案)
一:选择题(每小题 5 分,共 50 分)
题号 答案 1 C 2 B 3 B 4 C 5 D 6 B 7 A 8 D 9 C 10 A

二:填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11_______3_____, 12_______ 37 __, ___ 20 _______,
13______ x-y+1 ? 0 __________.14________ x2 ? ( y ? 2)2 ? 2 ____________

三:解答题(本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )
15.(本小题满分 14 分)

解() 1 f(

5? 5? ? ) ? 2sin( ? ) ? ? ? ? ? 2分 ; 4 12 6 ? 2sin

?
4

? 2 ? ? ? ? ? 4分

? 10 (2)f (3? ? ) ? 2sin ? ? -------5分 2 13
? sin ? ? 5 ? 12 ------7分 ,又 ? ? [0, ] ,? cos ? ? 13 2 13

? 6 f (3? ? 2? ) ? 2sin( ? ? ) ? 2 cos ? ? -------8分 2 5
? cos ? ? 3 ? 4 ,又 ? ? [0, ] ,? sin ? ? -------10分 5 2 5
16 ? ? ? ? ? 12分 . 65

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?
16. (本小题满分 14 分) 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 合计 分组 频数 5 ① 30 20 10 100 频率 0.050 0.350 ② 0.200 0.100 1.00

?160,165? ?165,170? ?170,175?

?175,180?
[180,185]

-9-

(2)因为第3, 4, 5组共有60位学生,所以利用分层抽样 在60位学生中抽取6名学生,每组分别为 30 第3组: : ? 6=3人----------9分 60 20 第4组: : ? 6=2人----------10分 60 10 第5组: : ? 6=1人----------11分 60 ? 第3, 4, 5组每组各抽取3, 2,1学生进入第二轮面试------12分

17.(本小题满分 14 分)

x y x y ? ? 1 ,设直线 l1 的方程为 ? ? m . 4 3 4 3 ?1 3 3 ? ? . 因为直线 l1 经过点两直线的交点 C (?1,3) ,所以 m ? 4 3 4 x y 3 故直线 l1 的方程为 ? ? ,即 3x ? 4 y ? 9 ? 0. ——————7 分 4 3 4
解: (Ⅰ)直线 l 的方程为

x y ? ? n ,当 x ? 0 时, y ? ?4n ;当 y ? 0 时, x ? 3n . 3 4 1 2 直线 l1 与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ? | 3n | ? | ?4n |? 6 ,即 n ? 1 . 2 ? n ? ?1. x y 故直线 l1 的方程为 ? ? ?1,即 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 或 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 .————14-分 3 4
(Ⅱ)设直线 l1 的方程为 18. (本小题满分 14 分)
? 解:(1)? 底面 ABCD 是直角梯形,且 ?DAB ? 90? , ?ABC ? 45

? AB / / CD , ??? 1 分

AB ? 平面PCD-----------2分
P M

CD ? 平面PCD------3分 ? AB//平面PCD------4分
? (2)? ?ABC ? 45 , CB ?

A

B

2 , AB ? 2
D C

2 ? AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos 45? ? 4 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? 5分 2
2 2 2

? BC ? AC -------6分

? PA ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ? PA ? BC ------7分
又PA ? AC ? A------8分 ? BC ? 平面PAC ------9分
(3)在直角梯形 ABCD 中,过 C 作 CE ? AB 于点 E , 则四边形 ADCE 为矩形,

- 10 -

? AE ? DC, AD ? EC

???? 10 分

在 Rt ?CEB 中可得 BE ? BC ? cos 45? ?

2?

2 ?1 2

CE ? BC ? sin 45? ? 2 ?
S ?ADC ?

2 ? 1 ? AE ? AB ? BE ? 2 ? 1 ? 1 2

1 1 1 DC ? CE ? ? 1 ? 1 ? ??? 11 分 2 2 2 ∵ M 是 PC 中点, ∴ M 到面 ADC 的距离是 P 到面 ADC 距离的一半 ? 12 分
∴ VC ? MAD ? VM ? ACD ?

1 1 1 1 1 1 S ?ACD ? ( PA) ? ? ? ? 3 2 3 2 2 12

??14 分

19. (本小题满分 14 分)

解:(1)设圆的方程是x2 ? y 2 ? r 2 ? ? ? 1分 点(2 2,1)在圆上, ? r 2 ? 9---------3分 ?圆的方程是x2 ? y 2 ? 9---------4分
(2).解:当过点 P 的切线斜率存在时,设所求切线的斜率为 k,------5 分 由点斜式可得切线方程为 y-1=k(x-3),即 kx-y-3k+1=0,----6 分 |-3k+1| 4 ∴ =3,解得 k=- . -----8 分 2 3 k +1 4 故所求切线方程为- x-y+4+1=0,即 4x+3y-15=0.----9 分 3 当过点 P 的切线斜率不存在时,方程为 x=3,也满足条件. 故所求圆的切线方程为 4x+3y-15=0 或 x=3.-----10 分 (3) 设原点到直线x ? 2 y ? c ? 0的距离为d,半弦长为l,

d ? r 2 ? l 2 ? 32 ? (

6 5 2 3 5 ) ? --------12分 5 5

d?

c 1? 4

?

3 5 ,……………………………13 分 5

c ? ?3 …………………………14 分
20. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)令 x =0,得抛物线与 y 轴交点是(0,b) ;
2 令 f ? x ? ? x ? 2x ? b ? 0 ,由题意 b≠0 且 ? ? 4 ? 4b ? 0 ,

解得 b<1 且 b≠0.———————————————5 分 (Ⅱ)设所求圆的一般方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2

2

2 2 令 y =0 得 x ? Dx ? F ? 0 ,它与 x ? 2 x ? b =0 是同一个方程,故 D=2,F= b .

- 11 -

令 x =0 得 y 2 ? Ey =0,此方程有一个根为 b,代入得出 E ? ?b ? 1 . 所以圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 2x ? (b ? 1) y ? b ? 0 .——————————10 分 (Ⅲ)由 x2 ? y 2 ? 2x ? (b ? 1) y ? b ? 0 得 x 2 ? y 2 ? 2x ? y ? (1 ? y)b ? 0 .
2 当 y ? 1 时,得 x ? 2 x ? 0 ,? x ? ?2,或 x ? 0.

1)和(0,1) .————————14 分 所以,不论 b 为何值,圆 C 必过定点 (?2,

- 12 -


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